Math 302 Lecture Notes Kenneth Kuttler September 30, 2016 2 Contents I Introduction 11 II Vectors, Vector Products, Lines 15 1 Vectors And Points In Rn 17 1.1 Rn Ordered n− tuples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Vectors And Algebra In Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Geometric Meaning Of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Geometric Meaning Of Vector Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5 Distance Between Points In Rn Length Of A Vector . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Geometric Meaning Of Scalar Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7 Unit Vectors (Direction Vectors) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.8 Parametric Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.9 Vectors And Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.10 The Special Unit Vectors i,j,k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Vector Products 37 2.1 The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 Definition In terms Of Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2 The Geometric Meaning Of The Dot Product, The Included Angle . . 38 2.1.3 The Cauchy Schwarz Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.4 The Triangle Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.5 Direction Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.6 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.7 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.1 Cross Product, Geometric Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.2 The Coordinate Description Of The Cross Product . . . . . . . . . . . 49 2.2.3 A Physical Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.4 The Box Product, Triple Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.5 A Proof Of The Distributive Law For The Cross Product∗ . . . . . . . 53 2.2.6 Torque, Moment Of A Force∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.7 Angular Velocity∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.8 Center Of Mass∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3 Further Explanations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3.1 The Distributive Law For The Cross Product∗ . . . . . . . . . . . . . 57 2.3.2 Vector Identities And Notation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3 4 CONTENTS III Planes And Systems Of Equations 69 3 Planes 71 3.1 Finding Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.1 The Cartesian Equation Of A Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.2 The Plane Which Contains Three Points. . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.3 The Cartesian Equation For Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.1.4 Parametric Equation For A Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.1.5 Triple Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.1.6 The Angle Between Two Planes∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1.7 Intercepts Of A Plane∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1.8 Distance Between A Point And A Plane Or A Point And A Line∗ . . 78 4 Systems Of Linear Equations 81 4.1 Systems Of Equations, Geometric Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 Systems Of Equations, Algebraic Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.1 Elementary Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.2 Gauss Elimination, Row Echelon Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5 Matrices 99 5.1 Matrix Operations And Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.1.1 Addition And Scalar Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . 99 5.1.2 Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.1.3 The ijth Entry Of A Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.1.4 Graphs And Digraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.5 Properties Of Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.1.6 The Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1.7 The Identity And Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.2 Finding The Inverse Of A Matrix, Gauss Jordan Method. . . . . . . . . . . . 115 5.3 Systems Of Equations And Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.4 Elementary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.5 Finding Linear Relationships Between Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.5.1 The Great And Glorious Lemma On Row Operations . . . . . . . . . 131 5.5.2 Theory Of Row Reduced Echelon Form∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.6 Block Multiplication Of Matrices∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.7 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.8 The Rank Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.9 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6 The LU and QR Factorization 151 6.0.1 Definition Of An LU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.0.2 Finding An LU Factorization By Inspection . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.0.3 Using Multipliers To Find An LU Factorization . . . . . . . . . . . . . 152 6.0.4 Solving Systems Using A LU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.1 The QR Factorization∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7 Determinants 159 7.1 Basic Techniques And Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.1.1 Cofactors And 2×2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.1.2 The Determinant Of A Triangular Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.1.3 Properties Of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.1.4 Finding Determinants Using Row Operations . . . . . . . . . . . . . . 165 CONTENTS 5 7.1.5 A Formula For The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.1.6 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8 The Mathematical Theory Of Determinants∗ 173 8.0.7 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.1 The Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.1.1 The Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.1.2 Permuting Rows Or Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.1.3 A Symmetric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.1.4 The Alternating Property Of The Determinant . . . . . . . . . . . . . 177 8.1.5 Linear Combinations And Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8.1.6 The Determinant Of A Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.1.7 Cofactor Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.1.8 Formula For The Inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.1.9 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.1.10 Upper Triangular Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.2 The Cayley Hamilton Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.3 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 9 Vector Spaces Subspaces Bases 189 9.0.1 What Is A Vector Space? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.0.2 What Is A Subspace? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 9.0.3 What Is A Span? