LEHRBUCH DER THEORETISCHEN PHYSIK VON DR. PHIL. DR. H. c. SIEGFRIED FLaGGE ORDENTLICHER PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT FREIBURG/BREISGAU IN Fl1NF BÄNDEN BAND 11 . KLASSISCHE PHYSIK I MECHANIK GEORDNETER UND UNGEORDNETER BEWEGUNGEN MIT 64 ABBILDUNGEN SPRINGER-VERLAG BERLIN· HEIDELBERG . NEW YORK 1967 ISBN 978-3-642-49232-7 ISBN 978-3-642-49231-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-49231-0 Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne ausdrückliche Ge· nehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) oder auf andere Art zu vervielfältigen. © by Springer-Verlag BerJin-Heidel- berg 1967. Library of Congress Catalog Card Number 62-1712. Sofi:cover reprint ofthe hardcover Ist edition 1967 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinn der Warenzeichen und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen Titel Nr. 0243 Vorwort Mit dem vorliegenden zweiten Band des Gesamtwerks schließe ich die noch bestehende Lücke in der Darstellung der klassischen Physik. Es bleibt nunmehr nur der fünfte Band, der die Quantentheorie der Felder zum Gegenstand haben soll. Die Prinzipien, auf denen das Gesamtwerk aufgebaut ist, habe ich in den Vorworten der früher erschienenen Bände eingehend dargelegt, so daß es ihrer Wiederholung hier nicht mehr bedarf. Auch im vorliegen den Band ist manches Altgewohnte weggelassen und manches andere, das im normalen Lehrbuchstoff nicht oder nur am Rande auftritt, hinzugefügt worden. Die Vorbereitung der Atomphysik ist in der etwas breiteren Ausführung der linearen Kette als Anwendungsbeispiel für die Konstruktion von Normalkoordinaten, in der Darstellung der Poisson Klammern, in der Behandlung des schwingenden Tropfens, besonders aber in den Ausführungen des statistischen Kapitels stark in den Vorder grund gerückt. Die mathematische Ähnlichkeit von Problemen der Kontinuumsmechanik zu solchen der im dritten Band behandelten elektromagnetischen Erscheinungen ist durch eine große Zahl von Hin weisen betont. Sie mag auch den kleinen Abschnitt über Erdbeben wellen rechtfertigen. Die klassische Thermodynamik ist hinter die Statistik gesetzt, weil dies ein besseres physikalisches Verständnis und eine Eingliederung in die Gesamtphysik erlaubt, in der die Thermo dynamik sonst leicht als Fremdkörper verbleibt, den man im Unterricht nur zu gern dem Physikochemiker überläßt. Die für die Kreisprozesse eingeführten Blockdiagramme scheinen mir das Verständnis zu erleich tern - jedenfalls habe ich mir selbst vor Jahrzehnten die Vorgänge auf diesem Wege klar gemacht. Der Wunsch, die Atomphysik vorzubereiten, tritt noch stärker hervor als im dritten Band. Der systematische Aufbau der klassischen Physik wird dadurch gewiß unterbrochen, besonders bei der Statistik. Dies ent spricht aber, wie mir scheint, durchaus der wirklichen Lage: Wir denken heute bei jeder klassischen Betrachtung ihre quantentheoretische Be grenztheit und Bedingtheit stets mehr oder weniger deutlich mit. Es wäre daher wohl keine gute Pädagogik, wollte man den Studenten erst ganz in klassischen Betrachtungen aufziehen und ihm dann in mittleren Semestern einen quantentheoretischen Schock versetzen. Davon abge sehen, scheint mir aber auch generell ein Übermaß an Systematik IV Vorwort angesichts der vielfachen Verzweigtheit der Physik wenig angemessen. R. W. POHL beginnt den ersten Band seiner bekannten Lehrbücher mit dem Satz: "Die physikalischen Erkenntnisse lassen sich nicht wie die Perlen einer Kette in einer einzigen Reihe anordnen, sie fügen sich zu einem ausgedehnten Netzwerk zusammen." Ich muß bekennen, daß ich gerade hierin ein gutes Stück des Reizes der Physik, aber auch der Schwierigkeiten ihrer Darstellung sehe. Freiburg, im Juli 1967 Der Verfasser Inhaltsverzeichnis r. Mechanik eines Systems von Massenpunkten. § 1. Grundbegriffe . . . . . . . . a) Schwerpunkt. Impuls. . . . 