Liceo cantonale di Locarno Lo sviluppo dei modelli atomici da Thomson alla fisica quantistica Lavoro di maturit`a Marco Tognetti 2007-2008 Professori responsabili: Boffa Gianni e Ferrari Christian Indice Indice II 1 Spettroscopia dei gas 1 1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Lo spettro dell’idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Modello atomico di Rutherford 7 2.1 Esperimenti di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 L’atomo di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.2 L’esperienza di Marsden e di Geiger . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Il modello atomico di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.1 Applicazioni del modello atomico di Rutherford . . . . . . . . . 11 2.2.2 L’esperimento della lamina d’oro . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.3 I problemi del modello atomico di Rutherford . . . . . . . . . . 11 3 L’atomo di Bohr 15 3.1 I postulati di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 L’atomo di idrogeno secondo Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.1 Costruzione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.2 La spiegezione dello spettro dell’idrogeno secondo Bohr . . . . . 21 4 La meccanica ondulatoria 25 4.1 Le equazioni di de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.1 La prima orbita dell’idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1.2 Prove empiriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Onde classiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.1 L’equazione d’onda o di d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.2 Le onde stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Il principio di indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . 33 4.4 L’equazione d’onda per gli elettroni o anche detta di Schr¨odinger . . . . 36 4.5 L’interpretazione di ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 II III Indice 5 Modelli a una dimensione 41 5.1 Qualche precisazione riguardo l’equazione di Schr¨odinger . . . . . . . . 41 5.2 Elettrone unidimensionale libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3 Elettrone in una scatola unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.4 Elettrone unidimensionale in una buca di potenziale . . . . . . . . . . . 48 5.5 L’effetto tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.6 Elettrone unidimensionale racchiunso in una sfera . . . . . . . . . . . . 66 6 L’atomo di idrogeno 73 6.1 Soluzione dell’equazione per Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2 Soluzione dell’equazione per Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.3 Soluzione della parte angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.4 Soluzione dell’equazione per R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.5 Interpretazioni delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.6 I livelli energetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.7 Il significato fisico degli orbitali s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.8 Il significato fisico degli orbitali p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.9 Il significato fisico degli orbitali d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.10 Orbitali e distribuzioni di probabilit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.11 Immagini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 A Operatori 101 B Il gradiente in coordinate sferiche 103 C Numeri complessi 107 C.1 Il campo dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 C.2 Equazioni in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 D Immagini di densit`a elettroniche di altre sostanze 111 Bibliografia 117 Capitolo 1 Spettroscopia dei gas 1.1 Introduzione I primi studi effettuati nel campo della spettroscopia dei gas furono eseguiti dal fisico scozzese Mellvill nell’anno 1752. Scopr`ı che lo spettro della luce emessa da un gas eccitato `e diverso dallo spettro continuo emesso dai liquidi e dai solidi incandescenti. Interponendo una piccola fenditura il fascio di luce emesso si visualizza cos`ı sottoforma di una serie di strisce luminose, ognuna caratterizzata da una lunghezza d’onda ben determinata. A dipendenza del’elemento chimico riscaldato (o sottoposto a scariche elettriche) lo spettro d’emissione risulta diverso. 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 620 640 660 680 700 720 Figura 1.1: Lo spettro d’emissione del magnesio, le lunghezze d’onda sono espresse innm. Nel 1823 l’astronomo inglese Herschel avanz`o la seguente ipotesi: ogni gas ha un suo caratteristico spettro a righe. Inizi`o cos`ı un periodo di scoperte che portarono allo sviluppo della tecnica detta analisi spettrale, la quale permette di individuare la composizione chimica, in modo rapido, di esigue quantit`a di materia. Risale a questo periodo (1860) la scoperta del rubidio e del cesio da parte del fisico R. Kirchhoff e del chimico W. Bunsen. Ma torniamo al 1802, quando lo scienziato inglese Wollaston not`o che lo spettro della luce solare `e interrotto da sette linee nere. Grazie a strumenti migliori, il fisico tedesco vonFrauenhofer, determin`o ulteriorinovantainterruzioni. Inseguito, Kirchhoff nel1859,dimostr`ocheselaluce(dispettrocontinuo)emessadaunsolidoincandescente viene fatta passare da vapori di sodio (a bassa temperatura) poi dispersa da un prisma lospettromostra duerighenettescure dellastessa lunghezza d’onda diunpaiopresenti 1 1.2. Lo spettro dell’idrogeno 2 nello spettro della luce solare. Se ne trasse cos`ı la conclusione che ogni gas assorbe, dalla luce bianca che lo attraversa, solo le radiazioni di una determinata lunghezza d’onda, esse sono nel contempo quelle emesse se eccitato. Si noti per`o che nello spettro d’assorbimento nonsono presenti tutte le righe dello spettro d’emissione (il motivo sar`a visto in seguito). Grazie all’analisi spettrale combinata con lo studio delle righe nere 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 620 640 660 680 700 720 Figura 1.2: Lo spettro d’emissione del litio, le lunghezze d’onda sono espresse innm. 