ISNM INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK SERIE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE Editors: eh. Blanc, Lausanne; A. Ghizetti, Roma; A. Ostrowski, Montagnola; J. Todd, Pasadena; A. van Wijngaarden, Amsterdam VOL. 20 Linear Operators and Approximation Proceedings of the Conference held at the Oberwolfach Mathematical Research Institute, Black Forest, August 14-22, 1971 Edited by P. L. Butzer, J.-P. Kahane and B. Sziikefalvi-Nagy Lineare Operatoren und Approximation Abhandlungen zur Tagung im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach, Schwarzwald, vom 14. bis 22. August 1971 Herausgegeben von P. L. Butzer, J.-P. Kahane und B. Sziikefalvi-Nagy 1972 BIRKHÄUSER VERLAG BASEL UND STUTTGART Nachdruck verboten Alle Rechte, insbesondere das der übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten. © Birkhäuser Verlag Basel, 1972 Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1972 ISBN 978-3-0348-7285-0 ISBN 978-3-0348-7283- 6(eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-7283-6 5 PREFACE These proceedings contain the lectures presented at the Conference on Linear Operators and Approximation held at the Oberwolfach Mathematical Research In stitute, August 14-22, 1971. There were thirty-eight such lectures while four addi tional papers, subsequently submitted in writing, are also included in this volume. Two of the three lectures presented by Russian mathematicians are rendered in English, the third in Russian. Furthermore, there is areport on new and unsolved problems based upon special problem sessions, with later communications from the participants. In fact, two of the papers inc1uded are devoted to solutions of some of the problems posed. The papers have been classified according to subject matter into five chapters, but it needs little emphasis that such thematic groupings are necessarily somewhat arbitrary. Thus Chapter I on Operator Theory is concerned with linear and non linear semi-groups, structure of single operators, unitary operators, spectral and ergodic theory. Chapter Il on Topics in Functional Analysis inc1udes papers on Riesz spaces, boundedness theorems, generalized limits, and distributions. Chapter III, entitled "Approximation in Abstract Spaces", ranges from characterizations of c1asses of functions in approximation theory to approximation-theoretical topics connected with extensions to Banach (or more general) spaces. Chapter IV contains papers on harmonic analysis in connection with approximation and, finally, Chapter V is devoted to approximation by splines, algebraic polynomials, rational functions, and to Pade approximation. A large part of the general editorial work connected with these proceedings was competently handled by Miss F. Feber, while G. Bragard helped in proof reading. Our particular thanks are due to Mr. C. EinseIe of Birkhäuser Verlag, Basel, for his personal interest. Indeed, this is the third time that the proceedings of an Oberwolfach Conference on approximation theory and related topics, conducted from Aachen*), are published by Birkhäuser in their "International Series of Nu merical Mathematics". Thanks are again due to the Szeged Printing House for their great care in the production of this book. October 1971 P. L. BUTZER J.-P. KAHANE B. Sz.-NAGY Aachen Paris Szeged *) The earlier volumes are: ON APPROXIMATION THEOR Y, ed. P. L. Butzer and J. Korevaar, Proceedings of the Conference at Oberwolfach, August 4-10, 1963. ISNM, vol. 5, Birkhäuser, Basel 1964. ABSTRACT SPACES AND APPROXIMATION, ed. P. L. Butzer and B. Sz.-Nagy, Proceedings of the Conference at Oberwolfach, July 18-27, 1968. ISNM, vol. 10, Birkhäuser, Basel 1969. 7 CONTENTS Preface .............................................................. 5 Contents ............................................................. 7 Zur Tagung .......................................................... 11 Teilnehmerliste ....................................................... 13 Wissenschaftliches Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 I. Operator Theory E. HILLE: Generalizations of Landau's inequality . . . . . . . . . . . . .. 20 J. R. DORROH: Semi-groups of nonlinear transformations. . . . . . . . . . .. 