u.-P. Tietze, M. Klika, H. Wolpers (Hrsg.) Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II Aus dem Programm ______________ ~ Didaktik der Mathematik Grundfragen des Mathematikunterrichts von E. Ch. Wittmann Didaktische Probleme der elementaren Algebra von G. Malle DERIVE fur den Mathematikunterricht von W. Koepf Padagogik des Mathematikunterrichts von L. Fuhrer Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II Bd. 1: Fachdidaktische Grundfragen - Didaktik der Analysis Bd. 2: Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra Bd. 3: Didaktik der Stochastik von D.-P. Tietze, M. Klika und H. Wolpers (Hrsg.) Leitfaden Arithmetik von H.-I. Gorski, S. Muller-Philipp Leitfaden Geometrie von S. Muller-Philipp, H.-J. Gorski vieweg _________________- -----" Uwe-Peter Tietze Manfred Klika Hans Wolpers (Hrsg.) Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II Band 3 Didaktik der Stochastik verfasst von Hans Wolpers unter Mitarbeit von Stefan G6tz ~ vleweg Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz fUr diese Publikation ist bei der Deutschen Bibliothek erhiiItlich. Prof. Dr. Uwe-Peter Tietze TU Braunschweig, FB 9 Institut fUr Didaktik der Mathematik und Elementarmathematik PockelsstraBe 11 38106 Braunschweig E-Mail: [email protected] PD Dr. Manfred Klika ond Dr. Hans Wolpers Universitiit Hildesheim Institut fUr Mathematik und Angewandte Informatik Marienburger Platz 22 31141 Hildesheim E-Mail: [email protected] [email protected] 1. Auflage September 2002 Alle Rechte vorbehaIten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 2002 Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. www.vieweg.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschtitzt. Iede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Ein speicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN-13:978-3-528-06999-5 e-ISBN-13:978-3-322-83144-6 DOl: 10.1007/978-3-322-83144-6 v Vorwort Vorwort der Herausgeber Wir legen mit dies em Band zur Didaktik der Stochastik den Teil IV unseres dreibandigen Werkes zum Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II VOL Ahnlich wie in Teil II zur Didaktik der Analysis und in Teil III zur Didaktik der Analytischen Geometrie und Line aren Algebra kniipfen wir auch hier an die Fachdidaktischen Grundfragen aus Teil I an. Zwar ist das vorherige Studium dieser Grundfragen sehr empfehlenswert, gleichwohl kann der vorliegende Band auch ohne diese Voraussetzung gelesen werden, denn wir haben darauf geachtet, dass dieser Band in sich geschlossen ist. Weil nicht vorausgesetzt werden kann, dass die Themen der Stochastik so vertraut sind wie die der Analysis oder der linearen Algebra, ist der Buchtext nach den mehr fachli chen gesehenen Aufgaben der Stochastik, der Erhebung und Darstellung von Daten, der Entwicklung und Anwendung von Modellen und der Uberpriifung und Interpretation organisiert. Dabei werden aber vier Grundtatigkeiten des Mathematikunterrichts einer genauen Analyse unterzogen: Lernen (von Begriffen und Regeln), Problernl6sen, An wenden und Modellbiiden sowie Beweisen und Begriinden. Es werden Grundlagen zum Verstehen von inhaltsbezogenen Lern- und Interaktionsprozessen behandelt und Konse quenzen fUr das Unterrichtsmanagement, insbesondere fUr die Auswahl von Lehrverfah ren, abgeleitet. Mit der Diskussion eines problem- und anwendungsorientierten Mathe matikunterrichts und der Frage nach Art, Ziel und Umfang des Rechnereinsatzes (Computer, grafikfahiger Taschenrechner, Schul- und Anwendersoftware) werden we sentlichen Gesichtspunkten der aktuellen Reformdiskussion urn den Mathematikunter richt Rechnung getragen. Wir kniipfen mit dieser dreibandigen Didaktik an das Buch "TietzelKlikaIWolpers: Di daktik des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II" von 1982 an. Die vielfliltigen Veranderungen in der Schule, in den Fachwissenschaften und der Fachdidaktik haben uns veranlasst, ein neues Buch zu schreiben und nicht nur eine Neubearbeitung vorzulegen. Hervorzuheben sind insbesondere die sich