Ralf Gerkmann Lie-Gruppen und Lie-Algebren (cid:21) Ein Crashkurs (cid:21) 28. April 2006 Zusammenfassung Das folgende Pamphlet gibt eine Einf(cid:252)hrung in die Theorie der Lie-Gruppen und Lie- Algebren. Verarbeitet wurden dabei Ausz(cid:252)ge der B(cid:252)cher von Humphreys, Hilgert/Neeb und Hall. Die Abschnitte (cid:159)1-3 stellen die Grundbegri(cid:27)e zur Theorie der Lie-Algebren bereit. Die Paragraphen(cid:159)5-7behandelndiegrundlegendeStrukturtheorie;HauptzielistderSatz,da(cid:255)jede Lie-Algebra sich in einen au(cid:29)(cid:246)sbaren und einen halbeinfachen Teil zerlegen l(cid:228)(cid:255)t. Im (cid:159)8 wird Lie-Algebren-Kohomologie eingef(cid:252)hrt und zur Vervollst(cid:228)ndigung einiger Beweise genutzt. In (cid:159)9-13 wird die Strukturtheorie allgemeiner halbeinfacher Lie-Algebren behandelt, wobei der Begri(cid:27)derCartan-AlgebraunddiedurchsieinduzierteWurzelraumzerlegungimVordergrund steht. In (cid:159)14-17 konzentrieren wir uns dann auf komplexe halbeinfache Lie-Algebren. Es wird erkl(cid:228)rt,aufwelcheWeisejedersolchenLie-AlgebraeinWurzelsystemzugeordnetwerdenkann, dieBeweisevonExistenz-undEindeutigkeitssatzwerdenskizziert.EinewichtigeRollespielen dabeidieDarstellungendersl(2,C);aufihnenbasiertauchdieDarstellungstheorieallgemeiner halbeinfacher komplexer Lie-Algebren, mit der wir uns in (cid:159)18 besch(cid:228)ftigen. Im zweiten Teil wenden wir uns der Theorie der Lie-Gruppen zu. In den Paragraphen (cid:159)19-23 behandeln wir den Begri(cid:27) der Lie-Gruppe mit wachsender Allgemeinheit: Wir fangen mit den wohlbekannten abgeschlossenen Untergruppen von GL(n,K) an und arbeiten uns (cid:252)ber die analytischen Untergruppen, die linearen und die lokal-linearen Lie-Gruppen zu den allgemeinen Lie-Gruppen (analytische Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur) hoch. Dabei behaltenwirstetsdenZusammenhangmitderKategoriederLie-AlgebrenimAuge.In(cid:159)24-27 behandeln wir dann die Strukturtheorie der Lie-Gruppen, wobei wir uns an der Struktur der Lie-Algebren orientieren, so wie sie im ersten Teil vorgestellt wurde. Achtung: Dieser Text ist keine zuverl(cid:228)ssige Quelle. Da der Autor selbst zuvor auf diesem Gebietnichtgearbeitethat,sindFehlerundMi(cid:255)verst(cid:228)ndnissevonseinerSeitemehralswahr- scheinlich.S(cid:228)mtlicheBeweisesindunvollst(cid:228)ndig;lediglichdieDe(cid:28)nitionundS(cid:228)tzesolltennach M(cid:246)glichkeit genau wiedergegeben werden. Der Text soll kein Ersatz f(cid:252)r eine Vorlesung oder einLehrbuchsein,sonderndeminteressiertenLeser(einschlie(cid:255)lichdemAutorselbst)lediglich einen schnellen (cid:220)berblick (cid:252)ber die wichtigsten Grundideen der Theorie geben. (cid:159) 1 Die Kategorie der Lie-Algebren ImgesamtenTextbezeichnenwirmitKeinenderbeidenK(cid:246)rperRoderC.EineLie-Algebra(cid:252)ber K ist ein K-Vektorraum g ausgestattet mit einer K-bilinearen Abbildung [ , ]:g×g→K, so da(cid:255) [Y,X]=−[X,Y] und [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0 ∀ X,Y,Z ∈g gilt. Die zweite Gleichung wird h(cid:228)u(cid:28)g als Jacobi-Identit(cid:228)t bezeichnet. Ist (A,+,◦) eine assoziative K-Algebra, dann erh(cid:228)lt man eine Lie-Algebrenstruktur auf A durch [f,g]:=f ◦g−g◦f f(cid:252)r f,g ∈A Handelt es sich zum Beispiel bei A und die K-Algebra End(V) der linearen Endomorphismen auf einem K-Vektorraum V, dann bezeichnet man die zugeordnete K-Lie-Algebra mit gl(V). Ist V =Kn, dann schreibt man auch gl(n,K). 1 Ein Homomorphismus zwischen K-Lie-Algebren g,h ist eine K-lineare Abbildung α : g → h, so da(cid:255) α(XY) = [α(X),α(Y)] f(cid:252)r alle X,Y ∈ g gilt. Ein Isomorphismus ist ein Homomorphismus α:g→h, der zugleich eine mengentheoretische Bijektion zwischen g und h liefert. In diesem Fall ist die Umkehrabbildung α−1 automatisch ebenfalls ein Lie-Algebren-Homomorphismus. Ist V ein R-Vektorraum, dann erh(cid:228)lt man durch VC := V ⊗R C auf nat(cid:252)rliche Weise einen C- Vektorraum, die sog. Komplexi(cid:28)zierung von V. Handelt es sich nun bei V = g um eine reelle Lie-Algebra, dann kann die Verkn(cid:252)pfung [ , ]:g×g→R bilinear auf gC fortgesetzt werden. Man erh(cid:228)lt so eine C-Lie-Algebra, die man ebenfalls als Komplexi(cid:28)zierung von g