Fachwo¨rterbuch zu Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1 Deutsch–Englisch English–German Christian Bargetz Michael Dymond WS 2013/14 Institut fu¨r Mathematik der Universit¨at Innsbruck Vorwort DiesesFachw¨orterbuchistalsHilfestellungfu¨rdieStudierendenindenenglischsprachi- gen Gruppen der Lehrveranstaltungen SL/1 und PS/1 Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1 gedacht und entha¨lt die wichtigsten Begriffe der Themen, die in der Vor- lesung Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1“ von Franz Pauer behandelt wer- ” den. Weiters haben wir versucht die wichtigsten Worte und Sprechweisen der Mathe- ¨ matik einzubeziehen. Die meisten Eintra¨ge enthalten die Ubersetzung und den Plural. Weiters haben wir bei einigen Worten einen Verweis auf das Skriptum und Beispiele angefu¨gt. Die deutschen Eintr¨age beinhalten den Artikel und in unregelma¨ßigen F¨allen den Genitiv. Sollten Ihnen Fehler auffallen oder sollten Sie Erg¨anzungswu¨nsche haben, so wu¨rden wir uns freuen, wenn Sie und diese per Mail an [email protected] oder [email protected] mitteilen wu¨rden. Innsbruck, im Oktober 2014 Christian Bargetz und Michael Dymond Foreword This German-English mathematics dictionary is designed as a learning aid for stu- dents in the English speaking groups for the course SL/1 and PS/1 Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1. It contains all of the key terms of the course, based on the lec- ture notes “Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1” by Franz Pauer. In addition, the dictionary aims to provide a wide selection of words and phrases commonly used in mathematics in general. For each entry in the dictionary, we provide its translation in both the singular and plural forms. Where appropriate, we also include references to the lecture notes and examples. German words are further embellished with the article (der, die or das) as well as the genetive form of the word when this does not follow the general pattern. Should you notice mistakes or missing words in this dictionary, we would be very grateful if you could inform us. To make any suggestions for the improvement of the dictionary, please write to us at the following email addresses. [email protected] or [email protected] Innsbruck, October 2014 Christian Bargetz and Michael Dymond i Deutsch–Englisch Abbildung–Dezimalziffer 2 Abbildung (die) · mapping, Pl. map- [Pau14, p. 14] pings, siehe: [Pau14, p. 4]; Beispiele: f : R2 → R3, f(x,y) = (x,y,0) Basis (die) · basis, Pl. bases, siehe: Defi- nition 77 in [Pau14, p. 40] D abelsch · Abelian, siehe: [Pau14, p. 15] Bedingung (die) · condition, Pl. condi- Abstand (der) · distance, Pl. distances, tions siehe: [Pau14, p. 74] Beispiel (das) · example, Pl. examples Addition (die) · addition, siehe: [Pau14, p. 5] Berechnung (die) · calculation, Pl. cal- culations affiner Unterraum (der) · affine subspace, Pl. affine subspaces, Betrag (der)·absolutevalue,Pl. absolute siehe: [Pau14, p. 64]; Beispiele: values, siehe: [Pau14, p. 6] {(x,y,z) | x+y +z = 1} ⊂ R3 Beweis (der) · proof, Pl. proofs, siehe: allgemeine lineare Gruppe (die) · gen- [Pau14, p. 8,15] eral linear group, siehe: Definition 56 beziehungsweise (bzw.) · respectively in [Pau14, p. 28] bijektiv · bijective allgemein · universal Bild (das) · image, Pl. images, siehe: Amplitude (die) · amplitude, Pl. ampli- [Pau14, p. 3]; Beispiele: log(1) = 0, tudes, siehe: [Pau14, p. 97] cos(R) = [−1,1], tan((−π/2,π/2)) = R analog · analogously Bin¨arziffer (die)·binarydigit, Pl. binary Annahme (die) · hypothesis, Pl. hy- digits, siehe: [Pau14, p. 11] potheses Bogen (der) · arc, Pl. arcs, siehe: [Pau14, Anzahl der Elemente (die)·cardinality, p. 74] siehe: [Pau14, p. 18] Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung · ¨aquivalent · equivalent Cauchy-Schwarz Inequality assoziativ · associative, siehe: [Pau14, charakteristisches Polynom (das) · p. 5,14] characteristic polynomial, Pl. character- istic polynomials, siehe: [Pau14, p. 99] Aufpunkt (der) · reference point, Pl. ref- erence points, siehe: [Pau14, p. 64] Definition (die) · definition, Pl. defin- tions Aussage (die) · statement, Pl. state- ments, siehe: [Pau14, p. 8] Determinante (die) · determinant, Pl. determinants, siehe: [Pau14, p. 87] Axiom (das) · axiom, Pl. axioms, siehe: 3 Diagonale–Folge Dezimalziffer (die) · decimal digit, Pl. elementare Umformung (die) · elemen- decimal digits, siehe: [Pau14, p. 11] tary operation, Pl. elementary oper- ations, siehe: Definition 57 in [Pau14, Diagonale (die) · diagonal, Pl. diagonals p. 28] Diagonalmatrix (die) · diagonal matrix, Elementarmatrix (die) · elementary ma- Pl. diagonal matrices, siehe: [Pau14, trix, Pl. elementary matrices, siehe: De- p. 89] finition 59 in [Pau14, p. 28] F Dimension (die) · dimension, Pl. dimen- Element (das) · element, Pl. elements, sions; Beispiele: dimR(R2) = 2 siehe: [Pau14, p. 1]; Beispiele: 1 ∈ N,π ∈ R,(0,0) ∈ R2, disjunkt · disjoint, siehe: [Pau14, p. 2] endlichdimensional · finite dimensional, Dreieck (das) · triangle, Pl. triangles siehe: Definition 96 in [Pau14, p. 51] Durchschnitt (der) · intersection, Pl. in- endlich-erzeugt · finitely generated, sie- tersections, siehe: Definition 4 in [Pau14, he: Definition 93 in [Pau14, p. 49] p. 2] endlich · finite, siehe: [Pau14, p. 18] Ebene (die) · plane, Pl. planes, siehe: [Pau14, p. 65]; Beispiele: endlich viele · finitely many {(x,y,z) | x+5y +2z = 0} ⊂ R3 Erzeugendensystem (das) · gener- Eigenbasis (die) · eigenbasis, Pl. eigen- ating system, Pl. generating sys- bases, siehe: [Pau14, p. 97] tems, siehe: [Pau14, p. 36]; Beispiele: ((1,0),(0,1),(1,1)) in R2 Eigenraum (der) · eigenspace, Pl. eigenspaces, siehe: [Pau14, p. 97,111] erzeugt · generated Eigenschaft (die) · property, Pl. proper- euklidischer Raum (der) · euclidean ties space, Pl. euclidean spaces, siehe: [Pau14, p. 67] Eigenvektor (der) · eigenvector, Pl. eigenvectors, siehe: [Pau14, p. 97,111] Faktor (der) · factor, Pl. factors Eigenwert (der) · eigenvalue, Pl. eigen- Fall (der) · case, Pl. cases values, siehe: [Pau14, p. 97,111] falsch · false Eindeutigkeit · uniqueness Familie (die) · family, Pl. families Einheitskreis (der) · unit circle, Pl. unit circles, siehe: [Pau14, p. 74] Fixpunkt (der) · fixed point, Pl. fixed points, siehe: [Pau14, p. 82] Einheitsmatrix (die) · identity matrix, Pl. identity matrices Folge (die) · sequence, Pl. sequences, Frequenz–Induktionsannahme 4 siehe: [Pau14, p. 4]; Beispiele: (n2) , (R,+), (Z ,+) n≥1 p (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (1+ 1)n , 1n(n+1) n n≥1 2 n≥1 Halbgerade (die) · half line, Pl. half Frequenz (die) · frequency, Pl. frequen- lines, siehe: [Pau14, p. 69]; Beispiele: cies, siehe: [Pau14, p. 97] {(x,y) : x ≥ 0} ⊂ R2 Funktion (die) · function, Pl. functions, Hintereinanderausfu¨hrung (die)·com- siehe: [Pau14, p. 3]; Beispiele: sinx, x2, position, Pl. compositions, siehe: logx [Pau14, p. 76]; Beispiele: f ◦g ganze Zahl (die) · integer, Pl. integers; homogenes Gleichungssystem (das) · Beispiele: 3,0,-25 homogeneous system of equations, Pl. homogeneous systems of equations, sie- I Gauss-Algorithmus (der) · Gaussian al- he: Defintion 63 in [Pau14, p. 32]; Bei- gorithm, siehe: [Pau14, p. 40] spiele: 2x = 0 Gauss-Elimination (die) · Gaussian Hyperebene (die) · hyperplane, Pl. hy- elimination, siehe: [Pau14, p. 40] perplanes,siehe:[Pau14,p.65];Beispie- le: {(x,y,z) | 7x+y −3z = 10} ⊂ R3, gerade · even, siehe: [Pau14, p. 83] {(x,y) | y = 0} ⊂ R2 Gerade (die) · line, Pl. lines, identische Funktion (die) · identity siehe: [Pau14, p. 65]; Beispiele: function, Pl. identity functions, siehe: {(x,y,z) | x = 0,y = 0} ⊂ R3 [Pau14, p. 77] Gewicht (das)·weight,Pl. weights,siehe: Identit¨at (die) · identity, Pl. identities, [Pau14, p. 96] siehe: [Pau14, p. 77] gleich · equal Imagin¨arteil (der) · imaginary part, Pl. imaginary parts, siehe: [Pau14, p. 102]; Gleichung (die) · equation, Pl. equa- Beispiele: (cid:61)(i) = 1, (cid:61)(π − 5i) = −5, tions; Beispiele: xn = yn+zn, eiπ = −1, (cid:61)(eiπ) = 0 (cid:82)bf(cid:48)(x)dx = f(b)−f(a) a implizieren · imply, siehe: [Pau14, p. 8]; Gleichungssystem (das) · system of Beispiele: x ∈ Z ⇒ x ∈ Q equations, Pl. systems of equations implizit · implicit Gram’sche Matrix (die) · Gramian Matrix, Pl. Gramian matrices, siehe: Index (der) · index, Pl. indices, siehe: [Pau14, p. 67] [Pau14, p. 4] Graph (der) · graph, Pl. graphs, siehe: Induktionsanfang (der) · base step, sie- [Pau14, p. 4] he: [Pau14, p. 8] Gruppe (die) · group, Pl. groups, siehe: Induktionsannahme (die) · induction [Pau14, p. 14]; Beispiele: (Q\{0},×), hypothesis, siehe: [Pau14, p. 8] 5 Induktionsbeweis–linear Induktionsbeweis (der) · proof by in- komplexe Zahlen (die) · complex num- duction, Pl. proofs by induction, siehe: bers, siehe: [Pau14, p. 101]; Beispiele: i, [Pau14, p. 8] 10eiπ/3, 2−5i Induktionsschluss (der)·inductionstep, komplex konjugierte Zahl (die) · com- siehe: [Pau14, p. 8] plex conjugate, Pl. complex conju- gates, siehe: [Pau14, p. 102]; Beispiele: √ √ inhomogenes Gleichungssystem 1− 2i = 1+ 2i, reiαπ = re−iαπ (das) · inhomogeneous system of equa- tions, Pl. inhomogeneous systems of Komponente (die) · component, Pl. equations, siehe: Defintion 63 in [Pau14, components, siehe: [Pau14, p. 4] p. 32]; Beispiele: 2x = 1 Koordinate (die) · coordinate, Pl. cordi- inverse Funktion (die) · inverse func- nates tion, Pl. inverse functions, siehe: [Pau14, p. 77] Koordinatenspalte (die) · column vec- tor, Pl. column vectors, siehe: Definiti- inverse Matrix (die) · inverse matrix, on 99 in [Pau14, p. 52] L Pl. inverse matrices, siehe: Definition 56 in [Pau14, p. 28] K¨orper (der) · field, Pl. fields, sie- he: [Pau14, p. 16]; Beispiele: (R,+,·), inverses Element (das)·inverseelement, (C,+,·), (Q,+,·), (Z ,+,·) 2 Pl. inverse elements, siehe: [Pau14, p. 7]; Beispiele: (cid:0)a(cid:1)−1 = b ∈ Q Kreis (der) · circle, Pl. circles, siehe: b a [Pau14, p. 74] invertierbar · invertible, siehe: Definiti- on 56 in [Pau14, p. 28] Kreuzprodukt (das) · cross product, Pl. crossproducts,siehe:[Pau14,p.95];Bei- Isomorphismus (der) · isomorphism, Pl. spiele: u×v isomorphisms, siehe: [Pau14, p. 107] Kronecker-Delta (das) · Kro- Kardinalit¨at (die) · cardinality, siehe: necker delta, Pl. Kronecker deltas, [Pau14, p. 18]; Beispiele: |{0,1,2}| = 2 siehe: Definition 49 in [Pau14, p. 26] kartesisches Produkt (das) · cartesian leere Menge (die) · empty set product, Pl. cartesian products, siehe: [Pau14, p. 4]; Beispiele: X ×Y, R2 lexikographisch kleiner · lexicographi- cally smaller Klammer (die) · bracket, Pl. brackets linear abh¨angig/unabh¨angig · linearly Koeffizent (der) · coefficient, Pl. coef- dependent/independent, siehe: Definiti- ficients, siehe: Definition 44 in [Pau14, on 76 in [Pau14, p. 37] p. 23, 84] Linearkombination (die) · linear combi- kommutativ · commutative, siehe: nation, Pl. linear combinations [Pau14, p. 5,15] L¨osungsmenge–Orthonormalbasis 6 linear · linear, siehe: [Pau14, p. 105] natu¨rliche Zahl (die) · natural number, Pl. natural numbers; Beispiele: 0,1,2,... L¨osungsmenge (die) · set of solutions, Pl. sets of solutions, siehe: Definti- negativ · negative, siehe: [Pau14, p. 6] on 63 in [Pau14, p. 32]; Beispiele: L((2),(1)) = {1} neutrales Element (das) · neutral el- 2 ement, Pl. neutral elements, siehe: L¨osung (die) · solution, Pl. solutions, sie- [Pau14, p. 14]; Beispiele: 1 ∈ (R \ he:[Pau14,p.6];Beispiele:x2−2x+1 = {0},·), 0 ∈ (R,+) 0, x = 1, x = −1, a2 = b2+c2, a = 5,b = 3,c = 4, df = kf, f(x) = Aekx Norm (die) · norm, Pl. norms, sie- dx he: [Pau14, p. 67]; Beispiele: (cid:107)x(cid:107) = (cid:112) L¨osungsraum (der) · solution space, Pl. (cid:104)x,x(cid:105), x ∈ Rn solution spaces Nullelement (das)·nullelement, Pl. null Masse (die) · mass, Pl. masses, siehe: elements, siehe: [Pau14, p. 16]; Beispie- [Pau14, p. 96] le: 0 ∈ (Z,+), 0 ∈ (Q,+) Matrix (die) · matrix, Pl. matrices, siehe: Nullstelle (die) · root, Pl. roots, siehe: Definition 44 in [Pau14, p. 23] [Pau14, p. 85,100] Matrizenmultiplikation (die) · matrix Nullvektor (der) · null vector, Pl. null O multiplication, Pl. matrix multiplica- vectors, siehe: [Pau14, p. 34]; Beispiele: tions, siehe: Definition 49 in [Pau14, (0,0) ∈ Q2, (0,0,0) ∈ R3 p. 26] obere/untere Dreiecksform · up- Matrizenprodukt (das) · matrix prod- per/lower triangular form, siehe: [Pau14, uct, Pl. matrix products, siehe: Definiti- p. 89] on 49 in [Pau14, p. 26] ohne Einschr¨ankung der Allgemein- Mengen-Differenz (die) · set difference, heit · without loss of generality Pl. set differences, siehe: [Pau14, p. 3]; Beispiele: R\Q Ordnungsrelation (die) · order relation, Pl. order relations; Beispiele: ≤ Menge (die) · set, Pl. sets, siehe: [Pau14, p. 1]; Beispiele: ∅, {1,4,5}, Orientierung (die) · orientation, Pl. ori- entations, siehe: [Pau14, p. 93] Metrik (die) · metric, Pl. metrics, sie- he: [Pau14, p. 67]; Beispiele: d(x,y) = orthogonales Komplement (das) · or- (cid:112) (cid:104)x−y,x−y(cid:105), x,y ∈ Rn thogonal complement, Pl. orthogonal complements, siehe: [Pau14, p. 72] Mittelpunkt (der) · centre, Pl. centres, siehe: [Pau14, p. 74] orthogonal · orthogonal Multiplikation (die) · multiplication, sie- Orthonormalbasis (die) · orthonormal he: [Pau14, p. 5] basis, Pl. orthonormal bases, siehe: