O N O N A S S J U N N E S S J •• M O M S T R O L H M A R T I N M R E M E D H A E V A S O N O B S S L A R S J A K O N N I L S K L A S O N O N A S S J U N N E S S . . J M O M S T R O L H M A R T I N M R E M E D H A E V A S O N O B S S L A R S J A K O N N I L S K L A S ISBN 978-91-47-10928-9 © 2013 Jonas Sjunnesson, Martin Holmström, Eva Smedhamre, Lars Jakobsson, Klas Nilson och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Redaktör: Tho1nas Aidehag Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: Kina 2013 •• KOPIERINGSFORBUD Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvud1nan för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: [email protected] } MÄN~DLÅRA OCH KOMBINATORIK 1.1 Mängder 8 2.1 De hela talen 64 Begreppen tom mängd, delmängd och Delbarhet och primtal 64 grundmängd 10 Aktivitet: Eratosthenes såll 69 Venndiagram 12 2.2 Kvot och rest 70 Mängdoperationer 14 Aktivitet: Periodiska decimal Komplementmängd och differens 17 utvecklingar 72 Upptäck & Visa: Hitta samband 20 Största gemensamma delare, 1.2 Repetition av sannolikhetslära 21 Euklides algoritm 73 Sannolikhet och mängdlära 22 Aktivitet: Diofantiska ekvationer 77 Sannolikhet vid försök i flera steg 24 2.3 Kongruens 79 1.3 Kombinatorik 28 Kongruensräkning 83 Multiplikationsprincipen 28 2.4 Talföljder 86 Permutationer 30 Aritmetiska talföljder 86 Kombinationer 35 Geometriska talföljder 90 Binomialsatsen 39 Rekursiva talföljder 95 Binomialfördelning 43 Digitala rutan: Talföljder och Digitala rutan: Spela Yatzy 45 kalkylblad 98 1.4 Grafteori 46 Summanotation 101 Inledande exempel 46 2.5 Induktion 103 Eulervägar och Hamiltonvägar 50 Upptäck & Visa: Aktivitet: Den handelsresandes problem 53 Handskakningsproblemet 106 Sammanfattn ing 54 Sammanfattning 107 TEST 1 56 TEST 2 108 Blandade uppgifter 59 Blandade uppgifter 109 4 3.1 Differentialekvationerna = = y' f(x) och y" f(x) 114 4.1 Förändringshastighet och derivering 158 Implicit derivering 162 = 3.2 Differentialekvationen y' ky 117 Upptäck & Visa: 4.2 Generaliserade integraler 167 Allmän lösning till y' + f(x)y = 0 119 Upptäck & Visa: Generaliserade Tillämpningar på första ordningens integraler 169 differentialekvationer 120 Generaliserade integraler och volymer 170 Generaliserade integraler i naturveten 3.3 Riktningsfält 124 skapen 172 3.4 Eulers stegmetod 128 4.3 lntegrationsmetoder 174 Digitala rutan: Eulers stegmetod med Partialbråksuppdelning 174 datorstöd 131 Integralbestämning med partialbråk 176 3.5 Logistiska tillväxtekvationen Digitala rutan: Partialbråksuppdelning och y = ky(M - y) 132 integralbestämning 179 Partiell integration 181 3.6 Differentialekvationen y" + ay' + by= f(x) 136 4.4 Kurvlängd 184 Tillämpningar på andra ordningens Sammanfattning 187 differentialekvationer 140 TEST 4 188 3.7 Tillämpningar 142 Blandade uppgifter 189 Aktivitet: Dämpad svängning 147 Omfångsrika uppgifter 190 Omfångsrika uppgifter av undersökande Sammanfattning 148 karaktär 195 TEST 3 149 Blandade uppgifter 151 Facit 207 Facit tankenötter 227 Facit Aktivitet 228 Facit Digitala Rutan 229 Facit Upptäck & Visa 230 Sakregister 231 5 • I det här kapitlet får du lära dig • Mängdlärans notationer • • Utföra olika operationer på mängder • Rita venndiagram och använda dessa för att dra slutsatser • Begreppen permutation och kombination • • Metoder för beräkning av antalet kombinationer • och permutationer Använda binomialsatsen • Egenskaper hos grafer • Hitta Eulervägar och Hamiltoncykler • Resonera kring grafteoretiska problem ,, . • . v;..i . ,~ ' • • ,. • \ • ' r \ • an brukar säga att grafteorin började med problemet om Königsbergs sju broar (ses. 50) som den schweiziska matematikern Leonhard Euler formulerade i mitten av 1700-talet. Cirka hu11dra år senare kom fyrfärgsproblemet som lyder så här. Tänk dig att du har en karta, t ex över Europas länder eller över Sveriges kommuner eller helt enkelt en karta över en fantasivärld ritad på ett plant papper. Anta att du vill färglägga kartan så att två länder ( eller kommuner) som gränsar till varandra (längs en hel gränslinje) alltid har olika färger. Hur många färger behövs det för att klara alla kartor? I kartan över Sverige ser du att det behövs fyra färger, men frågan är: räcker fyra färger för alla kartor? Problemet var olöst i över hundra år, men 1976 bevisade två matematiker verksamma i USA att fyra färger räcker alltid. Deras bevis bygger på en omfattande analys av ett stort antal olika fall med hjälp av dator. - Problemet kan reduceras till en enklare - - ..,,. / figur - en så kallad graf - där varje färgat område ersätts med en punkt, eller nod. Om områdena gränsar till varandra, illustreras detta med en linje, eller kant mellan noderna. .. .. 