verandernde gesellschaftliche Rolle des Gym nasiums, aktuelle und mogliche Veranderungen von Mathematikunterricht durch die neuen Informationstechnologien, die Neubewertung der Anwendungsorientierung (Beto nung des Realitatsbezugs) und das stark gewachsene Wissen iiber fachspezifische Lehr-, Lern-, Verstehens- und Interaktionsprozesse. Wichtiges Charakteristikum des gesamten Werkes ist es, dass die allgemeinen Gedanken und Theorien nicht abstrakt bleiben. AIle Teile dieser Didaktik sind mit zahlreichen Bei spielen und Aufgaben versehen. Diese sollen das Verstandnis des Textes erleichtern, zur Weiterarbeit anregen, als Ubungsmaterial fUr didaktische Veranstaltungen in der ersten und zweiten Ausbildungsphase dienen und Anregungen fiir den konkreten Unterricht geben. AIle Kapitel sind in intensiven Diskussionen inhaltlich aufeinander abgestimmt worden. Nach langer Diskussion iiber den Gebrauch weiblicher und mannlicher Wortformen, wie Lehrerin, Lehrer und LehrerIn, haben wir uns fiir den traditionellen Weg der mann lichen VI Vorwort Form entschieden. Wir bitten un sere Leser, VersHindnis dafUr zu haben. Auch befragte Frauen haben uns in dieser Entscheidung bestarkt. Das Werk wendet sich an Fachdidaktiker, an Studenten des gymnasialen Lehramts, an Referendare und an Lehrer, die ihren Unterricht iiberdenken mochten, die nach neuen Formen des Unterrichts oder nach inhaltlichen Anregungen suchen. Juli 2002 Prof Dr. u.-P. Tietze; Akad. Oberrat PD Dr. M. Klika; Akad. Dir. i. R. Dr. H. Wolpers TV Braunschweig und Vniversitiit Hildesheim Vorwort der Verfasser dieses Bandes Der Mathematikunterricht der Sekundarstufe II wird von drei Themenbereichen be stimmt: Analysis, Lineare Algebra und Analytische Geometrie sowie Stochastik. Dem entsprechend besteht die Reihe "Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II" aus drei Banden, die ersten beiden sind 1997 (2., durchgesehene Auflage 2000) bzw. 2000 er schienen, der dritte zur Stochastik liegt nun vor. Die Reihenfolge des Auftretens ist nicht ganz unabhangig von der Bedeutung der jeweiligen Gebiete in der schulischen Praxis zu sehen. Kein Mathematikunterricht, der etwas auf sich halt, kommt urn Fragen der Analy sis herum, die fast schon beriihmten Kurvendiskussionen sind oft die "Rettungsanker" beim Abitur fUr manche(n) Schiilerin bzw. Schiiler. Auch im Studium des Lehramts Ma thematik ist die Analysis der dominierende Topos des ersten Studienabschnitts, dieser Eindruck wird noch verstarkt, wenn Physik als zweites Fach gewahlt worden ist. Die Analytische Geometrie kann da nicht ganz mithalten, zumal ihre Anwendungen in au Bermathematischen Situationen in vielen Fallen weniger bekannt sind als jene der Analy sis, und eine gewisse Anwendungsorientierung aber Kennzeichen jedes modernen Ma thematikunterrichts ist. Die Stochastik hat erst in den letzten Iahrzehnten Eingang in die Studienplane der Lehr amtsausbildung in Mathematik gefunden, ihre feste Verankerung im Mathematikunter richt selbst hat aber noch nicht stattgefunden. Es ist dabei interessant festzustellen, dass einerseits oft dariiber geklagt wird, die an der Universitat in der Lehramtsausbildung Mathematik angebotenen (mathematischen) Inhalte seien fUr die Schule zu wenig brauchbar, dass aber andererseits Stochastiklehrveranstaltungen im Studium zu wenig wahrgenommen werden. Tatsachlich zeigt sich an dies em Beispiel einmal mehr, wie wichtig das an der Universitat gelehrte Wissen fiir den spateren Lehrberuf ist, urn nam lich z. B. neue curriculare Inhalte angemessen in den bestehenden Lehrstoff einordnen zu konnen. Die (stoff-)didaktische Forschung bietet ein erganzendes Bild. Die Beitrage zu Themen der Geometrie und der Stochastik sind auBerordentlich zahlreich. Den Schluss daraus zu ziehen, diese Gebiete seien im derzeitigen Mathematikunterricht sehr bedeutend, ist min destens gewagt. Dabei sind von der Fachdidaktik sowohl allgemeine wie auch fUr die Stochastik spezifische Ergebnisse erzielt bzw. verifiziert worden, die es wert sind, beach- Vorwort