¨ ´ ´ BUDAPESTI KOZGAZDASAGTUDOMANYI EGYETEM Pusk´as Csaba, Szab´o Imre, Tallos P´eter ´ LINEARIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1998 A szerz˝ok Line´aris Algebra, illetve Line´aris Algebra II. c. jegyzeteinek kiad´asa. i El˝osz´o Ez a jegyzet a Budapesti K¨ozgazdas´agtudom´anyi Egyetem ”emelt” szintu˝ k´epz´esben r´eszesu¨l˝o hallgat´oinak m´asodik f´el´eves line´aris algebrai tanulm´anya- it van h´ıvatva seg´ıteni. A line´aris algebra eredetileg line´aris egyenletrendszerek megold´as´aval foglalkozott, ez´ert el˝osz¨or csak a m´atrixaritmetika ´es determin´ans- elm´elet tartozott t´argy´ahoz. D¨ont˝o hat´assal volt fejl˝od´es´ere, az a felismer´es, hogy a mindennapi ´ertelemben vett t´er geometri´aj´anak ´altal´anos´ıt´asak´ent kapott vek- torterek elm´elete a line´aris egyenletrendszerek probl´emak¨or´et m´as megvil´ag´ıt´asba helyezi. Ebben a jegyzetben a vektorterek elm´elet´et t´argyaljuk,´es a m´atrixaritmeti- kai eredm´enyeket ebb˝ol sz´armaztatjuk. U´gy ´erezzu¨k, hogy´ıgy k¨onnyebben megmu- tatkozik mind a t´etelek m´elyebb ´ertelme ´es az azok k¨oz¨otti kapcsolat. Ez a fel´ep´ıt´es lehet˝ov´e teszi, hogy az itt nyert eredm´enyeket mind a matematik´an belu¨l, mind m´as tudom´anyteru¨leteken is alkalmazz´ak. Sz´oljunk n´eh´any sz´ot a jegyzet szerkezet´er˝ol ´es jel¨ol´esm´odj´ar´ol. El˝osz¨or be- mutatjuk az absztrakt vektortereket, legfontosabb tulajdons´agaikkal jellemezzu¨k azokat, majd r´at´eru¨nk a line´aris lek´epez´esek ´es transzform´aci´ok t´argyal´as´ara. Ezek reprezent´aci´oja szolg´altatja a m´atrixaritmetik´at. Ennek az ismeretanyagnak a bir- tok´aban a line´aris egyenletrendszerek megoldhat´os´aga eleg´ansan t´argyalhat´o. A k¨ovetkez˝o fejezet elm´eleti alapokat ad az euklideszi terek ´es a determin´ansok modern szeml´eletu˝ bevezet´es´ehez ´es a t¨obbv´altoz´os fu¨ggv´enyek sz´els˝o´ert´ekeinek meghat´aroz´as´ahoz. Ezut´an az euklideszi terek ´es a determin´ansok t´argyal´asa k¨ovetkezik. Mindezek birtok´aban kezdhet˝o a vektorterek struktur´alis vizsg´alata, ami a tananyag tal´an legfontosabb c´elja. Abevezetettfogalmakt¨obbs´eg´etsz´amozottdefin´ıci´okbanadjukmeg, n´ehaazon- ban a g¨ordu¨l´ekenys´eg ´erdek´eben csak d˝oltbetu˝s szed´essel h´ıvjuk fel r´ajuk a figyel- met. A t´etelek ´es ´all´ıt´asok tripla sz´amoz´asa megmutatja, hogy mely fejezet, melyik pontj´anak h´anyadik t´etel´er˝ol vagy ´all´ıt´as´ar´ol van sz´o. K´et helyen tal´alkozhat az olvas´o a ∗ jelz´essel, a Faktorterek c´ımu˝ szakasz, illetve a determin´ansokr´ol sz´ol´o fejezet el˝ott, ami azt jelzi, hogy azok ismerete n´elku¨l is ´erthet˝o a tov´abbi anyag, de u´gy gondoltam, hogy ezeknek a r´eszeknek az elolvas´asa hozz´aj´arulhat a vektorterek elm´elete m´as fel´ep´ıt´esu˝ t´argyal´as´anak meg´ert´es´ehez. Itt h´ıvjuk fel a figyelmet arra, hogy az egy-egy pontot lez´ar´o feladatok ´es gyako- rlatok nem p´otolhatj´ak a feladatgyu˝jtem´enyt. Ebb˝ol a szempontb´ol ez a jegyzet meglehet˝osen hi´anyos. Ez´ert sem, de egy´eb szempontok szerint sem tekinthet˝o be- fejezettnek ez a munka. Ebben az ´allapot´aban szu¨ks´eg van arra, hogy a hallgat´ok kipr´ob´alj´ak ´es ´eszrev´eteleikkel hozz´aj´aruljanak tov´abbi alak´ıtgat´as´ahoz. A jegyzet szed´esi munk´ait a TEX kiadv´anyszerkeszt˝o szoftver LaTEX v´altozat´ara b´ıztuk, az ´abr´ak pedig a PICTEX szoftverrel k´eszu¨ltek. Budapest, 1998. febru´ar 9. Pusk´as Csaba, Szab´o Imre, Tallos P´eter ii Tartalomjegyz´ek El˝osz´o i Tartalomjegyz´ek i 1 Vektorterek ´es elemi tulajdons´agaik 1 1.1 Vektorok a s´ıkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 A vektort´er fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 P´eld´ak vektorterekre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Alterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Line´aris fu¨ggetlens´eg ´es ¨osszefu¨gg˝os´eg . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Vektort´er dimenzi´oja ´es b´azisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Koordin´ata reprezent´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.6.1 Elemi b´azistranszform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.6.2 Az elemi b´azistranszform´aci´o n´eh´any alkalmaz´asa . . . . . . . 