0.... . La perfection Bibliothèque L'caventure fflc&théfflcatique Tangente Hors-série n° 36 La perfection laite courbe !;OITIONS. POLE © Éditions POLE -Paris 2009 Toute représentation, traduction, adaptation, publication ou reproduction, même partielle, par tous procédés et sur tous supports, en tous pays, faite sans autorisation préalable, est illicite et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires. Référence : loi du 11 mars 1957. ISBN: 9782848841052 ISSN: 0987-0806 Commission paritaire: 1011 K 80883 ProchaineIDent dans la Bibliothèque Tangente EDITIONS. POLE Le cercle Sommaire Cercles entre eux DOSSIER Le cercle, ou la perfection faite courbe, est à l'origine de problèmes millénaires : décimales de constructions à la ,i;, règle et au compas, quadratures. .. A l'origine d'invariants fascinants (angles inscrits, puissance d'un point. .. ), le cercle n'a pas fini de nous faire rêver ! La mesure du cercle Un théorème de Thalès ou de Pythagore ? Cercles : des courbes qui ne manquent pas d'aire Un invariant de Steiner Les faisceaux de cercles Des chaînes de théorèmes Arcs-en-ciel Constructions au compas seul DOSSIER Catalogue de cercles Dès que trois points ne sont pas alignés, ils sont sur un même cercle. On comprendra pourquoi les cercles « cata logués » sont souvent construits à partir de points remar quables d'un triangle. Les mathématiciens ont eu le temps d'en répertorier des milliers au cours de la longue histoire de cette figure mythique. Le cercle inscrit dans un triangle Quand on ne peut plus dire « Neuf points, c'est tout » Le théorème des sept cercles Le cercle osculateur La formule de Brahmagupta Les cercles de Villarceau Le théorème du pivot (suite du sommaire au verso) Droites et cercles De nature apparemment différente, la droite et le cercle entretiennent des relations privilégiées. Comment tra cer un cercle ? Que nous apprend le cinquième postulat d'Euclide ? Comment couper équitablement une pizza ? Si l'on sait tracer une droite sur un écran d'ordinateur, sait-on pour autant tracer un cercle ? Point(s) trop n'en faut Des étoiles et des ronds Tracé : de la droite au cercle Enquête sur la lunule Parts de pizza équitables Contre l'aversion de l'inversion l •X•f} i IM ;j Le cercle dans toutes ses dimensions Des cercles aux formes inhabituelles en passant par les dimensions supérieures, petit tour d'horizon de varia tions autour du cercle. En général, elles donnent lieu à de remarquables représentations visuelles. Les cercles du tore Petit tour en polygonie Les cercles de Manhattan Le disque de Poincaré Les fibrations de Hopf Hors dossiers Le cercle dans l'art Quand la quadrature du cercle ... est possible ! Le who's who des cercles 16, 23, 63, 77, 82, 87, 109, 118, 119, 124, 126, 153, 158 En bref 5, 9, 14, 15, 33, 37, 56, 83, 125, 137, 141 Problèmes Solutions des problèmes Ta.ngente Hors série n° 36. Le cercle par Bertrand Hauchecorne EN BREF la symbolique du cercle Pour les anciens, le cercle était la figure parfaite par excellence. Il roule, il tourne, il limite aussi. Aussi est-il chargé d'une forte symbolique: notion de borne, d'éga lité ou de mouvement cyclique. On le retrouve ainsi en littérature ou dans certains épisodes historiques. De nombreux objets en prennent la forme, en général pour des raisons pratiques : la roue, le cerceau. .. En littérature Dans la Dil'ine comédie, Dante raconte son voyage en enfer en compagnie de Virgile. Il se rend successivement dans neuf cercles concen triques où les pécheurs sont placé en fonction de leur degré dans le vice. Dans le premier, on y trouve les grands penseurs païens de l' Antiquité comme Socrate. Platon et Euclide. 'étant pas chrétiens, ces hommes, d'une gran de valeur morale. ne peuvent accéder au para di . Dans les cercles suivants, se trouvent suc cessivement les luxurieux, les gourmands, les avares, les coléreux, les hérétiques, les violents et les trompeur . Le voyage se termine par le neuvième cercle, au plus profond de la terre avec les traitres parmi le quels Brutus et Judas. Le Premier Cercle d'Alexandre Soljenitsyne dresse une critique sans appel du système sovié tique. Il décrit la vie des scientifiques ou intellec tuels de haut niveau emprisonnés dans le camp de Mavrino pour ne pas avoir suivi les consignes du régime. L'auteur a choi i le titre de ce roman par analogie au premier cercle de Dante. Le Cercle de craie caucasien. œuvre maîtresse de Bertolt Brecht, raconte la lutte de deux femmes, la mère adoptive et la mère naturelle, désirant chacune la garde d'un enfant. Un cercle est tracé au sol et chacune doit tirer de son côté. L'enfant est placé au centre; il sera remis à celle qui parviendra à le sor tir du cercle. L'histoire se termine bien puisqu'en fait, comme dans le jugement de Salomon, celle qui refuse l'épreuve pour ne pas brutaliser l'enfant en aura la garde. Hors-série n° 36. Le Cercle Tangente PASSERELLES par Marie-José Pestel ans 'ar La sphère et le cercle jouent sans doute un rôle particulier ( central ?) dans le lien qui unit mathématiques et art. Est-ce parce qu'ils ont longtemps été symboles de la perfection ? D