MATERIE ALS FELD EINE EINFOHRUNG VON FRIEDRICH HUND DR. PHIL., O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT FRANKFURTjMAIN MIT 40 ABBILDUNGEN SPRINGER-VERLAG BERLIN . GOTTINGEN ' HEIDELBERG 1954 ISBN 978-3-642-52870-5 ISBN 978-3-642-52869-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-52869-9 ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER OBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN. OHNE AUSDROCKLlCHE GENEHtvllGUNG DES VERLAGES IST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN. COPYRIGHT 1954 BY SPRINGER-VERLAG OHG .. BERLIN . GOTTINGEN . HEIDELBERG. SOFT COVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1954 Vorwort. \Vennlllan das \Vesen der Quantentheorie kurz kennzeichnen soll, so ist sie die Lehre von der Rolle, die das elementare \Virkungsquantum h in der Natur spielt, und diese besteht in der gegenseitigen Begrenzung des anschaulichen Teilchenbildes und des anschaulichen \Vellen- oder Feld bildes bei Licht und bei :Materie. Eine logisch abgeschlossene Theorie ist sie aber nur in begrenztem Sinne: die quantentheoretische Abänderung der nichtrelativistischen Punktmechanik einerseits und die quanten theoretische Abänderung einer anschaulichen Feldtheorie der Materie nicht zu rascher Strömungsgeschwindigkeit andererseits, haben den gleichen physikalischen Inhalt. Schon die Beschreibung des Elektronen spins und die Quantisierung von Feldern mit dem +-Zeichen weisen über diesen Rahmen hinaus. Der Zugang zu einer solchen auf den Dualismus Teilchen·-Feld zu gründenden Theorie von der Seite des Teilchenaspektes her ist vor allem dadurch begrenzt, daß es eine klassische Punktmechanik für relativistische Teilchengeschwindigkeiten nicht gibt wegen der endlichen Ausbreitungs geschwindigkeit von Kraftwirkungen. Es schien darum zunächst aus sichtsvoller, von der Seite des Feldaspektes her weiter vorzudringen. Die quantentheoretische Abänderung dieser anschaulichen Feldtheorie gelang mit verläßlichen Ergebnissen über den Fall nichtrelativistischer Strö mungsgeschwindigkeiten hinaus und erschloß eine vertiefte Auffassung des Spins von Teilchen (0, hj2, h), der chemischen Kraft und der Kern kraft und gab einen Zugang zu den Umwandlungen von Elementar teilchen. Sie stieß dann auch an Schwierigkeiten, ähnlich wie in einer klassischen Theorie, die die Vorstellung von Feld und punktförmigem Teilchen gleichzeitig benutzt; sie sind heute wohl noch nicht überwunden. Es deutete einiges darauf hin, daß diese Schwierigkeiten gerade dann auf traten, wenn eine relativistische Feldtheorie mit \Vechselwirkung ver schiedener Felder quantisiert wurde. Das sah zunächst so aus, als wäre der Weiterbildung des Feldaspektes ungefähr die gleiche Grenze gesetzt wie der \Veiterbildung des Teilchenaspektes, indem jetzt zwar die Relativitäts theorie leicht eingebaut werden konnte, aber die Quantisierung schwierig wurde, während damals die Quantisierung gelang, aber die Relativitäts theorie nicht hineinpaßte. Die neuere, durch die Renomierung von :Masse IV Vorwort. und Ladung bezeichnete Entwicklung läßt nun die angedeutete Grenze weniger ernst erscheinen. Sie führt zu verläßlichen Ergebnissen über die obengenannten hinaus. Dies alles läßt die Feldtheorie der Teilchentheo rie überlegen, erscheinen. Wie diese Entwicklung auch weitergehen mag, man hat den Eindruck, daß sie das Feldbild von Materie und Licht benutzen wird und daß zu einer Teilhabe an dieser Entwicklung die Beherrschung dieses Feldbildes und seiner Quantisierung gehören wird (mag der Erfolg auch vielleicht gerade einem Forscher beschieden sein, der durch die bisherigen Denk formen dieses Feldbildes nicht zu eng gebunden ist). Die gegenwärtigen Vorbereitungen zur Erzeugung sehr rascher Teil chen lassen erwarten, daß in wenigen Jahren experimentell entschieden sein wird, ob es ein "Antiproton" gibt. Dieses Antiproton wird gefordert von einer Theorie, die auf dem