Am atemáatoil caaddo,al inguangaetmu ral, constuimtadu iis cibpálsiinncaoa cs u rrículos escolareoss p dreismdeaein roodssee scolaridade, emt odoossl ugadroem su ndion,d ependentemente der açcar,e oduos istpeomlaí tico. Háu mc onsecnosmor elaaçoãf oa tdoeq ueo ensidnemo a temáéti incdai speens seámev leéel comsoe a a lfabetniãzosae tç iãvoe sse completado. Au tiliddama adtee mátican,ã oétc oldaarvai.a , Estfaa ldteca l arpeozdase e arp rincipal responpseálvdaeislf icuclrdôandiedcseqa use padesceeeu n sino. Matemáetr iecaal iddiasdcoeus tv eí ncudloo s conhecimmaetnetmoá ctoimca ro e aliodl audgea,r dam atemántoie cdai fcíiceinot eír feifclsoeo tber e osl ugacroemsu qnuspe r etencdaerma ctteariisz ar relações. O texntãoto r adteta é cnmiactae mántiecmda e, jogonse,ms ed estpianrat iculaa rmente especialistas. Am atemáétp iecnas acdoam uom b emc ultduer al intergeesrsqaeul ne, i ngupéomdi eg norar completasmeemen fteei ctoolsa tienrdaeisse jáveis. ® T:ez C.O R EDITORaA � e·o 1.1T oRASSAAOCIU ATDOORS@ ES Rua Biarra3t,8 7 05009- SãoP aluo - SP Tel(.0:1 1) 864-0111 NÍLSJOONS MAÉC HADO MATEMÁTICA E REALIDADE @C.ORTEZ EDITORA \'l:iEDITORA AUTORE@S ASSOCIADOS NILSON JOSÉ MACHADO- Professor de Prática de Ensino de Matemática da Faculdade de Educação da USP. É mestre em Filosofia da Educação pela PUC-SP, e doutorando na Facul dade de Educação da USP. É autor de vários livros didáticos para segundo grau e de outros livros paradidáticos. Dados de Catalogação na Publicaçio (CIP) Internacional (Câmara Brasileila do Livro, SP, Brasil) Machado, Nilson José, 1947- Ml32m Mátemática e realidade : análise dos pressupostos fi- losóficos que fundamentam o ensino da matemática f Nilson José Machado.--São Paulo: Cortez: Autores Associados, 1987. (Coleção Educação Contemporãnea) Bibliografia. ISBN 85-249-0080-6 1. Matemática - Estudo e ensino 2. Matemática Filosofia I. Título. 11. Título : Análise dos pressupos tos filosóficos que fundamentam o ensino da matemática. CDD-510.7 87-0074 -510.1 IÍtdices para catálago sistemático: I . Matemática : Estudo e ensino 510.7 2. Matemática : Filosofia 510.1 A meus amigos Aline, Danilo, Gustavo e Diego, credores pacientes de minha paz. MATEMATICA E REALIDADE- Análise dos pressupostos filosóficos que fundamentam o ensino da matemática Nilson José Machado Conselho editorial: Antonio Joaquim Severino, Casemiro dos Reis Filho, Dermeval Saviani, Gilberta S. de Martino Jannuzzi, Joel Martins, Maurício Tragtenberg, Miguel de La Puente, Milton de Miranda, Moacir Gadotti e Walter Esteves Garcia. Capa: Paulo F. Leite Produção editorial: José A. Cardoso Produção gráfica: Ciça Corrêa Revisão: Teima G. Dias Supervisão editorial: Antonio de Paulo Silva Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou duplicada sem auto rização expressa do autor e do editor. Copyright © 1987 by Nilson José Machado Direitos para esta edição COR TEZ EDITORA/ AUTORES ASSOCIADOS .. Rua Bartira, 387 - Te!.: (011) 864-0111 05009 - São Paulo - SP Impresso no Brasil 1987 Sumário I.___ ________ ____. CONSIDERAÇõES INICIAIS ....................... . 7 INTRODUÇÃO ................................... . 9 I - ALGUNS PONTOS bE VISTA ..................... . 19 1. Platão, Aristóteles, Leibniz, Kant .................. . 19 2. Logicismo, Formalismo, Intuicionismo .............. . 25 3. Piaget ......................................... . 41 II- ALGUNS LUGARES-COMUNS: CRITICA ........... . 47 1. "A Matemática é independente do empírico" ....... . 49 2. "A Matemática é o estudo das estruturas abstratas" .. 54 3. "A Matemática ensina a pensar" .................. . 58 III - ALGUMAS RELAÇõES ........................... . 63 1. A Matemática e as Ciências 64 2. A Matemática e os Modelos ...................... . 72 3. A Matemática e a Dialética ...................... . 