LEMME FONDAMENTAL POUR LES ALGÈBRES DE LIE (D’APRÈS NGÔ BAO-CHÂU) DAT JEAN-FRANÇOIS AND NGO DAC TUAN La formule des traces sur les corps de nombres a été introduite par Selberg, puis développée par Arthur. Parmi les applications importantes de la formule des traces d’Arthur-Selberg, on trouve plusieurs cas du principe de fonctorialité de Langlands et l’expression de la cohomologie des variétés de Shimura en termes automorphes. Cependant, pour beaucoup de ces applications, il est nécessaire de la stabiliser. La stabilisation a été faite par Langlands et Kottwitz pour la partie elliptique modulo une conjecture connue sous le nom "lemme fondamental de Langlands-Shelstad". Récemment Arthur a réussi à stabiliser toute la formule des traces invariante modulo le lemme fondamental pondéré - une version élargie du lemme fondamental. Lelemmefondamentalestdenaturelocale. EtantdonnésungrouperéductifGsur un corps local et un groupe endoscopique H de G associé à une donnée endoscopique (κ,ρ ),lelemmefondamentalestuneégalitéconjecturaleentrelaκ-intégraleorbitale κ de G et l’intégrale orbitale stable H. Plusieurs cas particuliers de cette conjecture ont été prouvés, nous renvoyons le lecteur au [19, Introduction] pour une liste des cas connus. Grâce aux travaux de Waldspurger [21] et Cluckers-Hales-Loeser [5], pour prouver le lemme fondamental, il suffit de démontrer sa variante pour les algèbres de Lie pour les corps locaux d’égales caractéristiques dont la caractéristique peut être supposée très grande par rapport au groupe réductif G en question. Voici l’énoncé de cette variante [19, Introduction]: Théorème (Lemme fondamental pour les algèbres de Lie). Soient k un corps fini à q éléments, O un anneau de valuation discrète complet de corps résiduel k et F son corps des fractions. Soit G un schéma en groupes réductifs au-dessus de O dont l’ordre du groupe de Weyl n’est pas divisible par la caractéristique de k. Soient (κ,ρ ) une donnée endoscopique de G au-dessus de O κ et H le schéma en groupes endoscopiques associé. On a l’égalité entre la κ-intégrale orbitale et l’intégrale orbitale stable ∆ (a)Oκ(1 ,dt) = ∆ (a )Oκ(1 ,dt) G a g H H a h associées aux classes de conjugaison stable semi-simples régulières a et a de g(F) H et h(F) qui se correspondent, aux fonctions caractéristiques et des compacts g(O) et h(O) dans g(F) et h(F) et où on a noté ∆ (a) = q−val(DG(a))/2, ∆ (a) = q−val(DH(aH))/2, G H D , D étant les fonctions discriminant de G et de H. G H 1Date: 18 février 2009. 1 2 DAT JEAN-FRANÇOIS AND NGO DAC TUAN Kazhdan et Lusztig ont remarqué que les intégrales orbitales apparaissent na- turellement dans les comptages des points des fibres de Springer affines. Ainsi, l’intégraleorbitaleadmetuneinterprétationentermesdelagéométrie. PuisGoresky, Kottwitz, MacPherson ont donné une interprétation géométrique du lemme fonda- mental en utilisant la cohomologie équivariante des fibres de Springer affines [9]. Modulo une conjecture de pureté, ils ont réussi à démontrer le lemme fondamen- tal dans un cas particulier dit nonramifié. Toujours sous l’hypothèse de la validité de la conjecture de pureté, par un argument de déformation, Laumon a généralisé cette méthode et prouvé le lemme fondamental pour les groupes unitaires dans le cas éventuellement non ramifié [13, 14]. Soulignons que