bezeichnet. Eine R- Lie-Algebra g wird reelle Form einer C-Lie-Algebra h genannt, wenn gC als komplexe Lie-Algebra isomorph zu h ist. Eine komplexe Lie-Algebra besitzt im allgemeinen mehrere reelle Formen, die als R-Lie-Algebren nicht zueinander isomorph sind. Wir werden daf(cid:252)r im n(cid:228)chsten Abschnitt ein Beispiel angeben. (cid:159) 2 Unteralgebren und Ideale Sei g eine K-Lie-Algebra. Eine (Lie-)Unteralgebra von g ist ein K-Unterraum mit der Eigenschaft [X,Y] ∈ h f(cid:252)r alle X,Y ∈ h. Gilt [X,Y] ∈ h sogar f(cid:252)r alle X ∈ g und Y ∈ h, dann spricht man von einem Ideal. Man schreibt h < g, wenn h eine Unteralgebra und h/g, wenn h ein Ideal in g ist. Wichtige Unteralgebren von gl(n,K) sind zum Beispiel gegeben durch sl(n,K) = {X ∈gl(n,K) | tr(X)=0} o(n,K) = {X ∈gl(n,K) | X =−tX} u(n) = {X ∈gl(n,C) | X =−tX¯} wobei tX die transponierte Matrix bezeichnet und die Schreibweise X¯ bedeutet, da(cid:255) die Matri- xeintr(cid:228)ge durch die komplex konjugierten Eintr(cid:228)ge ersetzt werden. Man beachte, da(cid:255) es sich bei allen drei Teilmengen lediglich um R-Unteralgebren handelt, obwohl die umgebende Lie-Algebra in der dritten Zeile (cid:252)ber C de(cid:28)niert ist. AndieserStellek(cid:246)nnenwirdasversprocheneBeispielf(cid:252)rnicht-isomorphereelleFormeneinergege- benen komplexen Lie-Algebra nachliefern. Die Algebren sl(2,R) und so(3,R):=o(3,R)∩sl(3,R) sind beides reelle Formen von sl(2,C), wie man an Hand geeignet gew(cid:228)hlter Basen nachrechnen kann. Dies ist m(cid:246)glich, da die Lie-Klammer auf einer beliebigen Lie-Algebra durch die Bilder der Basiselementefestgelegtist.Andererseitsistsl(2,R)alsR-Lie-Algebranichtisomorphzuso(3,R), da erstere im Gegensatz zur letzteren keine zweidimensionalen Unteralgebren besitzt. Sei V ein K-Unterraum einer K-Lie-Algebra g. Dann erh(cid:228)lt man durch die Teilmenge N (V)={X ∈g | [X,Y]∈V ∀ Y ∈g} g eine Unteralgebra von g, den sogenannten Normalisator von V. Es handelt sich dabei um die kleinste Unteralgebra von g, die den Raum V enth(cid:228)lt. Wichtiges Beispiel f(cid:252)r ein Ideal in einer Lie-Algebra g ist das Zentrum de(cid:28)niert durch Z(g)={X ∈g | [X,Y]=0 ∀ Y ∈g} Man kann leicht zeigen: Sind g < g, h < h und α : g → h ein Homomorphismus von Lie- 1 1 Algebren, dann folgt α(g ) < h und α−1(h ) < g. Ist dar(cid:252)ber hinaus h ein Ideal in h, dann gilt 1 1 1 sogar α−1(h )/g. Ist n(cid:228)mlich X ∈ α−1(h ), Y ∈ g, dann folgt α(X) ∈ h und α(Y) ∈ h, also 1 1 1 α([X,Y])=[α(X),α(Y)]∈h und somit [X,Y]∈α−1(h ). 1 1 2 Ist allgemein h/g ein Ideal in einer K-Lie-Algebra, dann erh(cid:228)lt man die Struktur einer K-Lie- Algebra auf dem Quotientenraum g/h durch [X +h,Y +h]:=[X,Y]+h f(cid:252)r X,Y ∈g Manrechnetunmittelbarnach,da(cid:255)dieseDe(cid:28)nitionunabh(cid:228)ngigvonderWahlderRepr(cid:228)sentanten X,Y ist.DieselbenHomomorphies(cid:228)tze,dief(cid:252)rabelscheGruppenundRingegelten,kannmanauch in der Kategorie der Lie-Algebren beweisen. Lemma 2.1 (i) Seien g,h Lie-Algebren (cid:252)ber K und α:g→h ein Homomorphismus. (ii) Seien i,j/g Ideale mit i ⊆ j. Dann ist die Unteralgebra j/i von g/i ebenfalls ein Ideal, und es existiert ein nat(cid:252)rlicher Isomorphismus (g/i)/(j/i)∼=g/j. (iii) Sind i,j/g Ideale, dann auch i+j und i∩j, und es gilt i/(i∩j)∼=(i+j)/j. Da sich die Beweise dieser Aussagen von denen in der gruppen- oder ringtheoretischen Situation kaum unterscheiden, verzichten wir auf die Ausf(cid:252)hrung. Einen Homomorphismus der Gestalt ρ : g → gl(V) mit einem K-Vektorraum V bezeichnet man auch als Darstellung von g auf V, in Analogie zum Darstellungsbegri(cid:27) f(cid:252)r Gruppen. Zur Ver- einfachung der Notation bietet es sich h(cid:228)u(cid:28)g an, statt einer Darstellung den Begri(cid:27) des Moduls zu verwenden. Ein g-Modul ist ein K-Vektorraum V ausgestattet mit einer bilinearen Abbildung · :g×V →V, so da(cid:255) [X,Y]·v =X ·(Y ·v)−Y ·(X ·v) f(cid:252)r X,Y ∈g und v ∈V gilt. Ist ρ : g → V eine Darstellung, dann erh(cid:228)lt man durch X · v := ρ(X)v einen g-Modul. Umgekehrt liefert jeder g-Modul (V, · ) durch ρ(X)v := X · v eine Darstellung. F(cid:252)r eine fest gew(cid:228)hlte Lie-Algebra g ist also die Kategorie der Darstellungen von g isomorph zur Kategorie der