Mathematical and numerical problems of some wave phenomena appearing in magnetic plasmas Lise-Marie Imbert-Gérard To cite this version: Lise-MarieImbert-Gérard. Mathematicalandnumericalproblemsofsomewavephenomenaappearing in magnetic plasmas. Analysis of PDEs [math.AP]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2013. English. ￿NNT: ￿. ￿tel-00870184￿ HAL Id: tel-00870184 https://theses.hal.science/tel-00870184 Submitted on 6 Oct 2013 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. Laboratoire Jacques-Louis Lions Université Pierre et Marie Curie T hèse Présentée à l ’Université Pierre et Marie Curie Ecole Doctorale de Sciences Mathématiques de Paris Centre Par Lise-Marie Imbert-Gérard pour obtenir le grade de Docteur Spécialité : Mathématiques Analyse mathématique et numérique de problèmes d’ondes apparaissant dans les plasmas magnétiques Directeur de recherche : Bruno Després Soutenue le 9 septembre 2013 devant le jury composé de : Devant la commission d’examen formée de : M. Grégoire Allaire Pr à l’Ecole polytechnique examinateur M. Patrick Ciarlet Pr à l’ENSTA ParisTech rapporteur M. Bruno Després Pr à l’UPMC directeur M. Houssem Haddar DR à l’INRIA examinateur M. Ralph Hiptmair Pr à l’E.T.H. Zurich rapporteur M. Patrick Joly DR à l’INRIA examinateur M. Yvon Maday Pr à l’UPMC examinateur 2 Laboratoire Jacques-Louis Lions UPMC - ED 386 Boîte courrier 187 Boîte courrier 290 4 place Jussieu 4 place Jussieu 75 252 Paris cedex 05 75 252 Paris cedex 05 Françaises, Français Belges, Belges, Poitevins, Poitevines, Poids lourds, Poids plumes, Mon Président français de souche, Mon émigré préféré, Monsieur le Massif Central, au sommet dégarni par la violence du vent de l’histoire, Mon président, Mon chien, Mont Saint-Michel, Mon Saint-Bernard, Public chéri mon amour. Extraits choisis des Réquisitoires de qui l’on sait. Et comme me le disait Joe D. hier encore : A toi. Par ailleurs, comme disait cet homme qui a changé la vie de tous ceux à qui il a été donné d’assister à l’une de ses représentations : On t’a r’connu, t’as trop d’racines pour être honnête. Tu es le polynôme nul. Pierre Yves Jamet, professeur O combien enthousiaste et théâtral de mathématiques. [Some] mathematicians [] do not attack difficult problems and settle for more elementary ones (for them), in order to be praised for solving many of these easy problems, instead of trying to open new doors. There should be no shame for failing to open a closed door behind which something very interesting is supposed to be found, but one should be able to show that one made efforts in reasonable directions; one should also give advice to those who also plan some attempts, explaining what was tried before, and possibly why it did not work. Luc Tartar, The General Theory of Homogenization. 4 5 Remerciements A Bruno. Pour tout ce que j’ai appris pendant ma thèse, souvent sans m’en rendre compte. Pour ta façon de faire, de laisser faire et parfois de ne pas faire, qui m’a surprise si souvent. Pour une porte toujours ouverte et des heures passées à échanger devant un tableau. Pour n’avoir jamais cessé de siffloter en arrivant au labo, bravant jusqu’au bout le risque de me voir débarquer sans même attendre le premier café du matin. Pour tous les déplacements et les conférences qui ont égaillé ces trois années, et pour toutes les rencontres qui s’en sont suivies. Celui de tes concepts qui restera mon favori : "faire au moins une chose par jour". Conseil salutaire s’il en est. A Stéphane Heuraux, pour les pistes qui nous ont amenés jusqu’ici aujourd’hui. A Ricardo Weder, pour son regard différent sur un probeème difficile, pour cette col- laboration fructueuse, pour ses relectures toujours attentives. A Peter Monk, pour m’avoir acceuillie à l’Universitè du Delaware. Pour avoir partagé sa grande connaissance de la FVUF (ou UWVF) et son expertise de programmeur. Et pour des idées qui ont germé après cette visite. A Nicole, Charles et Mamadou, par ordre approximativement croissant de taille. Parce que sans vous, elle aurait été moins bien cette thèse. Tant du point de vue du résultat que du déroulement. Aux autresmathématiciens dontj’aicroisé laroutependantces dernièresannées.Pour leurs conseils, pour leurs