tous ces résultats sont de nature locale. Dans[17],Ngôproposed’étudierlesfibrationsdeHitchincommeanaloguesglobaux des fibres de Springer affines et donne une interprétation géométrique du processus de stabilisation elliptique en termes de la cohomologie des fibrations de Hitchin. Dans un travail en commun avec Laumon [16], ils combinent cette nouvelle approche avec la technique de cohomologie équivariante pour démontrer le lemme fondamen- tal pour les algèbres de Lie des groupes unitaires. Récemment, Ngô a prouvé le lemme fondamental pour les algèbres de Lie en toute généralité. Dans sa preuve, la cohomologie équivariante n’apparait plus, et l’argument clef est une version forte du théorème de support, qui peut être considéré comme l’analogue global de la conjec- ture de pureté. La preuve de ce théorème de support est basée essentiellement sur une technique due à Goresky et MacPherson. Le but de ce texte est de présenter une introduction à la preuve de Ngô Bao Châu du lemme fondamental pour les algèbres de Lie. Nous nous contentons d’esquisser les grandes lignes et d’expliquer les arguments clefs de sa preuve. Nous espérons que ce texte facilitera la lecture de l’article original [19]. Pour d’autres articles de synthèse sur le même sujet, le lecteur pourra consulter les articles [6, 15, 18]. 1. Préliminaires 1.1. Notations. Soit k un corps fini à q éléments. On utilise librement la notion de champs dont une excellente référence est le livre de Laumon-Moret Bailly [12]. Sauf mention contraire, tous les schémas et les champs considérés dans ce texte seront définis sur k. Fixons une fois pour toutes X une courbe projective, lisse, géométriquement con- ¯ ¯ ¯ nexe sur k. On note k une clôture algébrique de k et X le produit fibré X× k. Soit k ¯ ¯ F le corps de fonctions de X, d’anneau des adèles A; on note F = F × k. Pour k une place finie v de F, on note v : F× −→ Z la valuation associé. Puis F sera la v complétion de F par rapport à cette valuation, O sera l’anneau des entiers de F , v v k sera son corps résiduel et deg(v) le degré de l’extension k /k. v v Soit G un groupe réductif déployé sur k. Fixons une fois pour toutes T un tore maximal déployé sur k de G et B un sous-groupe de Borel de G qui contient T. Avec la donnée de (T,B), on notera W le groupe de Weyl de G et Φ (resp. ∆) LEMME FONDAMENTAL 3 l’ensemble des racines de G (resp. celui des racines simples). Les algèbres de Lie de G, T, et B seront notées g, t, et b. On note ad l’action adjointe de G sur g. Pour chaque racine simple α ∈ ∆, on choisit un vecteur non nul xα dans gα. Il existe(cid:80)alors un unique ve(cid:80)cteur non nul x−α dans g−α tel que [xα,x−α] = α∨. On pose x = x et x = x . La donnée de ces vecteurs est appelée épinglage. + α∈∆ α − α∈∆ −α Soit D un diviseur de X qui s’écrit sous la forme D = 2D(cid:48) où D(cid:48) est un diviseur effectif de degré plus grand que g - le genre de la courbe X. On notera tD = t⊗OX OX(D) et gD = g⊗OX OX(D); ce sont les fibrés vectoriels sur X obtenus en tordant t et g par le diviseur D. Désormais, on suppose que la caractéristique de k ne divise pas le cardinal du groupe de Weyl W de G. Exemple : G = GLn. Dans ce cas, on prend pour T le sous-groupe des matrices diagonalesetpourBlesous-groupedesmatricestriangulairessupérieures. L’algèbre de Lie g (resp. t