Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Die drei Bände Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler werden durch eine Formelsammlung, ein Buch mit Klausur- und Übungs- aufgaben sowie ein Buch mit Anwendungsbeispielen zu einem Lehr- und Lernsystem ergänzt: Lothar Papula Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler Mit zahlreichen Abbildungen und Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Klausur- und Übungsaufgaben Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele Aufgabenstellungen aus Naturwissenschaft und Technik mit ausführlichen Lösungen www.viewegteubner.de Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium 12., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 609 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 352 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen STUDIUM Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. 1. Auflage 1983 2.,durchgesehene Auflage 1984 3.,durchgesehene Auflage 1986 4.,durchgesehene und erweiterte Auflage 1988 5.,verbesserte Auflage 1990 6.,verbesserte Auflage 1991 7., überarbeitete und erweiterte Auflage 1996 8.,verbesserte Auflage 1998 9.,verbesserte Auflage 2000 10.,erweiterte Auflage Oktober 2001 11., verbesserte und erweiterte Auflage 2007 unveränderter Nachdruck 2008 12.,überarbeitete und erweiterte Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner|GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Technische Redaktion: Gabriele McLemore, Wiesbaden Satz: Druckhaus Thomas Müntzer, Bad Langensalza Bilder: Graphik & Text Studio, Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tˇeˇsínská Tiskárna, a.s.,Tschechien Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Czech Republic ISBN 978-3-8348-0545-4 V Vorwort Das dreiba¨ndige Werk Mathematik fu¨r Ingenieure und Naturwissenschaftler ist ein Lehr- und Arbeitsbuch fu¨r das Grund- und Hauptstudium der naturwissenschaftlich-tech- nischen Disziplinen im Hochschulbereich. Es wird durch eine mathematische Formel- sammlung, einen Klausurentrainer und ein Buch mit Anwendungsbeispielen zu ei- nem kompakten Lehr- und Lernsystem erga¨nzt. Die Ba¨nde 1 und 2 lassen sich dem Grundstudium zuordnen, wa¨hrend der dritte Band spezielle Themen u¨berwiegend aus dem Hauptstudium behandelt. Zur Stoffauswahl des ersten Bandes Die Erfahrungen der letzten Jahre zeigen, dass die Studienanfa¨nger nach wie vor u¨ber sehr unterschiedliche und in der Regel nicht ausreichende mathematische Grundkennt- nisse verfu¨gen. Insbesondere in der Algebra bestehen große Defizite. Die Gru¨nde hierfu¨r liegen u.a. in der Verlagerung der Schwerpunkte in der Schulmathematik und der Ab- wahl des Faches Mathematik als Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe. Ein naht- loser und erfolgreicher (cid:2)bergang von der Schule zur Hochschule ist daher ohne zusa¨tz- liche Hilfen kaum mo¨glich. Dieser erste Band des Lehr- und Lernsystems leistet die dringend beno¨tigte „Hilfestellung“ durch Einbeziehung bestimmter Gebiete der Elemen- tarmathematik in das Grundstudium und schafft somit die Voraussetzung fu¨r eine tragfa¨- hige Verbindung („Bru¨cke“) zwischen Schule und Hochschule, ein Konzept, das sich bereits in der Vergangenheit bestens bewa¨hrt hat und deshalb konsequent beibehalten wurde. Im vorliegenden ersten Band werden die folgenden Stoffgebiete behandelt: (cid:2) Allgemeine Grundlagen (u.a. Gleichungen und Ungleichungen, lineare Gleichungs- systeme, binomischer Lehrsatz) (cid:2) Vektoralgebra (zuna¨chst in der anschaulichen Ebene und dann im Raum) (cid:2) Funktionen und Kurven (als wichtigste Grundlage fu¨r die Differential- und Integral- rechnung) (cid:2) Differentialrechnung} (mit zahlreichen Anwendungen aus Naturwissenschaft zffl (cid:2) Integralrechnung |ffl{ und Technik) (cid:2) Potenzreihenentwicklungen (Mac Laurinsche und Taylorsche Reihen) (cid:2) Komplexe Zahlen und Funktionen Eine (cid:2)bersicht u¨ber die Inhalte der Ba¨nde 2 und 3 erfolgt im Anschluss an das Inhalts- verzeichnis. VI Vorwort Zur Darstellung des Stoffes Bei der Darstellung der mathematischen Stoffgebiete wurde von den folgenden (cid:2)berle- gungen ausgegangen: (cid:2) Mathematische Methoden spielen zwar in den naturwissenschaftlich-technischen Dis- ziplinen eine bedeutende Rolle, bleiben jedoch in