78 CONSIDERAÇõES FINAIS ........................ . 91 EPíLOGO ....................................... . 97 BIBLIOGRAFIA 101 5 Cons1deracões Iniciais ---~ L..--1 O termo matemática é de origem grega; significa "o que se pode aprender" (mathema quer dizer aprendizagem). Quem procura o signi· ficado deste termo em um dicionário, possivelmente é levado a outras concepções: Matemática: "Ciência que investiga relações entre entidades definidas abstrata e logicamente" (Aurélio) Matemática: "Ciência que lida com relações e simbolismos de nú meros e grandezas e que inclui operações quantitativas e soluções de problemas quantitativos" (Enc. Britânica) Há, no entanto, nessas fontes, o registro de termos com a mesma origem e que mantiveram o significado inicial. Por exemplo, a partir de mathesis (aquisição de conhecimento, aprendizagem), temos: Matesiologia: ciência do ensino em geral. (Aurélio). Matética: conjunto de princípios norteadores que regem a aprendi zagem. (Enc. Britânica). O próprio Leibniz, no século XVII, ao imaginar um sistema geral, uma linguagem para fundamentação do raciocínio em todas as ciências, chamou esse sistema de Mathesis Universalis. Também Descartes chamou de Matemática Universal a ciência geral que deve conter os primeiros rudimento& da razão humana e alargai sua ação até fazer brotar verdades de qualquer assunto. Hoje, muito freqüentemente, a Matemática tem sido tratada como se duas dimensões a esgotassem: a técnica, destinada a especialistas, e a lúdica. Ao cidadão comum, não especialista, restaria apenas a dimensão lúdica. Nada há de mais equivocado. Em todos os lugares do mundo, independentemente de raças, credos ou sistemas políticos, desde os primeiros anos de escolaridade, a Mate mática faz parte dos currículos escolares, ao lado da Linguagem Natural, como uma disciplina básica. Parece haver um consenso com relação ao fato de que seu ensino é indispensável e sem ele é como se a alfabeti zação não se tivesse completado. Essa aparência de necessidade lembra, no entanto, o epigrama de Cocteau: "A poesia é indispensável. Se eu soubesse ao menos para quê ... ". De fato, a 'falta de clareza com relação ao papel que a Matemática deve desempenhar no corpo de conhecimentos sistematizados pode ser o principal responsável pelas dificuldades crônicas de que padece seu ensino. Neste trabalho, discutimos os vínculos do conhecimento matemático com a realidade, o lugar da Matemática no edifício científico, e refle timos sobre certos lugares-comuns que pretendem caracterizar tais re lações. Ao longo do texto, não falamos de técnicas matemáticas nem de · ,' jogos. Outras são___!!§__ dimensões examinadas. Não nos dirigimos apenas .c. aos especialistas.( Pensamos na Matemática como um bem cultural dé';.Ai interesse_ absoluta;;;;;nte geral, que ninguém pode ignorar completamente' sem efeitos colaterais indesejávei;:- Os dicionários também registr'am a palavra Mateologia: "estudo inú til de assuntos superiores ao alcance de entendimentos humanos" (Au rélio). Sua origem é a palavra grega mátaios que quer dizer fútil. Em con seqüência de uma visão distorcida, ao estudar Matemática muitos tem impressão de estudar Mateologia, Tal visão inverte a relação fundamental existente entre os objetos matemáticos e a realidade concreta: ao invés de concebê-los como criações, elaborações, abstrações que visam à ação sobre essa realidade, trata-os como se pré-existissem, em um universo à parte, de onde concederiam aplicações ao mundo empírico. Para a superação dos problemas com o ensino da Matemática é necessária uma reaproximação entre seu significado e aquele que tinha originalmente, que está intimamente relacionado ao desenvolvimento dos primeiros rudimentos da razão, à fundamentação do raciocínio em todas as ciências. Este trabalho visa a essa reaproximação.