et b) est l’algèbre des matrices carrées de taille n (resp. la sous- algèbre des matrices diagonales et des matrices triangulaires supérieures de taille n×n). L’ensembleΦestl’ensembledescaractèresαi,j : diag(t1,··· ,tn) ∈ T (cid:55)→ tit−j 1 pour i (cid:54)= j, et le sous-ensemble ∆ est constitué des α pour i = 1,··· ,n − 1. i,i+1 L’épinglage est donné par les matrices x ayant une seule entrée non nulle et égale i,j à 1 à la position (i,j). Le groupe W est le groupe symétrique Sn des permutations de {1,2,...,n}. Un élément w ∈ Sn envoie l’élément t = diag(t1,t2,...,tn) de t sur l’élément diag(t ,t ,...,t ). σ(1) σ(2) σ(n) 1.2. Morphisme de Chevalley. On considère l’action adjointe de G sur g et on s’intéresse à l’algèbre k[g]G des fonctions G-invariantes sur g. En restreignant à t, on obtient un homomorphisme k[g]G −→ k[t]W et on vérifie que c’est en fait un isomorphisme. De plus, on montre que k[g]G est une algèbre de polynôme, c’est-à- dire il existe des fonctions régulières homogènes a ,a ,...,a de degré d ,d ,...,d 1 2 r 1 2 r dans k[g]G telles que k[g]G = k[a1,a2,...,ar]. Bien que le choix des fonctions homogènes a ,a ,...,a ne soit pas unique, les entiers d ,d ,...,d sont uniques à 1 2 r 1 2 r une permutation près. On les appelle les exposants de Kostant de G. Ondéfinitc = Speck[g]G = Speck[t]W etuneactiondeGm surcvialesexposants de Kostant: t◦(a ,a ,...,a ) = (td1a ,td2a ,...,tdra ). 1 2 r 1 2 r On considère le morphisme naturel dit caractéristique de Chevalley χ : g −→ c. Si Gm agit sur g par l’homothétie et sur c via ses exposants de Kostant, χ est G -équivariant, de sorte qu’on a un 1-morphisme de champs : m χ : [g/(G×Gm)] −→ [c/Gm]. On va rappeler maintenant la construction due à Kostant d’une section de χ : g −→ c. Onadéjàconstruitunvecteurnonnulx+ ∈ g; onnotegx+ lecentralisateur de x+ dans g. Alors la restriction de g −→ c au sous-espace x− + gx+ est un 4 DAT JEAN-FRANÇOIS AND NGO DAC TUAN isomorphisme. L’inverse de cet isomorphisme (cid:178) : c −→ g sera appelé la section de Kostant de g. Notons que cela permet de munir c d’une structure d’espace affine sous gx+, et même d’espace vectoriel avec l’origine évidente. Cette structure d’espace vectoriel est compatible à l’action de G définie ci-dessus. m Exemple : G = GLn. Dans ce cas, c est l’espace affine des polynômes unitaires de degré n, et χ envoie une matrice A sur son polynôme caractéristique det(X.I −A). n Plus explicitement, l’espace des polynômes unitaires de degré n est isomorphe à An via (a1,··· ,an) (cid:55)→ Xn−a1Xn−1+···+(−1)nan. Identifiant donc c à An, χ envoie une matrice carrée A de taille n sur le n-uplet a = (tr(A),tr(∧2A),··· ,tr(∧nA)). En particulier les exposants de Kostant sont d = 1,d = 2,··· ,d = n. Bien que ce 1 2 n ne soit pas tout à fait la section de Kostant, χ a une section bien connue qui envoie un polynôme sur sa matrice “compagnon”. La matrice associée à a = (a ,··· ,a ) 1 n est la suivante :   0 0 ... 0 (−1)n−1a n 1 0 ... 0 (−1)n−2a   n−1 (cid:178)(a) = ... ... ... ... ... .   0 0 ... 0 −a 2 0 0 ... 