cours, pour leur aide ou pour simplement pour le plaisir d’avoir parlé avec eux. Parce que ça donne envie de suivre l’exemple. Grégory Vial, Laurent Boudin, Denis Hartemann, Isabelle Gallagher, Frédéric Coquel, Grégoire Allaire, Frédé- ric Hecht, Pascal Frey, Simon Masnou, Philippe Saadé, Francisco Sayas, Yvon Maday, Guilaume Sylvand, et tous les autres. A tous les membres du Laboratoire Jacques-Louis Lions que j’ai croisés pendant ma thèse, parce que c’est aussi grâce à eux que ce laboratoire est si agréable et si stimulant. A vous qui ne liraient de cette thèse que ces remerciements, et quelques lignes de l’introduction. Il est utile de préciser ici que l’exercice le plus réjouissant d’une thèse, c’est bien l’écriture des remerciements. On s’inspireparfois decertains exemples, évitant deson mieux leurs écueils. Mon choix trouvera son style dans uneséance de cinéma qui a marqué les mémoires, à Odéon, "Cool et relax". Tout cela reste valable pour ceux qui accidentellement auront jeté un coup d’oeil au reste du document, alors qu’il tombait à terre ou servait d’éventail. Que tous les acteurs de cette petite-histoire-personnelle (PHP) des mathématiques se trouvent ici remerciés à la hauteur parfois vertigineuse, voire rocambolesque, de leur contribution. Et que personne ne prenne ombrage d’un oubli malheureux. Les prémices de cette épopée se fondent entre un certain Jacques qui verse de l’eau depuis un cône vers un cylindre pour en tirer une loi de volume, jusqu’à cette époque inévitable où les mathématiques deviennent éblouissantes lors de l’entrée en scène d’un professeur théâtral. Cacommenceplusoumoinssérieusementautourd’unpanierdecerises,ruedelapetite tarasque, par la définition d’un produit scalaire. Un enthousiasme sans fin pour les maths, qui ne souffrira aucune faille pendant des années. Et puis le prof ... Prise de conscience, je commence à investir. 6 Souvenirs flous, le chiffre 2, accompagné du cardinal 39eme, au numéro 123 d’une rue Saint-Jacques autour de Victor Hugo. Prise de court, je trébuche. Pourtant avec le soutien logistique et moral du N3, des funkypâtes et du C4, jem’acharne au A5. Les seuls encouragements prodigués, néanmoins insensés comme on s’accordât à le dire dès que la décence le permît, furent salutaires. Still believe in miracles, yst. Quelques jours en banlieue parisienne, beaucoup de questions et quelques rencontres, pas de concert de L.A., puis c’est le tremplin vers Ker Lann. La rue du Griffon et son tire-bouchon, la rue des portes mordelaises et son BDE. La rue de Lorgeril, les nuits sans fin place de la République, le Qqt. Le mémorable Congo-Mali. Prise de remords, je me re-concentre. Et puis voilà la place de lices et son tableau noir. Deux cahiers de développements, la BU, même le samedi, la bibliotèque de l’IRMAR, le marché et le bar’antic. Les dimanche- soirs à la colloc’ de République, les séances de rugby, le gang de l’option CS et les séances PALOMa rue de Lorgeril(2). Un Cemracs, il paraît qu’il faut en faire un pendantsa thèse.Maths pendantla jourée, week-ends et soirées à volonté. Pourles4mousquetaires,pourtoutcequ’onapartagé.Pourletoro-piscine,lesapéros- sortie-du-bureau, les apéros-sans-fin, le déjeuner quotidien et toutes les soirées, les textos salvateurs et les bonnesblagues, les sushiset les déménagements. Parce qu’on acommencé ensemble, et que c’est pas rien. Mais surtout pour les apéros. Et puis pour les autres doctorants, ceux d’avant et ceux d’après nous. Pour le français avec accent grec et son rire inimitable, pour le français avec accent chilien et son retard légendaire, pour l’agence de pub pour Taiwan, pour la SMAI, pour les soirées Doc’Up, pour les goûters du GTT, les voisins de bureau et tous les autres. Plus personnellement, et dans un chaos tant chronologique qu’alphabétique : pour les morceaux, les vidéos et tout ce que tu regardes, sur l’écran comme dans la vie, et tant pis pour les chemins qui bifurquent, pour un conseil, pour des conseils, pour des réponses à des questions sans fin, pour la symbiose des meilleurs apéros du monde, sur les quais ou sur un canapé, pour le cuistot qui nous régale à chaque fois, que ce soit avec ou sans chocolat, pour les gorges de samaria et gorges déployées de