erster Linie ein (unverzichtbares) Hilfsmittel. (cid:2) Aufgrund der vera¨nderten Eingangsvoraussetzungen und der damit verbundenen Defi- zite sollte der Studienanfa¨nger nicht u¨berfordert werden. Es wurde daher eine anschauliche, anwendungsorientierte und leicht versta¨ndliche Dar- stellungsform des mathematischen Stoffes gewa¨hlt. Begriffe, Zusammenha¨nge, Sa¨tze und Formeln werden durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und an- hand vieler Abbildungen na¨her erla¨utert. Einen wesentlichen Bestandteil dieses Werkes bilden die (cid:2)bungsaufgaben am Ende eines jeden Kapitels (nach Abschnitten geordnet). Sie dienen zum Einu¨ben und Vertiefen des Stoffes. Die im Anhang dargestellten (und zum Teil ausfu¨hrlich kommentierten) Lo¨sungen ermo¨glichen dem Leser eine sta¨ndige Selbstkontrolle. Mit der Verbesserung von Bildern wurden die Beispiele noch versta¨ndlicher und opti- miert. Dazu za¨hlen auch zusa¨tzlich aufgenommene Beispiele im Kapitel Potenzreihenent- wicklung. Zur a¨ußeren Form Zentrale Inhalte wie Definitionen, Sa¨tze, Formeln, Tabellen, Zusammenfassungen und Beispiele sind besonders hervorgehoben: (cid:2) Definitionen, Sa¨tze, Formeln, Tabellen und Zusammenfassungen sind gerahmt und grau unterlegt. (cid:2) Anfang und Ende von Beispielen sind durch das Symbol & gekennzeichnet. Bei der (bildlichen) Darstellung von Fla¨chen und ra¨umlichen Ko¨rpern wurden Grau- raster unterschiedlicher Helligkeit verwendet, um besonders anschauliche und aussage- kra¨ftige Bilder zu erhalten. Zum Einsatz von Computeralgebra-Programmen In zunehmendem Maße werden leistungsfa¨hige Computeralgebra-Programme wie z.B. MATLAB, MAPLE, MATHCAD oder MATHEMATICA bei der mathematischen Lo¨- sung naturwissenschaftlich-technischer Probleme in Praxis und Wissenschaft erfolgreich eingesetzt. Solche Programme ko¨nnen bereits im Grundstudium ein nu¨tzliches und sinn- volles Hilfsmittel sein und so z.B. als eine Art „Kontrollinstanz“ beim Lo¨sen von (cid:2)bungsaufgaben verwendet werden ((cid:2)berpru¨fung der von Hand ermittelten Lo¨sungen mit Hilfe eines Computeralgebra-Programms auf einem PC). Die meisten der in diesem Werk gestellten Aufgaben lassen sich auf diese Weise problemlos lo¨sen. Vorwort VII Vera¨nderungen gegenu¨ber der 11. Auflage Der vorliegende Band wurde vollsta¨ndig u¨berarbeitet und erweitert. Neu aufgenommen wurde ein Kapitel u¨ber Komplexe Zahlen und Funktionen (bisher in Band 2). Eine Bitte des Autors Fu¨r Hinweise und Anregungen – insbesondere auch aus dem Kreis der Studentenschaft – bin ich stets sehr dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe fu¨r die permanente Verbesserung dieses Lehrwerkes. Ein Wort des Dankes . . . ... an alle Fachkollegen und Studenten, die durch Anregungen und Hinweise zur Ver- besserung dieses Werkes beigetragen haben, ... an die Mitarbeiter des Verlages, ganz besonders aber an Frau Gabriele McLemore und Herrn Thomas Zipsner, fu¨r die hervorragende Zusammenarbeit wa¨hrend der Entste- hung und Drucklegung dieses Werkes, ... an Frau Schulz vom Druck- und Satzhaus „Thomas Mu¨ntzer“ fu¨r den ausgezeichne- ten mathematischen Satz. Wiesbaden, im Fru¨hjahr 2009 Lothar Papula IX Inhaltsverzeichnis I Allgemeine Grundlagen......................................... 1 1 Einige grundlegende Begriffe u¨ber Mengen ............................ 1 1.1 Definition und Darstellung einer Menge.............................. 1 1.2 Mengenoperationen............................................... 3 2 Die Menge der reellen Zahlen ........................................ 6 2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften ................. 6 2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag ......................... 7 2.3 Teilmengen und Intervalle ......................................... 8 3 Gleichungen........................................................ 9 3.1 Lineare Gleichungen.............................................. 10 3.2 Quadratische Gleichungen ......................................... 10 3.3 Gleichungen 3. und ho¨heren Grades ................................. 11 3.3.1 Allgemeine Vorbetrachtung ................................... 11 3.3.2 KubischeGleichungenvomspeziellenTyp ax3 þ bx2 þ cx ¼ 0 .. 12 3.3.3 Bi-quadratische Gleichungen .................................. 