38 Vektorrendszerek line´aris fu¨ggetlens´eg´enek, illetve ¨osszefu¨gg˝o- s´eg´enek vizsg´alata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kompatibilit´as vizsg´alat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 Line´aris lek´epez´esek, transzform´aci´ok 43 2.1 A line´aris lek´epez´esek elemi tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.1 P´eld´ak line´aris lek´epez´esekre ´es transzform´aci´okra . . . . . . 44 2.1.2 Line´aris lek´epez´esek magtere ´es k´eptere . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Mu˝veletek line´aris lek´epez´esekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.1 Line´aris lek´epez´esek ¨osszead´asa ´es szorz´asa skal´arral . . . . . 48 2.2.2 Line´aris lek´epez´esek szorz´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.3 Line´aris transzform´aci´ok inverze . . . . . . . . . . . . . . . . 50 P´eld´ak invert´alhat´o line´aris transzform´aci´okra. . . . . . . . . 52 2.2.4 Faktorterek∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3 M´atrix reprezent´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.1 Mu˝veletek m´atrixokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 M´atrixok ¨osszead´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 M´atrixok szorz´asa skal´arral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 M´atrixok szorz´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 M´atrixok, line´aris lek´epez´esek´es transzform´aci´ok szorz´as´anak tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.3.2 Line´aris transzform´aci´ok inverz´enek m´atrixa. . . . . . . . . . 69 2.4 A´ltal´anos b´azistranszform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 iii iv TARTALOMJEGYZE´K 2.4.1 Line´aris transzform´aci´o m´atrixa u´j b´azisban . . . . . . . . . . 71 2.5 M´atrixok b´azisfaktoriz´aci´oja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3 Alkalmaz´asok 79 3.1 Line´aris egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.1.1 Homog´en line´aris egyenletrendszerek megold´asa . . . . . . . . 82 3.1.2 Inhomog´en line´aris egyenletrendszerek megold´asa . . . . . . . 85 3.2 M´atrixegyenletek∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.3 M´atrix inverz´enek numerikus meghat´aroz´asa . . . . . . . . . . . . . 90 4 Biline´aris fu¨ggv´enyek∗ 93 4.1 Biline´aris fu¨ggv´enyek tere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1.1 Biline´aris fu¨ggv´enyek ´es line´aris lek´epez´esek kapcsolata . . . . 96 4.1.2 Biline´aris fu¨ggv´eny m´atrixa u´j b´azisban . . . . . . . . . . . . 101 Bels˝o szorzat u´j b´azisban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2 Line´aris lek´epez´esek ´es m´atrixok rangt´etele . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 Kvadratikus alakok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4 Biline´aris ´es hermitikus alakok∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5 Euklideszi ´es unit´er terek 119 5.1 Euklideszi terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 Az euklideszi t´er topol´ogi´aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.2.1 Pontsorozatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.3 Geometriai fogalmak ´altal´anos´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.4 Unit´er terek∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6 Determin´ansok 155 6.1 Permut´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.2 k-line´aris fu¨ggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.3 Determin´ansok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.3.1 A determin´ans tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.3.2 A line´aris transzform´aci´ok determin´ans´anak numerikus meg- hat´aroz´asa, m´atrixok determin´ansa . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.4 Karakterisztikus polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7 Invari´ans alterek 171 7.1 Invari´ans alterek, transzform´aci´ok polinomjai . . . . . . . . . . . . . 171 7.1.1 Polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.1.2 Line´aris transzform´aci´ok ´es m´atrixaik polinomjai . . . . . . . 