Dualismus 'Yelle-Korpuskel ruht, wäh rend ein Proton ohne Antiproton bedeutete, daß wesentliche Teile der Theorie zu opfern wären. Die folgende Darstellung will in systematischer Weise in das Feldbild der Materie einführen, in den Teil, der noch innerhalb der gewöhnlichen, d.h. logisch abgeschlossenen Quantentheorie liegt und in seine ·Weiter bildungen. Dabei ist ·Wert darauf gelegt, das anschauliche Feldbild der Materie (unter Absehung von den Elementarteilchen) darzulegen, zu dem schon Eigenzustände, Unbestimmtheitsbeziehung, chemische Kraft, Ma terieerzeugung, Spin, Kernkraft, Materieumwandlung gehören und die Punkte, die die Quantisierung hinzufügt, deutlich herauszuarbeiten. Die Darstellung schließt vor der Behandlung der oben angedeuteten Schwie rigkeiten. Über die Quantentheorie der Felder gibt es Darstellungen, wie das Buch von G. 'VENTZEL und gelegentliche Zusammenfassungen \'on W. PAULI, die an Allgemeinheit über das im folgenden Gebotene hinaus gehen. Zu ihnen eine einfachere Einführung zu geben, ist einer der Zwecke dieses Buches. Überhaupt möchte es den bedrohlichen Abstand vermin dern helfen, der zwischen den Arbeiten der wenigen erfolgreichen Forscher in der Theorie der elementaren Materie und dem Auffassungsvermögen der übrigen experimentierenden und denkenden Physiker besteht. Für wertvolle Hilfe bei der Korrektur habe ich meinem Kollegen Dr. B.MROWKA und meinen Mitarbeitern Dr. D.PFIRscHundH. HÖHLER wärmstens zu dankell. Frankfurt/M., im Mai 19:54. F.Hund. Inhaltsverzeichnis. Grundlagen. 1. \Virkungsquantum ............................................. . 2. Lichtteilchen und )Iateriewellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Feldtheorie der Materie ......................................... . 5 Erstes Kapitel. Elektromagnetisehes Feld als Vor bild. 4. )Iaxwellsche Theorie ............................................ 7 5. Hlektromagnetische ,relIen ...................................... 12 6. Lokalisierung von Hnergie und Impuls. Kräfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13 7. Invarianzeigenschaften .......................................... 18 8. Vierervektoren und Tensoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22 9. Viererschreibweise der Maxwellschen Theorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 10. Variationsprinzip ............................................... 34 11. Lagrange-Funktion und potentielle Energie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38 Zweites Kapitel. Vorrelativistisches anschauliches Wellenbild der Materie. 12. :Materiewellen .................................................. 42 13. Wellengleichung ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47 14. Einfache Wcllengruppcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49 15. Elektrisch geladene Materie ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ;32 16. Reflexion und Brechung. Tunneleffekt. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54 17. Eigenschwingungen in Potentialmulden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .'57 18. "Übergreifen" der \Yellenfunktion ................................ 60 19. Streuung von Materiewellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63 20. Variationsprinzip .......................................... . . . .. 67 21. Kräfte des Materiefeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68 22. Chemische Kraft ............................................... 74 Drittes Kapitel. Relativistisches anschauliches Feldbild der .l\Iaterie. 23. De-Broglie-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . .. 76 24. Wellengleichung. Energie- und Impulsdichte ....................... 80 25. Elektrisch geladene Materie ...................................... 84 26. Materie im elektromagnetischen Feld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87 27. Variationsprinzip ............................................... 