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 9.1 Linear Independence, Bases, Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9.1.1 Linear Independence For Spaces Of Functions . . . . . . . . . . . . . . 202 9.1.2 Row Space, Column Space, And Null Space . . . . . . . . . . . . . . . 203 9.2 Row Column And Determinant Rank∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 10 Linear Transformations 211 10.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.1 What Is A Linear Transformation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.2 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 10.3 Constructing The Matrix Of A Linear Transformation . . . . . . . . . . . . . 214 10.3.1 Rotations in R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 10.3.2 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 10.3.3 Algebraically Defined Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . 218 10.3.4 Matrices Which Are One To One Or Onto . . . . . . . . . . . . . . . . 219 10.3.5 Similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.3.6 The General Solution Of A Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11 Eigenvalues And Eigenvectors Of A Matrix 227 11.1 Definition Of Eigenvectors And Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 11.2 Finding Eigenvectors And Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 11.3 A Warning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 11.4 Some Useful Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 11.5 Defective And Nondefective Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 11.6 Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 11.7 The Matrix Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 11.8 Migration Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 11.9 Complex Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 11.10The Estimation Of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 6 CONTENTS 11.11Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 12 Curves In Space 259 12.1 Limits Of A Vector Valued Function Of One Variable . . . . . . . . . . . . . 259 12.2 The Derivative And Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 12.2.1 Arc Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.2.2 Geometric And Physical Significance Of The Derivative . . . . . . . . 265 12.2.3 Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 12.2.4 Leibniz’s Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 12.2.5 Motion Of A Projectile (Idealized) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 12.3 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 13 Newton’s Laws Of Motion∗ 273 13.1 Kinetic Energy∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 13.2 Impulse And Momentum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 13.3 Conservation Of Momentum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 13.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 14 Physics Of Curvilinear Motion 281 14.0.1 The Acceleration In Terms Of The Unit Tangent And Normal. . . . . 281 14.0.2 The Circle Of Curvature* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 14.1 Geometry Of Space Curves∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 14.2 Independence Of Parametrization∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 14.2.1 Hard Calculus∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 14.2.2 Independence Of Parametrization∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 14.3 Product Rule For Matrices∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 14.4 Moving Coordinate Systems∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 IV Functions Of Many Variables 303 15 Functions Of Many Variables 305 15.1 The Graph Of A Function Of Two Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 15.2 The Domain Of A Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 15.3 Quadric Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 15.4 Open And Closed Sets∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 15.5 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 15.6 Sufficient Conditions For Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 15.7 Properties Of Continuous Functions∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 16 Limits Of A Function 319 16.1 The Limit Of A Function Of Many Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 16.2 The Directional Derivative And Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 323 16.2.1 The Directional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 16.2.2 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 16.2.3 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 16.3 Some Fundamentals∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 16.3.1 The Nested Interval Lemma∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 16.3.2 The Extreme Value Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 16.3.3 Sequences And Completeness∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 16.3.4 Continuity And The Limit Of A Sequence∗ . . . . . . . . . . . . . . . 338 CONTENTS 7 V Differentiability 339 17 Differentiability 341 17.1 The Definition Of Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 17.2 C1 Functions And Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 17.3 The Directional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 17.3.1 Separable Differential Equations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 17.4 Exercises With Answers∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 17.4.1 A Heat Seaking Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 17.5 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 17.5.1 Related Rates Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 17.6 Taylor’s Formula An Application Of Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . 355 17.7 Normal Vectors And Tangent Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 18 Extrema Of Functions Of Several Variables 361 18.1 Local Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 18.2 The Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 18.2.1 Functions Of Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 18.2.2 Functions Of Many Variables∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 18.3 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 18.4 Finding Function From Its Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 18.5 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 19 The Derivative Of Vector Valued Functions, What Is The Derivative?∗ 379 19.1 C1 Functions∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 19.2 The Chain Rule∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 19.2.1 The Chain Rule For Functions Of One Variable∗ . . . . . . . . . . . . 385 19.2.2 The Chain Rule For Functions Of Many Variables∗ . . . . . . . . . . . 