Чумаков В. І., Таранчук А. А., Харченко О. І. МОДЕЛЮВАННЯ ПРИСТРОЇВ РАДІОАВТОМАТИКИ В СИСТЕМІ MATHCAD Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів Хмельницький 2011 УДК 621.396:004.45(075.8) ББК 32.844 Ч 90 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів, лист №1/11-15 від 4.01.2011 Рецензенти: Ю. О. Коваль – д-р техн. наук, проф. кафедри “Основи радіотехніки” Харківського національного університету радіоелектроніки; Ю. В. Прокопенко – д-р фіз.-мат. наук, Інститут радіофізики та електроніки ім. О. Я. Усикова НАН України; В. Д. Косенков – канд. техн. наук, проф., директор Інституту телекомунікаційних систем Хмельницького національного університету Чумаков В. І., Таранчук А. А., Харченко О. І. Ч 90 Моделювання пристроїв радіоавтоматики в системі MathCAD : навч. посібник / В. І. Чумаков, А. А. Таранчук, О. І. Харченко. – Хмельницький : ХНУ, 2011. – 151 с. ІSBN 978-966-330-114-3 Викладені принципи дії, способи математичного опису, методи аналізу якості пристроїв та систем радіоавтоматики в середовищі математичного моделювання MathCAD. Наведені приклади моделювання у формі сторінок MathCAD, які ілюструють хід комп’ютерного моделювання і результати обчислень. Для студентів, які проходять підготовку за напрямами “Радіотехніка” та “Радіоелектронні апарати”, аспірантів та спеціалістів, які працюють у галузі радіотехніки, радіоелектронних апаратів і зв’язку. УДК 621.396:004.45(075.8) ББК 32.844 ІSBN 978-966-330-114-3 © Чумаков В.І., Таранчук А.А., Харченко О.І., 2011 © ХНУ, оригінал-макет, 2011 У сучасних інформаційних системах, заснованих на принципі передачі даних по радіоканалу, усе ширше використовуються елементи автоматизації. Це пов’язано з необхідністю передачі великих обсягів інформації, коли керування процесом передачі, приймання та оброб- лення вимагає швидкостей, на які не здатний оператор, що входить як складова до комплексу “людина–машина”. Керуванню підлягає, в першу чергу, частота настроювання системи, від значення та стабільності якої залежать основні якісні характеристики інформаційної системи в цілому. Створення складних керуючих пристроїв і систем базується на знанні основних теоретичних положень науки про проектування, що містить у собі цілий комплекс фундаментальних дисциплін: математику, фізику, електродинаміку дисципліни радіотехнічного напрямку: теорію електричних кіл і сигналів, схемотехніку аналогових і цифрових прист- роїв, компонентну базу радіоелектроніки, радіоавтоматику, радіоприй- мальні, радіопередавальні пристрої, теорію радіотехнічних систем. Проектування радіоелектронних пристроїв і систем завжди пов’язано з необхідністю проведення розрахунків. Сьогодні для прове- дення розрахунків у більшості випадків використовуються комп’ютери, оснащені спеціалізованим програмним забезпеченням для виконання обчислень. Одним з таких програмних пакетів є MathCAD, позитивними якостями якого є можливість запису математичних виразів у формі, звичної для ручного запису, здійснення розрахунків у символічній формі, а також широкі графічні можливості, що є важливим для забез- печення наочності подання та сприйняття результатів розрахунків. У посібнику наведено основи аналізу пристроїв радіоавтома- тики, розглянуто принципи побудови радіоавтоматичних систем на основі типових ланок. Досліджено характеристики і параметри типо- вих ланок та схеми їх реалізації. Наведено теоретичні відомості про структуру і методи аналізу характеристик систем автоматичного під- строювання частоти з використанням згладжувальних фільтрів різних типів. Для побудови передавальних функцій та аналізу систем широко 3 застосовано