•САНКТ(cid:6)ПЕТЕРБУРГ• •МОСКВА• •КРАСНОДАР• 2010 В.С.ДОЕВ, Ф.А.ДОРОНИН СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ НА БАЗЕ MATHCAD УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ САНКТ(cid:6)ПЕТЕРБУРГ•МОСКВА•КРАСНОДАР 2010 ББК 22.21я73 Д 55 Доев В. С., Доронин Ф. А. Д 55 Сборник заданий по теоретической механике на базе Mathcad: Учебное пособие.— СПб.: Издательство «Лань», 2010.— 592 с.: ил.— (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978(cid:12)5(cid:12)8114(cid:12)0821(cid:12)4 Учебное пособие содержит 10заданий по статике, 17заданий по ки" нематике и 15заданий по динамике, аналитической механике и теории колебаний. Каждое задание имеет по 30вариантов и пример, выполнен" ный при помощи пакета Mathcad. При решении заданий широко исполь" зуются матричные методы. Книга ориентирована на студентов, магистров, аспирантов, препода" вателей и научных работников. ББК 22.21я73 (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7) #(cid:20)(cid:10)$(cid:20)(cid:10) #%&’( (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:6)(cid:10)(cid:11)(cid:4)(cid:12)(cid:13)(cid:5)(cid:13)(cid:14)(cid:10)(cid:15)(cid:16)(cid:10)(cid:13)(cid:17)(cid:10)(cid:4)(cid:18)(cid:8)(cid:13)(cid:3)(cid:9)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:10)(cid:19)(cid:3)(cid:4)(cid:18)(cid:7)(cid:20) (cid:21)(cid:13)(cid:9)(cid:19)(cid:3)(cid:13)(cid:22)(cid:11)(cid:18)(cid:7)(cid:23)(cid:7)(cid:5)(cid:22)(cid:7)(cid:10)(cid:18)(cid:9)(cid:7)(cid:24)(cid:10)(cid:12)(cid:5)(cid:22)(cid:25)(cid:22)(cid:10)(cid:22)(cid:26)(cid:22)(cid:10)(cid:26)(cid:27)(cid:17)(cid:13)(cid:24)(cid:10)(cid:7)(cid:7)(cid:10)(cid:28)(cid:4)(cid:9)(cid:8)(cid:22) (cid:11)(cid:4)(cid:19)(cid:3)(cid:7)(cid:29)(cid:4)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:6)(cid:10)(cid:17)(cid:7)(cid:11)(cid:10)(cid:19)(cid:22)(cid:9)(cid:30)(cid:14)(cid:7)(cid:5)(cid:5)(cid:13)(cid:25)(cid:13)(cid:10)(cid:3)(cid:4)(cid:11)(cid:3)(cid:7)(cid:31)(cid:7)(cid:5)(cid:22)(cid:6)(cid:10)(cid:22)(cid:11)(cid:23)(cid:4)(cid:8)(cid:7)(cid:26)(cid:6)(cid:20) (cid:27)(cid:17)!(cid:7)(cid:10)(cid:19)(cid:13)(cid:19)!(cid:8)(cid:12)(cid:22)(cid:10)(cid:5)(cid:4)(cid:3)"(cid:31)(cid:7)(cid:5)(cid:22)(cid:6)(cid:10)(cid:11)(cid:4)(cid:12)(cid:13)(cid:5)(cid:4) (cid:17)"(cid:23)"(cid:8)(cid:10)(cid:19)(cid:3)(cid:7)(cid:9)(cid:26)(cid:7)(cid:23)(cid:13)(cid:18)(cid:4)(cid:8)(cid:30)(cid:9)(cid:6)(cid:10)(cid:18)(cid:10)(cid:9)"(cid:23)(cid:7)(cid:17)(cid:5)(cid:13)(cid:14)(cid:10)(cid:19)(cid:13)(cid:3)(cid:6)(cid:23)(cid:12)(cid:7)(cid:20) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:7)(cid:12)(cid:13)(cid:2)(cid:14)(cid:15)(cid:6)(cid:16)(cid:10)(cid:17)(cid:18)(cid:2)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:20) (cid:1)(cid:2)(cid:22)(cid:23)(cid:2)(cid:24)(cid:23)(cid:2)(cid:25)(cid:13)(cid:8)(cid:12)(cid:18)(cid:2)(cid:26)(cid:23)(cid:2)(cid:27)(cid:23)(cid:2)(cid:25)(cid:13)(cid:28)(cid:13)(cid:16)(cid:29)(cid:16)(cid:18)(cid:2)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:20) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:7)(cid:12)(cid:13)(cid:2)(cid:14)(cid:15)(cid:6)(cid:16)(cid:10)(cid:17)(cid:18) (cid:30)(cid:31)(cid:5)(cid:13) (cid:8)(cid:11)(cid:7)(cid:12)(cid:8)(cid:16)(cid:16)(cid:13)(cid:8)(cid:2)(cid:13)!