Unterlagen zu den Vorlesungen Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1 und 2 Wintersemester 2010/11 Sommersemester 2011 Erhard Aichinger Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Alle Rechte vorbehalten Version 5. Oktober 2010 Adresse: Assoc.-Prof. Dr. Erhard Aichinger Institut für Algebra, Johannes Kepler Universität Linz 4040 Linz, Österreich e-mail: [email protected] Version 5.10.2010 Druck: Kopierstelle, Abteilung Service, Universität Linz Inhaltsverzeichnis Teil 1. Vektoren und Matrizen 1 Kapitel1. Geometrieinder Ebeneund imRaum 3 1. Koordinaten 3 2. Vektoren 3 3. DieLängeeinesVektors 5 4. Trigonometrie 7 5. DerWinkelzwischen zwei Vektoren 14 6. Geraden in derEbene 16 7. Vektoren imRn 20 8. Geraden und EbenenimRaum 24 Kapitel2. Matrizen 29 1. DieDefinitionvonMatrizen 29 2. DieAdditionvonMatrizen 30 3. DieMultiplikationeinerMatrix miteinerreellen Zahl 31 4. DieMultiplikationvon Matrizen 31 5. Rechenregeln fürdieAdditionundMultiplikationvonMatrizen 33 6. DieMultiplikationvon Vektorenund Matrizen 35 7. Das TransponierenvonMatrizen 36 8. DieEinheitsmatrizen 37 9. Das Invertierenvon Matrizen 38 Kapitel3. LineareGleichungssysteme 43 1. Beispiele 43 2. DieLösungvonGleichungssystemenin Staffelform 47 3. Das GaußscheEliminationsverfahren 49 4. EinigedurchgerechneteBeispielezumGauß-Algorithmus 52 Teil 2. Mengen und Funktionen 59 Kapitel4. Mengen 61 1. Eigenschaftenvon Mengen 61 2. OperationenaufMengen 61 Kapitel5. RelationenundFunktionen 67 1. GeordnetePaare 67 i ii INHALTSVERZEICHNIS 2. Relationen 67 3. Funktionen 68 4. Definitions-undWertebereich 69 5. FamilienundFolgen 71 6. HintereinanderausführungvonFunktionen 73 Teil 3. Vektorräume 75 Kapitel6. Unterräumedes Rn 77 1. DieDefinitioneinesUnterraums 77 2. DielineareHüllevonVektoren 79 3. DielineareUnabhängigkeitvonVektoren 80 4. Basen eines Vektorraums 81 5. DieZeilenstaffelnormalform 86 6. DerNullraumeinerMatrix 91 7. DieDimensioneines Unterraumes 96 8. DerRang einerMatrix 98 9. DieEindeutigkeitderZeilenstaffelnormalform 98 10. DieLösungsmengeinhomogenerlinearerGleichungssysteme 100 11. Koordinaten 104 12. SummenundDurchschnittevonUnterräumen 106 Kapitel7. Orthogonalität 111 1. DerWinkelzwischen zwei Vektoren 111 2. DerNormalraumaufeineMengevonVektoren 112 3. Orthonormalbasen 112 4. Das Gram-SchmidtscheOrthonormalisierungsverfahren 114 5. Orthogonalprojektionen 117 6. AbstandsberechnungenmitHilfederOrthogonalprojektion 121 7. DiebestapproximierendeLösungeines linearenGleichungssystems 126 Kapitel8. Ringe,Körperund Vektorräume 129 1. KommutativeRingemitEins 129 2. Vektorräume 130 Kapitel9. LineareAbbildungen 133 1. Beispiele 133 2. DieDefinitionlinearerAbbildungen 134 3. Abbildungsmatrizenlinearer Abbildungen 136 4. AbbildungsmatrizenfürSpiegelungenund Drehungen 139 5. Basistransformationen 142 6. DieHintereinanderausführungund dieMatrizenmultiplikation 143 7. Abbildungsmatrizen für Spiegelungen und Drehungen bezüglich der kanonischenBasis 144 INHALTSVERZEICHNIS iii Teil 4. Mengen und Relationen 149 Kapitel10. ÄquivalenzrelationenundFaktormengen 151 1. Äquivalenzrelationen 151 2. Partitionen 152 Kapitel11. DieMächtigkeitvonMengen 155 1. Ordnungsrelationen 155 2. Mächtigkeit 157 3. EinigeabzählbarunendlicheMengen 159 4. EinigeüberabzählbarunendlicheMengen 159 5. UnendlicheMengen 160 