VII tet zu werden. Allerdings ist das Panorama fachlicher Zusammenhange und didak tisch-methodischer Diskussionen und Vorschlage so weitgespannt, dass es unmoglich ist, einen vollstandigen und gleichzeitig ausfUhrlichen Uberblick iiber die fachdidaktische Forschung und ihre Ergebnisse in Bezug auf die Stochastik zu geben. Zum Schluss bleibt noch die angenehme Ptlicht, all jenen zu danken, die zur Entstehung dieses Buches beigetragen haben. Insbesondere danken wir den Professoren Joachim Bentz, Wilfried Herget und Michael Kolonko und den Studienraten Lutz Breidert, Joa chim Haase und Gerd Hinrichs fUr ihre Durchsicht und wertvollen Hinweise. Fiir den "Wiener Teil" haben in kompetenter, engagierter und geduldiger Weise (der Zweitautor hat immer wieder etwas gefunden oder andern wollen) Frau Gudrun Kretzschmar, Frau Cornelia Bauer, Frau Waltraud Lager yom Sekretariat des Institutes fUr Mathematik der Universitat Wien, Frau Eva Kissler [jetzt: Erwin Schrodinger International Institute for Mathematical Physics (ESI)], Frau Erika Klejna und Frau Brigitte Wendelin (beide jetzt: Studienbeihilfenbehorde) die Schreibarbeit geleistet, was bei den Tiicken, die hin und wieder bei dem zugrundeliegenden Textprogramm auftreten, keine einfache Aufgabe gewesen ist. Juli 2002 Akad. Direktor i. R. Dr. H. Wolpers Univ.-Doz. Mag. Dr. Stefan GOtz Universitiit Hildesheim Universitiit Wien InstitutfUr Mathematik und Institut fUr Mathematik Angewandte Informatik Einleitung "Es gibt kein Stricken ohne Wolle" heiBt es, und die im Vergleich zur analytischen oder algebraischen/geometrischen nicht so vertraute stochastische "Wolle" will sorgfaltig abgewickelt werden, urn bei dem Bild zu bleiben. Daher wird im ersten Kapitel der fach systematische Hintergrund in sehr geraffter Form dargestellt. Selbstverstandlich kann und will diese Schilderung kein einschIagiges Lehrbuch ersetzen, dennoch wurde auf eine gewisse Vollstandigkeit, wie sie im Rahmen einer Einfiihrung in die elementare Wahr scheinlichkeitstheorie und Statistik anzustreben ist, geachtet. Dieser fachsystematische Hintergrund beginnt mit dem (mathematischen) Konzept des Wahrscheinlichkeitsraums und der Idee der Zufallsvariablen mit ihren Beschreibungs moglichkeiten (Verteilungen). Die Grenzwertsiitze, welche daran anschlieBen und eine Beziehung zwischen gewissen Verteilungen herstellen, sind i. AUg. schwierig zu bewei sen, ihre Anwendung als Approximationssatze dagegen ist oft einfach. Die wichtigste Konfrontation der Wahrscheinlichkeitstheorie mit der Realitat passiert in der Statistik, die zugehOrige Modellbildung basiert auf Begriffen der beschreibenden Statistik. Dabei erschOpfen sich die zugehOrigen Aktivitaten natiirlich nicht im Berechnen allein, bedeutend erscheint aus heutiger Sicht auch das Erstellen und Interpretieren von graphischen DarsteUungen des zur Verfiigung stehenden Datenmaterials. VIII Vorwort Das Aufstellen von konkreten, quantitativen Modellen geschieht mit Hilfe der aus der Wahrscheinlichkeitstheorie bekannten Verteilungen von Zufallsvariablen. Bine - aus didaktischer Sicht - hochst diffizile Vereinigung der beiden Sichtweisen aus beschrei bender Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie ergibt die beurteilende Statistik. Beim quantitativen Auswerten von Datensatzen und Uberpriifen von Aussagen iiber sie wird im Wesentlichen zwischen dem Schatzen (von Parametern) und dem Testen (von Hypothe sen) unterschieden. Neben dem klassischen Aufbau dieser Verfahren wird auch eine Alternative im Rahmen der Bayes-Statistik vorgestellt. Durch die Geschichte der Stochastik zieht sich als "roter Faden" der Wahrscheinlich keitsrechnung der Wandel des Wahrscheinlichkeitsbegriffs. Von seiner Entstehung auf grund von Fragen, die sich im Zuge der Beschaftigung mit Gliicksspielen ergeben haben bis zu seiner axiomatischen Formulierung ist es ein weiter Weg gewesen. Die Urspriinge der Statistik sind wohl in den Volkszahlungen zu suchen, ihre Methoden haben sich bis heute derart verfeinert, dass sie aus kaum