1 a 1 1.3. Lieux réguliers. Centralisateurs réguliers. Pour toute racine α ∈ Φ, on (cid:81) dispose d’une flèche dα : t −→ k. Le discriminant D = dα est une fonction α∈Φ régulière W-invariante sur t, donc elle est une fonction régulière sur c et définit un diviseur sur c noté D. On montre aisément que c’est un diviseur réduit, cf. [19, Lemme 1.10.1]. Le complémentaire de ce diviseur sera appelé l’ouvert des éléments semisimples réguliers de c et on le note crs. On a vu que le schéma c est le schéma quotient de t par l’action du groupe fini W. Le morphisme t −→ c est donc fini et plat. De plus, au-dessus de l’ouvert régulier crs, t|crs est étale galoisien de groupe de Galois W. Si l’on considère l’action de Gm sur t par l’homothétie et sur c via les exposants de Kostant, ce morphisme est G -équivariant. m On considère le schéma en groupes des centralisateurs I au-dessus de g défini par I = {(g,x) ∈ G×g : ad(g)x = x}. Il n’est pas lisse au-dessus de g, ni même plat. On définit l’ouvert régulier greg de g comme suit. Un k¯-point x de g est dans greg(k¯) si et seulement si son centralisateur I est de dimension minimale, c’est-à-dire dimI = rangG. On montre qu’au-dessus x x de cet ouvert greg, I|greg est un schéma en groupes commutatifs lisse. Rappelons que le morphisme de Chevalley χ : g −→ c admet une section de Kostant (cid:178) : c −→ g dont l’image est contenue dans x− + gx+, donc dans greg. Ainsi, le centralisateur régulier J = (cid:178)∗I est un schéma en groupes commutatifs lisse. Notons que J est LEMME FONDAMENTAL 5 un tore au-dessus du lieu semi-simple régulier crs, mais peut avoir des fibres non connexes et une partie additive le long du diviseur D. Par la descente fidèlement plate, on montre qu’il existe un isomorphisme G-équivariant canonique χ∗J −→ I sur greg. Puis, par normalité, Ngô montre que cet isomorphisme s’étend en un homomorphisme χ∗J −→ I sur tout l’espace g, cf. [17, Proposition 3.2]. Exemple : G = GLn. Dans ce cas, crs est le lieu des polynômes unitaires de degré n qui sont séparables (sans racines multiples). Si a = (a1,a2,...,an) ∈ c(k¯) = k¯n représentelepolynômeunitaireP = tn−a tn−1+...+(−1)na , alorsJ estlegroupe a 1 n a ¯ des éléments inversibles de l’algèbre k[T]/P . En particulier, la partie additive de a J est non triviale si et seulement si le polynôme P a des racines multiples. Soit a a ¯ ¯ ¯ A ∈ g(k) une matrice de caractéristique a; on fait agir k[T] sur g(k) de manière ¯ suivante: l’action des éléments de k est par la multiplication et l’action de T est par la multiplication avec la matrice A à droite. La flèche obtenue n’est rien d’autre que l’homomorphisme J −→ I . On vérifie sans peine que si A est régulier, c’est un a A isomorphisme. 1.4. Formes quasi-déployées de G sur X. Le lemme fondamental concerne des groupes quasi-déployés sur un corps local. Ce sont des formes “extérieures” de groupes déployés. De même ici, on doit considérer des formes extérieures de G sur X. Une telle forme est donnée par un morphisme ρ : π1(X,x) −→ Out(G) (le groupe discret des automorphismes extérieurs de G). Plus précisément, la forme G de G sur X associée à ρ s’obtient en choisissant un revêtement Galoisien (Xρ,xρ) de (X,x) de groupe noté Θ et tel que ρ se factorise par π (X,x) −→ Θ , puis en ρ 1 ρ tordant G par ce torseur. On a donc G = G×Θρ Xρ. Comme Out(G) s’identifie au sous-groupe de Aut(G) qui préserve la paire (T,B) et l’épinglage des xα, toutes les constructions précédentes peuvent être tordues pour donner une paire (T,B) dans G au-dessusdeX, ungroupedeWeylW, desalgèbresdeLiet, g, unquotientc = t/W, son lieu régulier crs, le morphisme de Chevalley χ : g −→ c, une section de Kostant ε : c −→ g de ce morphisme, ainsi qu’un centralisateur régulier J commutatif et lisse au-dessus de c et un morphisme χ∗J −→ I de schémas en groupes au-dessus de g. On remarque que c s’identifie au quotient c = (t×Xρ)/(W(cid:111)Θρ). Exemple : groupes unitaires. Pour G = GLn, on a Out(G) = Z/2Z, donc une forme de G est donnée par un revêtement étale Xρ de degré 2. L’élément non trivial de Aut(G) préservant l’épinglage qu’on a fixé plus haut est donné par g (cid:55)→ Φ tg−1Φ−1 où Φ est la matrice antidiagonale. La forme associée à X est le schéma n n n ρ en groupes qui à un X-schéma S associe U (n)(S) := {g ∈ GL (Γ(S × X ,O )),Φ τ(tg−1)Φ−1 = g} Xρ/X n X ρ S×XXρ n n 6 DAT JEAN-FRANÇOIS AND NGO DAC TUAN où τ est l’automorphisme non-trivial de X . C’est un groupe unitaire sur X, qui ρ devient isomorphe au groupe constant GL après extension à X . n ρ ˆ ¯ 1.5. Constructions sur le groupe dual. Soit G le groupe dual de G sur Q(cid:96). Sa ˆ donnéeradicielles’obtientàpartirdecelledeGenéchangeantracinesetcoracines. Il ˆ ˆ ˆ vient avec une paire (T,B) et même un épinglage (xˆα)α, et on a Out(G) = Out(G). ˆ ˆ ˆ Soit κ un élément de T. On note H = H(κ), resp. π0(κ), la composante neutre, ˆ resp. legroupedescomposantes, ducentralisateurdeκdansG(cid:111)Out(G). Legroupe ˆ ˆ ˆ ˆ H est réductif, contient la paire de Borel (T,B∩H) et est muni de l’épinglage induit ˆ par celui de G. Le groupe π0(κ) est muni de morphismes évidents ˆ ˆ Out(G) ←− π0(κ) −→ Out(H). D’après [19, 1.9.8], on peut alors prolonger l’inclusion Wˆ (cid:44)→ Wˆ en un morphisme H G Wˆ (cid:111)π0(κ) −→ Wˆ (cid:111)π0(κ) H G ˆ compatible avec l’action sur T et la projection sur π0(κ). ˆ Au groupe H correspond un groupe réductif déployé H sur k, muni d’une paire ∼ (T ,B ) et d’un épinglage, ainsi que d’un isomorphisme T −→ T compatible H H H avec le morphisme WH (cid:111)π0(κ) −→ WG (cid:111)π0(κ) évoqué ci-dessus. En particulier, cet isomorphisme induit un morphisme de transfert ν : c −→ c H compatible avec l’action de π (κ). 0 Le transfert n’envoie bien-sûr pas crs dans crs. On note cG−rs l’image réciproque H H de l’ouvert crs dans crs. On montre que le diviseur ν∗(D ) est de la forme D +2RG H G H H pour un diviseur réduit effectif RG de c , cf. [19, Lemme 1.10.2]. H H (cid:80) Exemple : G = GLn. Dans ce cas, H est un produit de GLni avec ini = n, et π0(κ) est soit trivial, soit égal à Z/2Z. Dans ce dernier cas, H est isomorphe à GL × ··· × GL × (GL × ··· × GL ) × GL ··· × GL avec m = m m−k m−1 n1 nr m1 mk −i i pour i = 1,··· ,k. L’élément non trivial de π (κ) échange GL et GL et induit 0 mi m−i g (cid:55)→ Φ tg−1Φ−1 sur chaque GL . De plus, le transfert ν est donné par le produit ni ni ni des polynômes unitaires correspondants. 1.6. Données endoscopiques. Une donnée endoscopique pour le groupe G est un couple (κ,ρ ) avec κ comme ci-dessus et un morphisme ρ : π (X,x) −→ π (κ) qui κ κ 1 0 induit ρ. Le groupe endoscopique associé à la donnée (κ,ρ ) est alors la forme de κ H associée à l’homorphisme π1(X,x) −→ Out(H) déduit de ρκ. Il est de la forme H = H×Θρ Xρ si l’on a pris soin de choisir (Xρ,xρ) (voir plus haut) de sorte que ρκ se factorise par Θρ. Le morphisme de transfert ν : cH −→ c passe à la torsion par ρ pour donner