Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 KészültaTÁMOP-4.2.5.B-11/1-2011-0001támogatásával. Tartalomjegyzék 1. Algebrai struktúrák 7 1.1. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Mátrixok 17 2.1. Mátrixok értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. A Gauss-elimináció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3. Kapcsolódó Maple eljárások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. A determináns 26 3.1. Permutáció, mint bijektív leképezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2. A determináns értelmezése. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3. A determináns tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4. Kifejtési tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5. A determináns értékének kiszámítása eliminációval . . . . . . . . . . 43 3.6. Kapcsolódó Maple eljárások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.7. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4. Műveletek mátrixokkal 52 4.1. Kapcsolódó Maple eljárások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5. Szabadvektorok és analitikus geometria 62 5.1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása . . . . . . . . . 62 5.2. Szabadvektorok lineáris kombinációja . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3. Skaláris szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.4. Vektoriális szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.5. Vegyesszorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.6. Egyenesek és síkok egyenletei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.7. Kapcsolódó Maple eljárások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.8. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6. Vektorterek 89 6.1. Vektorok lineáris függősége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.2. Vektorrendszer rangja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.3. Kapcsolódó Maple eljárások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3 6.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7. Lineáris egyenletrendszerek 105 7.1. Cramer-szabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.2. Gauss-elimináció lineáris egyenletrendszerekre . . . . . . . . . . . . . 108 7.2.1. Szimultán elimináció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.2.2. Gauss-Jordan-elimináció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.3. Homogén lineáris egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.4. Kapcsolódó Maple eljárások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.5. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8. Lineáris leképezések 126 8.1. Izomorfizmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8.2. Lineáris leképezések mátrix-reprezentációja . . . . . . . . . . . . . . 133 8.3. Lineáris transzformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.4. Bázis és koordináta transzformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8.5. Kapcsolódó Maple eljárások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.6. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9. Lineáris transzformációk spektrálelmélete 144 9.1. Karakterisztikus polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.2. Kapcsolódó Maple eljárások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.Bilineáris formák 155 10.1.Szimmetrikus bilineáris formák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.2.Kvadratikus formák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 10.3.Kapcsolódó Maple eljárások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 10.4.Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Irodalomjegyzék 172 4 Előszó Ez a jegyzet az Eszterházy Károly Főiskola Matematika, Programtervező informa- tikus, és Gazdaságinformatikus szakos hallgatói számára tartott Lineáris algebra I. előadások könnyebb követhetőségét szolgálja. Az anyag felépítésekor figyelem- be vettük, hogy a kurzus hallgatói már rendelkeznek alapvető halmazelméleti és függvénytani ismeretekkel, hiszen azok a megelőző félévben a Kalkulus I., illetve MatematikaipraktikumI.kereteinbelülelhangzanak,deajegyzetnagyrészestabil középiskolai ismeretek birtokában is követhető. Azokat az alapvető algebrai fogal- makat és tételeket, melyekre a későbbiekben magyarázat nélkül fogunk hivatkozni, az első fejezetben gyűjtöttük össze. Aki az alapvető algebrai struktúrák (csoport, gyűrű,test)fogalmaivaltisztábanvan,eztafejezetetátugorhatja.Azutolsókétfe- jezetanyagamárinkábbaLineárisalgebraII.tárgytémaköréheztartozik,ajegyzet az ott tárgyalt anyaggal együtt válik majd teljes egésszé. A matematika lényegében fogalomalkotásból és a fogalmak közötti logikai kap- csolatok felderítéséből áll. Itt, amikor új fogalom értelmezése történik, magát a fogalmat dőlt betűvel írjuk, ezen felül a fontosabb, teljes precizitással bevezetett