Peter Grobstich, Gerhard Strey Mathematik fur Bauingenieure Peter Grobstich, Gerhard Strey Mathematik für Bauingenieure Grundlagen, Verfahren und Anwendungen mit Mathcad Im Teubner Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. Nach dem Studium der Mathematik und Physik und seiner Aspirantur am Mathematischen Institut der Universität Rostock promovierte Prof. Dr. rer. nat. Peter Grobstich auf dem Gebiet der Eigenwert probleme. Es folgte seine Tätigkeit als Mathematikdozent an der Ingenieurschule in Neustrelitz Seit 1991 Professur für Mathematik und Informatik im Fachbereich Bauingenieur-und Vermessungswesen an der Fachhochschule Neubrandenburg. Internet: http://www.fh-nb.de/ Email: [email protected] Fachschuldozent Gerhard Strey trat nach seinem Studium an der Pädagogischen Hochschule Potsdam in den Schuldienst als Oberstufenlehrer für Mathematik, Physik und Astronomie. Anschließend war er als Problemanalytiker beschäftigt und leitete die Abteilung Forschung des Re chenzentrums Neubrandenburg. Nach seiner weiteren Lehrtätigkeit für Mathematik, Physik, Kyberne tik und Rechentechnik an den Ingenieurschulen in Neustrelitz arbeitete er bis 2002 als Mitarbeiter für Ingenieurmathematik und -informatik im Fachbereich Bauingenieur- und Vermessungswesen an der Fachhochschule Neubrandenburg. Internet: http://www.fh-nb.de/ 1. Auflage März 2004 Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden 2004 Ursprünglich erschienen bei B. G. Teubner Verlag I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004 DerB. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www. teubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Ver lags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzun gen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Additional material to this book can be downloaded from http://extras.springer.com ISBN 978-3-519-00430-1 ISBN 978-3-322-80051-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-80051-0 Vorwort Der Inhalt dieses Buches ist so konzipiert, dass die mathematischen Grundlagen, nurnerischen Verfahren und Algorithmen eng mit ingenieurtechnischen Anwendungen verkniipft sind. Dieser iibergreifende Charakter bietet sowohl Studenten als auch Praktikem des Bauingenieurwesens und verwandter Fachrichtungen vielfaltige Moglichkeiten der Aneignung, Wiederholung und Vertiefimg fachrelevanter Mathematik, ohne sofort auf spezielle Monographien zuriickgreifen zu miissen. Eine wesentliche Komponente des Buches ist die Demonstration der Moglichkeiten modemer Computeralgebrasysteme fUr die Losung mathematischer und ingenieurtechnischer Probleme. Das hier verwendete System Mathcad ist insbesondere fUr Ingenieure zugeschnitten. Obwohl der Leser dieses System nicht beherrschen muss, urn den Inhalt des Buches zu verstehen, wird er nach eigenen Versuchen dessen Vorteile schnell erkennen. Die beigefiigte CD enthalt eine Sammlung von Mathcad-Arbeitsblattem mit ausfiihrlichen Beispielen zu den einzelnen Kapiteln. Das vorliegende Buch ist aus einem dreisemestrigen Mathematikkurs der klassischen Gebiete Algebra, Analysis, Differentialgleichungen und Elemente der Statistik sowie einem Praktikum mit Mathcad hervorgegangen, die von den Autoren fiir die Studenten des Studienganges Bauingenieurwesen an der Fachhochschule Neubrandenburg gehalten wurden. Hinzugefiigt wurden Themen, die dem Leser weitere Gebiete erschlieJ3en. Wir danken dem Lektorat Bauwesen, insbesondere Frau Koch und Herro Harms, fUr die angenehme und konstruktive Zusammenarbeit sowie dem Teubner Verlag fUr die Aufuahme dieses Buches in das Verlagsangebot. Neubrandenburg, im Januar 2004 Peter Grobstich Gerhard Strey Inhaltsverzeichnis VII Inhaltsverzeichnis o EinfUhrung ................................................................................................................................................... 1 0.1 Zielstellung ............................................................................................................................................ 1 0.2 Erste Schritte in Mathcad ................................................................................................................... 2 0.2.1 Voraussetzungen ......................................................................................................................... 2 0.2.2 Das Arbeitsblatt ........................................................................................................................... 3 0.2.3. Numerische und symbolische Berechnungen ........................................................................ 5 I.Arithmetik ..................................................................................................................................................... 7 1.1 Arithmetik langer Zahlen :. .................................................................................................................. 7 1.1.1 Grundlagen .................................................................................................................................... 7 1.1.2 GroBe Primzahlen .......................................................................................................................... 8 1.1.3 Das RSA -Verfahren ................................................................................................................. 10 1.2 Die komplexen Zahlen ....................................................................................................................... 13 1.2.1 Operationen in arithmetischer Form. ....................................................................................... 14 1.2.2 Operationen in goniometrischer Form .................................................................................... 14 1.3 Grundgesetze der Arithmetik ........................................................................................................... 16 2 Funktionen und Kurven ........................................................................................................................... 17 2.1 Elementare Funktionen ..................................................................................................................... 17 2.2 Kegelschnitte ..................................................................................................................................... 22 2.3 Zykloiden und elliptische Kurven ................................................................................................... 24 2.3.1 Die Zykloiden ............................................................................................................................. 