Steffen Goebbels Stefan Ritter Mathematik verstehen und anwenden von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation 3. Auflage Mathematik verstehen und anwenden – von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation Steffen Goebbels · Stefan Ritter Mathematik verstehen und anwenden – von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation 3., überarbeitete und erweiterte Auflage Steffen Goebbels Stefan Ritter Fachbereich Elektrotechnik und Informatik Fakultät für Elektro- und Informationstechnik Hochschule Niederrhein Hochschule Karlsruhe Krefeld, Deutschland Karlsruhe, Deutschland ISBN 978-3-662-57393-8 ISBN 978-3-662-57394-5 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-57394-5 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detail- lierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum 1.Aufl.: © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011 2. und 3.Aufl.: © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2013, 2018 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Verantwortlich im Verlag: Andreas Rüdinger Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany Vorwort zur ersten Auflage Sie halten ein weiteres Buch in den H¨anden, das in die H¨ohere Mathematik einfu¨hrt. Falls Sie es nicht schon gekauft oder ausgeliehen haben, wu¨rden wir uns freuen, wenn Sieest¨aten.KeineSorge–reichmachenSieunsdamitnicht(insbesonderedannnicht, wennSieesnurausleihen).AbervielleichthilftesIhnenbeimEinstieginsStudiumund sp¨ater als Nachschlagewerk. Es gibt viele und manche sehr gute Bu¨cher u¨ber H¨ohere Mathematik. Einige davon sind im Literaturverzeichnis aufgelistet. Wir maßen uns nicht an zu sagen, dass unseres besser ist. Wir freuen uns auch, wenn Sie es nur als Zweitbuch ausw¨ahlen. Was das Buch von einigen anderen Werken unterscheidet, ist die Bandbreite. Da es aus dem Unterricht in den Bachelor-Studieng¨angen Maschinen- bau,ElektrotechnikundMechatronikanderHochschuleKarlsruheundderHochschule Niederrhein entstanden ist, beru¨cksichtigt es die Einstiegsschwierigkeiten von Studie- renden mit lu¨ckenhaften Vorkenntnissen und motiviert die Inhalte mit praktischen Beispielen aus den Ingenieurf¨achern. Geh¨oren Sie zu dieser Gruppe, dann lassen Sie beimLesendieausfu¨hrlichenBeweisezun¨achstaus.WennSietieferindieMathematik einsteigen wollen (oder mu¨ssen) und Sie die Verfahren wirklich verstehen wollen, fin- denSieu¨berdiekommentiertenBeweisehinauseinreichhaltigesAngebot.Themen,die u¨bereinMinimalprogramm(dasdasU¨berlebenimStudiumsicherstellt)hinausgehen, sind mit einem Stern (∗) gekennzeichnet. Einige dieser Inhalte sind mathematischer Natur, andere stellen einen Bezug zu Anwendungen aus der Technik her. Studieren Sie eine Naturwissenschaft, so sehen Sie hier, wofu¨r man die Mathematik praktisch ben¨otigt. Daru¨ber hinaus bieten die K¨asten noch zus¨atzliche Hintergrundinformatio- nen und weiteres Material zur Vertiefung des Stoffs. Im ersten Kapitel werden Grundlagen wie Logik, Mengenlehre und Zahlen auf dem Niveau eines Mathematik-Vorkurses behandelt. Auch wenn Sie gute Vorkenntnisse haben, sollten Sie dieses Kapitel als Erstes durchbl¨attern. Unserer Erfahrung nach werden hier die meisten Klausurfehler gemacht. Vielleicht sind auch einige Themen wie komplexe Zahlen oder Determinanten neu fu¨r Sie. Danach k¨onnen Sie entweder mit der Analysis in Kapitel 2 oder mit der Linearen Algebra in Kapitel 3 weitermachen. Die Analysis besch¨aftigt sich mit Grenzwerten, ku¨mmert sich also um das unendlich Kleine und Große. Dazu geh¨ort insbesondere die Differenzial- und Integralrechnung (Umgang mit momentanen A¨nderungen). Die Lineare Algebra ben¨otigt man z.B. beim L¨osen von linearen Gleichungssystemen, wie sie beispielsweise bei der Berechnung von Spannungen und Str¨omen in elektrischen Netzwerken auftreten. Die weiteren Kapitel sind u¨berwiegend unabh¨angig voneinander, setzen aber die S¨atze der Analysis aus Kapitel 2 und einige Aussagen der Linearen Algebra aus Ka- pitel 3 voraus. Diese Abschnitte lesen sich natu¨rlich am leichtesten der vorgegebenen Nummerierungfolgend.InKapitel4erweiternwirdieAnalysisausKapitel2aufFunk- vi Vorwort tionen mit mehreren Variablen, wie sie in unserer dreidimensionalen Welt auftreten. VieleZusammenh¨angeinderNaturbeschreibenVer¨anderungenundlassensichalsDif- ferenzialgleichungen modellieren. Dazu sehen wir uns in Kapitel 5 einige ausgew¨ahlte L¨osungsverfahren an. Die Fourier-Analysis nimmt aufgrund ihrer praktischen Bedeu- tung mit Kapitel 6 einen breiten Raum ein. Hier zerlegt man eine Schwingung in