12 3.4 Wurzelgleichungen ............................................... 13 3.5 Betragsgleichungen ............................................... 15 3.5.1 Definition der Betragsfunktion ................................ 15 3.5.2 Analytische Lo¨sung einer Betragsgleichung durch Fallunterscheidung (Beispiel).................................. 18 3.5.3 Lo¨sung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege (Beispiel) .................................................. 19 4 Ungleichungen ..................................................... 20 5 Lineare Gleichungssysteme........................................... 23 5.1 Ein einfu¨hrendes Beispiel ......................................... 23 5.2 Der Gaußsche Algorithmus ........................................ 26 5.3 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes ..... 35 6 Der Binomische Lehrsatz ............................................ 37 (cid:2)bungsaufgaben ...................................................... 41 Zu Abschnitt 1 und 2 ................................................ 41 Zu Abschnitt 3 ...................................................... 41 X Inhaltsverzeichnis Zu Abschnitt 4 ...................................................... 42 Zu Abschnitt 5 ...................................................... 42 Zu Abschnitt 6 ...................................................... 44 II Vektoralgebra .................................................. 45 1 Grundbegriffe ...................................................... 45 1.1 Definition eines Vektors ........................................... 45 1.2 Gleichheit von Vektoren ........................................... 46 1.3 Parallele, anti-parallele und kollineare Vektoren ....................... 47 1.4 Vektoroperationen ................................................ 48 1.4.1 Additionvon Vektoren ....................................... 49 1.4.2 Subtraktionvon Vektoren..................................... 51 1.4.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ................... 52 2 Vektorrechnung in der Ebene ........................................ 54 2.1 Komponentendarstellung eines Vektors............................... 54 2.2 Darstellung der Vektoroperationen .................................. 58 2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ................... 58 2.2.2 Addition und Subtraktionvon Vektoren ......................... 59 2.3 Skalarprodukt zweier Vektoren ..................................... 61 2.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes ................ 61 2.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren ............................... 64 2.4 Linear unabha¨ngige Vektoren ...................................... 67 2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Resultierende eines ebenen Kra¨ftesystems ...... 69 3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum ............................ 71 3.1 Komponentendarstellung eines Vektors............................... 72 3.2 Darstellung der Vektoroperationen .................................. 75 3.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ................... 75 3.2.2 Addition und Subtraktionvon Vektoren ......................... 77 3.3 Skalarprodukt zweier Vektoren ..................................... 79 3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes ................ 79 3.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren ............................... 82 3.3.3 Richtungswinkel eines Vektors ................................ 83 3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor ................ 85 3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft ..................... 88 3.4 Vektorprodukt zweier Vektoren ..................................... 90 3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes ................ 90 3.4.2 Anwendungsbeispiele ........................................ 96 3.4.2.1 Drehmoment (Moment einer Kraft) ...................... 96 3.4.2.2 Bewegung von Ladungstra¨gern in einem Magnetfeld (Lorentz-Kraft) ...................................... 97 3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt) ................................... 98 3.6 Linear unabha¨ngige Vektoren....................................... 102