операторний метод. Викладено основи згладжування функ- цій за допомогою фільтрів, які реалізують різні математичні алгоритми, а також викладено питання аналізу і розрахунку пристроїв радіоавтоматики, що входять до складу структури радіоприймальних пристроїв, з урахуванням можливостей використання в обчисленнях програмного пакета MathCAD. У додатку наведено основи операційного числення, властивості перетворення Лапласа та його розрахунок програмними засобами. Представлено приклади розрахунків за допомогою програмного пакета MathCAD у формі сторінок – ілюстрацій обчислень та подання отриманих результатів. Завдяки наведеним прикладам студенти можуть самостійно вирішувати завдання, які описано на них, або виконувати завдання для самостійного виконання, наведені у кінці кожного розділу, що сприяє закріпленню теоретичних знань та набуттю навичок користування програмним пакетом. Практично вся ілюстративна частина посібника також виконана за допомогою графічного додатка MathCAD. Опис та правила виконання основних операцій MathCAD представлений у додатку А. Відзначимо, що MathCAD часто подає результати в громіздкій формі, що, однак, стає достатньо звичним і зрозумілим при регулярному звертанні до пакета при обчисленнях. Утім, це зауваження можна віднести взагалі до роботи на персональному комп’ютері, успішність якої базується на систематичності і регулярності в набутті і закріпленні навичок. Посібник призначений для студентів усіх спеціальностей напряму навчання “Радіотехніка” як допоміжна література для вивчення курсів “Радіоавтоматика”, “Приймання та оброблення сигналів”. Крім того, матеріал посібника в частині питань розрахунку характеристик радіоелектронних пристроїв за допомогою програмного пакета MathCAD буде корисним при вивченні курсу “Моделювання телекомунікаційних пристроїв та мереж”. Для освоєння матеріалу посібника читачу знадобляться знання деяких розділів курсів: “Вища математика”, “Основи теорії кіл”, “Генерування та формування сигналів”, а також у повному обсязі – основного базового курсу підготовки фахівців з радіотехніки – “Сигнали та процеси в радіотехніці”. При підготовці посібника використано версії програмних пакетів MathCAD 200i Professional та MathCAD 14. Автори висловлюють щиру подяку рецензентам посібника, критичні зауваження яких і допомога в усуненні недоліків, сприяли покращенню змісту посібника. 4 1.1. Основні поняття та визначення радіоавтоматики Системи радіоавтоматики є необхідною складовою частиною будь-якої сучасної радіотехнічної системи (РТС). Їх призначення поля- гає у забезпеченні функціонування РТС в умовах дії факторів зовніш- нього середовища як природного, так і штучного походження, при- чому швидкість зміни умов функціонування і обсяги інформації, що необхідно обробляти у короткі проміжки часу, значно перевищують можливості людини-оператора, який керує процесом. В таких умовах функції обробки передаються автоматичним пристроям, а функцією людини стає лише прийняття остаточного рішення на основі результа- тів обробки інформації. Процеси в системах радіоавтоматики відбуваються як резуль- тат автоматичного вимірювання і подальшого перетворення парамет- рів фізичних величин, що існують у формі вхідних сигналів, наприк- лад, напруги, струму, потужності, частоти, опору тощо. В результаті перетворення виникає вихідний сигнал, пов’язаний із вхідним певною функціональною залежністю. Це може бути або проста пропорційна залежність, коли в системі здійснюється лише зміна масштабу вхід- ного сигналу. Але в більшості випадків функціональна залежність між вхідним і вихідним сигналами є достатньо складною. Таким чином, у загальному випадку математична модель системи представляє со- бою диференційне рівняння (1.1), яке пов’язує між собою вхідний керуючий x(t) сигнал і вихідний керований сигнал y(t): dny dn- 1y dmx dm- 1x a +a +...