7 MANGDLARA OCH KOMBINATORIK l •• 1.1 MANGDER Det finns många olika sorters månghörningar i figuren nedan: en triangel, två rektanglar, en femhörning och en sexhörning. Alla dessa figurer kan sägas vara element i mängden av alla månghörningar. Talen 1, 2 och 5 är heltal. Med mängdlärans språk säger man att dessa tal är 1 J2 element i mängden av alla heltal. Talen - och tillhör inte mängden av 2 heltal. De är däremot element i mängden av reella tal, vilket för övrigt även 1, 2 och 5 är. O DEFINITION: Mängd En mängd definieras som en samling objekt. Objekten i mängden kallas element. Mängder bru.kas anges med versaler, dvs stora bokstäver, och elementen med gemener, dvs små bokstäver. p Det finns många symboler i mängdläran. Om man vill ange att är ett element i mängden A, skriver man p A (p tillhör mängden A) E och om man vill ange att q inte är ett element i mängden A skriver man q A (q tillhör inte mängden A). ~ Om man vill beskriva att mängden A består av alla heltal mellan 1 och 10 kan man skriva A = {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Ett annat sätt att beskriva samma mängd är A = {x: 1 < x < 10, x Z} E Detta utläses "mängden av alla x, sådana att x ligger mellan 1 och 10 och där x är ett heltal". .. 8 1.1 MANGDER l Skriv med mängdsymboler a) Bokstaven a tillhör inte mängden konsonanter, K, medan b tillhör den na mängd . b) Talet rr tillhör mängden reella tal, som betecknas ffi.. c) Mängden A består av alla lösningar till ekvationen x2 = 4. d) Mängden B består av alla jämna heltal som är större än noll. e) Mängden C består av alla månghörningar med fler än två och färre än fem hörn. LÖSNING a) A K, b EK ~ b) ffi. 7t E 2 c) x 4 ger lösningarna x 2 och x - 2. = = = Alltså är mängden A {- 2, 2}. = d) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} e) C = {trianglar och fyrhörningar} Vissa mängder används så ofta att de får speciella symboler N betecknar mängden av alla naturliga tal, ={ N 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } Z betecknar mängden av alla heltal, Z = { ... - 6, -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }, Q betecknar alla rationella tal, dvs. alla tal 2 s om kan skrivas som en kvot av två heltal, t ex Q . E 5 .fi. ffi. betecknar alla reella tal, t ex lR E .fi. (däremot i Q ) C betecknar alla komplexa tal, t ex är lösningarna 2 till ekvationen x = - 1 element i (C .. .. 9 MANGDLARA OCH KOMBINATORIK l Begreppen tom mängd, delmängd och grundmängd Den tomma mängden innehåller inga element och betecknas 0. Man kan konstruera en tom mängd på många sätt. Om A är mängden av alla heltal som är lösningar till ekvationen 2 x = 2 så är A lika med tomma mängden, eftersom det inte finns någon heltalslösning till ekvationen. Om B är en annan tom mängd, t ex mängden av alla negativa tal i intervallet 1 < x < 2, så är A och B samma mängd, den tomma mängden. Titta på de två mängdernaA = {4, 8} och B = {2, 4, 6, 8, 10}. Vi ser att alla element som finns i mängden A också finns i mängden B. Vi säger då att A en delmängd av B, vilket betecknas A c B. Ibland kan det vara lämpligt att tänka sig de förekommande mängderna som en delmängd av en grundmängd, som betecknas U. Om vi sysslar med mängder där elementen är människor kan U vara mängden av alla människor på jorden. Om elementen är reella tal kan det vara lämpligt att U = R är grundmängden. • A = {2, 4, 6}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} och C= {l, 2, 3} Gäller det att a) A är en delmängd av B? b) C är en delmängd av B? •• LOSNING a) Eftersom alla element i mängden A även ingår i mängden B är A en delmängd av B. Detta kan skrivas A c B. b) Det finns ett element i mängden C, elementet 1, som inte ingår i mängden B. Därför är inte C en delmängd av B. Cl: Detta kan skrivas C B . .. 1.1 MANGDER