einer Wissenschaft, die in irgendeiner Form mit Empirie zu tun hat, mehr wegzudenken ist. Der letzte Abschnitt des ersten Kapitels ist den Bemiihungen gewidmet, mit Hilfe des Konzeptes der Fundamentalen Ideen ein Curriculum fUr den Stochastikunterricht zu strukturieren und zu entwickeln. Das zweite Kapitel beginnt mit einem historischen Abriss iiber den Stochastikunterricht. Die verschiedenen Ansatze, die sich dabei ergeben haben, bestehen heute z. T. nebenein ander, allerdings sind ihre Auswirkungen auf den konkreten Stochastikunterricht sehr unterschiedlich. GroBe Datenmengen, welche in stochastischen Situationen naturgemaB haufig vorkom men, rufen in natiirlicher Weise zum Einsatz des Computers in jeder Phase der Bearbei tung auf, also von der Datenerfassung iiber die Strukturierung zur Modellbildung und schlieBlich zur Uberpriifung. Routinen kommen in statistischen Verfahren viele vor, ihre DurchfUhrung kann - im Gegensatz zur Interpretation der Ergebnisse oder dem Ziehen von Schliissen daraus - der Computer iibernehmen. Die Simulation von Zufallsexperi men ten ist ebenfalls eine Indikation fUr den Computereinsatz im Stochastikunterricht, konkrete Hinweise auf Programm(paket)e beenden den zweiten Abschnitt dieses Kapi tels. Das stochastische Denken im dritten Abschnitt des zweiten Kapitels bringt uns auf die Frage zuriick, warum die Stochastik im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II keine groBere - namlich die ihr nach heutiger Auffassung zustehende - Rolle spielt. Die Schwierigkeiten, eine richtige Intuition bei der Erfassung von stochastischen Situationen zu entwickeln, sind mannigfach belegt (eine Ausformung davon sind die Paradoxa, die in gewisser Weise sogar typisch fUr dieses Teilgebiet der Mathematik sind, obwohl auch in anderen mathematischen Gebieten welche existieren), und haben die Entwicklung von Theorien des stochastischen Denkens provoziert. Die Intuitionen und Strategien werden an einzelnen konkreten Begriffen der Stochastik diskutiert, Folgerungen fUr den Sto chastikunterricht schlieBen dies en Abschnitt abo Das dritte Kapitel konkretisiert vielfach an hand von Beispielen die Themen, die im ersten Kapitel angesprochen worden sind. Dabei bedeutet "Konkretisieren" das Heruntertransfe rieren mathematischer Inhalte auf schulrelevante Aspekte. Die Realisierung des Grund- Vorwort IX satzes "Vereinfaehen, ohne zu verfalsehen!" ist, wie die Diskussion zeigt, gerade in der Stoehastik mit ihrer starken Anwendungsorientierung nieht einfaeh. Es gibt keinen Ko nigsweg, daher kannen nur einige Varianten aufgezeigt werden. Die Frage "Was maehte ieh in dieser Stunde bzw. mit diesem Beispiel eigentlieh mitteilen?" kann nur mit Hilfe eines soliden Hintergrundwissens beantwortet werden. In diesem Sinne sind die ange fuhrten Themen dieses Kapitels nur Hinweise, spatestens hier setzt eben die individuelle Arbeit jedes/r einzelnen Lehrers/in ein. Der gewahlte Rahmen zeigt, was in einem Sto ehastikunterrieht der Sekundarstufe II alles vorkommen kann (aber natiirlieh nieht zur Ganze muss !), mit ein wenig Ausbliek, was es sonst noch so gibt. Das vierte Kapitel schlieBlich bringt Themen, bei denen meist von konkreten Problem stellungen (auBermathematischer Natur) ausgegangen wird und dann sukzessive Be schreibungsmaglichkeiten und magliche Lasungswege entwiekelt werden. Ein didakti scher Kommentar bzw. ein didaktisehes Resiimee als Hilfestellung zur Einordnung dieser nicht unbedingt gangigen Stoffgebiete beschlieBt jeden Abschnitt in diesem Kapitel. Neben der Problemorientierung ist der Anwendungscharakter ein weiteres Auswahlkrite rium fur die behandelten Themen dieses Kapitels gewesen, ganz in dem Sinne, wie sich die moderne Mathematik und ihre Vertreter bzw. Vertreterinnen heute vielfaeh prasentie reno An einzelnen Stellen des in Rede stehenden Kapitels werden aueh Vernetzungen der Stochastik mit der Analysis bzw. mit der Linearen Algebra deutlieh, neben den spezifi schen Gesichtspunkten des stoehastisehen Denkens gehart das Aufzeigen dieser Zusam menhange unbedingt zu einem ergiebigen Stoehastikunterrieht (wobei diese Querverbin dungen natiirlich auch an ganz anderen Beispielen demonstriert werden kannen). x Inhaltsverzeichnis Inhaltverzeichnis TeiliV DIDAKTIK DER STOCHASTIK 1 Fachlicher Hintergrund und historische Entwicklung ......... 