+a y=b +b +...+b x (1.1) 0 dtn 1 dtn- 1 n 0 dtm 1 dtm- 1 m Коефіцієнти a , b визначаються параметрами системи і в i j стаціонарних лінійних системах є дійсними величинами. 5 Розв’язання рівняння (1.1) зазвичай є достатньо складним, тому для опису і аналізу систем використовують їх узагальнені характерис- тики. Для їх визначення застосуємо до рівняння (1.1) перетворення Лапласа L((cid:1))і після нескладних перетворень отримуємо: (a pn +a pn- 1+...+a )Y(p)=(b pn +b pn- 1+...+b )X(p)+N(p), (1.2) 0 1 n 0 1 n де Y(p) та X(p) – зображення за Лапласом відповідно вихід- ної реакції системи та вхідного сигналу, N(p) – багаточлен, що відоб- ражає початкові умови. Застосування перетворення Лапласа під час розрахунку радіо- автоматичних систем є практичною реалізацією операційного числення, основи та властивості якого наведено у додатку Б. Якщо покласти N(p)=0, то з (1.2) отримуємо передавальну функцію системи: Y(p) b pm +b pm- 1+...+b T(p)= = 0 1 m , (1.3) X(p) a pn +a pn- 1+...+a 0 1 n Функція T(p) дорівнює відношенню зображень за Лапласом відгуку системи до вхідного впливу і не залежить від вхідного впливу, а цілком визначається параметрами системи a , b . Для неї має вико- i j нуватися співвідношення n>m, яке є умовою фізичної реалізовува- ності (принципом причинності). За її виконанням для вихідного сиг- налу виконується умова y(t)=0 при t<0. Використання передаваль- ної функції для розрахунків систем є в основі операційного числення. Заміняючи у формулі (1.3) комплексну змінну p на jw , отримуємо вираз для комплексного коефіцієнта передачі системи K(jw ), який являє собою частотну залежність відношення комплекс- них амплітуд гармонічних коливань на виході і вході системи: ɺ K(jw =) Yɺm= Kw ( )ejjw( ). X m У свою чергу частотні залежності модуля K(w =) K(w j ) і аргументу j w(=) argKw (j ) комплексного коефіцієнта передачі на- зиваються відповідно амплітудно-частотною (АЧХ) і фазочастотною характеристиками (ФЧХ) системи. В інженерній практиці часто вико- ристовуються логарифмічні одиниці та логарифмічні частотні характе- 6 ристики (ЛАЧХ) L w (=) 20lg[wK( )]. При побудові ЛАЧХ по осі абс- цис частота відкладається також у логарифмічному масштабі. При цьому двократна зміна частоти – це зміна на октаву, а десятикратна – зміна на декаду. Для опису динамічних параметрів систем вводяться часові характеристики – імпульсна g(t) та перехідна h(t). Покладемо, що на вході системи діє сигнал у вигляді d -функції. Відгук системи g(t) в цьому випадку має назву імпульсної характеристики (в математиці – функції Гріна). Для її знаходження приймемо, що зображення за d Лапласом -функції дорівнює 1. Тоді з (1.3) отримуємо: T(p)=G(p), (1.4) тобто передавальна функція дорівнює зображенню імпульсної характеристики системи G(p). Виконуючи зворотне перетворення Лапласа виразу (1.4) дійдемо висновку, що передавальна функція та імпульсна характеристика пов’язані перетворенням: g(t)=L- 1[T(p)], (1.5) у якому L- 1((cid:1))– знак зворотного перетворення Лапласа функції у дужках. Перехідною характеристикою h(t) є реакція системи на одиничну функцію 1(t). Проводячи аналогічній аналіз, отримуємо зв’я- зок між імпульсною та перехідною характеристиками: g(t)=dh/dt. (1.6) Перепишемо (1.3) у вигляді Y(p)=T(p)X(p) та здійснимо для нього зворотне перетворення Лапласа. У результаті отримаємо вираз: t y(t)=∫g(t )x(t-t t )d , (1.7) 0 що має