un transfert κ ν : c −→ c. H LEMME FONDAMENTAL 7 Exemple : groupes linéaires. Si G = GL , les groupes endoscopiques sont isomor- n (cid:81) phes à des sous-groupes de Levi de G, c’est-à-dire de la forme H = GL avec (cid:80) i ni n = n. i i Exemple : groupes unitaires. Soit G le groupe unitaire associé au revêtement X ρ de degré 2 de X. Pour une donnée endoscopique, on doit avoir π (κ) non trivial, 0 donc égal à Z/2Z. Avec les notations ci-dessus, le groupe endoscopique H est de la formeGL ×···×GL ×U (n )×···×U (n ). Untelgroupeestisomorphe m1 mk Xρ/X 1 Xρ/X r à un sous-groupe de Levi si et seulement si r = 1 (et éventuellement n = 0). 1 2. Lemme fondamental et fibres de Springer affines Il s’agit de la partie locale de la théorie. Soit G un groupe du type décrit au paragraphe 1.4 dont on reprend les notations. Fixons un point fermé v de X, notons O son anneau local complété, F le corps des fractions de celui-ci et Γ un groupe v v v de décomposition en v du groupe de Galois de F(X). Fixons aussi un point a ∈ c(O )∩crs(F ). v v 2.1. Intégrales orbitales. Le point a définit une classe de conjugaison stable semi- simple régulière χ−1(a) de g(F ), ainsi qu’un représentant de Kostant γ = (cid:178)(a) ∈ v 0 g(F ) de cette classe. Les centralisateurs des éléments de χ−1(a) sont des tores, v tous canoniquement isomorphes à celui de γ , que l’on note I . Ils sont aussi 0 γ0 canoniquement isomorphes au tore Ja := T ∧W(cid:111)Θρ πρ−1(a) obtenu en tordant T par le W (cid:111) Θρ-torseur πρ−1(a) au-dessus de Spec(Fv), où πρ : t × Xρ −→ c est la projection canonique. Notons qu’un tel torseur est donné par un morphisme πρ,a : Γv −→ W(cid:111)Θρ qui relève la restriction ρ : Γ −→ Θ de ρ à Γ . |Γv v ρ v Si γ ∈ χ−1(a), le transporteur de γ sur γ dans G est un torseur sous le central- 0 isateur de γ donc définit un torseur sous J . L’application ainsi obtenue 0 a χ−1(a) −→ H1(F ,J ) v a γ (cid:55)→ inv(γ,γ ) 0 induit une bijection entre l’ensemble des classes de conjugaison dans χ−1(a) et le ”noyau” ker(H1(F ,J ) −→ H1(F ,G)) qui est le même ensemble apparu dans la v a v formule (3.1) de [10]. Le groupe H1(F ,J ) peut se calculer au moyen de la dualité v a de Tate-Nakayama. Celle-ci fournit un accouplement parfait (2.1.1) (cid:104), (cid:105) : H1(Fv,Ja)×π0(Tˆπρ,a(Γv)) −→ Q/Z. Étant donné un caractère κ de H1(F ,J ), on définit la κ-intégrale orbitale d’une v a fonction localement constante f sur g(F ) v (cid:88) Oκ(f,dt ) = (cid:104)κ,inv(γ,γ )(cid:105)O (f,dt ), a v 0 γ v γ∈χ−1(a)/conj 8 DAT JEAN-FRANÇOIS AND NGO DAC TUAN où la somme porte sur les classes de conjugaison dans la classe stable χ−1(a) et (cid:90) (cid:161) (cid:162) dg O (f,dt ) = f ad(g−1)γ v γ v v dt Iγ(Fv)\G(Fv) v désigne l’intégrale orbitale de f en γ pour la mesure de Haar dt sur J (F ) (identifié v a v au centralisateur de γ) et la mesure de Haar dg normalisée par G(O ) sur G(F ). v v v 2.2. Lemme fondamental. Fixons maintenant une donnée endoscopique (κ,ρ ), κ ainsi qu’un élément a ∈ c (O ) d’image a dans c(O ). Comme ci-dessus, on en H H v v déduit un morphisme πaH,ρ : Γv −→ WH(cid:111)Θρ, dont le morphisme précédent πa,ρ se déduit par composition avec le morphisme naturel WH(cid:111)Θρ −→ W(cid:111)Θρ de 1.5. Il ∼ ∼ s’ensuit que l’isomorphisme TH −→ T induit un isomorphisme JH,aH −→ Ja, et par conséquent