93 28. Langsam bewegte Materie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95 29. Energie-Impuls-Tensor .......................................... 100 VI Inhaltsverzeichnis. 30. Kräfte des }Iateriefeldes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102 31. Kernkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 106 32. }Iaterieerzeugung im elektrischen Feld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109 Viertes Kapitel. Einteilchensystem. 33. Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen ............................. 113 34. Analyse eines Feldes ............................................ 116 35. Wahrseheinliehkeitsdeutung ....................................... 120 36. }rehrere ungekoppelte Teilchen. Fermi- und Hose-Statistik ............ 124 37. Relativistisches Einteilchensystem ................................ 126 Fünftes Kapitel. Quantentheorie der Mechanismen. 38. Gesichtspunkte ................................................. 13] 3!J. Komplementarität und Vertauschungsrcgeln ........................ 13:1 40. Schrödinger-Gleichung ......................................... " 13.5 41. Anderer Ausgangspunkt. Zwei Arten harmonischer Oszillatoren ....... 136 42. Harmonischer Oszillator mit komplexen Variabeln .. . . . . . . . . . . . . . . . .. ] ~ I 43. Kanonische Variable in der klassischen Mechanik .................... 1~6 44. Die Zeit neben den Ortskoordinaten ............................... 1.50 4.5. Vcrtauschungsl"egeln fÜl' kanonische Variable ....................... 1.54 46. Allgemeine Quantentheorie ...................................... 1.57 47. t'bergang zum Schrödinger-Schema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 161 Sechstes Kapitel. 1<'eldquantelung. 48. Gesichbpunkte .......................................... . . . . . .. 166 49. Vertauschullgsregeln und Eigenwerte .............................. WS 50. Ladung als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung ............ 173 .51. Kräftefreier Fall ............ _. ........................ _. .... _ . __ 17G 52. Einfache Übungsaufgabe zur \Ve llenquantelung ......... _. __ ... __ . .. 182 53. l\1aterieerzeugung ... ___ ........ _. ... __ ........ _. .... __ ..... _ . __ . 187 .54. Teilchenzahlen ... ___ . __ .... _. .... _ .. _. .......... _ . _. ... _. ...... 190 55. Feld als Mechanismus . _ . _. .... _. ... _. _. .............. __ ... __ . _ _ _ 19G 56. Rechnen mit Entwicklungskoeffizienten ................. _. .. _ ... _ .. 202 57. Äquivalenz des gequantelten Feldbildes mit dem getjuantelten Teilchen- bild (--Quantelung) ............................................ 207 .58. Feldquantelung bei Fermi-Statistik ................................ 213 59. Lorentzinvariante Vertauschungsregel ............................. 217 Siebentes Kapitel. lUaterie mit Spin 1. 60. Spin .............................................. _ . _ . . . . . . . .. 222 61. Richtungseigenschaften bei Spin 1 und 2 .......... _. .............. , 22.5 62. Veklo~iellc Materiewelle im sonst feldfreien' Raum ............ _. ..... 230 InhaltsverzeiehniL YII 63. Einfluß eines elektromagnetischen Feldes .......................... 234 64. Magnetisches Verhalten des Spins ............................... 238 65. Energie-Impuls-Tensor .......................................... 243 66. Spina nt eil des Drehimpulses ..................................... 246 67. Quantelung ................................................... , 248 Achtes Kapitel. ~Iaterie mit Spin 1/2. 68. Spin 1/2 ........................................................ 250 69. Nichtrelativistische Näherung ................................... , 252 70. Spinorentransformation im relativistischen Fall ..................... 2;3;3 71. Spinoranalysis ................................................. 260 72. Diracsche Gleichung ............................................ 