(cid:13)(cid:28)"(cid:9)(cid:8)(cid:16)(cid:29)(cid:8)(cid:18)(cid:2)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:20) ПРЕДИСЛОВИЕ Т еоретическая механика играет важнейшую роль при подготовке инжене(cid:25) ров, специалистов в различных областях техники. Она является фундамен(cid:25) том для многих инженерных дисциплин, тесно с ними взаимодействует, полу(cid:25) чая новые идеи, способствующие ее развитию. Вместе с тем, как фундамен(cid:25) тальная наука, механика опирается на математику. Все новое, что появляется в математике, сразу же используется в механике. При изучении механики необходимо не только хорошо усвоить теорети(cid:25) ческие положения, но и научиться их применять к решению конкретных задач. Для этого служат сборники задач и учебные пособия, в которых пред(cid:25) ставлено большое количество задач и примеров их решения. Теоретическая механика, несмотря на свою многовековую историю, яв(cid:25) ляется живой, динамически развивающейся наукой. Это находит свое отра(cid:25) жение не только в теоретических курсах (учебниках и монографиях), но и в сборниках задач и заданий для курсовых работ по теоретической механике. Бурное развитие вычислительной техники и всеобщая компьютеризация, разумеется, должны были повлиять на характер задач и заданий, предлагае(cid:25) мых при изучении курса механики. Теперь, в связи с появлением пакетов математических программ (Mathematica, Maple, Matlab, Mathcad), вычисли(cid:25) тельные возможности многократно возросли. Аэто позволяет решать такие задачи, о которых раньше можно было только мечтать. Применение математических пакетов для решения задач требует опреде(cid:25) ленной формализации, накладывает свои требования на постановку задачи и методы ее решения. Задача должна быть сформулирована в таком виде, который удобен для использования пакета. Поэтому появляется необходи(cid:25) мость в применении матричных методов постановки и решения задачи. Так(cid:25) же требуется введение соответствующих корректив в изложение теории, что(cid:25) бы теоретические результаты можно было использовать в вычислительных процедурах сразу, без дополнительных преобразований. Отличие предлагаемого сборника заданий от других заключается в том, что он содержит большое количество графиков, на которых представлены 6 СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ НА БАЗЕ MATHCAD процессы движения. Это стало возможным потому, что сборник базируется на математическом пакете Mathcad. Дело в том, что определение параметров, характеризующих движение объекта, даже для одного фиксированного момента времени сопряжено с трудоемкими вычислениями. Ипоэтому невозможно выполнить тот огром4 ный объем вычислительной работы, который необходим для построения гра4 фиков изменения параметров процесса движения на заданном интервале вре4 мени, если не использовать математические пакеты. Впредлагаемых заданиях построено большое количество хронограмм процессов движения, фазовых диаграмм, графиков разложения колебатель4 ных процессов на главные колебания, представлены зависимости опорных реакций от положения подвижной нагрузки на балке ит.д. Сборник содержит 42задания по основным разделам теоретической ме4 ханики, изучаемым в технических вузах (статика, кинематика, динамика, аналитическая динамика и теория колебаний), и 11приложений. Каждое задание имеет по 30вариантов и снабжается примером с подробным решени4 ем. Условия задания (необходимые данные) приведены в виде схем и таблиц. Постановка задач, которые необходимо решить в задании, формулирует4 ся в виде нескольких частей. Сначала предлагаются простые (традицион4 ные) задачи, а затем— более сложные, решение которых носит исследова4 тельский характер. Преподаватель может ограничить сложность решаемых задач или увели4 чить ее в зависимости от объема часов, выделенных студентам для изучения курса механики. Решение каждой задачи предполагает выполнение аналитической, вы4 числительной и графической работы. Результатом аналитической работы является получение формул (математических выражений), которые в даль4 нейшем будут использованы при вычислениях. Вычислительная работа по4 зволяет получить значения искомых