des identifications H1(Fv,JH,aH)∗ = H1(Fv,Ja)∗ = π0(Tˆπa,ρ(Γv)) = π0(TˆπaH,ρ(Γv)). Par définition, l’élément κ est dans Tˆπa,ρ(Γv) et définit donc un caractère des groupes H1(F ,J ) et H1(F ,J ). De plus, tout choix de mesure de Haar dt sur J (F ) v H,aH v a v a v en détermine un sur J (F ). H,aH v Le lemme fondamental est l’égalité suivante : Oκa(1g(Ov),dtv) = qrHG,v(aH)OκaH(1h(Ov),dtv) où rG (a ) = deg (a∗ RG). H,v H v H H ˆ On notera que κ est dans le centre de H, donc le caractère qu’il définit sur H1(F ,J ) est trivial sur le noyau de H1(F ,J ) −→ H1(F ,H). En d’autres v H,aH v H,aH v termes, pour tout γ dans χ−1(a ), on a H H H (cid:104)κ,inv(γ ,γ )(cid:105) = 1. H H,0 Le membre de droite de l’égalité ci-dessus est donc l’intégrale orbitale stable en a . H 2.3. Fibres de Springer affines. Notons X := Spec(O ) le disque formel en v et v v X• := Spec(F )ledisqueépointé. Pourun k-schémaS, onnoteX ׈S lacomplétion v v v v-adique de X × S et X•×ˆS le complémentaire de {v} × S. Enfin, notons E le v v 0 G-torseur trivial sur X•. v La fibre de Springer affine M (a) associée à a peut se définir comme le champ qui v à S associe le groupoïde    E un G-torseur sur X ׈S,  v M (a,S) := (E,ϕ,ι), ϕ une section de g∧G E sur X ׈S . v  v  ∼ ι un isomorphisme (E,ϕ) −→ (E ,γ ) = (E ,(cid:178)(a)) |X•×ˆS 0 0 0 v Ce groupoïde est en réalité discret, i.e. équivalent à l’ensemble de ses classes d’isomorphisme. En particulier, on a M (a,k) (cid:39) {g ∈ G(F )/G(O ), ad(g)−1(γ ) ∈ g(O )}. v v v 0 v On montre que M (a) est représentable par un ind-schéma sur k. v Soit (E,ϕ,ι) un triplet comme ci-dessus. Le morphisme χ∗J −→ I induit un morphisme J −→ Aut(E,ϕ), ce qui permet de tordre (E,ϕ) par tout J -torseur. a a LEMME FONDAMENTAL 9 On en déduit une action sur M (a) du champ de Picard (ou “champ en groupes v abéliens”) P (a) qui à S associe le groupoïde v (cid:189) (cid:190) F un J -torseur sur X ׈S, P (a,S) := (F,ι), a v . v ι une trivialisation de F sur X•×ˆS v Ici encore, ce groupoïde est équivalent à l’ensemble de ses classes d’isomorphisme, lequel est un groupe abélien. Par exemple, P (a,k) (cid:39) J (F )/J (O ) (cid:39) I (F )/I (O ) v a v a v γ0 v γ0 v agit de la manière évidente sur M (a,k). On montre que P (a) est représentable v v par un ind-schéma en groupes sur k. Exemple : groupes linéaires et unitaires. Pour G = GL , M (a,k) s’identifie n v à l’ensemble des O -réseaux γ -stables de Fn. Pour un groupe unitaire, M (a,k) v 0 v v s’identifieàl’ensembledesO(X × X )-réseauxautoduauxdans(F ⊗ F(X ))n. v X ρ v F(X) ρ 2.4. Quotients naïfs et intégrales orbitales. Rappelons que si M est un ensem- ble sur lequel agit un groupe P, on peut former le groupoïde quotient [M/P] dont les objets sont les éléments de M et les morphismes sont donnés par l’action de P. Lorsque le quotient M/P est fini et les fixateurs des éléments de M dans P sont finis, alors on définit le cardinal de [M/P] par (cid:88) 1 (cid:93)[M/P] := . (cid:93)Aut (m) [M/P] m∈M/P On remarque alors d’après le paragraphe précédent que (cid:93)[M (a,k)/P (a,k)] = O (1 ,dt ) v v γ0 g(Ov) v pour la mesure de Haar normalisée par J (O ). Ainsi, l’intégrale orbitale admet une a v interprétation naturelle en termes de la géométrie. 