1 1.1 Fachlicher Hintergrund ...................................................................... 1 1.1.1 Wahrscheinlichkeitsraum ..................................................................... 1 1.1.1.1 Ereignisalgebra .................................................................................... 2 1.1.1.2 WahrscheinlichkeitsmaB ...................................................................... 3 1.1.1.3 Verkntipfungen von Wahrscheinlichkeiten .......................................... 6 1.1.1.3.1 Additionssatze ...................................................................................... 6 1.1.1.3.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit ............................................................... 7 1.1.1.3.3 Multiplikationssatz ............................................................................... 9 1.1.1.3.4 Satz von der totalen W ahrscheinlichkeit.. .......................................... 10 1.1.1.3.5 Unabhangigkeit .................................................................................. 10 1.1.1.3.6 Bayes-Regel ....................................................................................... 12 1.1.1.3.7 Produktraume ..................................................................................... 14 1.1.2 Zufallsvariable, Verteilungen, Momente ........................................... 15 1.1.2.1 Zufallsvariablen, Verteilungen ........................................................... 15 1.1.2.1.1 Diskrete Verteilungen ........................................................................ 15 1.1.2.1.2 Stetige Verteilungen ........................................................................... 16 1.1.2.2 Erwartungswert, Varianz (Standardabweichung) ............................... 17 1.1.2.2.1 Erwartungswert .................................................................................. 17 1.1.2.2.2 Varianz, Standardabweichung ............................................................ 19 1.1.3 Spezielle Verteilungen ....................................................................... 20 1.1.3.1 Gleichverteilung ................................................................................. 20 1.1.3.2 Binomialverteilung ............................................................................ 20 1.1.3.3 Geometrische Verteilung ................................................................... 22 1.1.3.4 Hypergeometrische Verteilung .......................................................... 23 1.1.3.5 Poisson-Verteilung ............................................................................ 24 1.1.3.6 Normalverteilung ............................................................................... 25 1.1.3.7 Exponentialverteilung ........................................................................ 26 1.1.4 Gesetze der groBen Zahlen und GrenzwertsiHze ................................ 27 1.1.4.1 Ungleichung von Tschebyscheff ........................................................ 27 1.1.4.2 Schwaches Gesetz der groBen Zahlen ................................................ 28 1.1.4.3 Grenzwertsatze von de Moivre und Laplace ...................................... 29 1.1.4.4 Zentraler Grenzwertsatz ..................................................................... 30 1.1.4.5 Oberblick tiber die moglichen Approximationen ............................... 31 1.2 Modellbildung in der Stochastik ..................................................... 32 1.2.1 Datenerfassung und -strukturierung ................................................... 32 1.2.2 Beschreibende Statistik ...................................................................... 32