Maîtriser l’aléatoire Springer Paris Berlin Heidelberg New York Hong Kong Londres Milan Tokyo Eva Cantoni Philippe Huber Elvezio Ronchetti Maîtriser l’aléatoire Exercices résolus de probabilités et statistique Eva Cantoni Philippe Huber Département d’économétrie Département d’économétrie Université de Genève Université de Genève 40, boulevard du Pont d’Arve 40, boulevard du Pont d’Arve 1211 Genève 4 1211 Genève 4 Suisse Suisse Elvezio Ronchetti Département d’économétrie Université de Genève 40, boulevard du Pont d’Arve 1211 Genève 4 Suisse ISBN-10 :2-287-34069-6 Springer Paris Berlin Heidelberg New York ISBN-13 :978-2287-34069-7 Springer Paris Berlin Heidelberg New York © Springer-Verlag France, Paris, 2006 Imprimé en France Springer-Verlag France est membre du groupe Springer Science + Business Media Cet ouvrage est soumis au copyright. Tous droits réservés,notamment la reproduction et la représentation la traduction,la réimpression,l’exposé,la reproduction des illustrations et des tableaux,la transmission par voie d’enregistrement sonore ou visuel,la reproduction par microfilm ou tout autre moyen ainsi que la conservation des banques de données. La loi française sur le copyright du 9septembre 1965 dans la version en vigueur n’autorise une reproduction intégrale ou partielle que dans certains cas,et en principe moyennant le paiement de droits. Toute représentation,reproduction,contrefaçon ou conservation dans une banque de données par quelque procédé que ce soit est sanctionnée par la loi pénale sur le copyright. L’utilisation dans cet ouvrage de désignations, dénominations commerciales, marques de fabrique, etc. même sans spécification ne signifie pas que ces termes soient libres de la législation sur les marques de fabrique et la protection des marques et qu’ils puissent être utilisés par chacun. La maison d’édition décline toute responsabilité quant à l’exactitude des indications de dosage et des modes d’emploi. Dans chaque cas,il incombe à l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. SPIN:11752523 Maquette de couverture :Jean-François Montmarché Collection Statistiques et probabilités appliquées dirigée par Yadolah Dodge Professeur Honoraire Université de Neuchâtel 2002 Neuchâtel - Suisse Comité éditorial : Christian Genest Stephan Morgenthaler Département de Mathématiques École Polytechnique Fédérale et de statistique de Lausanne Université de Laval Département des Mathématiques Québec GIK 7P4 1015 Lausanne Canada Suisse Marc Hallin Gilbert Saporta Université libre de Bruxelles Conservatoire national Campus de la Plaine CP 210 des arts et métiers 1050 Bruxelles 292,rue Saint-Martin Belgique 75141 Paris Cedex 3 France Ludovic Lebart École Nationale Supérieure des Télécommunications 46,rue Barrault 75634 Paris Cedex 13 France Dans la même collection : — Statistique. La théorie et ses applications, Michel Lejeune, avril 2004 — Le choix Bayésien.Principes et pratique, Christian P.Robert, novembre 2005 Pr´eface Cet ouvrage est le r´esultat de l’exp´erience p´edagogique des dix derni`eres ann´ees`al’Universit´edeGen`evedanslecadrededeuxcoursdebasesemestriels de probabilit´eset statistique auniveaubachelor. Dans ces cours sontpr´esent´es les concepts de base des probabilit´es ainsi que de l’inf´erence statistique. Ces domaines ne sont pas des « sports pour des spectateurs » mais exigent un apprentissage actif des concepts pr´esent´es en classe. D’ou` la n´ecessit´e d’une grandequantit´ed’exercicesquipermettentd’assimileretmaˆıtrisercesconcepts. Dans cet ouvrage, on a recueilli 212 probl`emes r´esolus, structur´e en huit chapitres pour des raisons de clart´e. A` l’int´erieur de chaque chapitre, les exer- cices sont s´epar´es par th`eme, avec, pour chaque th`eme, un niveau de difficult´e qui va en augmentant. A` la fin de chaque chapitre, sont indiqu´ees quelques r´ef´erences qui couvrent les aspects th´eoriques (non trait´es ici). Cetouvragepeutˆetreutilis´ecommecompl´ementdetoutlivredeprobabili- t´es etstatistique dansle cadrede coursde