g-Moduln.JedeLie-AlgebragbesitzteineDarstellungaufsichselbst,aufgefa(cid:255)talsK-Vektorraum. Dazu de(cid:28)niert man ad:g→gl(g) , ad(X)(Y):=[X,Y] f(cid:252)r X,Y ∈g Es handelt sich um die sogenannte adjungierte Darstellung der Lie-Algebra g. Wir werden weiter unten auf die allgemeine Strukturtheorie der Darstellungen von Lie-Algebren ausf(cid:252)hrlicher einge- hen. (cid:159) 3 Derivationen und semidirekte Produkte EineDerivationaufeinerLie-AlgebragisteineK-lineareAbbildungδ :g→gmitderEigenschaft δ([X,Y])=[δ(X),Y]+[X,δ(Y)] f(cid:252)r X,Y ∈g Die Menge der(g) der Derivationen auf g bildet zusammen mit der Komposition eine Unteralgebra der (assoziativen) Algebra End(g) der Endomorphismen auf g als K-Vektorraum. Durch [δ ,δ ]:=δ ◦δ −δ ◦δ f(cid:252)r δ ,δ ∈der(g) 1 2 1 2 2 1 1 2 kann sie somit auch als Lie-Unteralgebra von gl(g) aufgefa(cid:255)t werden. Die Abbildung ad(X) liefert f(cid:252)r alle X ∈ g eine Derivation von g, wie man mit Hilfe der Jacobi- Identit(cid:228)t schnell nachrechnet. Die Derivationen dieser Bauart werden als innere Derivationen von g bezeichnet, und ad de(cid:28)niert einen Lie-Algebren-Homomorphismus g→der(g)<gl(g). Der Kern von ad ist genau das Zentrum von g, und das Bild besteht aus den inneren Derivationen. 3 Seien nun n und h Lie-Algebren (cid:252)ber K und α : h → der(n) ein Lie-Algebren-Homomorphismus. Dann ist auf der direkten Summe n⊕h von K-Vektorr(cid:228)umen durch [(X,Y),(X0,Y0)]:=(α(Y)X0−α(Y0)X +[X,X0],[Y,Y0]) X,X ∈n , Y,Y0 ∈h eineLie-Algebren-Strukturde(cid:28)niert,diesemidirektes Produktvonnundhgenanntundmitno h α bezeichnet wird. Wir werden sp(cid:228)ter sehen, da(cid:255) das semidirekte Produkt von Lie-Algebren eng mit dem semidirekten Produkt von Lie-Gruppen zusammenh(cid:228)ngt. Hier geben wir zur Illustration zun(cid:228)chst nur ein einfaches Beispiel f(cid:252)r ein semidirektes Produkt an. Sei n=RX +RY +RE mit der Lie-Klammer [X,Y]=E , [X,E]=[Y,E]=0 DiesistdiesogenannteHeisenberg-Algebra.Nunseih:=RH eineeindimensionaleLie-Algebramit [H,H]=0 und α:h→der(n) der durch α(H)(X)=Y , α(H)(Y)=−X , α(H)(E)=0 de(cid:28)nierte Homomorphismus. Die Oszillator-Algebra ist nun de(cid:28)niert als das semidirekte Produkt von n und h mittels α. Zum Beispiel ist [H,X]=[(0,H),(X,0)]=(α(H)(X),0)=Y und ebenso erh(cid:228)lt man [X,Y]=E sowie [H,Y]=−X. Da die Elemente X,Y,E und H eine Basis der Oszillator-Algebra bilden, ist die Lie-Algebren-Struktur dadurch eindeutig festgelegt. (cid:159) 4 Nilpotente Lie-Algebren Sei g eine Lie-Algebra. Dann k(cid:246)nnen wir induktiv durch g1 :=[g,g] und gn :=[g,gn−1] f(cid:252)r n≥2 eine absteigende Folge g = g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ··· von Unterr(cid:228)umen de(cid:28)nieren. Man rechnet leicht nach, da(cid:255) es sich bei allen gn um Ideale von g handelt. Die absteigende Folge bezeichnet man als die Zentralreihe der Lie-Algebra g. Eine Lie-Algebra wird nilpotent genannt, wenn diese Folge bis zum Nullraum hinunterreicht, wenn also ein n∈N existiert, so da(cid:255) gn =0 gilt. Diese Eigenschaft der Nilpotenz (cid:252)bertr(cid:228)gt sich auf Unteralgebren, homomorphe Bilder und Sum- men. Insbesondere existiert in jeder Lie-Algebra g eine maximale nilpotente Unteralgebra, da(cid:255) sogenannte Nilradikal von g. Ist a/g ein Ideal im Zentrum Z(g) und g/a nilpotent, dann auch g. Die Heisenberg-Algebra ist ein Beispiel f(cid:252)r eine nilpotente Lie-Algebra. Eine Lie-Algebra g nennt man abelsch hei(cid:255)t abelsch, wenn [X,Y] = 0 f(cid:252)r alle X,Y ∈ g gilt; dies ist o(cid:27)enbar (cid:228)quivalent zu g=Z(g). Nach De(cid:28)nition ist jede abelsche Lie-Algebra nilpotent. Wir versuchen, den Begri(cid:27) der Nilpotenz einer Lie-Algebra konkreter zu fassen. Folgendes Lemma ist dabei hilfreich. Lemma 4.1 Ist V ein nichttrivialer K-Vektorraum und g eine Unteralgebra von gl(V) mit der Eigeschaft, da(cid:255) alle X ∈g (als Endomorphismen von V) nilpotent sind, dann gibt es einen Vektor 06=v ∈V mit X(v )=0 f(cid:252)r alle X ∈g. 0 0 Der Beweis des Lemmas wird durch vollst(cid:228)ndige Induktion (cid:252)ber dimKg gef(cid:252)hrt, wobei der Fall dimKg = 1 unmittelbar klar ist. Mit Hilfe des Lemmas kann dann gezeigt werden: Ist g < gl(V) f(cid:252)r einen