24 2.3.2 Die elliptischen Kurven ............................................................................................................. 25 2.4 Funktionen mit mehreren Bereichen ............................................................................................... 28 2.5 Funktionen mit zwei Variablen ......................................................................................................... 31 3 Gleichungen ............................................................................................................................................... 35 3.1 Ubersicht.. ........................................................................................................................................... 35 3.2 Klassische Verfahren ........................................................................................................................ 36 3.3 Routinen .............................................................................................................................................. 39 3.3.1 Die Routine "nullstellen" .......................................................................................................... 39 3.3.2 Die Routine "auflosen" ............................................................................................................. 40 3.3.3 Die Routine "wurzel" ................................................................................................................. 40 3.3.4 Anwendungen der algebraischen Gleichungen .................................................................... 41 3.4 Transzendente Gleichungen ............................................................................................................ 42 3.4.1 Das grafische Verfahren ............................................................................................................ 42 3.4.2 Niiherungen fUr Losungen ....................................................................................................... 44 3.5 Niiherungsverfahren fUr Gleichungen ............................................................................................ 45 3.5.1 Das Sekanten-Verfahren .......................................................................................................... 45 3.5.2 Das NEWTON-Verfahren ........................................................................................................ 47 3.5.3 Sukzessive Approximation ....................................................................................................... 49 3.6 Eine Anwendung ............................................................................................................................... 51 VIII Inhaltsverzeichnis 3.7 Konstruktion von Vielecken ............................................................................................................ 54 3.7.1 Einfiihrung .................................................................................................................................. 54 3.7.2 Das Verfahren ............................................................................................................................. 56 3.7.3 Die Konstruktion ........................................................................................................................ 59 3.8 Die allgemeine Gleichung 5. Grades ................................................................................................ 60 4 Matrizen, Vektoren, Determinanten. ....................................................................................................... 63 4.1 Matrizen .............................................................................................................................................. 63 4.1.1 Matrizen als unentbehrliches Hilfsmittel.. .............................................................................. 63 4.1.2 Matrizenoperationen ................................................................................................................. 63 4.1.3 Kehrmatrix ................................................................................................................................... 67 4.1.4 Matrizeninversion mittels LU-Faktorisierung ........................................................................ 69 4.1.5 Linearkombinationen, Rang einer Matrix. ............................................................................... 71 4.1.6 Mathcadspezifische Matrizenoperationen. ............................................................................ 71 4.1.6.1 Der Vektorisierungsoperator. ............................................................................................ 71 4.1.6.2 Datenfelder .......................................................................................................................... 72 4.2 Determinanten; Eigenwerte von Matrizen ..................................................................................... 75 4.2.1 Determinanten ............................................................................................................................ 75 4.2.1.1 Definition ............................................................................................................................. 75 4.2.1.2 Eigenschaften. ..................................................................................................................... 77 4.2.2 Eigenwerte von Matrizen .......................................................................................................... 77 4.3 Ebene und riiumliche Vektoren ........................................................................................................ 80 4.3.1 Elementare Eigenschaften. ........................................................................................................ 80 4.3.2 Produkte von Vektoren ............................................................................................................. 84 4.3.2.1 Das Skalarprodukt .............................................................................................................. 84 4.3.2.2 Das Vektorprodukt ............................................................................................................. 85 4.3.2.3 Das Spatprodukt ................................................................................................................. 87 4.3.2.4 Die Regel von CRAMER ..................................................................................................... 89 4.3.3 Ortsvektoren und Koordinatensysteme ................................................................................. 