die einzelnen Frequenzen, aus denen sie zusammengesetzt ist. Das Buch schließt in Kapi- tel 7 mit einer kurzen Einfu¨hrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, die man beispielsweise bei Simulationen, in der digitalen Signalverarbeitung und im Qualit¨atsmanagement ben¨otigt. Vorwort zur dritten Auflage NachdemwirinderzweitenAuflageinsbesonderedieKapitelzurFourier-Analysisund schließenden Statistik erweitert haben, wurde jetzt der Umfang des Buchs den Anre- gungen von Lesern folgend erheblich erweitert. Fu¨r einige neue Abbildungen haben wir Geobasisdaten der Kommunen und des Landes NRW verwendet, die im Rahmen einer Open-Data-Initiative bei GeoBasis NRW kostenlos bezogen werden k¨onnen. Zu jedem Kapitel finden Sie eine Aufgabensammlung. Die L¨osungen sowie Korrek- turenzudenbislangerschienenenAuflagenstehenaufderInternetseitezumBuchzur Verfu¨gung: http://www.springer.com/978-3-662-57393-8 Dank Wir m¨ochten unseren Mitarbeitern und Kollegen in Karlsruhe und Krefeld danken, die uns bei der Erstellung des Buchs unterstu¨tzt haben. Ebenso bedanken wir uns bei vielen Studierenden und Tutoren fu¨r ihre Anregungen und konstruktive Kritik. Besonderer Dank gilt M.Eng. Michael Gref, Prof. Dr. Knut Schumacher, Prof. Dr. Roland Hoffmann, Prof. Dr. Johannes Blanke Bohne, Prof. Dr. Pohle-Fr¨ohlich, Prof. Dr.ChristophDalitz,Prof.Dr.JochenRethmann,Prof.Dr.PeerUeberholz,Prof.Dr. KarlheinzSchu¨ffler,Dipl.-Ing.RalphRadmacher,Dipl.-Ing.GuidoJanßensowieProf. Dr.LorensImhofundnichtzuletztunserenLehrernProf.Dr.RolfJoachimNesselund Prof. Dr. Erich Martensen. Wir haben eine Fu¨lle von Beispielen verwendet, die sich im Laufe der Jahre ange- sammelt haben undderen Ursprungnichtimmer nachvollziehbarwar.Sollten wir hier Autoren unwissentlich zitieren, m¨ochten wir uns dafu¨r entschuldigen. Zum Schluss m¨ochten wir uns noch ganz besonders bei Herrn Dr. Ru¨dinger und Frau Lu¨hker vom Springer-Verlag fu¨r die engagierte Unterstu¨tzung des Buchprojekts bedanken. Inhaltsverzeichnis Vorwort .............................................................. v 1 Grundlagen ..................................................... 1 1.1 Mengenlehre...................................................... 1 1.1.1 Mengenbegriff............................................... 2 1.1.2 Mengenoperationen.......................................... 4 1.1.3 Abbildungen................................................ 7 1.2 Logik ............................................................ 12 1.2.1 Aussagenlogik............................................... 12 1.2.2 Pr¨adikatenlogik ............................................. 18 1.2.3 Beweise .................................................... 23 1.3 Reelle Zahlen ..................................................... 25 1.3.1 Natu¨rliche und ganze Zahlen.................................. 25 1.3.2 Rationale Zahlen ............................................ 34 1.3.3 Reelle Zahlen ............................................... 44 1.4 Rechnen mit reellen Zahlen......................................... 55 1.4.1 Potenzen und Wurzeln ....................................... 55 1.4.2 Summen und Produkte, Binomischer Lehrsatz................... 57 1.4.3 Betr¨age und Ungleichungen................................... 65 1.4.4 U¨ber das L¨osen von Gleichungen und Ungleichungen............. 71 1.5 Reelle Funktionen ................................................. 77 1.5.1 Notation reeller Funktionen................................... 77 1.5.2 Eigenschaften von reellen Funktionen .......................... 80 1.5.3 Umkehrfunktion............................................. 85 1.5.4 Verkettung von Funktionen ................................... 87 1.5.5 Signum- und Betragsfunktion ................................. 89 1.5.6 Polynome und gebrochen-rationale Funktionen .................. 90 1.5.7 Potenz- und Wurzelfunktionen ................................ 101 1.5.8 Exponentialfunktionen und Logarithmen ....................... 102 1.5.9 Trigonometrische Funktionen ................................. 112 1.5.10 Hyperbel- und Areafunktionen ................................ 128 1.6 Komplexe Zahlen ................................................. 131 1.6.1 Erweiterung der reellen Zahlen um eine imagin¨are Einheit ........ 132 1.6.2 Komplexe Arithmetik ........................................ 133 1.6.3 Die Gauß’sche Zahlenebene ................................... 135 1.6.4 Euler’sche Gleichung und Polarform komplexer Zahlen ........... 138 1.6.5 Komplexe Wechselstromrechnung∗ ............................ 