2 b) Kinetische Energie. Leistung. 4 c) Drehimpuls. Drehmoment. . 5 d) Abgeschlossenes System. Erhaltungssätze 7 § 2. Massenpunktsystem mit Nebenbedingungen (Lagrangesche Glei chungen erster Art) . . . . . . . . . . . . . . 11 a) Pendel. Atwoodsche Failmaschine . . . . . . . . . . . .. 12 b) Bewegung eines Massenpunktes auf einer Fläche . . . . . .. 14 c) Systeme aus mehreren Massenpunkten mit Nebenbedingungen . 19 d) Vorläufiges über starre Körper. . . . . . . . . . . . . . . 22 § 3. Rotierendes Koordinatensystem. . . . . . . . . . . . . . . . 27 a) Massenpunkt in einem um die z-Achse rotierenden Koordinaten- system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 b) Vektorielle Behandlung bei beliebiger Orientierung der Rotations- achse . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 c) Bewegungen auf der rotierenden Erdkugel 32 d) Foucaultsches Pendel 37 § 4. Mechanik des starren Körpers 38 a) Drehung um eine feste Achse 39 b) Kräftefreie Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt . . . . . . . . . . . . . 44 § 5. Lagrangesche Gleichungen zweiter Art. 51 a) Das d' Alembertsche Prinzip . . . . 52 b) Einführung geeigneter Koordinaten. 54 c) Beispiele . . . . . . . . . . . . 56 d) Potentielle Energie. Lagrangefunktion 59 e) Das Hamiltonsche Variationsprinzip 61 f) Das Zykloidenpendel als Beispiel. 63 g) Das Kugelpendel als Beispiel. . . . 66 § 6. Die kanonischen Gleichungen. . . . . 68 a) Generalisierte Impulse. Kanonische Gleichungen 68 b) Beispiele zu den kanonischen Gleichungen. 71 § 7. Kanonische Transformationen 76 a) Allgemeine Theorie. . . . . . . . . . . 76 b) Anwendungsbeispiele ......... . 80 § 8. Kanonische Punkttransformationen. Normalkoordinaten . 84 a) Allgemeine Theorie. . . . . 84 b) Die lineare Kette als Beispiel 86 § 9. Kanonische Invarianten . 94 a) Die kanonische Gruppe 94 b) Die Poisson-Klammern 98 VI Inhaltsverzeichnis c) Behandlung einer Zentralkraft mit Hilfe der Poisson-Klammern 101 d) Die kanonische Invarianz der Poisson-Klammern 104 H. Mechanik der Kontinua 106 § 10. Deformationstensor und Spannungstensor 106 a) Der Deformationszustand . 106 b) Der Spannungszustand 109 c) Das allgemeine Hookesche Gesetz 111 d) Elastische Konstanten eines isotropen Materials 113 e) Elastische Konstanten des kubischen Gitters 117 § 11. Statik und Dynamik elastischer Körper 119 a) Kräfte und Momente. Gleichgewicht 119 b) Formänderungsarbeit . 121 c) Dynamik elastischer Körper. 124 § 12. Elastische Wellen. 127 a) Longitudinale und transversale Wellen 127 b) Randbedingungen an einer freien Oberfläche 129 c) Oberflächenwellen 133 d) Erdbebenwellen 136 § 13. Feldtheoretische Formulierung der Elastizitätstheorie 140 a) Hamiltonsches Prinzip. Feldgleichungen . 140 b) Hamiltonfunktion. Kanonische Gleichungen. Energiesatz 143 § 14. Hydrodynamik zäher Flüssigkeiten 146 a) Allgemeine Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik 146 b) Die Navier-Stokessche Gleichung. 149 c) Die Widerstandsformel von Stokes . 153 § 15· Hydrodynamik vollkommener Flüssigkeiten 159 a) Allgemeine Theorie. Eulersche Gleichung 159 b) Potentialströmung 162 c) Zweidimensionale Potentialströmung 166 § 16. Freie Flüssigkeitsoberflächen . 173 a) Randbedingungen 173 b) Wellen auf einer horizontalen Wasserfläche 174 c) Schwingender Tropfen 178 § 17· Erweiterungen des Hookeschen Gesetzes . 182 III. Einführung in die statistische Methode 187 § 18. Makro- und Mikrozustände. Wahrscheinlichkeit eines Makrozustan- des 187 § 19. Entropie. Stirlingsche Formel. 189 § 20. Ideales Gas . . . . . . . . 194 a) Gleichgewichtszustand . . 