FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Dr. Franz Meyers von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt DK 531.133.3:531.395 Nr. 1035 Dr.-Ing. Walter Rath Lehrstuhl für Getriebelehre an der Technischen Hochschule Aachen Massenkräfte in den Lagern sphärischer Getriebe Als Manuskript gedruckt WESTDEUTSCHER VERLAG I KOLN UND OPLADEN 1961 ISBN 978-3-663-03714-9 ISBN 978-3-663-04903-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-04903-6 G I i e der u n g . . . Vorwort · s. 5 · . . . . · . . . . · . . 1. Einleitung. · s. 7 · · · s. 2. Massenkräfte und -momente der einzelnen Glieder. 13 2.1 Massenkräfte des Antriebsgliedes · · · · · · · · · · s. 13 2.2 Massenkräfte und -momente des Abtriebsgliedes. · s. 14 2.3 Massenkräfte und -momente der Koppel · · · · · · s. 17 2.31 Zerlegung der gesamten Massenträgheitswirkung.e n in einzelne Kräfte und Momente · · · · s. 17 2.32 Bestimmung von ~fc' · · · · · · s. 19 . 2.33 Bestimmung von :P · · · · · · · · · • · s. 25 n rel c 2.34 Bestimmung von ~t · · · · · s. 25 rel c . 2.35 Bestimmung von ~ • · · · · · · · · · · · s. 27 ce . . . 2.36 Bestimmung von liL · · · · · · · · • s. 30 c 3. Lagerkräfte und -momente, die durch Kräfte und Momente der s. einzelnen GI ieder hervorgerufen werden •• •• • • • 32 3.1 Lagerkräfte und -momente, die durch Massenkräfte des An- triebsgliedes hervorgerufen werden • • • • • • • • S. 32 3.2 Lagerkräfte und -momente, die durch Massenkräfte und -momente des Abtriebsgliedes hervorgerufen werden.. '. S. 51 3.3 Lagerkräfte und -momente, die durch die Massenkräfte und -momente der Koppel hervorgerufen werden • • • • • • • • • s. 65 4. Massenkräfte und -momente des Kreuzgelenkes als Beispiel •• • S. 78 Literaturverzeichnis ••••.•.••••••.•••••••• • S. 81 Seite 3 Vor w 0 r t Räumliche Getriebe treten immer mehr in den Vordergrund, und man darf sich nicht nur auf Untersuchungen ihrer Kinematik, wie sie im Forschungs bericht Nr. 873 für die sphärische Schubkurbel und in weiteren vorange gangenen Veröffentlichungen des Unterzeichneten dargestellt wurde, be schränken, sondern es bedarf auch der Untersuchung der besonders bei hohen Drehzahlen merkbaren Massenkräfte. In der vorliegenden Arbeit mei nes Mitarbeiters, Dr.-Ing. W. RATH, werden nun Wege zur Errechnung der Massenkräfte in den Lagern sphärischer Getriebe gezeigt. Dabei werden von der anschaulichen Seite her die Momente sowie die Kräfte ermittelt und dann anschließend in die Gestalt von Formeln gekleidet - mit Metho den, wie sie in gleicher Weise auch für ebene, in dieser Hinsicht aller dings einfachere Getriebe, vom Unterzeichneten benutzt wurden. In folgenden Arbeiten sollen weitere spezielle und häufig benutzte sphä rische Getriebe als Sonderfälle behandelt und sollen durch Messungen die theoretischen Ergebnisse nachgeprüft werden. Dem Kultusministerium sei wiederum für die Unterstützung der vorliegen den Untersuchungen ein besonderer Dank ausgesprochen. Prof.Dr.