Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Промышленная теплоэнергетика и теплотехника» РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ПАКЕТЕ MathCAD ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ по курсу «Информатика» Учебно-методическое пособие для студентов специальности 1-43 01 05 «Промышленная теплоэнергетика» Минск БНТУ 2014 УДК 004.42(075.8) ББК 32.97-018.2я7 П 30 А в т о р ы : Т.А. Петровская, В.В. Вайнилович Р е ц е н з е н т ы : Б.В. Лесун, заведующий кафедрой «Прикладной математики и информатики Института непрерывного образования БГУ»; Решение задач в пакете MathCAD: лабораторный практикум для студентов специальностей 1-43 01 05 «Промышленная теплоэнергетика»/ Т.А. Петровская, В.В. Вайнилович, – Минск: БНТУ, 2014.- 36 с. Лабораторный практикум составлен в соответствии с программой курса «Информатика» для энергетических специальностей ВУЗов. В лабораторном практикуме приведены основные теоретические положения работы с математическим пакетом MathCAD. Описаны основные приемы работы с данной программой. К каждой теме приведены практические задания и контрольные вопросы. 2 СОДЕРЖАНИЕ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. Основы работы с MathCAD ...................................................................... 5 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ................................................................................................................ 5 Константы и переменные ........................................................................................................................ 6 Определение переменных ....................................................................................................................... 7 Предопределенные переменные .............................................................................................................. 8 Операторы ............................................................................................................................................... 8 Ранжированные (дискретные) переменные ............................................................................................ 9 Определение функций ........................................................................................................................... 10 Форматирование результатов ................................................................................................................ 11 Построение графиков ............................................................................................................................ 12 ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1 ........................................................................................ 14 Задание № 1 ........................................................................................................................................... 14 Задание № 2 ........................................................................................................................................... 14 Задание № 3 ........................................................................................................................................... 15 Задание № 4 ........................................................................................................................................... 17 Задание № 5 ........................................................................................................................................... 18 Задание № 6 ........................................................................................................................................... 19 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ................................................................................................................... 19 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ................................................................ 20 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ...................................................................................................................... 20 Форматирование графиков .................................................................................................................... 21 Построение графика функции y = f( x) ................................................................................................. 23 Построение кривой, заданной параметрически .................................................................................... 23 Графики в полярной системе координат ............................................................................................... 24 Графики поверхностей .......................................................................................................................... 24 Построение пересекающихся фигур ..................................................................................................... 26 ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 2 ........................................................................................ 27 Задание № 1 ........................................................................................................................................... 27 Задание № 2 ........................................................................................................................................... 28 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ................................................................................................................... 29 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ ...................................................................... 30 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ...................................................................................................................... 30 Создание матриц.................................................................................................................................... 30 Команды панели инструментов Матрицы ............................................................................................ 31 Операторы для работы с массивами ..................................................................................................... 31 Функции для работы с векторами и матрицами. .................................................................................. 33 Матричные функции ............................................................................................................................. 33 Символьные вычисления ....................................................................................................................... 33 ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 3 ........................................................................................ 34 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ................................................................................................................... 