2013 MATEMÁTICA APLICADA P I ARA NGRESANTES TECNICATURA SUPERIOR EN HIGIENE Y SEGURIDAD EN EL TRABAJO. TECNICATURA SUPERIOR EN MECATRONICA. TECNICATURA SUPERIOR EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL. TECNICATURA SUPERIOR EN PROGRAMACIÓN. TECNICATURA SUPERIOR EN SEGURIDAD VIAL. Ing. Walter Alberto Cáseres - Compaginación: Srta. Ana Sol Liendro, Srta. Noelia Vargas. Cartilla de Ingreso 2013 Matematica Área de Carreras Cortas y Licenciaturas CONJUNTOS NUMÉRICOS  Números Naturales y Enteros. Propiedades  Números Racionales. Propiedades.  Números Irracionales. Propiedades. Notación científica  Números Reales. Estructura algebraica  Números complejos. Estructura algebraica EXPRESIONES ALGEBRAICAS  Clasificación de las expresiones algebraicas  Polinomios. Valor numérico. Cero de un Polinomio  Operaciones entre polinomios.  Regla de Ruffini y Teorema del Resto  Teorema del Factor y Teorema Fundamental del Álgebra Factoreo  Expresiones algebraicas fraccionarias. Operaciones y Simplificación TRIGONOMETRIA  Ángulos y Sistemas de medición  Razones trigonométricas  Resolución de Triángulos Rectángulos  Circunferencia trigonométrica  Relación entre ángulos de distintos cuadrantes  Triángulos Oblicuángulos. Teoremas del Seno y del Coseno ECUACIONES  Clasificación General  Ecuaciones lineales  Sistemas de ecuaciones lineales 2x2  Ecuaciones Cuadráticas  Ecuaciones Racionales e Irracionales  Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas  Sistemas Mixtos  Ecuaciones e Identidades Trigonométricas FUNCIONES  Conceptos preliminares  Producto Cartesiano y Relación  Función. Conceptos generales  Función Constante  Función Lineal  Función Cuadrática  Funciones definidas por tramos 1 Cartilla de Ingreso 2013 Matematica Área de Carreras Cortas y Licenciaturas Símbolos matemáticos de uso frecuente Algunas letras del alfabeto griego 2 Cartilla de Ingreso 2013 Matematica Área de Carreras Cortas y Licenciaturas CONJUNTOS NUMERICOS Introducción Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de un símbolo. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral. Pensamos en números cuando contamos personas, vemos la hora, medimos la temperatura, comparamos velocidades, pesamos cuerpos, etc… A lo largo de la historia cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la actualidad aún se usa, el sistema de numeración romana, que se desarrollo en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Era un sistema de numeración no posicional en el que se usan letras mayúsculas como símbolos para representar a los números: I, V, X, L, C , D , M El sistema universalmente aceptado actualmente (excepto algunas culturas) es el Sistema de Numeración Decimal. Es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras cero (0); uno(1): dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes. Objetivos  Definir a los conjuntos numéricos  Distinguir entre racional e irracional, entre real y complejo  Recordar la aritmética de los números reales y complejos  Adquirir habilidad en la resolución de situaciones problemática Conceptos previos  Conceptos básicos de lógica proposicional.  Teoría de Conjuntos Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es más completa y con mayores posibilidades en sus operaciones. Están representadas en el siguiente mapa conceptual 3 Cartilla de Ingreso 2013 Matematica Área de Carreras Cortas y Licenciaturas Definición Los números Naturales son los números que usamos para contar u ordenar los elementos de un conjunto no vacio Simbólicamente: N = {1,2,3,4,5,....n,n +1,.....} Operaciones La suma y el producto de números naturales son siempre naturales. En cambio la diferencia no siempre es otro natural. Simbólicamente: Si a € N y b € N , entonces a+b € N (a y b se llaman términos o sumandos) Si a € N y b € N , entonces a.b € N (a y b se llaman factores) 4 Cartilla de Ingreso 2013 Matematica Área de Carreras Cortas y Licenciaturas NUMEROS ENTEROS Para dar solución al problema que se presenta al restar números naturales donde el minuendo es igual o menor al sustraendo, se crearon otros números que amplia al conjunto de números naturales. Se agregan el número cero y los números opuestos a los naturales De ese modo 3 – 3 = 0 y 3 – 7 = -4 Definición El conjunto de los números Enteros está formado por la unión de los naturales, el cero y los opuestos de los naturales Simbólicamente se expresan Z= {...... -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, .....} Los números enteros permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos acreedores o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las alturas sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etc…). En un gráfico de conjuntos se aprecia claramente que N ⊆ Z Se representa a los números enteros en una recta graduada, donde se elige un punto arbitrario para representar al 0 (al cual le llamaremos origen) y se adopta un segmento como unidad y la convención de que para la derecha estarán los números enteros positivos (naturales) y para la izquierda estarán los enteros negativos (opuestos de los naturales). Operaciones en Z La suma y el producto de enteros es siempre otro entero. 5 Cartilla de Ingreso 2013 Matematica Área de Carreras Cortas y Licenciaturas La diferencia a – b es considerada como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo a – b = a + ( -b ) donde a es el minuendo y b es el sustraendo La división entre los enteros a y b, con b≠ 0, arroja como resultados dos números enteros llamados cociente (q) y resto) A a se le dice dividendo y a b se le dice divisor. Caso particular: Si r = 0, entonces a = b.q Se dice que la división es exacta, que “a es múltiplo de b”, que “a es divisible por b”, que “b es factor de a” o que “b es divide a a” 6 Cartilla de Ingreso 2013 Matematica Área de Carreras Cortas y Licenciaturas La división por 0 no está definida. Ejemplos: 2: 0 y 0: 0 no existen!!!!! 7 Cartilla de Ingreso 2013 Matematica Área de Carreras Cortas y Licenciaturas 8 Cartilla de Ingreso 2013 Matematica Área de Carreras Cortas y Licenciaturas En el caso de tener expresiones algebraicas (expresiones que combinan números y letras) puede aplicarse, de ser necesario, la definición de potenciación y así encontrar una expresión algebraica equivalente Productos notables Las siguientes expresiones resultan de aplicar la definición de potenciación y las propiedades de la suma y el producto. Reciben el nombre de productos notables 9