параметров. Графическая работа пред4 полагает построение графиков, диаграмм или векторных рисунков, позво4 ляющих визуально оценить полученный результат. Ранее, до появления компьютеров, вычислительная и графическая работы занимали основное время при выполнении задания. Теперь эти трудности уст4 ранены полностью, конечно, если пользоваться математическим пакетом. Быстродействие вычислительной техники позволяет не только мгновен4 но получить числовой результат при заданных условиях, но и решать раз4 личные задачи оптимизационного характера посредством многократного ре4 шения задачи при варьировании исходных данных. Отметим и другую великолепную возможность математических паке4 тов— построение графиков и диаграмм. Аналитические результаты реше4 ния задачи можно представить в виде прекрасно оформленных графиков. Из многих математических пакетов авторы выбрали Mathcad ввиду того, что он не требует изучения специального языка, обладает огромными вычис4 лительными возможностями, снабжен качественной графикой и имеет об4 ширную литературу для освоения. Этот математический пакет— идеаль4 ный инструмент для студента. ПРЕДИСЛОВИЕ 7 Вкниге приводится много программ вычислений различных кинемати(cid:31) ческих и динамических величин. Авторы понимают, что приводить програм(cid:31) мы— рискованно, так как любую программу всегда можно улучшить или модернизировать и вариантов таких улучшений может быть даже больше, чем читателей. Поэтому каждая программа, приведенная в книге, должна рассматриваться лишь как один из возможных примеров реализации алго(cid:31) ритма решения задачи. Одной из особенностей пакета Mathcad является возможность использо(cid:31) вать многобуквенные обозначения для функций или переменных. Это дейст(cid:31) вительно удобно, так как количества латинских букв явно недостаточно для однобуквенных обозначений. Авторы просят не искать никакого скрытого смысла в таких обозначениях, так как они выбирались спонтанно и из сооб(cid:31) ражений благозвучности. Как следует из названия книги, ее чтение предполагает знакомство с Mathcad хотя бы в минимальном объеме. Материал сборника расположен так, что использование этого математического пакета возрастает постепен(cid:31) но, что способствует его освоению. Возможности Mathcad значительно пре(cid:31) восходят потребности данной книги. Процедуры Mathcad, используемые в ней, приведены в приложении13. Книга предназначена для студентов технических вузов, изучающих тео(cid:31) ретическую механику. Она также может быть полезна инженерам и аспи(cid:31) рантам, желающим расширить свои знания по теоретической механике. Настоящий «Сборник» возник не на пустом месте. Его предшественни(cid:31) ком является «Сборник заданий для курсовых работ по теоретической меха(cid:31) нике» под редакцией А.А.Яблонского. Осовместной работе с коллективом авторов того «Сборника» авторы хранят самые теплые воспоминания. Эту книгу мы посвящаем светлой памяти нашего Учителя Александра Александровича Яблонского. РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ СТАТИКА I. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ Задание С(cid:8)1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ПЛОСКОЙ КОНСТРУКЦИИ Н а однородную пластину, закрепленную несколькими стержнями в верти(cid:21) кальной плоскости, действует горизонтальная сила P(cid:1)2кН. Учитывая вес пластины, найти реакции опор и усилия в стержнях конструкции (усилия в стержнях4, 5 и 7 найти способом Риттера, а в остальных стержнях— спосо(cid:21) бом вырезания узлов). Во всех вариантах принять массу единицы площади пластины (cid:2)(cid:1)50кг/м2, a(cid:1)0,9м. Схемы конструкций показаны в «Рисунках к заданию С(cid:21)1». РИСУНКИ К ЗАДАНИЮ С(cid:23)1 (cid:1) (cid:2) (cid:3) (cid:4)