178 7.2 Saj´atvektorok ´es saj´at´ert´ekek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.3 Val´os vektorterek komplexifik´aci´oja∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.4 Egyszeru˝ line´aris transzform´aci´ok∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.4.1 O¨nadjung´alt line´aris transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . 189 7.4.2 Unit´er transzform´aci´ok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.4.3 Norm´alis line´aris transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.5 Euklideszi terek line´aris transzform´aci´oi . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.5.1 Szimmetrikus line´aris transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . 196 7.5.2 Ortogon´alis line´aris transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . 197 TARTALOMJEGYZE´K v 7.6 A s´ık elemi line´aris transzform´aci´oi∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.7 Line´aris transzform´aci´ok reduk´al´asa∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.7.1 Nilpotens transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.7.2 A Jordan-f´ele kanonikus alak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8 Differenci´alsz´am´ıt´as 213 8.1 M´atrixok norm´aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.2 Differenci´alhat´os´ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.3 Parci´alis deriv´altak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.4 Folytonos differenci´alhat´os´ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 8.5 M´asodrendu˝ deriv´altak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.6 A sz´els˝o´ert´ek m´asodrendu˝ felt´etelei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 8.7 Az implicitfu¨ggv´eny-t´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8.8 Felt´eteles sz´els˝o´ert´ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 vi TARTALOMJEGYZE´K 1. Fejezet Vektorterek ´es elemi tulajdons´agaik Ebben a fejezetben a k¨oznapi ´ertelemben vett s´ık vektorain ´ertelmezett ¨osszead´as ´es vektorok val´os sz´amokkal val´o szorz´as´anak tulajdons´agait vizsg´aljuk, majd a sz- erzett tapasztalatok birtok´aban defini´aljuk az absztrakt vektort´er fogalm´at. M´ar itt szeretn´enk arra biztatni az olvas´ot, hogy a k´es˝obbiekben bevezetett fogalmak ´es ´all´ıt´asokpontosmeg´ert´ese´erdek´ebenmindigvizsg´aljameg,hogyasz´obanforg´ofoga- lomnak, illetve ´all´ıt´asnak mi a geometriai jelent´ese a s´ıkon´es a t´erben. A geometriai modell, b´ar nem helyettes´ıti a bizony´ıt´ast, de seg´ıti a meg´ert´est. Ak¨ozgazd´aszhallgat´oksz´am´araaval´oskoordin´ataterekismeretealegfontosabb, m´egis, ahol a minden vektort´erre jellemz˝o tulajdons´agokat t´argyaljuk, a tiszt´abb fogalomalkot´as ´erdek´eben nem haszn´aljuk a vektorok koordin´at´ait. 1.1 Vektorok a s´ıkon A line´aris algebra, vagy kifejez˝obb nev´en a vektorterek elm´elete a k¨oz´episkol´a- ban tanult vektoralgebra, illetve koordin´atageometria ´altal´anos´ıt´asa. Ez´ert eb- ben a bevezet˝o szakaszban a k¨oz´episkol´aban tanult, s´ıkbeli vektorok algebr´aj´anak ¨osszefoglal´as´at tal´alja az olvas´o, hangsu´lyozva azokat a tulajdons´agokat, amelyek a k´es˝obbiekben defini´alt absztrakt vektorterek ´ertelmez´es´en´el elengedhetetlenek. Avektorokbevezet´es´etazaz´eszrev´eteltetteszu¨ks´egess´e, hogybizonyosmennyi- s´egek matematikai jellemz´es´ere a sz´amok nem elegend˝oek, p´eld´aul egy mozg´o ob- jektum viselked´es´enek le´ır´asakor nemcsak az objektum sebess´eg´enek nagys´aga, de mozg´as´anak ir´anya is fontos jellemz˝o. Hasonl´oan, egy testre hat´o er˝o okozta elmoz- dul´as nemcsak az er˝o nagys´ag´anak, hanem ir´any´anak is a fu¨ggv´enye. Azilyen´eshasonl´omennyis´egekjellemz´es´erehaszn´altukavektorokat, amelyeket ir´any´ıtott szakaszok reprezent´altak. Tekintettel arra, hogy p´eld´aul egy objektumra egyszerre t¨obb er˝o is hathat ´es azok ¨osszhat´asa d¨onti el az objektum mozg´as´at, szu¨ks´eges, hogy ez az ¨osszhat´as kisz´am´ıthat´o legyen az ¨osszetev˝ok ismeret´eben. Ez´ert c´elszeru˝ a vektorok¨osszead´as´at´ertelmezni. Persze az ¨osszead´ast u´gy k´ıv´antuk defini´alni, hogy az