194 b) Schwankungen um den Mittelwert 202 c) Freie Weglänge. Transporterscheinungen 205 § 21. Ideales Gas aus zweiatomigen Molekülen 215 a) Vibrationswärme . 217 b) Rotationswärme . . 219 § 22. Hohlraumstrahlung . . 223 a) Klassische Entropie. 223 b) Quantentheorie . . 228 Inhaltsverzeichnis VII § 23. Spezifische Wärme fester Körper . . . 233 § 24. Übergangswahrscheinlichkeiten. H-Theorem 240 § 25. Die Boltzmannsche Stoßgleichung 243 § 26. Aufbau der kinetischen Gastheorie auf die Boltzmann-Gleichung 249 § 27. Abweichungen vom Gleichgewicht. Die erste Näherung von CHAP- MAN und ENSKOG. . . . . . . 260 § 28. Die Metallelektronen als Gas. . . . . . 266 § 29. Grundlagen der Quantenstatistik . . . . 271 a) Grundlagen der Bose-Einstein-Statistik 271 b) Grundlagen der Fermi-Dirac-Statistik 275 c) Methode der Übergangswahrscheinlichkeiten . 277 § 30. Quantenstatistik einatomiger Gase 280 a) Allgemeines Formelschema 280 b) Hohe Temperaturen 282 c) Tiefe Temperaturen. 286 IV. Klassische Thermodynamik . 291 § 31. Der erste Hauptsatz (Energiesatz) 293 a) Innere Energie. Arbeit. Enthalpie 293 b) Kreisprozeß. Wärmekraftmaschine 295 c) Isotherm-isochorer Kreisprozeß. Irreversibilität 297 d) Spezifische Wärme. Adiabatischer Prozeß 300 e) Der Carnotsche Kreisprozeß . . . . . 302 § 32. Der zweite Hauptsatz (Entropiesatz) 305 a) Formulierung des zweiten Hauptsatzes 305 b) Die Kelvinsche absolute Temperaturskala 307 c) Entropie . . . . . . . . . . . . 308 § 33. Anwendungen des zweiten Hauptsatzes. 314 a) Spezifische Wärmen . . . . 314 b) Thermodynamische Potentiale ... 317 c) Einfache Beispiele . . . . . . . . 320 § 34. Das van der Waalssche Modell der reellen Gase. 323 a) Die Zustandsgleichung . . . . . 323 b) Thermodynamische Beziehungen. 329 c) Joule-Thomson-Effekt . 331 § 35. Gasmischung ...... . 333 a) Reversible Gasmischung . 333 b) Irreversible Gasmischung 337 § 36. Phasenumwandlungen . . . 339 a) Allgemeine Theorie. . . 339 b) Gleichgewicht zweier Phasen. Clausius-Clapeyronsche Gleichung 341 c) Beispiele: Verdampfen und Schmelzen 344 d) Phasenumwandlungen zweiter Ordnung 348 § 37. Thermochemie . . . . . . . . 350 a) Reaktionsgleichgewicht . . . . . . . 350 b) Die Gleichgewichtskonstante 354 c) Berechnung der Gleichgewichtskonstanten . 357 d) Durchführung eines Beispiels 362 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . 366 I. Mechanik eines Systems von Massenpunkten § 1. Grundbegriffe Im ersten Bande wurde gezeigt, daß die Bewegung eines einzelnen Massenpunktes der Masse m, d. h. die Angabe seines Ortsvektors tals Funktion der Zeit t aus der Grundgleichung der Dynamik mt =~ (1) durch zweimalige Integration erhalten wird, wenn ~, die Vektorsumme aller an dem Massenpunkt angreifenden Kräfte, als Funktion von t und t bekannt ist!. Die Ausführung dieser Integration kann natürlich auf erhebliche mathematische Schwierigkeiten stoßen; sie ist im Prinzip jedoch stets möglich. Die Methode wurde sodann ebenfalls im ersten Bande 2 auf ein System aus zwei Punktmassen m1 und m2 an den Orten t (t) und t (t) übertragen, wobei zwischen inneren und äußeren Kräften 1 2 unterschieden wurde. Wir knüpfen nun unmittelbar an die dort gewonnenen Erkenntnisse an, beginnen aber sofort mit einem System aus N Massenpunkten der Massen m. mit den Ortsvektoren ti(t). Als innere Kratt ~ik definieren wir diejenige, welche der Massenpunkt m auf den Massenpunkt m. aus k übt; nach dem Prinzip der Gleichheit von Aktion und Reaktion 3 ist dann (2) Als die äußere Kratt ~. (auch eingeprägte Kraft genannt) auf den Massen punkt m. definieren wir die Resultierende aller auf m. wirkenden Kräfte, welche nicht von den anderen Massenpunkten des Systems herrühren und daher von deren Lagen unabhängig sind. Mit diesen Definitionen können dann die Bewegungsgleichungen verallgemeinert werden: m:i. = ~. +L ' ~'k (i, k=1, 2, ... , N). (3) k Der Akzent am Summenzeichen bedeutet dabei in der üblichen Weise die Auslassung des Diagonalgliedes i = k. Aus den Bewegungsgleichungen (3) lassen sich unter Berücksichtigung der Symmetrierelationen (2) eine Reihe allgemeiner Sätze herleiten. 