ces jours-là, pour les repas de famille du dimanche midi chez les frères, pour la chapelle des lombards et autres épopées nocturnes, pour un N’Importe-Quoi, pour tous les autres, pour les coinches du dimanche et leur Nostalgie, pour des croissants arrivés d’Ouganda, tôt un matin, pour le bebop et le wcs, pour les cours-crêperie-caveau, et pour bien plus que ça, pour la maison de famille, dont mes parents gardent les portes ouvertes, pour la côte des gardes et la forêt de Meudon, pour les gens qui vous attendent à l’arrivée, pour toutes les Embuscades, plus ou moins tendues, pour le Chili, también, pour les truffades, les burgers et les sorties ciné, pour cette soirée inoubliable après le festival d’Avignon, pour tous les souvenirs d’anniversaires, pour toi qui es toujours là, quelque soit le pays dans lequel tu vis, pour une semaine du jour de l’an passée à glander sur mon canapé pour me faire réviser 7 mes développements tous les soirs, pour la chronique style et savoir-vivre parisiens, pour les voyages, mon vieux milou, passés et futurs, pour les expériences théâtrales, et le cérémonial associé, pour l’exigence qui pousse loin, et la rando qui tue à Bayonne, pour les soirées nanto-choletaises, pour toutes les soirées parisiennes, pour les week-ends ici ou là, pour EVN, TAS, et surtout pour SPB, pour les petites soirées-retrouvailles bi-mensuelles, pour les balades en forêts parisiennes, pour les grues nocturnes, pour les visites de neveux, celles du soir comme celles du lendemain, pour les divers déménagements, pour les déjeuners à Chevaleret, pour les magnums, au miel, pour toutes les rencontres du Delaware, pour la presque deuxième maison de la rue du roule, pour sa porte toujours ouverte, pour ses traditions de tous temps et sa générosité maintenant légendaire. Et puis pour les règles du jeu que l’on croit connaître. A la mémoire d’Eric. Pour Blueberry et cet après midi d’avril sur la terrasse. Ta petite soeur, sur le tard mais pour toujours. A mes parents et grands-parents, et à tous ceux qui ont travaillé dur pour que les suivants puissent suivre un autre chemin. Table of contents 1 Introduction (French version) 13 1.1 Le contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Le modèle mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Le modèle du plasma froid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Le tenseur de conductivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Une particularité du problème mathématique . . . . . . . . . . . . . 17 Equation d’onde, relation de dispersion, coupure et résonance . . . . 18 1.2.2 Modes de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Structure du document. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1 Principaux résultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Introduction 23 2.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 The mathematical model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 The cold plasma model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Conductivity tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 A specificity of the mathematical problem . . . . . . . . . . . . . . . 27 Wave equation, dispersion relation, cut-off and resonance . . . . . . 27 2.2.2 Propagation modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Structure of the document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 Major contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 I Theory 33 3 Positive dielectric tensors 35 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Assumptions on the coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 The space X and the null space of the curl operator . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 The Helmholtz decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.1 Compactness properties of X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 3.5 The variational problem as an operator equation . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Hybrid resonance in planar geometry 43 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.1.1 The mathematical model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.2 Technical hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46