Vektorraum V und sind alle X ∈g nilpotent, dann ist auch g nilpotent. Ferner existiert 4 eine Fahne {V } in V, so da(cid:255) X(V ) ⊆ V f(cid:252)r 1 ≤ k ≤ n = dim(V) und alle X ∈ g gilt. (Eine k k k−1 Fahne in V ist eine Folge 0 = V < V < ··· < V mit k = dim(V ) f(cid:252)r 0 ≤ k ≤ n.) Dies ist 0 1 n k gleichbedeutend mit der Existenz einer Basis von V, so da(cid:255) die Darstellungsmatrizen aller X ∈g bez(cid:252)glich dieser Basis strikte obere Dreiecksmatrizen sind. Die Umkehrung dieser Aussage ist allerdings falsch: Eine Unteralgebra g < gl(V) kann nilpotent sein,ohneda(cid:255)diesf(cid:252)ralleElementeinggilt.ZumBeispielbildendieVielfachenderEinheitsmatrix eine Lie-Unteralgebra, die abelsch, also insbesondere nilpotent ist. Allgemeine nilpotente Lie-Algebren k(cid:246)nnen mit dem Satz von Engels charakterisiert werden: Eine Lie-Algebra g ist genau dann nilpotent, wenn die Endomorphismen ad(X) des K-Vektorraums g f(cid:252)r alle X ∈g nilpotent sind. Die Nilpotenz von ad(X) ist klar, denn f(cid:252)r alle Y ∈g ist ad(X)n(Y)=[X,[X,...,[X,Y]]]∈gn =0 f(cid:252)r n hinreichend gro(cid:255). Sind umgekehrt alle X ∈ ad(g) als Endomorphismen des Vektorraum V := g nilpotent, ist ad(g) als Lie-Unteralgebra von gl(g) nilpotent. Der Kern des Lie-Algebren-Homomorphismus ad ist das Zentrum, somit ist ad(g) ∼= g/Z(g). Mit ad(g) und Z(g) ist nach dem oben Gesagten auch g nilpotent. (cid:159) 5 Au(cid:29)(cid:246)sbare Lie-Algebren Die au(cid:29)(cid:246)sbaren Lie-Algebren besitzen nach den abelschen und nilpotenten die n(cid:228)chsth(cid:246)here Kom- plexit(cid:228)t. F(cid:252)r eine Lie-Algebra g de(cid:28)nieren wir rekursiv g(1) :=g1 =[g,g] und g(n) :=[g(n−1),g(n−1)] f(cid:252)r n≥2. Man erh(cid:228)lt auf diese Weise die sogenannte abgeleitete Reihe g=g(0) ⊇g(1) ⊇··· der Lie-Algebra g.EineLie-Algebraghei(cid:255)tau(cid:29)(cid:246)sbar,wenng(n) =0f(cid:252)reinn∈Ngilt.O(cid:27)enbarsindnilpotenteLie- Algebren au(cid:29)(cid:246)sbar. (Die Umkehrung gilt nat(cid:252)rlich nicht, sonst w(cid:228)re der neue Begri(cid:27) (cid:252)ber(cid:29)(cid:252)ssig.) Neben der Nilpotenz (cid:252)bertr(cid:228)gt sich auch die Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit einer Lie-Algebra auf Unteralgebren, homomorpheBilderundSummen.Diemaximaleau(cid:29)(cid:246)sbareUnteralgebraeinerLie-Algebragwird das Radikal von g genannt und mit rad(g) bezeichnet. Ist a ein Ideal von g und sowohl a als auchg/aau(cid:29)(cid:246)sbar,danngiltdasselbef(cid:252)rg.Wirerinnerndaran,da(cid:255)beinilpotentenLie-Algebren entsprechendes im allgemeinen nur dann richtig ist, wenn a im Zentrum von g liegt. WiebeidennilpotentenLie-Algebrenbeweistmanauchhierzun(cid:228)chsteintechnischesLemma,das es erlaubt, den Begri(cid:27) der Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit auf (cid:18)anschauliche(cid:16) Weise zu verstehen. Lemma 5.1 Ist V 6=0 ein C-Vektorraum und g<gl(V) au(cid:29)(cid:246)sbar, dann existiert ein 06=v ∈V 0 mit g(v )⊆Cv . 0 0 Die Einschr(cid:228)nkung auf den Grundk(cid:246)rper C ist darauf zur(cid:252)ckzuf(cid:252)hren, da(cid:255) nur hier beliebige En- domorphismen trigonalisiert werden k(cid:246)nnen. EineunmittelbareFolgerungausdemLemmaistderfolgendeSatzvonLie:IstV einC-Vektorraum undg<gl(V)au(cid:29)(cid:246)sbar,danngibteseineg-invarianteFahne.DieDarstellungsmatrizenderX ∈g sind also obere Dreiecksmatrizen bez(cid:252)glich einer einheitlich gew(cid:228)hlten Basis. Der Satz von Lie erm(cid:246)glicht es, die Beziehung zwischen den Eigenschaften (cid:18)nilpotent(cid:16) und (cid:18)au(cid:29)(cid:246)s- bar(cid:16) besser zu verstehen: Eine K-Lie-Algebra g ist genau dann au(cid:29)(cid:246)sbar, wenn [g,g] nilpotent ist. DieRichung(cid:18)⇐(cid:16) folgtdabeiunmittelbarausunsererobengetro(cid:27)enenFeststellung,da(cid:255)nilpotente Lie-Algebren au(cid:29)(cid:246)sbar sind. F(cid:252)r (cid:18)⇒(cid:16) reduziert man die Aussage zun(cid:228)chst auf den Grundk(cid:246)rper 5 C. Daf(cid:252)r mu(cid:255) gezeigt werden, da(cid:255) jede reelle Lie-Algebra g genau dann nilpotent bzw. au(cid:29)(cid:246)sbar ist,wenndiesf(cid:252)rihreKomplexi(cid:28)zierunggC zutri(cid:27)t.Dieswiederumfolgtaus[gC,gC]=[g,g]C,was