egyes er˝ohat´asokat reprezent´al´o vektorok ¨osszege alkalmas le- gyen az u´gynevezett, ered˝o er˝o reprezent´al´as´ara. Sok esetben, p´eld´aul gyorsabb mozg´as el´er´ese ´erdek´eben meg kell ”sokszorozni” egy objektumra hat´o er˝ot. Ez 1 2 1. FEJEZET VEKTORTEREK E´S ELEMI TULAJDONSA´GAIK a vektorokkal val´o reprezent´aci´o nyelv´en azt jelenti, hogy egy vektornak sz´ammal val´o szorzat´at is kellett defini´alnunk. Ha az objektumra hat´o er˝oket vektorokkal k´ıv´anjuk reprezent´alni, akkor tekintve, hogy az er˝o fu¨ggetlen az objektum t´erbeli hely´et˝ol, c´elszer˝o k´et vektort egyenl˝onek tekinteni, amennyiben azok hossza is ´es ir´anya is egyenl˝o. Az al´abbiakban a s´ık egy r¨ogz´ıtett pontj´ab´ol kiindul´o u´gynevezett helyvektorokhalmaz´an´ertelmezett¨osszead´as´esskal´arralval´oszorz´astulajdons´agait foglaljuk¨ossze. Annak´erdek´eben,hogy´abr´ainkszeml´eleteseklegyenek,avektorokat Descartes–f´eleder´eksz¨ogu˝ koordin´atarendszerbenhelyeztu¨kel, dehangsu´lyoznisze- retn´enk, hogy sem a vektorok ¨osszead´as´an´al, sem azok skal´arral val´o szorz´asakor a koordin´ata rendszer felv´etele nem szu¨ks´eges, annak, a defini´aland´o mu˝veletek szem- sz¨og´eb˝ol nincs szerepe. K´et a ´es b vektor ¨osszead´asa a paralelogramma– szab´aly alapj´an t¨ort´enik, az al´abbi 1.1.a. ´abr´anak megfelel˝oen: ................................•............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................b..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a....................................a......................................................................+...........................................................................................b.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a................................................................................................................................................................................................................ ................................•...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................b...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................b................................................................................................................•......................................................a..................................................................................................................................................................................................................a.....................+...........................b....................................................................... .......................................................b.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................•...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a...............................................................................................+..........................................................................................b..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................•..................................a..................................................................................................................................... c. 1.1. ´abra: Vektorok ¨osszead´as´anak ´ertelmez´ese Term´eszetesen ´ertelmeznu¨nk kell olyan vektorok ¨osszead´as´at is, amelyeknek azonos, vagy ellent´etes az ir´anya. Ebben az esetben a m´asodik ¨osszeadand´ot az els˝o v´egpontj´aba helyezzu¨k ´es az els˝o kezd˝opontj´ab´ol a m´asodik v´egpontj´aba mu- tat´o vektorral defini´aljuk ¨osszegu¨ket. (l´asd az 1.1.b. ´es 1.1.c. ´abr´akat!) A vektorok ¨osszead´as´anak fenti defin´ıci´oj´ab´ol azonnal ad´odik, hogy az ¨osszeg fu¨ggetlen az ¨ossze- adand´ok sorrendj´et˝ol, azt mondjuk, hogy a vektorok ¨osszead´asa kommutat´ıv. Ad- junk most ¨ossze h´arom vektort, az a-t, b-t ´es c-t. Ez k´etf´ele sorrendben lehets´eges, nevezetesen hozz´aadhatjuk a-hoz a (b+c) ¨osszeget, de az (a+b)-hez is hozz´aadhat´o a c vektor. Az 1.2.a. ´abr´an az els˝o, az 1.2.b. ´abr´an pedig a m´asodik sorrendnek megfelel˝oen k´epeztu¨k h´arom vektor ¨osszeg´et.