144 1.6.6 Fundamentalsatz der Algebra ................................. 147 1.7 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen............................. 152 viii Inhaltsverzeichnis 1.7.1 Lineare Gleichungssysteme.................................... 152 1.7.2 Matrizen, Zeilen- und Spaltenvektoren ......................... 154 1.7.3 L¨osen linearer Gleichungssysteme.............................. 161 1.7.4 Inverse Matrix und transponierte Matrix ....................... 168 1.7.5 Symmetrische und orthogonale Matrizen ....................... 173 1.7.6 Dreiecksmatrizen, Bandmatrizen und LR-Zerlegung∗............. 176 1.8 Determinanten.................................................... 181 1.8.1 Definition und elementare Eigenschaften von Determinanten ...... 182 1.8.2 Determinanten und lineare Gleichungssysteme................... 193 1.9 Aufgaben ........................................................ 199 2 Differenzial- und Integralrechnung .............................. 211 2.1 Folgen ........................................................... 211 2.1.1 Definition und Grundbegriffe von Folgen ....................... 212 2.1.2 Konvergenz und Divergenz von Folgen ......................... 216 2.1.3 Rechnen mit konvergenten Folgen ............................. 220 2.1.4 Konvergenzkriterien ......................................... 223 2.1.5 Die Euler’sche Zahl e als Grenzwert von Folgen ................. 226 2.1.6 Approximation reeller Potenzen ............................... 228 2.1.7 Bestimmte Divergenz ........................................ 229 2.1.8 H¨aufungspunkte einer Folge∗ ................................. 232 2.1.9 Folgenkompaktheit und Cauchy-Folgen∗........................ 232 2.2 Zahlen-Reihen .................................................... 236 2.2.1 Definition und Konvergenz einer Reihe ......................... 237 2.2.2 Rechnen mit konvergenten Reihen ............................. 240 2.2.3 Alternativen zur Definition der Reihenkonvergenz................ 241 2.2.4 Absolute Konvergenz ........................................ 243 2.2.5 Konvergenzkriterien fu¨r Reihen................................ 245 2.3 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit ........................... 255 2.3.1 Umgebungen und U¨berdeckungen ............................. 255 2.3.2 Grenzwerte von Funktionen................................... 257 2.3.3 Stetigkeit................................................... 270 2.3.4 Eigenschaften stetiger Funktionen ............................. 278 2.3.5 Unstetigkeitsstellen .......................................... 285 2.4 Differenzierbarkeit und Ableitungen ................................. 288 2.4.1 Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten .............. 289 2.4.2 Ableitungsregeln ............................................ 295 2.4.3 Newton-Verfahren ........................................... 305 2.4.4 Das Differenzial ............................................. 307 2.4.5 H¨ohere Ableitungen.......................................... 310 2.5 Zentrale S¨atze der Differenzialrechnung .............................. 314 Inhaltsverzeichnis ix 2.5.1 Satz von Fermat: notwendige Bedingung fu¨r lokale Extrema....... 314 2.5.2 Mittelwerts¨atze der Differenzialrechnung ....................... 315 2.5.3 Regeln von L’Hospital........................................ 322 2.6 Integralrechnung .................................................. 328 2.6.1 Definition des Integrals....................................... 329 2.6.2 Eigenschaften des Integrals ................................... 334 2.6.3 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ................ 339 2.6.4 Rechenregeln zur Integration.................................. 343 2.6.5 Numerische Integration....................................... 359 2.6.6 Uneigentliche Integrale ....................................... 362 2.6.7 Volumen und Fl¨achen........................................ 369 2.6.8 Lebesgue-Integral∗ .......................................... 373 2.7 Satz von Taylor, Kurvendiskussion und Extremalprobleme.............. 382 2.7.1 Taylor-Summen ............................................. 382 2.7.2 Kurvendiskussion und Extremalprobleme ....................... 387 2.8 Potenzreihen ..................................................... 398 2.8.1 Unendliche Taylor-Summen und Potenzreihen................... 398 2.8.2 Einschub: Funktionenfolgen∗.................................. 402 2.8.3 Konvergenz von Potenzreihen ................................. 