mandirektnachrechnenkann.IstnundieC-Lie-Algebragau(cid:29)(cid:246)sbar,dannbestehtad(g)nachdem Satz von Lie aus oberen Dreiecksmatrizen. Dies wiederum bedeutet, da(cid:255) ad([g,g])=[ad(g),ad(g)] aus strikten oberen Dreiecksmatrizen besteht, nach dem Satz von Engel also nilpotent ist. Au(cid:29)(cid:246)sbare Unteralgebren von gl(V) werden durch das Cartan-Kriterium charakterisiert werden: SeiV einK-Vektorraumundg<gl(V).IndiesemFallistgau(cid:29)(cid:246)sbargenaudann,wenntr(XY)=0 f(cid:252)r alle X ∈ [g,g] und Y ∈ g gilt. Dabei bezeichnet tr(φ) die Spur eines Endomorphismus φ von V. Die Richtung ist (cid:18)⇒(cid:16) eine direkte Konsequenz aus dem oben beschriebenen Zusammenhang zwischen Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit und Nilpotenz. Ist n(cid:228)mlich g au(cid:29)(cid:246)sbar, dann ist [g,g] nilpotent. Nach dem SatzvonLieexistierteineBasisvonV,soda(cid:255)gausoberenDreiecksmatrizenbesteht.Dannenth(cid:228)lt [g,g] ausschlie(cid:255)lich strikte obere Dreiecksmatrizen. Ist nun X ∈ [g,g] und Y ∈ g, dann ist XY wiederum eine strikte obere Dreiecksmatrix, und diese hat Spur Null. Der Beweis der Umkehrung (cid:18)⇐(cid:16) ist relativ technisch, deshalb soll er hier nicht ausgef(cid:252)hrt werden. Das Cartan-Kriterium kann mit der adjungierten Darstellung auf allgemeine Lie-Algebren (cid:252)ber- tragen werden und lautet hier: Eine K-Lie-Algebra g ist genau dann au(cid:29)(cid:246)sbar, wenn tr(ad(X)ad(Y))=0 f(cid:252)r alle X ∈[g,g] und Y ∈g gilt. Ist n(cid:228)mlich g au(cid:29)(cid:246)sbar, dann auch ad(g) < gl(g), und wir k(cid:246)nnen das urspr(cid:252)ngliche Cartan- Kriterium anwenden. Ist nun umgekehrt tr(ad(X)ad(Y)) = 0 f(cid:252)r alle X ∈ [g,g] und Y ∈ g, dann folgt aus dem Cartan-Kriterium, da(cid:255) ad(g) ∼= g/Z(g) au(cid:29)(cid:246)sbar ist. Das Ideal Z(g) ist au(cid:29)(cid:246)sbar, da abelsch, also ist auch g au(cid:29)(cid:246)sbar. (cid:159) 6 Halbeinfache Lie-Algebren Eine K-Lie-Algebra g wird halbeinfach genannt, wenn ihr Radikal rad(g) verschwindet. Von einer einfachen Lie-Algebra spricht man, wenn sie nicht abelsch ist und keine Ideale au(cid:255)er g und 0 besitzt. Eine einfache Algebra kann nicht au(cid:29)(cid:246)sbar sein, da nach Voraussetzung [g,g] = g gelten mu(cid:255). Wichtige Invariante einer Lie-Algebra ist ihre Killing-Form. Dabei handelt es sich um eine sym- metrische Bilinearform auf g de(cid:28)niert durch κ :g×g→K , (X,Y)7→tr(ad(X)ad(Y)) g Eine wichtige Eigenschaft der Killing-Form neben der Bilinearit(cid:228)t ist ihre Invarianz, d.h. es gilt κ (X,[Y,Z])=κ ([X,Y],Z) f(cid:252)r alle X,Y,Z ∈g. g g Das Cartan-Kriterium besagt, da(cid:255) eine Lie-Algebra genau dann au(cid:29)(cid:246)sbar ist, wenn ihre Killing- FormidentischNullist.HalbeinfacheLie-Algebrendagegensinddadurchgekennzeichnet,da(cid:255)ihre Killing-Form nicht ausgeartet ist. Mit anderen Worten: Das Radikal rad(κ ) := g⊥, d.h. der auf g ganz g bez(cid:252)glich κ senkrecht stehende Teilraum von g ist der Nullraum. Sei n(cid:228)mlich g 6= 0 eine g halbeinfache Lie-Algebra. Wir zeigen zun(cid:228)chst, da(cid:255) f(cid:252)r jedes Ideal j/g der Durchschnitt j∩j⊥ im Radikal rad(g) enthalten ist. Zun(cid:228)chst einmal ist j⊥ auch ein Ideal in g. Ist n(cid:228)mlich Z ∈ j⊥ und Y ∈g, dann gilt κ (X,[Y,Z])=κ ([X,Y],Z)=0 f(cid:252)r alle X ∈j, d.h. [Y,Z] steht auf j senkrecht. g g Somit ist auch i:=j∩j⊥ ein Ideal von g. Die Einschr(cid:228)nkung κ =κ |i×i verschwindet identisch, i g es ist also rad(i) = i. Somit ist i, aufgefa(cid:255)t als Unteralgebra von g, au(cid:29)(cid:246)sbar, also im Radikal enthalten. Insbesondere ist g∩g⊥ in rad(g) enthalten, im halbeinfachen Fall handelt es sich also um das Nullideal. 6 Nehmenwirnunan,esistr:=rad(g)6=0.Danngibteseinn∈N,soda(cid:255)r(n) =0,h:=r(n−1) aber 6=0 ist. Sei nun 06=X ∈h und Y,Z ∈g beliebig. Eine kurze Rechnung zeigt (ad(X)ad(Y))2(Z)= 0. Es ist ad(X)ad(Y) also ein nilpotentes Element in gl(g) und hat als solches Spur Null. Wir haben somit ein nichttriviales Element in rad(κ ) gefunden. g DieBezeichnung(cid:18)halbeinfach(cid:16) f(cid:252)reineLie-AlgebrawirddurchfolgendeEigenschaftgerechtfertigt: In jeder halbeinfachen Lie-Algebra g gibt es einfache Ideale g ,...,g , so da(cid:255) g als direkte Sum- 1 n me g ⊕···⊕g dargestellt werden kann. Dies beweist man durch vollst(cid:228)ndige Induktion (cid:252)ber 1 n die Dimension von g. Sei j/g ein nichttriviales Ideal. Dann ist zun(cid:228)chst j∩j⊥ ⊆ rad(g) = 0, woran man erkennt, da(cid:255) die Einschr(cid:228)nkung der Killing-Form auf j nicht ausgeartet und j,j⊥ so- mit selbst halbeinfache Unteralgebren sind. Au(cid:255)erdem gilt j+j⊥ = g, denn ist {X ,...,X } eine 1 m Orthonormalbasis von j und X ∈g, dann folgt m X −X κg(X,Xi)X ∈j⊥ κ (X ,X ) i g i i i=1 Also ist g direkte Summe von j und j⊥, und wir k(cid:246)nnen die Induktionsvoraussetzung anwenden. Aus dieser Zerlegungseigenschaft folgt, da(cid:255) [g,g] = g f(cid:252)r jede halbeinfache Lie-Algebra gilt. Sei P n(cid:228)mlich g = g eine Zerlegung in einfache Unteralgebren. Da alle g nicht abelsch und einfach j j sind, es sich bei [g ,g ] aber um ein Ideal handelt, kann nur [g ,g ]=g gelten. Dann folgt aber j j j j j X X X [g,g]= [g ,g ]= [g ,g ]= g =g i j j j j i,j Wir haben bereits vorhin im Beweis festgestellt, da(cid:255) alle Ideale einer halbeinfachen Lie-Algebra g wiederhalbeinfachsind.Dasselbegiltauchf(cid:252)rhomomorpheBildervonhalbeinfachenLie-Algebren. Denn ist h ein solches Bild, dann gilt nach dem Homomorphiesatz h∼=g/n f(cid:252)r ein geeignetes Ideal n/g,undesistg/n∼=n⊥;dieLie-Algebran⊥istaber,wieimBeweisgezeigtwurde,nichtausgeartet. (cid:159) 7 Erweiterung von Lie-Algebren, Levi-Zerlegung Seien h,i Lie-Algebren. Eine Erweiterung von h mit i ist eine kurze exakte Sequenz ι π 0→i→g→h→0 Zwei Erweiterungen g,g0 werden (cid:228)quivalent genannt, wenn ein Isomorphismus φ:g→g0 existiert mit φ◦ι = ι0 und π = π0 ◦φ. Man sagt, da(cid:255) die Erweiterung zerf(cid:228)llt, wenn ein Lie-Algebren- Homomorphismus ψ :h→g mit π◦ψ =id existiert. h Man kann leicht nachrechnen, da(cid:255) eine zerfallende Erweiterung stets als semidirektes Produkt geschrieben werden kann. Zun(cid:228)chst de(cid:28)niert man einen Vektorraum-Isomorphismus Φ:i⊕h→g durch (X,Y)7→ι(X)+ψ(Y). Dann benutzt man diesen, um die Lie-Algebren-Struktur von g auf i⊕h zu (cid:252)bertragen. [(X,Y),(X0,Y0)]:=Φ−1([ι(X)+ψ(Y),ι(X0)+ψ(Y0)]) Anschlie(cid:255)end (cid:252)berpr(cid:252)ft man, da(cid:255) der Homomorphismus α(Y)(X) := ι−1([ψ(Y),ι(X)]) von h in die Derivationen auf i die Gleichung [(X,Y),(X0,Y0)]=(α(Y)(X0)−α(Y0)(X)+[X,X0],[Y,Y0]) f(cid:252)r X ∈ι, Y ∈h so da(cid:255) g also tats(cid:228)chlich das semidirekte Produkt von h und i bez(cid:252)glich α ist. 7 Wir kommen nun zu einem der zentralen S(cid:228)tze in der Strukturtheorie der Lie-Algebren. Der Satz von Levi besagt, da(cid:255) in jeder Lie-Algebra g eine halbeinfache Unteralgebra s existiert mit s+ rad(g) = g und s∩rad(g) = {0}. Man nennt s das Levi-Komplement von rad(g) und die direkte Summenzerlegung g=s⊕rad(g) die Levi-Zerlegung. Wir skizzieren den Beweis dieses Satzes. Im folgenden Abschnitt werden wir mit kohomologischen Mitteln zeigen: Ist g eine Erweiterung von h mit i und ist h halbeinfach und i abelsch, dann zerf(cid:228)llt diese Erweiterung. Daraus folgert man: Ist g eine Lie-Algebra und r=rad(g), dann zerf(cid:228)llt 0→r→g→g/r→0 Dies ist ein relativ technischer Induktionsbeweis (cid:252)ber die Dimension von r, den wir hier nicht vollst(cid:228)ndig ausf(cid:252)hren. F(cid:252)r dim(r) = 0 ist nichts zu zeigen, und der Fall dim(r) = 1 ist bereits erledigt, da eindimensionale Lie-Algebren stets abelsch sind. Ist r nicht abelsch, dann ist [r,r]6=0. Sei α : g → g/[r,r] =: h die Quotientenabbildung. Man kann leicht zeigen, da(cid:255) α(r) das Radikal von h ist, und dieses besitzt eine echt kleinere Dimension. Also kann die Induktionsvoraussetzung auf α(r)⊆h angewendet werden. Kehren wir zur(cid:252)ck zum Beweis des Satzes von Levi. Sei ψ : g/r → g der Lie-Algebren-Homo- morphismus, der die kurze exakte Sequenz aus dem vorigen Lemma zum Zerfallen bringt. Man de(cid:28)niert nun s := ψ(g/r). Diese Lie-Algebra ist o(cid:27)enbar halbeinfach und erf(cid:252)llt die Bedingungen s+rad(g)=g sowie s∩rad(g)={0}. (cid:159) 8 Lie-Algebren-Kohomologie und Anwendungen IndiesemAbschnittwerdenwirdieGrundbegri(cid:27)ederLie-Algebren-Kohomologieeinf(cid:252)hren.Au(cid:255)er- dem soll erkl(cid:228)rt werden, wie aus kohomologischen