263 73. Ebene \rellen .................................................. 268 74. Einfluß eines elektromagnetischen Feldes .......................... 272 7;3. Elektromagnetisches Verhalten des Spins .......................... 27;3 76. Kleinsches Paradoxon ........................................... 2i7 77. Löchertheorie und 2\Ialerieerzeugung ............... : .............. 27H 78. Vierkomponentige Spinoren ...................................... 281 79. Dirac·Gleichungen mit allgemeinen a- und y-Operatoren ............. , 283 80. Besondere a· unel y-:Nlatrizen ..................................... 287 81. Die aus elen y!' und al' gebildeten Tensoren ......................... 291 82. Energie-Impuls-Tensor. Drehimpuls ............................... 294 83. Der vom Spin herrührende Anteil von Ladung und Strom ........... 298 84. Variationsprinzip ............................................... 302 8;3. Quantelung .................................................... 305 Xeuntes Kapitel. Allgemeine Feldtheorie. 86. Allgemeine anschauliche .Feldtheorie ............................... 308 87. Lorentz-Invarianz. Symmetrisierung des kanonischen TensoTs ........ , :H4 88. Energie-Impuls-Tensor .......................................... :31 H 89. Drehimpuls .................................................... 322 90. Phasellinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 326 91. Eichillvarianz .................................................. :329 92. Beispiele ...................................................... 332 93. Quantelung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33.! Zehntes Kapitel. Verknüpfung von ~Iateriearten. 94. Übersicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 337 95. Bekannte Kopplung: M.aterie und elektromagnctisches Feld ......... 33H 96. Felder mit Potentialen ......................................... 342 97. Paarerzeugung im Potential hoher Frequenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 346 98. Zeit proportionale Gbergangswahrscheinlichkeiteu .................. 348 Yln Inhaltsverzeichnis. 99. Felder mit Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 352 100. Kräfte zwischen den Trägern von Quellen ........................ 357 101. Kopplungstypen dritten Grades (Yukawa.Kopplung) ............... 361 102. Kopplung vierten Grades (Fermi-Kopplung) ....................... 366 103. Zusammenhalt von Materie ..................................... 367 104. Kernkräfte ................................................... 36H 105. Spinabhängige Kernkräfte ...................................... 376 Elftes Kapitel. Elementarteilchen. 106. Teilchenaspekt ................................................ 378 107. Neue Elementarteilchen ........................................ 383 108. Reaktionen und Kopplungen ................................... , 385 109. Störungsrechnung für Umwandlungen ........................... 390 110. Störungsrechnung mit Feldquantelung. Vernichtungs-und Erzeugungs- operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 396 lU. Beispiele ..................................................... 400 112. Zerfall von Elementarteilchen ................................... 404 U3. Indirekte Kopplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 409 U4. Streuvorgänge ................................................ 410 Literatur (Darstellungen der Feldtheorie oder wichtiger Teile davon) ...... 414 Sachverzeichnis .................................................... 415 Grundlagen. 