-Ing. W.MEYER ZUR CAPELLEN Aachen, im Januar 1961 Seite 5 1. Einleitung Bei der Bestimmung der Trägheitswirkungen der einzelnen Getriebeglieder eines allgemeinen sphärischen Getriebes und ihrer Auswirkungen auf die Lager werden die Übertragungskräfte, die Reibung und das Gewicht der Ge triebeglieder in die Untersuchungen nicht mit einbezogen. Um die kompli zierten Rechnungen etwas zu vereinfachen, wird eine konstante Antriebs drehzahl angenommen. Das heißt, daß der Antriebsmotor ein veränderliches Drehmoment, das durch die Trägheitswirkungen der Getriebeglieder hervor gerufen wird, aufnehmen muß. Die Getriebeglieder werden als starr ange nommen, was zur Folge hat, daß mit den Regeln der Statik die Kräfte und Momente in den Lagern bestimmt werden können. Die Auswirkungen der Mas sen der Getriebeglieder auf die Gelenke werden einzeln untersucnt, wobei die übrigen Glieder als masselose Stäbe angenommen werden. Anschließend lassen sich die einzelnen Komponenten der Kräfte und Momente in den La gern superponieren. Zur Berechnung der Massenkräfte ist die Kenntnis der Bewegungsgesetze, vor allem der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen, Voraussetzung. Des halb soll kurz auf diese eingegangen werden. "-J/I A b b i 1 dun g 1 Sphärischer Kurbeltrieb Eine allgemeine sphärische Viergelenkkette zeigt Abbildung 1. Hier ist a (X der Antriebswinkel, mit dem sich das Antriebsglied A A = = 1 um die o Achse I dreht,ß der Drehwinkel des Abtriebsgliedes B B b = 3 um die o Achse 111. Mit 61 wird der Drehwinkel der Koppel AB = c = 3 gegenüber dem Antriebsglied, mit 62 der Drehwinkel der Koppel gegenüber dem Ab- Seite 7 triebsglied bezeichnet. Um die Richtungen von Geschwindigkeiten, Be schleunigungen, Kräften, Momenten und die Lage einzelner Punkte, wie z.B. Schwerpunkte, festzulegen, werden die rechtwinkligen, rechtssinnigen räum lichen Koordinatensysteme nach den Abbildungen 2a, 2b und 2c eingeführt. x A b b i 1 dun g 2a A b b i 1 dun g 2b Koordinatensysteme am Antriebs- Koordinatensysteme am Abtriebs- glied glied A b b i 1 dun g 2c Koordinatensysteme an der Koppel Seite 8 Diese Koordinatensysteme werden allen weiteren Berechnungen zugrunde ge ß legt. Ähnlich wie beim ebenen Getriebe läßt sich der Winkel folgender maßen zerlegen (Abb.3): (1-1 ) ß KS ist der Abtriebswinkel einer sphärischen Kurbelschleife. Mit ~ wird der Winkel zwischen den Ebenen OB B und OB A bezeichnet. Für die Getriebe o 0 A b b i 1 dun g 3 Zerlegung des Abtriebswinkels ß einer sphärischen Viergelenkkette in den ß Abtriebswinkel einer sphärischen Kurbelschleife und in die Überlage KS rung ~ mit den Gliedlängen b c = ~ gilt der Winkel~=~. Mit f wird der Bogen AB bezeichnet. Nach dem Seitencosinussatz der sphärischen Trigonometrie o errechnet sich f zu cosf cosä . cosd - sina . sind cosC1 • (1-2 ) ß Unter Anwendung des Sinussatzes lassen sich KS und ~ berechnen aus - 1 sinßKS = sina s in (l( (1-3) sin f und - 1 . sin~ = sinc sinOC (1-4) sin f Ebenso ergeb°en sich durch weitere Formeln der sphärischen Trigonometrie die Winkel 1 und 62• Es gilt: cosacosd-cosbcosc sinasind ----cosCX (1-5 ) sinbsinc sinbsinc Seite 9 ö1 wird in zwei Winkel zerlegt: ö1 = ö+1 + ö+1 + mit . 