90 4.4 Kriifte und Momente ......................................................................................................................... 93 4.4.1 Kriifte als Vektoren .................................................................................................................... 93 4.4.2 Momente als Vektoren .............................................................................................................. 95 4.5 Transformationen in der Ebene ....................................................................................................... 99 4.5.1 Bewegungen ebener Figuren ................................................................................................... 99 4.5.1.1 Ebene Figuren ..................................................................................................................... 99 4.5.1.2 Lineare Transformationen in der Ebene, Bewegungen ............................................... 100 4.5.1.3 Homogene Koordinaten .................................................................................................. 102 4.5.2 Koordinatentransformationen. ............................................................................................... 103 4.5.3 Hauptachsentransformation. .................................................................................................. 105 4.6 Fliichenmomente; Polygonfliichen. ............................................................................................... 108 4.6.1 Fliichenmomente ...................................................................................................................... 108 4.6.2 Haupttriigheitsmomente als Eigenwerte ............................................................................... 110 4.6.3 Polygonal begrenzte Fliichen ................................................................................................. 113 4.7 Polygone im Raum. .......................................................................................................................... 118 Inhaltsverzeichnis IX 5. Gleichungssysteme ................................................................................................................................ 119 5.1 Lineare Gleichungssysteme ........................................................................................................... 119 5.1.1 Allgemeine Beschreibung. ...................................................................................................... 119 5.1.2 ReguHire Koeffizientenmatrix. ................................................................................................. 120 5.1.3 SinguHire Koeffizientenmatrix. ................................................................................................ 121 5.1.4 Nichtquadratische Koeffizientenmatrix. ................................................................................ 124 5.1.5 Verallgemeinerte inverse Matrizen, GauBsche Normalgleichungen ................................. 126 5.1.6 Schlecht konditionierte GLS ................................................................................................... 129 5.2 Anwendungen in der Statik ........................................................................................................... 132 5.2.1 Stiitzenmomente eines Durchlauftriigers; Dreimomentengleichungen. ........................... 132 5.2.2. Auflage-und Stabkriifte im Fachwerk. ................................................................................. 135 5.3. Nichtlineare Gleichungssysteme .................................................................................................. 141 5.3.1 Allgemeine Beschreibung. ...................................................................................................... 141 5.3.2 Auflosen eines Gleichungssystems mittels Mathcad ........................................................ 142 5.3.3 Niiherungsverfahren ................................................................................................................ 143 5.3.3.1 Das Newton-Verfahren .................................................................................................... 143 5.3.3.2 Das gewohnliche Iterationsverfahren ........................................................................... 146 5.3.3.3 Gradientenverfahren. ........................................................................................................ 148 5.3.4 Numerische Losungsroutinen in Mathcad .......................................................................... 148 5.3.5 Ein Beispiel: AuBermittige Normalkraft ................................................................................. 150 6 Differentialrechnung ............................................................................................................................... 151 6.1 Das Tangentenproblem .................................................................................................................. 151 6.2 Die Ableitungen. .............................................................................................................................. 152 6.3 Kurvenuntersuchung ...................................................................................................................... 155 6.4 Technische Bedeutung von Ableitungen ................................................................................... 157 6.4.1 Zusarnmenhiinge zwischen technischen GroJ3en ................................................................ 157 6.4.2 Die Kriimmung einer Kurve .................................................................................................... 159 6.5 Reihen fiir Funktionen .................................................................................................................... 164 6.6 Partielle Ableitungen ....................................................................................................................... 166 6.6.2 Anwendungen der partiellen Ableitungen .......................................................................... 167 6.6.2.1 Untersuchung von Fliichen ............................................................................................... 167 6.6.2.2 Fehlerrechnung ................................................................................................................... 170 6.7 Funktionaldeterminanten. ............................................................................................................... 171 7 Integralrechnung. .................................................................................................................................... 