385 19.2.3 The Derivative Of The Inverse Function∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 389 19.2.4 Acceleration In Spherical Coordinates∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 19.3 Proof Of The Chain Rule∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 19.4 Proof Of The Second Derivative Test∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 20 Implicit Function Theorem∗ 399 20.1 The Method Of Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 20.2 The Local Structure Of C1 Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 VI Multiple Integrals 407 21 The Riemann Integral On Rn 409 21.1 Methods For Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 21.1.1 Density Mass And Center Of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 21.2 Double Integrals In Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 21.3 A Few Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 21.4 Surface Area And Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 21.5 Methods For Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 21.5.1 Definition Of The Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 21.5.2 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 21.5.3 Mass And Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 21.6 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 8 CONTENTS 22 The Integral In Other Coordinates 437 22.1 Cylindrical And Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 22.1.1 Geometric Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 22.1.2 Volume And Integrals In Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . 438 22.1.3 Volume And Integrals In Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . 439 22.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 22.3 The General Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 22.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 22.5 The Moment Of Inertia ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 22.5.1 The Spinning Top∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 22.5.2 Kinetic Energy∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 22.6 Finding The Moment Of Inertia And Center Of Mass . . . . . . . . . . . . . 463 22.7 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 VII Line Integrals 471 23 Line Integrals 473 23.0.1 Orientations And Smooth Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 23.0.2 The Integral Of A Function Defined On A Smooth Curve . . . . . . . 475 23.0.3 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 23.0.4 Line Integrals And Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 23.0.5 Another Notation For Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 23.1 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 23.2 Conservative Vector Fields, Path Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 23.2.1 FindingTheScalarPotential,(RecoverTheFunctionFromItsGradient)483 23.2.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 23.3 Divergence, Gradient, Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 23.3.1 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 23.3.2 Gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 23.3.3 Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 23.3.4 Identities Involving Curl Divergence And Gradient . . . . . . . . . . . 487 23.3.5 Vector Potentials∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 VIII Green’s Theorem, Integrals On Surfaces 489 24 Green’s Theorem 491 24.1 An Alternative Explanation Of Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 494 24.2 Area And Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 25 The Integral On Two Dimensional Surfaces In R3 499 25.1 Parametrically Defined Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 25.2 The Two Dimensional Area In R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 25.2.1 Surfaces Of The Form z =f(x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 25.3 Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 25.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 CONTENTS 9 IX The Divergence Theorem And Stoke’s Theorem 519 26 Divergence And Curl 521 26.1 Divergence Of A Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 26.2 Curl Of A Vector Field. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 27 The Divergence Theorem 523 27.0.1 Green’s Theorem, A Review∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 27.0.2 Coordinate Free Concept Of Divergence, Flux Density . . . . . . . . . 528 27.1 The Weak Maximum Principle∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 27.2 Some Applications Of The Divergence Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 530 27.2.1 Hydrostatic Pressure∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 27.2.2 Archimedes Law Of Buoyancy∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 27.2.3 Equations Of Heat And Diffusion∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 27.2.4 Balance Of Mass∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 27.2.5 Balance Of Momentum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 27.2.6 Frame Indifference∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 27.2.7 Bernoulli’s Principle∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 27.2.8 The Wave Equation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 27.2.9 A Negative Observation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 27.2.10Electrostatics∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 28 Stokes And Green’s Theorems 543 28.1 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 28.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 28.3 Stoke’s Theorem From Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 28.3.1 The Normal And The Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 28.3.2 The Mobeus Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 28.3.3 The Meaning Of The Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 28.3.4 Conservative Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 28.3.5 Some Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 28.4 When Do You Use What? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 28.5 Maxwell’s Equations And The Wave Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 X Some Iterative Techniques For Linear Algebra 565 29 Iterative Methods For Linear Systems 567 29.1 Jacobi Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 29.2 Gauss Seidel Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 30 Iterative Methods For Finding Eigenvalues 579 30.1 The Power Method For Eigenvalues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 30.1.1 Rayleigh Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 30.2 The Shifted Inverse Power Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 XI The Correct Version Of The Riemann Integral ∗ 591 A The Theory Of The Riemann Integral∗∗ 593 A.1 An Important Warning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 A.2 The Definition Of The Riemann Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 10 CONTENTS A.3 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 A.4 Which Functions Are Integrable? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 A.5 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 A.6 The Change Of Variables Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 A.7 Some Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 Copyright ⃝c 2005,