411 2.8.4 Differenziation und Integration von Potenzreihen ................ 415 2.8.5 Der Zusammenhang zwischen Potenzreihen und Taylor-Reihen .... 417 2.8.6 Die komplexe Exponentialfunktion............................. 418 2.9 Aufgaben ........................................................ 420 3 Lineare Algebra................................................. 427 3.1 Vektoren in der Ebene und im Raum ................................ 427 3.1.1 Vektoren: Grundbegriffe und elementare Rechenregeln............ 427 3.1.2 Skalarprodukt und Orthogonalit¨at ............................. 435 3.1.3 Vektorprodukt und Spatprodukt .............................. 442 3.1.4 Anwendungen des Skalar-, Vektor- und Spatprodukts ............ 450 3.2 Analytische Geometrie............................................. 452 3.2.1 Geraden in der Ebene und im Raum ........................... 453 3.2.2 Ebenen im Raum............................................ 460 3.3 Vektorr¨aume ..................................................... 466 3.3.1 Definition des Vektorraums ................................... 467 3.3.2 Lineare Unabh¨angigkeit, Basis und Dimension .................. 474 3.3.3 Skalarprodukt und Norm ..................................... 483 3.3.4 Orthogonalit¨at, Orthogonal- und Orthonormalsysteme ........... 488 3.4 Lineare Abbildungen .............................................. 500 3.4.1 Lineare Abbildungen und Matrizen ............................ 500 3.4.2 Summe, skalares Vielfaches und Verkettung linearer Abbildungen.. 506 x Inhaltsverzeichnis 3.4.3 Kern und Bild einer linearen Abbildung, Dimensionssatz ......... 508 3.4.4 Umkehrabbildung und inverse Matrix .......................... 515 3.4.5 Koordinaten- und Basistransformationen∗ ...................... 517 3.5 L¨osungstheorie linearer Gleichungssysteme ........................... 521 3.5.1 L¨osungsraum eines linearen Gleichungssystems .................. 523 3.5.2 Berechnung von linearen elektrischen Netzwerken∗ .............. 529 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren ...................................... 537 3.6.1 Eigenwerte und Eigenvektoren ................................ 538 3.6.2 Diagonalisierung von Matrizen∗ ............................... 548 3.6.3 Hauptvektoren und Jordan-Normalform∗....................... 552 3.7 Normierte Vektorr¨aume: Lineare Algebra trifft Analysis∗............... 557 3.7.1 Norm ...................................................... 557 3.7.2 Banach- und Hilbert-R¨aume .................................. 560 3.7.3 Lp-R¨aume.................................................. 562 3.7.4 Stetige Abbildungen zwischen normierten Vektorr¨aumen.......... 566 3.7.5 Einige zentrale S¨atze der Funktionalanalysis .................... 577 3.7.6 Sobolev-R¨aume ............................................. 584 3.8 Aufgaben ........................................................ 585 4 Funktionen mit mehreren Variablen ............................ 589 4.1 Grenzwerte und Stetigkeit.......................................... 592 4.2 Ableitungen von reellwertigen Funktionen mit mehreren Variablen....... 597 4.2.1 Ableitungsbegriffe ........................................... 597 4.2.2 Implizite Differenziation und implizite Funktion ................. 609 4.2.3 H¨ohere Ableitungen.......................................... 610 4.2.4 Fehlerrechnung∗ ............................................ 614 4.3 Extremwertrechnung............................................... 617 4.3.1 Lokale und globale Extrema .................................. 618 4.3.2 Extrema unter Nebenbedingungen∗............................ 631 4.3.3 Lineare Optimierung∗ ....................................... 638 4.4 Integralrechnung mit mehreren Variablen............................. 649 4.4.1 Integration u¨ber mehrdimensionale Intervalle.................... 649 4.4.2 Integration u¨ber Normalbereiche .............................. 657 4.4.3 Substitutionsregel ........................................... 661 4.4.4 Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten ........................ 663 4.4.5 Lebesgue-Integral, Lp- und Sobolev-R¨aume∗.................... 668 4.5 Vektoranalysis .................................................... 672 4.5.1 Vektorfelder ................................................ 673 4.5.2 Kurven..................................................... 674 4.5.3 Quellen, Senken und Wirbel in Vektorfeldern.................... 678 4.5.4 Kurvenintegrale ............................................. 680