173 7.1 Unbestimmte Integrale .................................................................................................................... 173 7.1.1 Formale Integrationen ............................................................................................................. 173 7.1.2 Anwendung .............................................................................................................................. 176 7.2 Bestimmte Integrale ......................................................................................................................... 177 7.2.1 Formale Darstellung ................................................................................................................. 177 7.2.2 Das SIMPSON - Verfahren ...................................................................................................... 178 7.3 Anwendungen ................................................................................................................................. 180 7.3.1 Der Schwerpunkt einer Fliiche ............................................................................................... 180 7.3.2 Die Arbeitsgleichung .............................................................................................................. 181 7.3.3 Die Bogenliinge ........................................................................................................................ 182 7.3.4 Rotationskorper. ....................................................................................................................... 183 x Inhaltsverzeichnis 7.4 Doppelintegrale ................................................................................................................................ 186 7.4.1 Grundlagen ................................................................................................................................ 186 7.4.2 Anwendungen .......................................................................................................................... 189 7.5 Dreifachintegrale .............................................................................................................................. 190 7.5.1 Fonnale Integrale ...................................................................................................................... 190 7.5.2 Volumenberechnungen ........................................................................................................... 191 7.6 Fourier -Reihen ................................................................................................................................ 195 7.6.1 Die Koeffizienten ...................................................................................................................... 196 7.6.2 Fourier -Entwicklungen .......................................................................................................... 197 7.6.3 Numerische Auswertung ........................................................................................................ 201 8. Auswertung von Daten ........................................................................................................................ 203 8.1 Beschreibende Statistik .................................................................................................................. 203 8.1.1 Zielstellung ............................................................................................................................... 203 8.1.2. Primare Auswertung eines Datensatzes .............................................................................. 203 8.1.2.1 Datensatz und statistische MaBzahlen ......................................................................... 203 8.1.2.2 Lageparameter. .................................................................................................................. 204 8.1.2.3 Streuungsparameter ......................................................................................................... 205 8.1.2.4 Der mittlere Fehler des Mittelwertes, Fehlerfortpflanzung ......................................... 207 8.1.2.5 Weitere Mittelwerte .......................................................................................................... 208 8.1.3. Haufigkeitsverteilungen, Summenhaufigkeit ...................................................................... 209 8.1.3.1 Diskrete Merkmale ............................................................................................................ 209 8.1.3.2 Stetige Merkmale .............................................................................................................. 211 8.2 Zufallige Ereignisse, Wahrscheinlichkeit ..................................................................................... 215 8.2.1 Zufallige Ereignisse und klassische Wahrscheinlichkeit... ................................................ 215 8.2.2. Wahrscheinlichkeitsgesetze .................................................................................................. 216 8.2.3 Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriffund relative Haufigkeit ................................. 217 8.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen ................................................................................................. 218 8.3.1. ZufallsgroBe und Verteilungsfunktion ................................................................................ 218 8.3.2 Binomial-und Poissonverteilung .......................................................................................... 221 8.3 .2.1 Bemoullisches Versuchsschema; Binomialkoeffizienten ........................................... 221 8.3.2.2 Binomialverteilung ............................................................................................................ 222 8.3.2.3 Poissonverteilung .............................................................................................................2 24 8.3.3 Nonnalverteilung ...................................................................................................................... 225 8.3.3.1 Nonnalverteilte ZufallsgroBen ........................................................................................ 225 8.3.3.2 Standardisierte Nonnalverteilung ................................................................................... 227 8.3.3.3 Bedeutung der Nonnalverteilung ................................................................................... 228 8.4. Schatzungen und Priifverfahren ................................................................................................... 