2.5. Quotients champêtres et κ-intégrales orbitales. Supposons maintenant que M est un k-schéma sur lequel agit un k-schéma en groupes. On peut alors former le champ quotient [M/P], comme le champ “associé” au pré-champ S (cid:55)→ [M(S)/P(S)]. Le groupoïde [M/P](k) admet deux descriptions utiles : [M/P](k) = {(Q,j), Q un P-torseur sur k et j : Q −→ M un k-P-morphisme } ¯ ¯ = {(m,p) ∈ M(k)×P(k), p.σ(m) = m}. Dans la seconde, σ désigne le Frobenius de k¯ et les morphismes (m,p) −→ (m(cid:48),p(cid:48)) sont les éléments h ∈ P(k¯) tels que m(cid:48) = hm et p(cid:48) = hpσ(h)−1. On passe à la première description en associant à (m,p) la paire (Q,j) obtenue en descendant le morphisme ¯j : a ∈ P −→ a.m ∈ M pour le Frobenius tordu σ : a (cid:55)→ σ(a)p−1 sur k¯ k¯ p P . On voit bien sur la première description qu’on a une application k¯ cl : [M/P](k) −→ H1(k,P). 10 DAT JEAN-FRANÇOIS AND NGO DAC TUAN Etant donné un caractère κ de H1(k,P), et en supposant que l’ensemble des classes d’isomorphismesetlesgroupesd’automorphismessontfinis, ondéfinitalorslecomp- tage κ-pondéré par la formule (cid:88) (cl(x),κ) (cid:93)[M/P](k) = κ (cid:93)Aut(x) x∈[M/P](k)/∼ L’hypothèse de finitude est vérifiée dans le cas de l’action de P (a) sur M (a), v v cf paragraphe 4.1. Par un théorème de Steinberg donnant le premier isomorphisme ci-dessous, on a un morphisme H1(F ,J ) (cid:39) H1(Gal(k¯/k),J (F ⊗ k¯)) v a a v k −→ H1(Gal(k¯/k),J (F ⊗ k¯)/J (O ⊗ k¯)) = H1(k,P (a)), a v k a v k v qui d’ailleurs est un isomorphisme si la fibre spéciale de J est connexe. a AinsiuncaractèreκdeH1(k,P (a))induituncaractèreencorenotéκdeH1(F ,J ). v v a Le lien entre κ-intégrales orbitales et fibres de Springer affines est alors donné par la proposition suivante, cf. [19, proposition 8.2.7], qui est une élaboration des travaux de Kottwitz, Goresky et MacPherson [9]. Proposition 2.6. Avec les notations ci-dessus on a (cid:93)[M (a)/P (a)](k) = Oκ(1 ,dt ), v v κ a g(Ov) v où dt la mesure de Haar normalisée par J0(O ) avec J0 la composante neutre de v a v a J . De plus, si κ(cid:48) est un caractère de H1(F ,J ) qui ne provient pas d’un caractère a v a de H1(k,P (a)), alors la κ(cid:48)-intégrale orbitale Oκ(cid:48)(1 ,dt ) est nulle. v a gv v Cerésultatestplusfacileàprouverlorsque J estàfibresconnexes. Sicen’estpas a le cas, on prouve d’abord un résultat pour un modèle connexe de J sur O , i.e. a,Fv v un schéma en groupes lisse abélien à fibres connexes J(cid:48) sur O muni d’un morphisme a v J(cid:48) −→ J qui est un isomorphisme en fibres génériques. Pour un tel J(cid:48), on peut a a a considérer le champ P (J(cid:48)) des J(cid:48)-torseurs trivialisés sur F , lequel agit encore sur v a a v M (a). Cette fois on a un isomorphisme H1(F ,J ) −∼→ H1(k,P (J(cid:48))). La formule v v a v a obtenue, cf. [19, proposition 8.2.5], devient Proposition 2.7. Avec les notations ci-dessus, on a (cid:93)[M (a)/P (J(cid:48))](k) = vol(J(cid:48)(O ),dt )·Oκ(1 ,dt ), v v a κ a v v a g(Ov) v où dt est n’importe quelle mesure de Haar de J (F ). v a v Rappelons que le discriminant D est une fonction régulière sur c. Dans le cas où v(D(a)) ≤ 1, on peut calculer explicitement les comptages (cid:93)[M (a)/P (J(cid:48))](k) et v v a κ (cid:93)[M (a)/P (J )](k) , cf. [19, section 8.3]. v v a κ 3. Fibration de Hitchin Il s’agit de la partie globale de la théorie. Ici encore, G désigne un groupe du type décrit au paragraphe 1.4.