35 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ..................................................................... 36 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ...................................................................................................................... 36 Численное решение нелинейного уравнения ........................................................................................ 36 Нахождение корней полинома .............................................................................................................. 37 Решение систем уравнений ................................................................................................................... 37 ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 4 ........................................................................................ 43 Задание № 1 ........................................................................................................................................... 43 Задание № 2 ........................................................................................................................................... 44 Задание № 3 ........................................................................................................................................... 44 Задание № 4 ........................................................................................................................................... 46 Задание № 5 ........................................................................................................................................... 47 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ................................................................................................................... 47 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ......................................................... 48 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ...................................................................................................................... 48 Выделение выражений для символьных вычислений .......................................................................... 48 Символьные операции ........................................................................................................................... 48 Стиль представления результатов вычислений .................................................................................... 50 ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 5 ........................................................................................ 51 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ...................................................................................... 55 3 ВВЕДЕНИЕ Одной из основных областей применения ПК являются математические и научно-технические расчеты. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов, можно разбить на ряд элементарных: вычисление интегралов, решение уравнений, решение дифференциальных уравнений и т. д. MathCAD – это мощная и в то же время простая универсальная среда для решения задач в различных отраслях науки и техники, финансов и экономики, физики и астрономии, математики и статистики. MathCAD остается единственной системой, в которой описание решения математических задач задается с помощью привычных математических формул и знаков. MathCAD позволяет выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, при этом точность, с которой отображается результат, задается пользователем, имеет чрезвычайно удобный математико- ориентированный интерфейс и прекрасные средства научной графики. В состав MathCAD входят несколько интегрированных между собой компонентов: - мощный текстовый редактор, позволяющий вводить, редактировать и форматировать как текст, так и математические выражения; - вычислительный процессор, умеющий проводить расчеты по введенным формулам, используя встроенные численные методы; - символьный процессор, позволяющий проводить аналитические вычисления и являющийся, фактически, системой искусственного интеллекта; - набор шаблонов, который ускоряет ввод исходных данных и обеспечивает удобную и эффективную систему ввода; - огромное хранилище справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в качестве интерактивной электронной книги. Для освоения основных приемов работы в MathCAD выполняются 5 лабораторных работ: 1. Основы работы с MathCAD; 2. Построение графиков; 3. Вектора и матрицы; 4. Решение уравнений; 5. Символьные вычисления. Лабораторные работы рассчитаны на выполнение в русифицированной версии программы MathCAD 12, но их можно выполнять и в более ранних версиях программы. 4 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ОСНОВЫ РАБОТЫ С MATHCAD ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Основное окно приложения имеет ту же структуру, что и большинство приложений Windows. Сверху вниз располагаются заголовок окна, строка меню, панели инструментов (стандартная и форматирования) и рабочий лист, или рабочая область, документа. Новый документ создается автоматически при запуске MathCAD. Файлы документов в MathCAD имеют расширение .mcd. Большинство команд можно выполнить как с помощью меню (верхнего или контекстного), так и панелей инструментов или клавиатуры. Рисунок 1.1 – Основное окно Панель Math (Математика) предназначена для вызова на экран еще девяти панелей, с помощью которых происходит вставка математических операций в документы. Чтобы вызвать какую-либо из них, нужно нажать соответствующую кнопку на панели Математика. Рисунок 1.2 – Панель Math 5 В окне редактирования формируется документ MathCAD. Новый документ получает имя Untitled (Без названия) и порядковый номер. Одновременно открыто может быть до восьми документов. Документ состоит из трех видов областей: формульных, текстовых и графических. Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение. Области просматриваются системой, интерпретируются и исполняются. Просмотр идет слева направо и сверху вниз. Для ввода текстового комментария нужно выполнить команду Text Region (Текстовая область) из пункта меню Insert или нажать клавишу с двойной кавычкой (“), или нажать на кнопку текста на панели инструментов. Текстовая область служит для размещения текста между формулами и графиками. При этом в месте ввода появляется курсор в виде вертикального штриха, на место которого вводятся символы текста. Внутри текста курсор перемещается клавишами перемещения курсора. Переход на новую строку производится нажатием на клавишу Enter. Для окончания ввода нужно щелкнуть мышью вне текстовой области. Для ввода формулы нужно установить указатель мыши в свободном месте окна редактирования и щелкнуть левой кнопкой мыши. Появится визир в виде красного крестика. Он указывает место, с которого начинается набор формулы. Константы и переменные Константами называются поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены. В MathCAD применяются десятичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числовые константы. Десятичные константы могут быть целочисленными, вещественными, заданными с фиксированной точкой, и вещественными, заданными в виде мантиссы и порядка. В MathCAD содержится особый вид констант - размерные. Помимо своего числового значения они характеризуются еще и указанием на то, к какой физической величине они относятся. Для этого указания используется символ умножения. В системе MathCAD заданы следующие основные типы физических величин: time (время), length (длина), mass (масса) и charge (заряд). При необходимости их можно изменить на другие. Переменные являются поименованными объектами, которым присвоено некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Тип переменной определяется ее значением; переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т. д. Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами. Имя переменной называется идентификатором. MathCAD различает в идентификаторах символы верхнего и нижнего регистров. Например: ABC и AbC имена разных переменных. 6 Идентификаторы MathCAD должны начинаться с буквы и могут содержать следующие символы: - латинские буквы любого регистра; - арабские цифры от 0 до 9; - символ подчеркивания (_), символ процент (%) и символ (.); - буквы греческого алфавита (набираются с использованием клавиши Ctrl или применяется палитра греческих букв). Определение переменных Переменные должны быть предварительно определены пользователем, т. е. им необходимо хотя бы однажды присвоить значение. В качестве оператора присваивания используется знак :=, тогда как знак = отведен для вывода значения константы или переменной. Попытка использовать неопределенную переменную ведет к выводу сообщения об ошибке. В MathCAD различают: локальные и глобальные переменные. Локальные переменные вводятся: Имя_переменной : выражение На экране: Имя_переменной := выражение Глобальные переменные вводятся: Имя_переменной ~ выражение На экране: Имя_переменной выражение Если переменной присваивается начальное значение с помощью оператора :=, такое присваивание называется локальным. До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать. MathCAD читает рабочий документ слева направо и сверху вниз, поэтому определив переменную, ее можно использовать в вычислениях везде правее и ниже равенства, в котором она определена. Однако с помощью знака ≡ (три горизонтальные черточки) можно обеспечить глобальное присваивание, т. е. оно может производиться в любом месте документа. К примеру, если переменной присвоено таким образом значение в самом конце документа, то она будет иметь это же значение и в начале документа. Например: 7 Ввод с клавиатуры Вид на экране local:137 local := 137 локальное определение переменной local; global~987.23 global ≡ 987.23 глобальное определение переменной global. Переменные могут использоваться в математических выражениях, быть аргументами функций или операндом операторов. Переменные могут быть и размерными, т. е. характеризоваться не только своим значением, но и указанием физической величины, значение которой они хранят. Проведение расчетов с размерными величинами и переменными особенно удобно при решении различных физических задач. Предопределенные переменные Предопределенные (системные) переменные – особые переменные, которым изначально системой присвоены начальные значения. Таблица 1.1 – Предопределѐнные переменные Переменная Ввод Назначение Значение по умолчанию Ctrl + Shift + p Число 3.14159 e e Основание натурального 2.718 логарифма Ctrl + Shift + z Системная бесконечность 10307 i или j 1i или 1j Мнимая единица % Процент 0.01 TOL Погрешность численных 0.001 методов ORIGIN Нижняя граница 0 индексации массивов Операторы Операторы - элементы языка, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических и логических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и т. д. Операторы, обозначающие основные арифметические действия, вводятся с панели Calculator (Калькулятор, Арифметика). Вычислительные операторы вставляются в документы при помощи панели инструментов Calculus (Матанализ). При нажатии любой из кнопок в документе 8 появляется символ соответствующего математического действия, снабженный несколькими местозаполнителями. Количество и расположение местозаполнителей определяется типом оператора и в точности соответствует их общепринятой математической записи. Результатом действия логических, или булевых, операторов являются только числа 1 (если логическое выражение, записанное с их помощью, истинно) или 0 (если логическое выражение ложно). Вычислительные операторы сгруппированы на панели Evaluation (Вычисления): - Численный вывод (Evaluate Numerically) = - Символьный (аналитический) вывод (Evaluate Symbolically) - Присваивание (Definition) := - Глобальное присваивание (Global Definition) Таблица 1.2 – Операторы Оператор Клавиша Назначение оператора X := Y X : Y Локальное присваивание X значения Y X Y X Y Глобальное присваивание X значения Y X = X = Вывод значения X X + Y X + Y Сложение X с Y X - Y X - Y Вычитание из X значения Y X Y X * Y Умножение X на Y X X / Z Деление X на Z Z X Y Ctrl + / Линейное деление b Ctrl + Shift + + Дробь (смешанный номер) a c zw z ^ w Возведение z в степень w z z \ Вычисление квадратного корня из z n! n ! Вычисление факториала B B [ n Ввод нижнего индекса n n A A [ n , m Ввод двойного нижнего индекса n,m A<n> A Ctrl + 6 n Ввод верхнего индекса (для векторов) Ранжированные (дискретные) переменные Ранжированная переменная – переменная, которая принимает ряд значений при каждом ее использовании. Для определения ранжированной переменной общего вида используется выражение: Имя_переменной := начальное_значение, начальное_значение + шаг .. конечное_значение. 9 Если шаг равен 1, тогда ранжированную переменную можно задавать следующим образом: Имя_переменной := начальное_значение.. конечное_значение. Любое выражение с ранжированными переменными после знака равенства (=) создает таблицу вывода. Определение функций Функция – выражение, согласно которому проводятся некоторые вычисления с его аргументами, и определяется его числовое значение. Функции в пакете MathCAD могут быть встроенные и определенные пользователем. В MathCAD имеется множество встроенных функций. Для их ввода используется команда меню Вставка Функция или кнопка на панели инструментов . В диалоговом окне нужно выбрать Категорию и соответствующую функцию. Рисунок 1.3 – Функции Функция пользователя вначале должна быть определена, а затем к ней может быть произведено обращение. Функция пользователя определяется следующим образом: Имя_функции(Переменная1, Переменная2, …) := Выражение Задается имя функции, в скобках указывается список аргументов функции - это перечень используемых в выражении переменных, разделяемых запятыми. Затем записывается знак присваивания, справа от которого записывается выражение. Выражение - это любое арифметическое выражение, содержащее доступные системе операторы и функции с операндами и аргументами, указанными в списке аргументов. 10