Renato Fiorenza Donato Greco LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA Volume secondo Terza Edizione Liguori Editore Tutti i diritti sono riservati. Nessuna parte di questa pubblicazione può essere tradotta, riprodotta, copiata o trasmessa senza l'autorizzazione scritta dell'editore. L'AIDRO (Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione delle Opere dell'Ingegno), via delle Erbe 2, 20121 Milano, potrà concedere una licenza di riproduzione a pagamento per una porzione non superiore a un decimo del presente volume. Terza edizione italiana Dicembre 1999 Liguorl Editore, Srl via Posillipo 394 I 80123 Napoli http://www.liguori.it Copyright © Liguori Editore, S.r.l. 1999 Fiorenza, Renato: Lezioni di analisi matematica: Volume secondo/Renato Fiorenza, Donato Greco Napoli: Liguori, 1999 ISBN 88 -207 -0912 -O 1. Serle numeriche 2. Calcolo differenziale L Titolo 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 2004 2003 2002 2001 2000 1999. Questo volume è stato stampato in Italia dalle Officine Grafiche Liguori ~ Napoli su carta inalterabile, priva di acidi, a PH neutro, conforme alle norme Iso 9706 00. La presente edizione del volume, che fa seguito a quella del 1993, contiene numerose lievi modifiche, in genere di carattere formale. A differenza delle precedent(ristampe, qui figurano anche ulteriori definizioni e osservazioni, alcune generalizzazioni e qualche ulteriore risultato, a prescindere dalle varianti effettuate sull'esposizione in diversi punti. Inoltre è stato in gran parte rifatto il Cap. VII, sulla base di certi risultati recentemente stabiliti dal sottoscritto e pubblicati sui Rendiconti dell' Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli. Pur essendo quest' edizione successiva alla dolorosa scomparsa del carissimo amico Pro! Donato Greco, avvenuta nel 1995, le varianti in essa contenute erano state tutte predisposte da entrambi gli Autori già nel corso del 1994. Renato Fiorenza Indice Capitolo l. Equazioni differenziali lineari. l. Cenni sugli spazi vettoriali pago 15 2. Lo spazio vettoriale 0"l. Operatori differenziali lineari " 18 3. Introduzione alle equazioni differenziali " 20 4. Equazioni differenziali lineari " 23 4.1. Il problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità " 24 4.II. Integrate generale " 27 5. Equazioni lineari omogenee 28 " 5.1. Il wronskiano di n integrali " 28 S.II. Espressione dell'integrale generale » 30 5JII. Integrali complessi " 33 6. L'equazione lineare completa » 34 7. Integrazione delle equazioni lineari " 36 7.1. L'equazione lineare del primo ordine » 36 7.11. Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti " 44 7.111. Equazioni lineari complete a coefficienti costanti » 51 7.IV. L'equazione di Eulero " 59 8. Equazioni col primo coefficiente diverso da 1 " 61 9. Cenni sui problemi ai limiti per le equazioni lineari " 62 9.1. Un problema ai limiti per l'equazione lineare del secondo ordine " 64 9.11. Un problema di Sturm~Liouville. Autovalori ed autosoluzioni " 69 Capitolo 2. Le serie numeriche. Cenni sni prodotti infiniti. l. Generalità " 75 2. La serie geometrica " 80 3. Serie resto e resti parziali. Il criterio di Cauchy per le serie " 82 4. Proprietà delle serie " 83 5. Serie a termini non negativi [non positivi). La serie armonica " 87 6. Le serie alternanti " 90 7. Convergenza assoluta e convergenza incondizionata " 94 8. Criteri di convergenza assoluta " 98 8.1. Il criterio del rapporto " 99 S.II. Il criterio della radice " 102 S.III. Connessione tra serie e integrali. Il