1 Vgl. Band I, S. 42. 2 Vgl. Band I, S. 76. 3 NEWTONS lex tertia, Band I, S. 44. 1 Flügge, Lehrbuch der theor. Physik Ir 2 I. Mechanik eines Systems von Massenpunkten a) Schwerpunkt. Impuls. Addieren wir sämtliche Gleichungen (3), so heben sich wegen (2) die inneren Kräfte heraus, und es entsteht die Vektorgleichung 2.:m;t; =2.:S'r (4) i· i i Hier ist die rechte Seite (5) die Resultierende sämtlicher auf das System wirkenden äußeren Kräfte und soll als äußere Gesamtkraft bezeichnet werden. Die linke Seite von (4) können wir auf zwei verschiedene Weisen umschreiben. Die erste Methode besteht darin, die Gesamtmasse M deos Systems, (6) und den Ortsvektor lR seines Massenzentrums (Schwerpunktes1) 2: mir, lR= _i_ _ (7) 2: mi i einzuführen. Dann geht (4) über in eine Gleichung der Form (1): Mffi =S'r, (8) d. h. das Massenzentrum eines Systems von Massenpunkten bewegt sich so, als sei die Gesamtmasse in ihm vereinigt und als griffe in ihm die äußere Gesamtkraft an. Dieser Satz heißt der Schwerpunktssatz2• Die zweite Methode, die linke Seite von GI. (4) umzuformen, besteht in der Einführung des Impulsbegriffes. Als Impuls des Massenpunktes m; bezeichnen wir bekanntlich 3 den Vektor (9) die Summe der Impulse aller Massenpunkte des Systems, (10) nennen wir den Gesamtimpuls des Systems. GI. (4) lautet dann einfach (11) d. h. die zeitliche Ableitung des Gesamtimpulses ist gleich der äußeren Gesamtkraft 3. 1 Im deutschen ist meist der traditionelle Ausdruck Schwerpunkt üblich, obwohl der aus dem englischen stammende "Massenzentrum" korrekter ist. 2 Für das Zweikörperproblem in Band I, S. 77 hergeleitet. 3 Vgl. Band I, S. 83 für zwei Massenpunkte. § 1. Grundbegriffe 3 Der Vergleich von (10) und (7) ergibt den Zusammenhang ~=Mm, (12) d. h. aus Gesamtmasse und Geschwindigkeit des Massenzentrums kann der Gesamtimpuls nach der gleichen Regel wie für eine einzige Punkt masse gebildet werden. Die GIn. (8), (11) und (12) enthalten die nachträgliche Rechtfertigung für das physikalische Modell des Massenpunktes: Denken wir uns einen endlich ausgedehnten starren oder deformierbaren Körper aus einer be liebig großen Zahl beliebig kleiner Bausteine aufgebaut, die durch innere Kräfte zusammengehalten werden, dann können wir die Bewegung seines Massenzentrums so beschreiben, als ob dort die ganze Masse ver einigt sei und als ob die Resultierende aller äußeren Kräfte dort angriffe. Wollen wir über die Bahn m( t) des Massenzentrums hinausgehend auch noch die Bewegungen des Systems um das Massenzentrum herum studieren, so ist es zweckmäßig, Massenzentrumskoordinaten (Schwer punktskoordinaten) einzuführen gemäß (1)) t; Nach GI. (7) besteht zwischen den N Vektoren die Beziehung (14) t;. es gibt also nur N -1 linear unabhängige Ortsvektoren Will man das m System vollständig beschreiben, so muß man noch den Vektor hinzu fügen, um die Zahl der unabhängigen Vektoren wieder gleich der Zahl N der Massenpunkte zu machen. - Aus GI. (14) folgt mit (9) durch Dif ferenzieren nach der Zeit (1 5) d.h. im Schwerpunktssystem ist der Gesamtimpuls gleich Null. t; Rechnen wir die Bewegungsgleichungen ()) auf die Vektoren und mu m, so entsteht zunächst wegen (1)) und (8) •t• i = .t.i/ + m•• = .t.i/ + M1 L'\.J' Sfk, k so daß oder (16) entsteht. Die Wirkung der äußeren Kräfte wird hier also merklich kom pliziert, insbesondere dadurch, daß auch die auf alle anderen Massen-