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 620 640 660 680 700 720 Figura 1.3: Lo spettro di assorbimento del litio, le lunghezze d’onda sono espresse innm. delle stelle e del sole si `e giunti a tre importanti conclusioni: 1. `e possibile scoprire la composizione chimica di oggetti posti a grandissima distanza; 2. in essi sono presenti le stesse sostanze chimiche (confronto degli spettri); 3. i processi fisici di assorbimento della luce da parte dell’atomo sono uguali in tutto l’universo. E` questa la dimostrazionedell’ universalit`a delle leggifisiche, opinione sostenuta da Newton e Galileo. 1.2 Lo spettro dell’idrogeno Johann Jakob Balmer, un’insegnante svizzero, studi`o lo spettro dell’idrogeno perch´e si tratta dell’elemento piu` semplice da studiare e composto da una serie di righe appar- entemente regolari nello spettro visibile. Nel 1885 scopr`ı empiricamente la seguente formula n2 λ = b n Z (1.1) n2 22 ∈ (cid:18) − (cid:19) dove b `e una costante empirica di valore 3645.6˚A e n `e un numero intero diverso a dipendenza della riga (3 per la prima riga, il rosso; 4 per il verde, 5 per il blu e 6 3 Capitolo 1. Spettroscopia dei gas Figura 1.4: Johann Jakob Balmer.[44] 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 620 640 660 680 700 720 Figura 1.5: Lo spettro d’emissione dell’idrogeno. per il violetto). La seguente tabella mostra la precisione (entro lo 0.02 %) tra i valori sperimentali e quelli teorici. nome della riga n formula di Balmer risultato sperimentale differenza H 3 6562.08 ˚A 6562.10 ˚A +0.02 ˚A α H 4 4860.80 ˚A 4860.74 ˚A 0.06 ˚A β − H 5 4340.00 ˚A 4340.10 ˚A +0.10 ˚A γ H 6 4101.30 ˚A 4101.20 ˚A +0.10 ˚A δ La serie di Balmer pu`o anche essere riscritta in una maniera piu` utile ossia: 1 1 1 = R n Z (1.2) H λ 22 − n2 ∈ (cid:18) (cid:19) Dove R `e una costante pari a 4 detta costande di Rydberg per l’idrogeno. La se- H b rie di Balmer fu spiegata teoricamente solo trent’anni dopo, tuttavia egli ipotizz`o che esistessero altre righe non ancora osservate. La serie di Balmer possiede altre righe meno fluorescenti con la lunghezza d’onda determinata da n pari a 3,4,5,...,k con k N 0,1,2 . ∈ \{ } Per rappresentare altre possibili serie di emissione dell’idrogeno basta sostituire il 2 con altri numeri interi, ottenendo cos`ı: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = R , = R , = R ,... n N,n > k H H H λ 12 − n2 λ 32 − n2 λ 42 − n2 ∈ (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 1.3. Esperienza 4 Possiamo generalizzare la formula per tutte le serie e tutte le righe dell’idrogeno con la seguente formula: 1 1 1 = R (1.3) λ H n2 − n2 f i ! dove n `eunnumero intero caratteristico per ognisingola serie (aquella da noistudiata f corrisponde il 2); n pu`o assumere i valori n +1, n +2, n +3, ... corrispondenti alle i f f f diverse emissioni del gas. Nel 1908 F. Paschen trov`o nell’infrarosso due righe, le cui lunghezze d’onda cor- rispondevano alla formula generale, ponendo n = 3 e n = 4 o 5: questa `e la cosidetta f i serie di Paschen, della quale furono in seguito scoperte molte altre righe. Man mano che le tecniche e glistrumenti miglioravano venivano scoperte altre serie. Queste serie sono riportate nella seguente tabella: Nome della serie Data Regione dello spettro Valori nell’equazione di Balmer Lyman 1914 UV n = 1,n = 2,3,4,... f i Balmer 1885 UV/visibile n = 2,n = 3,4,5... f i Paschen 1908 infrarosso n = 3,n = 4,5,6... f i Brackett 1922 infrarosso n = 4,n = 5,6,7... f i Pfund 1924 infrarosso n = 5,n = 6,7,8... f i Sulla falsa riga dell’equazione di Balmer si scoprirono altre formule matematiche che descrivevano gli spettri di altri gas. 1.3 Esperienza Attraverso un’analisi empirica abbiamo voluto ricavare e nel contempo verificare la for- mula di Balmer tramite la quale si possono ricavare le lunghezze d’onda λ dello spettro di emissione dell’idrogeno. L’esperienza `e stata eseguita con uno spettrometro; questo, tramite un reticolo, scompone la luce emessa da una lampada a deuterio permettendo ` l’identificazione dell’angolo Θ, rispetto al massimo centrale. E cos`ı possibile ricavare la lunghezza d’onda λ corrispondente alle rispettive righe (visualizzate sottoforma di linee colorate). Tramite l’equazione della diffrazione, dall’angolo Θ e conoscendo l’ampiezza delle fenditure g (nel nostro caso 600 fenditure per millimetro) possiamo ricavare λ: nλ sinΘ = n Z (1.4) g ∈ I risultati ottenuti sono riportati nella seguente tabella ed equiparati a quelli ottenuti tramite la formula di Balmer. Il margine di errore `e dovuto al fatto che l’esperienza `e stata eseguita nell’arco di pochi minuti, avendo piu` tempo a disposizione si sarebbero potuti ottenere risultati 5 Capitolo 1. Spettroscopia dei gas Figura 1.6: Lo spettrometro utilizzato per l’esperienza. piu` vicini a quelli ottenuti sperimentalmente da Balmer, raggiungendo la precisione di due cifre dopo la virgola. colore angolo lunghezza d’onda differenza errore percentuale rosso 23◦ 6512,18 ˚A +48,90 ˚A 0.7 blu 17◦ 4872,86 ˚A 12,06 ˚A 0.3 − viola 1 15◦ 4313,65 ˚A +26,35 ˚A 0.6 viola 2 14◦ 4032,03 ˚A +69,27 ˚A 1.7