1. Wirkungs quantum. Die grundlegenden Entdeckungen, auf denen die neueren An schauungen vom Aufbau der Materie ruhen, sind die des elementaren Wirkungsquantums, die der Lichtteilchen und die der M atel"iewellen oder des Materie/eldes. Im fertigen System der begrifflichen Erfassung hängen sie eng zusammen, indem das Wirkungsquantum angibt, wie anschau liches Teilchenbild und anschauliches Feldbild bei Materie und bei Licht sich gegenseitig in ihrer Anwendbarkeit einschränken. Wir erinnern uns zunächst an einige Erfahrungen, die auf das Wirkungsquantum hin deuten, nachher an die Erfahrungen der Lichtteilchen und der Materie wellen. Die Konstante im W. Wienschen Verschiebungsgesetz der Hohlraum strahlung (1893) hängt eng mit dem Wirkungsquantum zusammen. Die in der Raumeinheit und in der Einheit des Frequenzintervalls enthaltene Energie der Strahlung hat ein Maximum bei einer Frequenz Vm' die der (absoluten) Temperatur der Hohlraumstrahlung proportional ist. Wählen wir als gemäße Fassung dieses Satzes hvm= kT, wo der Zusammenhang zwischen Temperatur und Energie je Freiheits grad eines statistischen Systems durch die Boltzmannsche Konstante k vermittelt wird, so ist der Proportionalitätsfaktor h eine Konstante der Dimension Energie mal Zeit (Impuls mal Länge) oder Wirkung. Da v'" bei einigen tausend Grad vom ultraroten ins sichtbare Spektralgebiet rückt, also einem k T von einigen 10-13 erg (k "'" 10-16 erg/grad) eine Frequenz Vm von einigen 1014 sec-1 entspricht, schätzen wir für h die Größenordnung 10-27 erg sec. Das Vorhandensein einer solchen Kon stanten der Dimension Energie mal Zeit ist aber ganz unverständlich, wenn man das Verschiebungsgesetz als eine Eigenschaft des in einem Hohlraum vorhandenen elektromagnetischen Feldes ansieht, das durch die Maxwellsche Theorie beschrieben wird; diese könnte nur eine Kon stante der Dimension Geschwindigkeit beitragen. Das Auftreten dieser Konstante h "'" 10-27 erg sec zeigt somit an, daß die Eigenschaften eines 1 Hund, Materie als Feld 2 Grundlagen. Strahlungsfeldes durch die i\Iaxwellsche Theorie und die Thermodynamik nicht erschöpfend beschrieben sind. i\L PLANCK konnte (1900) ein mit der Erfahrung übereinstimmendes Gesetz für die Verteilung der Energie auf die Frequenzen eines Hohlraums im Temperaturgleichgmvicht ableiten mit der Hypothese, daß ein har monischer Oszillator der Frequenz ')J oder der Kreisfrequenz w (~ 27C I') nur Energien haben kann, die Vielfache einer der Frequenz proportiu nalen Grullclenergie h')J == h w sind, Der Wert von h = hf27C ist h = 1,0:3.10-27 erg sec. Die Grüße h des 'Yienschen Verschiebungsgesetzes ist da von um einen Faktor der Größenordnung 1 verschieden. Der lichtelektrische Effekt zeigt sehr sinnfällig das Auftreten des Wir kungsquHntllms. Bei Absorption von Licht der Frequenz erhalte!l Elek ')J tronen eine Energie e V für die (A. ErNsTErN 1905) h?J=hw=eV ist. Sichtbares Licht löst Elektronen aus, die gegen wenige Volt (;egen spannung anla,ufen können, d.h. der Energie von wenigen ]0-12 erg (1 e Volt = 1,60· 10-12 erg) entspricht eine Frequenz W YOll etwa 1015 sec-I; so erkennen wir vvieder h "" 10-27 erg sec. Reim Atombau, d.h. bei der Bewegung von Elektronen im Kraftfeld eines Atomkerns (dem Rutherfordschen Modell entsprechend), sind für die anschauliche Betrachtung, die das "\Virkungsquantum nicht beachtet, völlig unverständlich die Existenz einer festen Ausdehnung des Atoms von wenigen 10-8 cm und die Existenz einer festen Ablösungsenergie \on einigen eVolt für ein äußeres Elektron. Das Verhältnis beider Grüßcll zueinander ist der Größenordnung nach verständlich (potentielle Energie "'" e2jr). Aber eine Länge läßt sich aus den allgemeinen Konstanten Elektronenmasse m und Elementarladung e, die allein eingehen können, nicht ableiten (die Lichtgeschwindigkeit kann bei den in Frage kommen den Abmessungen keine l~olle spielen). Erst wenn man das "dritte Kepler sche Gesetz" (für ein Elektron) mw2a3 = e2, das den Abstand a noch nicht festlegt, durch eine anschaulich nicht ver ständliche Festlegung des Drehimpulses mwa2 = h ergänzt, ist und mit h "" 10-27 erg sec wird a "" 10-8 cm. Die für die Atomhülle wichtigen Maße sind durch e, m, h bestimmt. Die Verallgemeinerung der Planckschen Hypothese der diskreten Energiestufen auf irgendwelche atomaren Systeme und die Verallgemei-