33 I. SEGAL: Singular perturbations of semi-group generators. . . . .. 54 B. SZ.-NAGY: Cyclic vectors and commutants .................... 62 J. D. PINCUS: Some applications of operator valued analytic functions of two complex variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68 K. GUSTAFSON: Weyl's theorems .............................. :.. 80 Yu. A. ROZANOV: Some approximation problems in the theory of sta- tionary processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94 P. L. BUTZER-U. WESTPHAL: Ein Operatorenkalkül für das approximations theoretische Verhalten des Ergodensatzes im Mittel. .. 102 W. TREBELS-U. WEIlTPHAL: A note on the Landau-Kallmann-Rota-Hille inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 115 11. Topics in Functional Analysis A. C. ZAANEN: Representation theorems for Riesz spaces ........... 122 H. HELSON: Boundedness from measure theory ................. 129 G. GRlMEISEN: Exchange of infinite summation with limits in Banach spaces ........................................... 138 J. HORVATH: Finite parts of distributions ........................ 142 P. KREE: Courants et courants cylindriques sur des varietes de dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 159 J. L. B. COOPER: Subdefinite functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175 P. O. RUNCK: Eine Bemerkung zum Banachschen Fixpunktsatz . . .. 178 L. LEINDLER: On a certain converse of Hölder's inequality ......... 182 8 CONTENTS ID. Approximation in Abstract Spaees F. DEUTSCH: On some geometric properties of the unit sphere ...... 186 F. STUMMEL: Diskrete Konvergenz linearer Operatoren III ......... 196 I. SINGER: On set-va1ued metric projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 217 P. L. BUTZER-R. J. NESSEL-W. TREBELS: On the comparison of approxima- tion processes in Hilbert spaces .................... 234 H. JOHNEN: Sätze vom Jackson-Typ auf Darstdlungsräumen kom- pakter, zusammenhängender Liegruppen ............ 254 M. S. BAOUENDI-C. GOULAOUIC: Approximation d'espaces de fonctions C"" et interpolation ................................. 273 S. M. NIKOLSKIi: Nonlinear transformations with the conservation of dif- ferential properties of functions ..................... 281 G. G. LORENTZ: Positive and monotone approximation. . . . . . . . . . . . . .. 284 M. W. MÜLLER: Sätze vom Bohmann-Korowkin-Typ für Banachsche Funktionenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 292 IV. Harmonie Analysis and Approximation J.-P. KAHANE: Projection metrique de L 1 (T) sur des sous-espaces fermes invariants par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 302 P. BILLARD: Bases dans B 1 et bases de sous-espaces de dimension finie dans A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 310 E. GÖRLICH: Logarithmic and exponential variants of Bernstein's inequality and genera1ized derivatives ............... 325 H. S. SHAPIRO: Fourier multipliers whose multiplier norm is an attained value ............................................ 338 E. L. STARK: Nikolskii constants for positive singular integrals of perturbed Fejer-type .............................. 348 R. A. DEVoRE: A pointwise "0" saturation theorem for positive convo lution operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 364 H. BAVINCK: Convolution operators for Fourier-Jacobi expansions 371 V. Spline- and Algebraie Approximation I. J. SCHOENBERG: Cardinal interpolation and spline functions IV. The exponential Euler splines .......................... 382 YU. N. SUBBOTIN: IIpHMeHeHluI ClUIaHHOB B TeopHH npH6JIHX<eHHH 405 (Anwendungen von Splines in der Approximations- theorie) ......................................... 419 CONTENTS 9 C. MICCHELLI: The fundamental theorem of algebra for monosplines with multiplicities ................................. 419 G. FREUD: A contribution to the problem of weighted polynomial approximation ................................... 431 A. SCHÖNHAGE : Zur Konvergenz der Stufenpolynome über den Null stellen der Legendre-Polynome .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 448 R. S. VARGA: Chebyshev semi-discrete approximations for linear para bolic problems ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 452 H. WALLIN: On the convergence theory of Pade approximants ..... 