Resultaten die beiden Ergebnisse folgen, deren Beweis wir bisher o(cid:27)en lassen mu(cid:255)ten: den Satz von Weyl (cid:252)ber die vollst(cid:228)ndige Reduzibilit(cid:228)t von Lie-Algebren-Darstellungen und das Lemma (cid:252)ber Erweiterungen abelscher Lie-Algebren, das zum Beweis des Satzes von Levi gebraucht wurde. Sei g eine K-Lie-Algebra und π : g → gl(V) eine Darstellung. Eine k-Kokette ist eine K-lineare, alternierende Abbildung c:g×···×g→V wobei rechts das k-fache direkte Produkt des Vektorraums g steht. Die 0-Kokette sind einfach die Elemente der Vektorraums V. Nun de(cid:28)nieren wir einen geeigneten Randoperator δ :Ck →Ck+1 durch k π π k (δ c)(X ,...,X )=X(−1)iπ(X )c(X ,...,Xˆ ,...,X )+X(−1)i+jc([X ,X ],X ,...,Xˆ ,...,Xˆ ,...,X ) k 0 k i 0 i k i j 0 i j k i=0 i<j Manrechnetunmittelbarnach,da(cid:255)δ ◦δ =0ist.Eink-KozykelisteinElementinZk :=ker(δ ), k+1 k π k eink-KorandeinElementinBk :δ (Ck−1).Diek-teLie-Algebren-Kohomologie(oderChevalley- π k−1 π Kohomologie) ist nun de(cid:28)niert durch Hk :=Zk/Bk. π π π Wahrscheinlich h(cid:228)tte man die Lie-Algebren-Kohomologie alternativ auch als Rechtsableitung des Vergi(cid:255)funktors von der Kategorie der g-Moduln in die Kategorie der K-Vektorr(cid:228)ume de(cid:28)nieren k(cid:246)nnen,undderangegebeneKettenkomplexistdieStandardau(cid:29)(cid:246)sungeinesvorgegebenenModuls V. Auf die Schnelle habe ich aber keinen Hinweis in dieser Richtung (cid:28)nden k(cid:246)nnen. Wir zeigen nun : Ist H1 = {0} f(cid:252)r jede Darstellung π einer Lie-Algebra g, dann zerf(cid:228)llt jede π Erweiterung von g-Moduln. Sei ι φ 0→W →V →W →0 8 eine solche Erweiterung und E :=Hom(W0,W). Dann erh(cid:228)lt man eine Darstellung π :g→gl(E) durch (π(X)f)(w0) := X ·f(w0)−f(X ·w0). Unser Plan sieht nun folgenderma(cid:255)en aus: Einer beliebigen linearen Abbildung ψ : W0 → V mit φ◦ψ = id (nicht notwendig (cid:228)quivariant!) kann W0 auf nat(cid:252)rliche Weise eine 1-Kokette c mit Werten in E zugeordnet werden. Ist diese auch ein ψ Korand, dann kann ψ zu einer (cid:228)quivarianten Abbildung umgewandelt werden, was bedeutet, da(cid:255) die kurze exakte Sequenz zerf(cid:228)llt. Sehen wir uns nun diese Zuordnung genauer an. Gegeben eine lineare Abbildung ψ mit den ge- nannten Eigenschaften, de(cid:28)nieren wir c (X)(w0):=X ·ψ(w0)−ψ(X ·w0) (X ∈g, w0 ∈W0) ψ Es gilt φ(c (X)(w0)) = φ(X ·ψ(w0))−φ◦ψ(X ·w0) = X ·w0−X ·w0 = 0. Also ist c (X) nicht ψ ψ nur eine Abbildung mit Werten in V, sondern in W. Somit de(cid:28)niert c : g → E eine Kokette ψ mit Werten in E. Durch eine l(cid:228)ngere Rechnung veri(cid:28)ziert man, da(cid:255) es sich bei c sogar um einen ψ Kozykel handelt. Verschwindet nun die erste Kohomologie, dann mu(cid:255) c ein Korand sein. Es gibt also ein f ∈ E ψ mit c (X) = δ f(X). Man kann jetzt nachrechnen, da(cid:255) ψ−ι◦f ein g-Modul-Homomorphismus ψ 0 ist und φ◦(ψ−ι◦f)=φ◦ψ =id gilt. W0 Auch die zweite Lie-Algebren-Kohomologie besitzt eine wichtige konkrete Bedeutung: Ist h eine K-Lie-AlgebramitderEigenschaft,da(cid:255)H2 f(cid:252)rjedeDarstellungρverschwindet,dannzerf(cid:228)lltjede ρ Erweiterung von h mit einer abelschen Lie-Algebra. Sei n(cid:228)mlich ι π 0→i→g→h→0 eine solche Erweiterung und ψ : h → g eine lineare Abbildung, die diese kurze exakte Sequenz in der Kategorie der Vektorr(cid:228)ume zerfallen l(cid:228)(cid:255)t. Das Beweisschema ist dasselbe wie zuvor in der ersten Kohomologie: Man ordnet ψ einen geeigneten 2-Kozykel mit Werten in V := i zu. Wenn es sich dabei auch um einen 2-Korand handelt, kann ψ zu einem Lie-Algebren-Homomorphismus abge(cid:228)ndert werden. Sei ψ :h→g eine lineare Abbildung mit der geforderten Zerf(cid:228)llungseigenschaft. Zun(cid:228)chst m(cid:252)ssen wir eine zu Grunde liegende Darstellung de(cid:28)nieren. Dazu setzen wir ρ (X)(v) := [ψ(X),ι(v)] f(cid:252)r ψ X ∈hundv ∈i.Da(cid:255)essichdabeitats(cid:228)chlichumeineDarstellungvonhhandeltistgew(cid:228)hrleistet, weil i abelsch ist. Nun de(cid:28)nieren wir die lineare Abbildung c :h×h→g , (X,Y)7→ψ([X,Y])−[ψ(X),ψ(Y)] ψ Wegen π ◦c (X,Y) = 0 nimmt diese alle Werte in i ⊆ g an. Au(cid:255)erdem rechnet man nach, da(cid:255) ψ (δ c )(X,Y,Z) = 0 f(cid:252)r alle X,Y,Z ∈ h ist. Also ist durch c ein 2-Kozykel mit Werten in i 2 ψ ψ de(cid:28)niert. Wenn die zweite Kohomologie verschwindet, ist c auch ein 2-Korand. Es existiert also eine 1- ψ Kokette c mit δ c=c . Ausgeschrieben bedeutet das 1 ψ ψ([X,Y])−[ψ(X),ψ(Y)]=[ψ(X),ι◦c(Y)]−[ψ(Y),ι◦c(X)]−c([X,Y]). Nunde(cid:28)nierenwirψ0 :=ψ+ι◦c.Danngilt[ψ0(X),ψ0(Y)]=ψ([X,Y])+c([X,Y]),also[ψ0(X),ψ0(Y)]− ψ0([X,Y]) = 0. Also handelt es sich bei ψ0 um einen Lie-Algebren-Homomorphismus. In der Ka- tegorie der Vektorr(cid:228)ume l(cid:228)(cid:255)t ψ0 die kurze exakte Sequenz weiterhin zerfallen, also auch in der Kategorie der Lie-Algebren. 9 Sei g nun eine halbeinfache Lie-Algebra und ρ : g → gl(V) eine Darstellung. Die Lemmata von Whitehead (erstes und zweites Lemma) besagen, da(cid:255) dann die Kohomologier(cid:228)ume H1 und H2 ρ ρ beide verschwinden. Wir verzichten hier auf den Beweis und stellen lediglich fest, da(cid:255) die Beweise der S(cid:228)tze von Weyl und Levi damit abgeschlossen sind. (Der Satz von Weyl kann alternativ auch (cid:252)ber das Schurs Lemma bewiesen werden, wie z.B. in Humphreys Buch gezeigt wird.) (cid:159) 9 Gewichtszerlegung einer Darstellung In den folgenden Abschnitten soll die Struktur halbeinfacher Lie-Algebren genauer untersucht werden, wobei auch die Darstellungstheorie eine wichtige Rolle spielt. Wir wiederholen zun(cid:228)chst einigeGrundbegri(cid:27)eausderlinearenAlgebra.SeiφeinEndomorphismusaufeinemK-Vektorraum V und λ∈K. Dann ist der Hauptraum zum Wert λ de(cid:28)niert durch [ Hau(φ,λ):= ker(φ−λid)n n∈N Man nennt einen Endomorphismus zerfallend, wenn V in Hauptr(cid:228)ume zu verschiedenen Werten λ zerf(cid:228)llt. Dies ist gleichwertig damit, da(cid:255) φ eine Darstellung als Summe φ +φ besitzt, wobei S N φ halbeinfach und φ nilpotent ist. Aus der lineare Algebra ist bekannt, da(cid:255) f(cid:252)r K = C jeder S N Endomorphismus diese Eigenschaft besitzt. EineDarstellungπ :g→gl(V)wirdzerfallendgenannt,wennalleEndomorphismenπ(X)mitX ∈ g zerfallen. Zum Beispiel ist jede Darstellung (cid:252)ber C zerfallend. Die adjungierte Darstellung einer Unteralgebra g < gl(V) zerf(cid:228)llt genau dann, wenn jedes X ∈ g als Vektorraum-Endomorphismus zerf(cid:228)llt. F(cid:252)r den halbeinfachen und den nilpotenten Anteil gilt dann ad(X) = ad(X ) und S S ad(X) =ad(X ). N N Seig∗ derK-VektorraumderLinearformenaufg.Dannde(cid:28)nierenwirjedesλ∈g∗ denUnterraum \ V (π):= Hau(π(X),λ(X)) λ X∈g derjenigen Vektoren, die f(cid:252)r alle X ∈ g im π(X)-Hauptraum zum Wert λ(X) liegen. Man nennt λ ein Gewicht von π, wenn V 6= 0 ist und nennt V in diesem Fall einen Gewichtsraum. Die λ λ Dimension dimV wird die Vielfachheit des Gewichts λ genannt. λ Es liegt nun nahe zu fragen, wann der Vektorraum V direkte Summe seiner Gewichtsunterr(cid:228)ume ist. Eine hinreichende Bedingung daf(cid:252)r ist, da(cid:255) die Darstellung π zerf(cid:228)llt und g nilpotent ist. Wir skizzieren den Beweis, vor allem um nachzuvollziehen, inwiefern die Eigenschaft (cid:18)nilpotent(cid:16) dort eingeht. Zun(cid:228)chst stellen wir fest, da(cid:255) bei der De(cid:28)nition der Gewichtsr(cid:228)ume nur das Bild π(g) in gl(V) eine Rolle spielt, so da(cid:255) wir direkt g < gl(V) annehmen k(cid:246)nnen. Da g eine Unteralgebra von gl(V) ist, l(cid:228)(cid:255)t ad(H) f(cid:252)r alle X ∈ g den Unterraum g invariant. Dann wird g auch von ad(X ) invariant gelassen. Denn allgemein gilt f(cid:252)r einen linearen Endomorphismus φ auf einem S K-Vektorraum V: Sind V ⊆ V Unterr(cid:228)ume mit φ(V ) ⊆ V , dann gilt φ (V ) ⊆ V f(cid:252)r den 2 1 1 2 S 1 1 halbeinfachenundφ (V )⊂V f(cid:252)rdennilpotentenAnteil.Etwasweiterobenhattenwirerw(cid:228)hnt, N 1 2 da(cid:255) ad(X ) der halbeinfache und ad(X ) der nilpotente Anteil des Endormorphismus φ=ad(X) S N ist. Dagnilpotentist,sindnachdemSatzvonEngelsdieBilderunterderadjungiertenDarstellungnil- potent. Insbesondere gilt ad(X) =ad(X )=0 f(cid:252)r alle X ∈g, also [X ,Y]=ad(X )(Y)=0 f(cid:252)r S S S S alle X,Y ∈g. Als Endomorphismus von V ist X also mit jedem Y ∈g vertauschbar. Wir unter- S scheidennunzweiF(cid:228)lle.Zun(cid:228)chstnehmenwiran,da(cid:255)jedesX alsEndomorphismusaufV genau S einenEigenwertµ(X )besitzt.WireineLinearformaufgdurchλ(X)=µ(X )=dim(V)−1tr(X). S S 10