fogalmaknakkiemeltkörnyezetet(Definíció)isbiztosítottunk.Azállításokmegfo- galmazásáratöbbnyiretételkéntkiemelvekerülsor,devan,amelyetcsakakörnyező szöveg részeként, és néha bizonyítás nélkül közlünk. A fejezetek végén lévő feladatok általában alapszintűek, a tárgyalt anyag el- mélyítésének mérését segítik. Azt javasoljuk, hogy az olvasó addig ne tekintsen feldolgozottnak egy fejezetet, amíg az ott kitűzött feladatokkal gondjai vannak. A jegyzet célja nem a lineáris algebra egy minden eddigitől eltérő felépítése, hanem az, hogy az anyag tárgyalása közben felhívjuk a figyelmet a Maple kompu- teralgebrai rendszer kínálta lehetőségekre is. A Maple a feladatok megoldásának nagyon jó segédeszköze, az elméleti anyag megértését is segítheti, de az emberi gondolkodást nem helyettesíti. Feltételezzük, hogy az olvasó a Maple felépítésé- vel, használatának szintaktikai alapjaival tisztában van, erre itt külön nem térünk ki. Az esetek nagy részében a Maple LinearAlgebra csomagjával dolgozunk, így annak betöltését, melyet a > with(LinearAlgebra); parancs segítségével lehet megtenni, alapértelmezettnek vesszük. A Maple paran- csokat a továbbiakban is ilyen környezetben fogjuk feltüntetni, amennyiben a pa- rancsoutputjaisérdekes,akkoraztközvetlenaparancsután,kékszínneljelenítjük 5 meg. Az egyes fejezetekhez tartozó parancsok kipróbálását javasoljuk új munkala- pon kezdeni. NemcélunkamegemlítettMapleeljárásoklehetségesparaméterezéseinekteljes- körű bemutatása sem, az érdeklődő olvasó arról a Maple súgójában tájékozódhat. Az általunk írt eljárásoknál nem fordítottunk gondot a hibakezelésre, az eljárások korrekt paramétereket feltételeznek. 6 1. Algebrai struktúrák Korábbi tanulmányainkban megtapasztalhattuk, hogy műveleteket nemcsak szá- mokkal végezhetünk, hanem például halmazokkal, függvényekkel, irányított szaka- szokkal is. Ebben a fejezetben megpróbálunk az objektumoktól elvonatkoztatni, és csak a műveletekre, valamint azok tulajdonságaira koncentrálni. Először azt tisztázzuk, mit is értünk műveleten. A matematikában műveletvég- zéskor tulajdonképpen az történik, hogy egy halmazból veszünk két elemet (ettől lesz kétváltozós a művelet), és ahhoz hozzárendeljük ugyanazon halmaz valamely elemét. 1.1. Definíció. Az S nemüres halmazon értelmezett kétváltozós műveleten egy f: S×S →S függvényt értünk. 1.1. ábra. Az S halmazon értelmezett kétváltozós művelet Sbármelykételeméhezegyértelműenhozzárendelegyszintén S-belielemet Ilymódonazegészszámokhalmazánazösszeadáson,aszorzáson,ésakivonáson kívülműveletleszpéldáulalegnagyobbközösosztóképzéseis.Denemleszművelet azosztás,hiszenaznemhajthatóvégrebármelykétegészszámmal.Megjegyezzük, hogy f helyett általában valamilyen „műveleti jelet” (+,·,∪,∩,(cid:63),∗,...) írunk, és ekkor f(a,b) helyett pedig az a+b,a·b,a∪b,a∩b,a(cid:63)b,a∗b,... szimbólumot használjuk. 1.2. Definíció. Az S halmazt a rajta értelmezett f ,f ,... műveletekkel együtt 1 2 algebrai struktúrának nevezzük, és erre az (S,f ,f ,...) jelölést alkalmazzuk. 1 2 Tehát (R,+,·) egy algebrai struktúra. Továbbá, ha H egy nemüres halmaz, és P(H) jelöli H hatványhalmazát, R[x] az összes valós együtthatós polinomok 7 halmazát, akkor (P(H),∪) és (R[x],+,·) is algebrai struktúrák. 1.3. Definíció. Azt mondjuk, hogy az S halmazon értelmezett ∗ művelet asszoci- atív, ha minden a,b,c∈S esetén (a∗b)∗c=a∗(b∗c) teljesül. Asszociatív művelet például az összeadás és a szorzás az egész számok halma- zán, az összeadás és a szorzás a polinomok halmazán, az összeadás és a szorzás a komplexszámokhalmazán,azunióegynemüreshalmazhatványhalmazán,afügg- vények kompozíciója, stb. Viszont a kivonás az egész számok halmazán, az osztás a nemnulla valós számok halmazán már nem asszociatív műveletek. A következő tétel azt állítja, hogy asszociatív művelet esetén a zárójelezés sza- badsága nemcsak három, hanem tetszőleges számú elemre fennáll. 1.4. Tétel. Ha az S halmazon értelmezett ∗ művelet asszociatív, akkor véges sok elemen végrehajtott művelet eredménye független a zárójelezéstől. Bizonyítás. Legyen n(cid:62)3 és a ,a ,...,a ∈S, és legyen 1 2 n A=(...((a ∗a )∗a )∗···)∗a , 1 2 3 n továbbá jelölje az a ,a ,...,a elemeknek egy tetszőleges zárójelezés melletti mű- 1 2 n veleti eredményét B. Az n szerinti teljes indukcióval megmutatjuk, hogy A = B. Ez n = 3-ra az asszociativitás következménye. Most tegyük fel, hogy n > 3, és az állítás igaz minden háromnál nagyobb vagy egyenlő és n-nél kisebb természetes számra. Világos, hogy B felírható C ∗D alakban, ahol C és D legfeljebb n−1 elemvalamilyenzárójelezésmellettieredménye.HaaD kifejezéscsakaza elemet n tartalmazza, akkor B = C ∗a , és az indukciós feltevést alkalmazva C-re B = A n adódik.HapedigDlegalább2elemettartalmaz,akkorazindukciósfeltevésszerint D =E∗a , ahol E-ben az elemek száma már csak legfeljebb n−2. Alkalmazva az n asszociativitást, majd az indukciós feltevést C∗E-re, kapjuk, hogy B =C∗D =C∗(E∗a )=(C∗E)∗a = n n =(...((a ∗a )∗a )∗···)∗a =A. 1 2 3 n 8