criterio dell'integrale. Il criterio dell' ordine di infinitesimo " 104 8.1V. Il criterio di Raabe " 109 9. Operazioni sulle serie " Ili lO. La numerabile additività dell'integrale. Un criterio di semplice integrabilità " 115 8 Indice 11. Cenni sui prodotti infiniti· pago 118 ILI. Criteri di convergenza » 121 Il.11. Convergenza assoluta e convergenza in condizionata » 123 Capitolo 3. Successioni e serie di funzioni di una variabile reale. l. Successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme » 126 2. Teoremi sulle successioni uniformemente convergenti " 135 2.1. Teoremi sull'inversione dei limiti e sulla continuità del limite » 135 2,II. Teorema sulla derivazione del limite » 137 2.III. Passaggio al limite sotto il segno di integrale " 139 3. Serie di funzioni " 144 4. Serie di potenze nel campo reale » 150 5. Proprietà della somma di una serie di potenze » 158 6. Serie di Taylor » 160 7. Funzioni sviluppabili in serie di Taylor » 162 8. Sviluppo in serie di Taylor di alcune funzioni elementari " 165 8.1. Sviluppi di sen.x e di cosx " 165 8.II, Serie esponenziale. Sviluppi di senhx e di coshx " 165 8.III. Serie logaritmica. Sviluppi di setttghx e di aretgx " 166 8.IV. S'erie binomiale " 169 8. V. Sviluppo di aresenx " 174 8.VI. Considerazioni geometriche " 174 8.VII. Applicazioni " 176 9. Cenni sugli integrali ellittici " 179 lO. Cenni sulle serie di Fouder " 181 10.I. Serie trigonometriche " 181 IO.II. Serie di Fouder di una funzione " 184 IO.IlI. Funzioni sviluppabili in sede di Fourier " 185 1O.IY. Sviluppi in serie di seni, o di coseni " 187 10.V. Derivazione ed integrazione termine a termine delle serie di Fourier " 188 10.VI. Serie di Fourier con periodo qualsiasi " 190 lO. VII. Esempi " 191 Capitolo 4. Lo spazio euclideo reale a k dimensioni. Elementi di calcolo vettoriale l. Lo spazio numerico reale a k dimensioni » 196 2. Lo spazio euclideo reale a k dimensioni " 199 3. Elementi di topologia in Rt: " 200 4. Lo spazio vettodale Rk " 205 5. Segmenti e rette di Rk; poligonali. Coseni direttori di un asse " 207 6. Rappresentazione geometrica dei vettori di Rk " 212 7. Prodotto scalare di due vettori di Rk " 215 8. Prodotto vettoriale di due vettori di RJ• Prodotto misto " 219 9. Ulteriori sistemi di riferimento nello spazio Rk » 223 9.1. Coordinate cilindriche " 223 9.11. Coordinate polari " 224 Indice 9 Capitolo 5. Fuuzioui reali di più variabili reali. Funzioni veUoriali. Limiti e continuità. l. Funzioni reali di k variabili reali pago 226 2. Funzioni vettoriali. Campi vettariali " 233 3. Operatori lineari di RI: in R"'. Autovalori, autovettori " 235 4. Funzioni composte " 237 5. Limiti delle funzioni di più variabili. Successioni di punti di Rk " 239 S.I. Limiti delle funzioni scalari " 239 5.lL Limiti delle funzioni vettoriali " 241 S.III. Successioni di punti di Rk " 242 5.IY. Osservazioni " 244 S.v. Inversione dei limiti " 245 S.VI. Massimo e minimo limite. Criterio di convergenza di Cauchy " 250 6. Funzioni continue di più variabili " 250 6.1. Le funzioni continue in un insieme compatto " 253 6.11. Le funzioni continue in un insieme connesso " 255 7· Cenni sulle"successioni e sulle serie di funzioni di più variabili " 258 Capitolo 6. Calcolo differenziale per le funzioni di più variabili. 