230 8.4.1 Zielstellung und allgemeines Vorgehen ............................................................................... 230 8.4.2 Parametertests, Konfidenzintervalle ...................................................................................... 230 8.4.2.1 Genereller Aufbau eines Tests ....................................................................................... 230 8.4.2.2 Der t-Test.. ......................................................................................................................... 232 8.4.2.3 Konfidenzintervalle .......................................................................................................... 233 8.4.3 Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ........................................................................................ 234 Inhaltsverzeichnis XI 8.5. Lineare Regression und Korrelation ............................................................................................ 236 8.5 .1. Lineare Regression ................................................................................................................. 236 8.5.2 Lineare Korrelation .................................................................................................................. 239 8.6 Ausgleichsrechnung ....................................................................................................................... 241 8.6.1 Lineare Ausgleichung ............................................................................................................. 241 8.6.2 Nichtlineare Ausgleichung ..................................................................................................... 246 8.7 Interpolation ..................................................................................................................................... 248 8.7.1 Interpolation mit Polynomen .................................................................................................. 248 8.7.2 Interpolation mit Splines ......................................................................................................... 250 9 Differentialgleichungen. ......................................................................................................................... 25i 9.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung ............................................................................................. 251 9.1.1 Das Isoklinenverfahren ........................................................................................................... 252 9.1.2 Die Methode der Trennung der Variablen ........................................................................... 253 9.1.3 Inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung .............................................................. 255 9.2 DGLn 2. Ordnung ............................................................................................................................. 257 9.2.1 Homogene DGLn mit konstanten Koeffizienten .................................................................. 257 9.2.2 Inhomogene DGln 2.0rdnung ................................................................................................ 262 9.2.3. DGLn der Seillinie und Kettenlinie ....................................................................................... 265 9.2.4 DGLn der Schwingungen. ....................................................................................................... 270 9.2.4.1 Freie Schwingungen .......................................................................................................... 270 9.2.4.2 Erzwungene Schwingungen .............................................................................................. 272 9.2.5 Die BESSELschen Differentialgleichungen ........................................................................... 274 9.3 DGLn4. Ordnung ............................................................................................................................. 277 9.3.1 DGln 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten .................................................................. 277 9.3.2 Die Biegelinie eines Triigers ................................................................................................... 279 9.3.2.1 Biegelinie fiir einen einfachen Trager ............................................................................. 279 9.3.2.2 Biegelinie eines 2 -Feld - Tragers .................................................................................... 281 9.3.2.3 Biegelinie fiir einen Trager mit variablem Querschnitt ................................................ 282 9.3.3 Niiherungsverfahren fiir Differentialgleichungen ............................................................... 284 9.3.3.1 Das grafische Verfahren - die Anweisung "gdglosen" ................................................ 285 9.3.3.2 Das Differenzenverfahren .................................................................................................. 287 9.3.3.3 Biegung mit Differenzenverfahren. ................................................................................... 288 9.4 DGLn hoherer Ordnung .................................................................................................................. 292 9.4.1 Inhomogene DGLn ................................................................................................................... 292 9.4.2 EULERsche DGLn .................................................................................................................... 296 9.5 Die DGL der Plattenbiegung .......................................................................................................... 299 9.5.1 Grundlagen ................................................................................................................................2 99 9.5.2 Rechteckplatte unter konstanter Flachenlast ...................................................................... 300 9.5.3 Das Differenzenverfahren fiir die Platte ................................................................................ 302 9.5.4 Die Kreisplatte .......................................................................................................................... 303 10 Eigenwertprobleme bei Differentialgleichungen .............................................................................. 306 10.1 Grundlagen iiber EWP .................................................................................................................. 306