6. ErstaunlichesüberMengen 162 Teil 5. AnalyselinearerAbbildungen 163 Kapitel12. Determinanten 165 1. VolumeneinesParallelepipeds 165 2. Permutationen 166 3. DeterminanteeinerquadratischenMatrix 170 4. Berechnen derDeterminantein Körpern 173 5. DieadjungierteMatrix 177 6. DeterminantenundInvertierbarkeit 181 7. DeterminantenundVolumina 182 8. Gleichungssysteme 183 Kapitel13. Polynome 185 1. Primfaktorzerlegunginden ganzen Zahlen 185 2. Polynome 188 3. Polynomfunktionen 191 4. TeilbarkeitvonPolynomen 192 5. Polynomfunktionenund Nullstellen 194 6. Polynomeüberden reellen undden komplexenZahlen 195 Kapitel14. EigenwerteundEigenvektoren 197 1. DiagonalisierenvonMatrizen 197 2. Eigenwerte 198 3. Eigenvektoren 200 4. AbschätzungenfürdieEigenwerte 203 5. Beweis desHauptsatzes derAlgebra 204 Kapitel15. Homomorphismenzwischen Vektorräumen 207 1. DerRang einerMatrix 207 2. Homomorphismenzwischen Vektorräumen 208 3. Faktorräume 211 iv INHALTSVERZEICHNIS 4. DerHomomorphiesatz 213 5. ZerlegungvonVektorräumenin direkteSummen 215 Kapitel16. DieJordanscheNormalform 217 1. Einsetzenvon Matrizenin Polynome 217 2. ZerlegungininvarianteUnterräume 219 3. DieHaupträumeeinerMatrix 222 4. NilpotenteEndomorphismen 225 5. DieJordanscheNormalform 229 6. Das MinimalpolynomeinerMatrix 231 Kapitel17. Der Dualraumeines Vektorraums 233 1. Vektorräumevon Homomorphismen 233 2. DerDualraum 233 3. DerBidualraum 235 Teil 6. Vektorräume mitSkalarprodukt 237 Kapitel18. EuklidischeVektorräume 239 1. OrthogonaleMatrizen 239 2. EuklidischeRäume 239 3. SelbstadjungierteOperatoren 240 4. PositivdefiniteMatrizen 245 AnhangA. ProgrammeundUnterlagen 249 1. Mathematica-Programme 249 2. Literatur 249 Anhang. Literaturverzeichnis 251 Teil 1 Vektoren und Matrizen KAPITEL 1 Geometrie in der Ebene und im Raum 1. Koordinaten Wirbeschreiben–nacheinerIdeevonRenéDescartes(1596–1650)–jedenPunktin der Ebene durch ein Paar reeller Zahlen. Die Menge der Paare reeller Zahlen kürzen wirmitR´R oderR2 ab. R´R := { x |x Î Rund y Î R}. y FürdasPaar x schreibenwirauch(xI,yM).AusderfolgendenSkizzeistersichtlich,wie y wirjedenPunkt durch einZahlenpaar(seinekartesischenKoordinaten)beschreiben. I M 6 -1.5 r 3 3 I M r 2 1 I M r 1 x y r x y I M - I M 0 r -2 I M 2. Vektoren Wo liegtderPunktC im ParallelogrammABCD, dessenPunkteA,B und Ddurch A = 1 , B = 7 , D = 3 1 2 4 gegebensind? I M I M I M 3 4 1.GEOMETRIEINDEREBENEUNDIMRAUM C =? 6 D = 34(r ((((((((((((((((cid:10)((cid:10)(cid:10)b (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) I M (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10)(r (cid:10)((cid:10)(cid:10)((((((((((((((((r(cid:10)B = 72 A = 1 I M 1 - I M Umvon Anach B zu kommen,müssenwir6 nach rechts und1 nach obengehen. AB = 7 - 1 = 6 . 2 1 1 Wenn wir von D starten und um Ó6 nach rechts und 1 nach oben gehen, landen wir bei I M I M I M C. C = D+AB = 3 + 6 = 9 . 4 1 5 Wir bemerken, dass wir ein Paar reelÓler Zahlen, wie etwa 6 , verwenden, um zwei I M I M I M 1 verschiedeneDingezu beschreiben: I M ê Den Punkt, der um 6 Längeneinheiten rechts und um 1 Längeneinheit über demPunkt 0 liegt. 0 ê Den Weg(Vektor)von 1 nach 7 . 1 2 I M In Mathematicawerden Vektoren alsListendargestellt. I M I M In[1]:= a = {1,1}; In[2]:= b = {7,2}; In[3]:= d = {3,4}; In[4]:= ab = b - a Out[4]= {6,1} In[5]:= c = d + ab Out[5]= {9,5}