1. Derivate parziali " 260 l,L Derivate parziali delle funzioni di due variabili " 260 l.I1. Derivate parziali delle funzioni di k variabili, Gradiente di una funzione scalare " 267 l,III. Derivate delle funzioni vettoriali. Matrici jacobiane " 271 l.1V. Funzioni di classe O"), Derivate parziali sulla frontiera " 276 1.V. Divergenza e rotore di un campo vettoriale. L'operatore di Laplace " 280 2. Differenziali delle funzioni di più variabili " 283 3. Funzioni differenziabili " 286 4. Derivate e differenziali delle funzioni composte " 291 4.1. Funzioni composte scalari di una variabile " 291 4.11. Funzioni composte scalari di k variabili " 295 4.III. Funzioni composte vettoriali " 296 5. Derivazione delle funzioni composte sulla frontiera " 298 6. Derivate direzionali " 306 7. Piano tangente ad una supelficie di equazione z ::::: f(x,y) " 309 8. Il teorema di Lagrange e la formula di Taylor per le funzioni di più variabili. Funzioni con derivate nulle " 312 8.1. Teorema di Lagrange " 312 8.II. Formula di Taylor " 313 8.III. Funzioni con derivate nulle " 314 9. Massimi e minimi relativi delle funzioni di più variabili. Estremi assoluti " 315 9.1. Funzioni di due variabili " 315 9.11. Funzioni di k variabili " 321 9,III. Estremi assoluti " 323 IO. Le funzioni omogenee " 324 Il. Funzioni definite mediante integrali. Passaggio al limite e derivazione sotto il segno di integrale. Inversione dell'ordine delle integrazioni " 329 Il.1. Integrando continuo in un intervallo compatto " 330 Il.11. Integrando continuo in un intervallo non compatto " 338 lO Indice Il.III. Integrando discontinuo internamente all'intervallo di integrazione pago 345 Il,lV. Inversione dell' ordine delle integrazioni » 345 Capitolo 7. Geometria differenziale delle curve. 1. Curve del piano e dello spazio. Curve semplici » 363 1.1. Curve chiuse, curve aperte. Punti multipli di una curva " 366 1.11. Curve semplici " 368 I.III. Curve semplici orientate. Archi semplici " 372 2. Retta tangente. Curve regolari " 375 2.1. La nozione di retta tangente per le curve semplici " 375 2.II. Estensione alle curve intrecciate " 379 2.III. Curve semplici regolari " 381 2.IY. Orientamenti di una curva chiusa regolare " 383 2. V. Complementi sulle curve piane " 385 3. Rettificazione delle curve regolari " 389 4. Ascissa curvilinea » 392 5. Triedro fondamentale di una curva dello spazio in un punto " 396 6. Comportamento di una curva rispetto al triedro fondamentale " 401 7. Curve biregolari riferite ad un parametro qualsiasi » 402 8. Curvatura e torsione " 405 8.1, Curvatura " 405 8,II, Torsione " 409 8,III. Le formule di Prenet " 412 8.IV Espressioni della curvatura e della torsione con riferimento ad un parametro qualsiasi » 413 9. Curve generalmente regolari » 415 lO. Domini ed aperti del piano semplicemente connessi. Domini piani regolari ed orientamento della frontiera " 420 11. Ulteriori considerazioni sulle curve piane " 425 Il.1, Diagrammi polari. Equazioni parametriche polari " 425 11.11. Complementi sullo studio delle curve piane " 430 ll.III. Evoluta ed evolventi di una curva piana » 433 12. Esempi " 437 1. La cicloide " 438 2. Ipocicloidi ed epicicloidi " 442 2.1. Generalità » 442 2,l1. Esempi di ipocicloidi. Ellisse, ipocicloide n~cuspide, asteroide » 445 2.III. Esempi di epicicloidi. Lumaca di Pascal e cardioide » 446 3. La clotoide " 448 4. Le spirali " 451 Capitolo 8. Funzioni implicite. 1. Generalità. Teorema del Dini " 453 2. Equazione implicita di una curv,fl piana. Linee di livello di una funzione di due variabili " .461 3. Equazione implicita di una superficie. Superfici di livello di una funzione 4i tre variabili " 467 4. Sistemi di funzioni implicite. Equazioni implicite di una curva regolare dello spazio " 468 5. Invertibilità di un'applicazione di Rk in R' " 473