461 J. W. JEROME: Singular self-adjoint multipoint boundary value pro- blems: Solutions and approximations ............... 470 K. SCHERER: Über die Konvergenz von natürlichen interpolierenden Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 487 New and Unsolved Problems ............................................ 493 Alphabetical List of Papers ...................................... , . . . . .. 505 11 ZUR TAGUNG Die Oberwolfacher Tagungen über Approximationstheorie und verwandte Ge biete wie die Funktionalanalysis, die seit 1963 von Aachen aus organisiert werden, sind Dank des ständig wachsenden Interesses zahlreicher Mathematiker in der Zwi schenzeit zu einer festen Einrichtung geworden. So war es bei der vierten Tagung dieser Art für die Tagungsleiter eine besondere Freude, neben alten Bekannten wie derum viele neu hinzugekommene Teilnehmer begrüßen zu können. Insgesamt waren 53 Fachkollegen aus 11 Nationen anwesend; für 25 von ihnen war es die erste Tagung in Oberwolfach überhaupt. Durch diesen Teilnehmerkreis wurden bedeutende Schulen der Approximationstheorie aus den USA, der UdSSR, Frankreich, Ungarn und Deutschland vertreten. Neben der klassischen Approximationstheorie standen die neueren Entwicklun gen der abstrakten Theorie im Vordergrund, insbesondere diejenigen Aspekte, die von der Operatortheorie und der Funktionalanalysis wesentliche Impulse erhielten. Die zahlreichen Vorträge verschiedener Prägung gaben den Teilnehmern wertvolle Gelegenheit zu fruchtbaren Diskussionen. Dazu trugen nicht zuletzt auch drei Sitzun gen bei, die neuen und ungelösten Problemen gewidmet waren. Die Tagungsleiter haben es sehr bedauert, daß 45 Teilnahmewünsche, allein 18 davon aus den USA, wegen der begrenzten Kapazität des Oberwolfacher Instituts nicht berücksichtigt werden konnten. Dennoch hoffen sie, bei der nächsten Gelegen heit viele dieser Damen und Herren zu den Gästen zählen zu können. Unser Dank gilt allen Teilnehmer, die durch ihre Beiträge und ihr Interesse zum Erfolg der Tagung beigetragen haben, insbesondere denen, die zu diesem Zweck eine weite Reise nicht gescheut haben. Besonders auch für die jungen Mathe matiker aus Aachen war diese Konferenz eine wertvolle Gelegenheit zur Erwei terung ihrer Kenntnisse. Wenn die angenehme und anregende Atmosphäre der Tagung einerseits allen Teilnehmern zu verdanken ist, so gilt zum anderen unser Dank dem Institutsassistenten Herrn Dr. F. Hartmuth, sowie den Damen und Herren des Ober wolfacher Hauses. Ihre bewährte Gastfreundlichkeit und Hilfsbereitschaft machte es allen leicht, sich rasch zu einer Gemeinschaft zusammenzufinden. Besonders möchten wir auch dem Institutsdirektor, Herrn Professor Dr. M. Barner, für seine stets wohlwollende Unterstützung bei der Vorbereitung der Tagung unseren Dank aussprechen. Tagungsleiter: P. L. BUTzER J.-P. KAHANE B. Sz.-NAGY 13 TEILNEHMERLISTE H. BAVINCK Amsterdam P. BILLARD Marseille P. L. BUTZER Aachen J. L. B. COOPER London F. DEUTSCH University Park, Pennsylvania R. A. DEVORE Edmonton, Canada J. R. DORROH Baton Rouge, Louisiana F. EBERSOLDT Jülich F. FEHER Aachen G. FREUD Budapest E. GÖRLICH Aachen C. GOULAOUIC Paris-Sud G. GRIMEISEN Stuttgart K. GUSTAFSON Boulder, Colorado H. HELSON Berkeley, California E. HILLE Albuquerque, New Mexico E. HÖLDER Mainz H. W. HÖVEL Aachen J. HORVATH College Park, Maryland J. W. JEROME Evanston, Illinois J. JOHNEN Aachen M. L. JONAC Marseille J. JUNGGEBURTH Aachen J.-P. KAHANE Paris-Sud W. KOLBE Aachen P. KREE Nice L. LEINDLER Szeged, Ungarn G. G. LORENTZ Austin, Texas C. MICCHELLI Yorktown Heights, New York M. W. MÜLLER Stuttgart R. J. NESSEL Aachen S. M. NIKOLSKIi Moskau J. D. PINCUS Stony Brook, New York JU. A. ROZANOV Moskau P. O. RUNCK Linz, Österreich 14 TEILNEHMERLISTE C. SAMUEL Marseille K. SCHERER Aachen I. J. SCHOENBERG Madison, Wisconsin A. SCHÖN HAGE Konstanz I. SEGAL Cambridge, Massachusetts H. S. SHAPIRO Ann Arbor, Michigan 1. SINGER Bukarest E. L. STARK Aachen F. STUMMEL Frankfurt JU. N. SUBBOTIN Sverdlovsk, UdSSR B. Sz.-NAGY Szeged, Ungarn W. TREBELS Aachen R. S. VARGA Kent,Ohio B. VIROT Orleans H. J. WAGNER Aachen H. WALLIN Umea, Schweden U. WESTPHAL Aachen A. C. ZAANEN Leiden, Niederlande