назву інтеграла накладання, згідно якому відгук системи на довільний вхідний сигнал x(t) дорівнює конволюції вхідного сигналу з імпульсною характеристикою системи. Урахування в останньому виразі зв’язку імпульсної і перехідної характеристик (1.6), дозволяє отримати формулу інтеграла Дюамеля: t y(t)=x(0)h(t)+∫h¢(t )x(t-t t )d , (1.8) 0 7 яка також використовується для розрахунків часових залежностей відгуків радіоавтоматичних систем на довільний зовнішній сигнал. Таким чином, передавальна функція системи є основною характеристикою, з якої методами операційного числення або спект- ральним методом можна знайти частотні та часові характеристики лінійної системи будь-якої складності. Основи перетворення Лапласа, його властивості та приклади розрахунків з використання пакета MathCAD наведено у додатку Б. 1.2. Типові ланки радіоавтоматичних систем В аналізі складних систем широко використовується метод декомпозиції, за яким систему будь-якого ступеня складності можна уявити як сукупність елементарних кіл, що поєднані між собою певним чином та виконують основні функції перетворення сигналів. У радіоавтоматичних системах найчастіше використовуються дев’ять кіл, що мають назву типових ланок. Розглянемо їх схеми та основні характеристики. Зазвичай при моделюванні використовуються часові характеристики – перехідна та імпульсна, а також частотні – комплексний коефіцієнт передачі, АЧХ, ФЧХ, амплітудно-фазова характеристика. 1. Безінерційна ланка. До неї відноситься пристрій, який має передавальну функцію вигляду: T(p)= K , (1.9) 0 де K – стала величина, що є коефіцієнтом передачі. 0 АЧХ та ФЧХ безінерційної ланки подаються виразами відповідно: K(w =) K . (1.10) 0 Рис. 1.1 – Схеми безінерційних ланок 8 Згідно з (1.10) безінерційна ланка виконує функцію підсилення (масштабування) вхідного сигналу в нескінченному діапазоні частот 0£ f£¥ , не змінюючи форми сигналу. Прикладами ланки є резистивний подільник та аперіодичний підсилювач (див. рис. 1.1). Для першої схеми коефіцієнт передачі становить: R K(w =) 2 , (1.11) R +R 1 2 а для другої, у припущенні ідеального операційного підсилювача, для якого вхідні струми та напруга між входами дорівнюють нулю, з рівності U R =U R отримується: 1 1 2 2 R K(w =) 2 . (1.12) R 1 2. Інерційна ланка. До таких ланок відносяться пристрої, які мають передавальну функцію вигляду: K T(p)= 0 . (1.13) 1+ pt Комплексний коефіцієнт передачі, АЧХ і ФЧХ визначаються за виразами: K K(jw =) 0 , (1.14) 1+ jwt K K(w =) 0 , (1.15) 1+(wt )2 j w(=)- arwt ctg( ). (1.16) У частотному аналізі використовується також поняття годо- графа системи або АФЧ, яка являє собою лінію, яку описує кінець вектора комплексного коефіцієнта передачі на комплексній площині при зміненні частоти від нуля до нескінченності. Для побудови годо- графа можна скористатися як алгебраїчною, так і експонентною формами запису комплексного коефіцієнта передачі:  wt  K(jw =) K  1 - j = wK( )ejjw( ). (1.17) 01+(wt )2 +1wt ( )2 9 Прикладом інерційної ланки є RC-коло. Тут K =1, а пере- 0 хідна та імпульсна характеристика записуються як: h(t)=1- e- tt , g(t)=e- tt . (1.18) 3. Інтегруюча ланка (рис. 1.2, а). Зробимо у виразі (1.13) wt>> припущення, що 1 та знехтуємо одиницею у знаменнику. У результаті отримаємо передавальну функцію ланки: K T(p)= 0 , (1.19) pt яка має назву ідеального інтегратора. а h(t) t/t б Рис. 1.2 – Схема інтегратора (а), перехідні характеристики інерційної ланки та інтегратора (б) Таким чином, інтегратор – це інерційна ланка з досить t великою сталою часу , для якої коефіцієнт передачі та частотні характеристики відповідно виглядають як: 10