basedans des domainesaussivari´es que les sciences ´economiques, la psychologie, les sciences sociales, les math´e- matiques, les sciences naturelles et la m´edecine. Il peut aussi ˆetre utilis´e dans le cadrede coursde pr´eparation`a l’entr´eedans unprogrammede master dans un domaine ou` ces connaissances sont exig´ees, ainsi que pour l’autoformation et la pr´eparation d’examens. Plusieurs personnes nous ont aid´es et inspir´es au cours de ce projet. Nous tenons `a remercier les assistants qui ont collabor´e au cours, F.X. de Rossi, V. Czell`ar, D. Conne, S. Loˆ. Le choix de certains exercices a ´et´e largement influenc´e par les travaux pratiques de la Chaire de Statistique Appliqu´ee de l’E´cole Polytechnique F´ed´erale de Lausanne (EPFL) et aussi par l’excellent livredeS.M.Ross(1987);quetoutescespersonnestrouventicil’expressionde notre gratitude. Pourterminer,noustenons´egalement`aremercierMmeN.Huilleret,´editrice aux ´editions Springer-Verlag France, et notre coll`egue le Professeur Y. Dodge, responsable de la Collection statistique et probabilit´es appliqu´ees, pour leurs pr´ecieux conseils et leurs encouragements. Gen`eve, juin 2006 Eva Cantoni Philippe Huber Elvezio Ronchetti Web: http://www.unige.ch/ses/metri/cantoni/Maitriser/index.html Sommaire Pr´eface vii 1 Probabilit´es ´el´ementaires 1 2 Variables al´eatoires discr`etes 23 3 Variables al´eatoires continues 45 4 Variables al´eatoires multivari´ees 81 5 Th´eor`emes limites 113 6 Principes d’induction statistique et ´echantillonnage 125 7 Estimation ponctuelle 133 8 Inf´erence 179 Chapitre 1 Probabilit´es ´el´ementaires Introduction Les exercicesde ce chapitre concernentles r`eglesde base du calculdes pro- babilit´es. Dans beaucoup de probl`emes ´el´ementaires on calcule la probabilit´e d’un´ev´enementcomme {nombrede casfavorables`al’´ev´enement}/{nombrede cas possibles}. Cela implique la connaissance de quelques formules de base de l’analyse combinatoire.Un autre outil utile est la constructiond’une structure `aarbrequirepr´esentegraphiquementtoutesless´equencespossiblesd’uneexp´e- riencer´ep´et´ee.Danscecontexte,lanotiondeprobabilit´econditionnellepermet decalculerdesprobabilit´escomplexes`apartirdesituationsplussimples.Enfin, leth´eor`emedeBayesestunr´esultatfondamentalquipermetd’«inverser»une probabilit´e conditionnelle (voir en particulier l’exercice 1.19 et la suite l’exer- cice 2.1). Notes historiques La notion d’al´eatoire et le concept intuitif de probabilit´e remontent `a l’anti- quit´e mais c’est au XVIe et au XVIIe si`ecle que des r`egles ´el´ementaires de calcul sont d´evelopp´ees. La fameuse correspondance entre les math´ematiciens franc¸ais Pascal et Fermat en 1654, concernant un probl`eme du jeu au hasard propos´eparunnobledel’´epoque,leChevalierdeM´er´ee(voirl’exercice1.6),est consid´er´ee comme le point de d´epart du « calcul » des probabilit´es. Parmi les grands savants qui ont travaill´e par la suite sur des probl`emes de probabilit´es on peut mentionner Jacob Bernoulli avec son oeuvre Ars Conjectandi (1713) ainsi que d’autres membres de cette famille unique de math´ematiciens suisses, de Moivre avec son oeuvre Doctrine des chances (1718) et ensuite Laplace, Euler,Gauss,Lagrangeet Legendre.Jusqu’aud´ebut du XXe si`eclele domaine desprobabilit´esrestaunchampdesmath´ematiquesconstitu´ed’unensemblede r´esultats (int´eressants et utiles) mais sans aucune base axiomatique. En 1900 Hilbert´enonc¸a son fameux programmequi contenaitcomme sixi`eme probl`eme 2 Maˆıtriser l’al´eatoire led´eveloppementd’unestructureaxiomatiquepourlesprobabilit´es.En1933le math´ematicien russe A.N. Kolmogorovreleva le d´efi en publiant un article qui pr´esentait les fameux axiomes `a la base du calcul des probabilit´es. Les proba- bilit´es devenaient alors un domaine des math´ematiques `a part enti`ere comme la g´eom´etrie, l’alg`ebre ou encore l’analyse. R´ef´erences (th´eorie) Ilexistebeaucoupdelivressurlesprobabilit´es.Deuxbonnesr´ef´erencessont Ross, chapitres 1 `a 3 [1] et Pitman, chapitre 1 [2].