5+ 1 Sl.n 1 sind sinct (1-6) sinf und . 5++ . b 1 . 6 Sl.n 1 Sl.n --_- Sl.n 2 • sinf Aus diesen Winkeln lassen sich die Übersetzungsverhältnisse herleiten. Wenn W10 die Winkelgeschwindigkeit des Gliedes 1 gegenüber 0'W 30 die Winkelgeschwindigkei t von 3 gegen 0, (JJ 21 die von 2 gegen 1 und W 23 die von 2 gegen 3 ist, dann sind die auf W bezogenen Winkelgeschwindig 10 W /W W /W keiten die Übersetzungsverhältnisse i = , i = , i 30 30 10 21 21 10 23 W23/W10• Es ist somit . dß dßKS ~ (1-8) l.30 = doc = ~ + dct d51 d5~ döt+ (1-9) i21=~=~+ dCi und (1-10) Aus den allgemeinen Bewegungsgesetzen lassen sich die Gesetze für Sonder fälle, wie z.B. die sphärische Doppelschleife (das Kreuzgelenk) (Abb.4), die sphärische Kreuzschleife (Abb.5), die sphärische Kurbelschleife (Abb.6) und die sphärische Schubkurbel (Abb.7) herleiten [2,3,4,5,6,7J. Die Bewegungsgesetze sind in den einzelnen Veröffentlichungen untersucht worden, deshalb sollen hier nur noch einige allgemeine Bemerkungen ge macht werden. Bei der Doppelschleife, der Kreuzschleife und der Kurbel c schleife ist "Ei = = ~. Damit wird f = 52. Die Komponente 4> wird ~. Als Abtriebswinkel soll hier ß = ß gelten. KS Doppelschleife: tgß = tgCi (1-11) cosd Kreuzschleife: tgß = tgasinct , (1-12) =(:~~d in~ ~ ::~ Kurbelschleife: sN) tgß s / + co Sei te 10 \ I 11I A b b i 1 dun g 4 A b b i 1 dun g 5 Sphärische Doppelschleife Sphärische Kreuzschleife JI[ _ . !. / I A b b i 1 dun g 6 A b b i 1 dun g 7 Sphärische Kurbelschleife Sphärische Schubkurbel Nachfolgend sind die wesentlichen Bezeichnungen, die benutzt wurden, zu sammengestellt. Bei den geometrischen Untersuchungen bedeuten: - AA a Antriebskurbel (Nr.1 ) 0 B8 'Ei Abtriebsglied (Nr.3) 0 - AB c Koppel (Nr.2) A B CI Gestell (Nr.4 = 0) o 0 Seite 11 L Lager bei Ao AO LA Lager bei A LBo Lager bei Bo LB Lager bei B o = Kugelmittelpunkt R Kugelradius I Antriebsachse 111 Abtriebsachse x,y,z Koordinaten in den gliedfesten Koordinatensystemen Koordinaten in den gestellfesten Koordinatensystemen ä,b,c S ,Sb' S Schwerpunkte der Glieder a c Ci Antriebswinkel (Kurbelwinkel) ß Abtriebswinkel W Winkelgeschwindigkeit E Winkelbeschleunigung v Geschwindigkeit b Beschleunigung i Übersetzungsverhältnis i'=di/d.cx. Beschleunigungsverhältnis 51 Schnittwinkel der Ebenen OA A und OAB o 5 Schnittwinkel der Ebenen OBoB und OAB 2 2d A=tg "2 Parameter bei der sphärischen DOPF2lschleife, dem Kreuzgelenk 2ä A=tg "2 Parameter bei der sphärischen Kreuzschleife, dem Hookeschen Schlüssel. Bei den dynamischen Untersuchungen bedeuten: c ä, b, m ,mb,m Massen der Glieder a c e Trägheitsmoment E kinetische Energie 12 Kraft vom Betrage P 0& Moment vom Betrage M z. B. : Kraft, die im Lager B durch die Trägheitswirkungen des An- ~aBo3x o triebsgliedes hervorgerufen wird und vom Gestell in x-Richtung auf das Glied 3 (Abtriebsglied) ausgeübt wird Kraft, die im Lager A durch die Trägheitswirkungen der Kop ~cAo1z o pel hervorgerufen wird und vom Gestell in z-Richtung auf das Glied 1 (Antriebsglied) ausgeübt wird Seite 12