epuis toujours, les formes géo constructions purement mathématiques métrique semblent des signes et expression artistique alimentent la universels et leurs agence réflexion autour du double questionne ments dans la nature comme dans l'art, ment : les mathématiques créent-elles qu'il soit populaire ou savant, sont de l'art ou l'art alimente-t-il les mathé extrêmement variés. Les liens étroits matiques? qui unissent objets, formes ou Une source d'émotion Certains objets mathématiques sont ils des œuvres d'art en eux-mêmes ? L'artiste doit-il les interpréter ou ne cachent-ils pas des ingrédients esthé tiques qui en font des objets d'art ? À ce titre, la sphère et le cercle jouent ans doute un rôle particulier (ose rons-nous dire central ?). Ils sont le prototype de ces objets mathéma tiques qu'on rencontre dans la nature ou les musées, et qui «jettent un pont entre le monde de l'abstraction et le monde visuel, entre le temps de la méditation et l'immédiateté de la perception». Ce n'est an doute pas un hasard i Platon prend le dodé caèdre régulier pour symboliser Ta.ngente Hors-série n°36. Le cercle l'univers. Ce solide proche de la sphère des manuscrits celtiques d'Irlande et fascine. Installer l'univers tout entier d'Écosse de la période chrétienne dans un modèle sphérique fut l'un des insulaire. idéaux des philosophes scientifiques pendant des millénaires. Le carré pour Plongeons dans le monde mythique la Terre, le cercle pour le ciel, ce sym des Mandalas, Kolam ou autres roues bolisme se trouve dans bien des cul de la fortune dont les exemples pour tures. Gérard Chamayou a réalisé, avec raient à eux seuls remplir un numéro. la Géode à Paris, le rêve de bien des Bien des civilisations ont cherché par architectes : une structure sphérique ces formes symétriques à traduire leur pour unir le ciel et la Terre. sentiment religieux et une certaine conception du monde. Mandala est un Les formes les plus simples : les lignes, terme sanskrit qui signifie cercle et par les surface et les volumes se rencon extension sphère, environnement et trent partout dans la nature et leur sim communauté. Il peut désigner les plicité même provoque une émotion formes qui dans toutes les cultures et à esthétique. Qui n'a été sensible à toutes les époques ont servi à représen l'image presque parfaite de cercle ou ter l'ordre universel et la puissance de sphère d'un lac, d'une fleur, d'un divine. C'est un outil de méditation, cristal, d'un arc-en-ciel ? Pourquoi les qui apporte connaissance de soi ou rond dan l'eau sont-ils ronds, le bien simplement un peu de beauté. bulles de savon sphériques ? Ces images sollicitent l'artiste qui som meille en chacun de nous. C'est sans doute ce qu'évoquent aussi ces magnifiques tableaux d'art et nature, œuvres d'art que l'on peut créer avec quelques éléments naturels : feuilles, cailloux mousses, able et qui paraissent encore plus belles si on songe à leur vie éphémère. Hnthropologie du cercle C'est peut-être pour cela que sont nées Ainsi, la « Roue de la médecine amé autour du cercle diverses expressions rindienne » est composée de quatre artistiques. rayons : quatre pour les quatre saisons, Pensons aux rondes et autres figures les quatre points cardinaux, les quatre chorégraphiques en danse tradition âges de la vie (quatre collines à gravir, nelle, classique ou moderne. celles de l'enfance, de la jeunesse, de Évoquons ! 'art celte, seul vestige de la maturité et de la vieillesse). C'est la cette civilisation, qui voit le triomphe roue du temps, cyclique ou perpétuel du cercle et des formes courbes. Cette renouvellement dans un mouvement de fois, les motif: qui dominent, tels les création et de dissolution. entrelacs, font davantage appel à l'abs Autre exemple, autre temps, autre cul traction. Cette tendance atteint son ture, et pourtant la symbolique reste apogée à travers les enluminures très proche : la roue de la fortune de la Hors-série n° 36 Le cercle Ta.n9ente PASSERELLES Le cercle dans l'art cathédrale d'Amiens. Avec la rosace en (cirque ou arène), est le produit de son centre, elle compte sans doute deux efforts : concentration ver le parmi les plus belles du monde. La centre et rayonnement vers la circonfé rosace, le cercle et la roue représentent rence. le monde en état de rotation et on On peut aussi parler de Kupka, à qui le désir d'expan ion rayonnante. musée d'art Moderne de la ville de Paris a consacré dernièrement une Dans l'art moderne exposition. Cet artiste a été un des pre miers à avoir, au Salon d'automne de Si je devais résumer cette beauté de la Paris en 1912, présenté des peinture forme sphérique en une œuvre, je choi entièrement abstraites. Aux sources de sirais ce chef d'œuvre de calligraphie la vocation de ce peintre originaire qu'est « le cercle de Zen ». Cet d'une petite ville de Bohême orientale, « unique trait de pinceau qui est à le ... spiritisme. Initié dès son enfance, l'origine de toutes il fait preuve de dons de médium qu'il choses », comme exploitera, notamment pour financer l'écrivait au xvrn• ses études dans une école d'art locale, siècle Shitao, grand dont l'enseignement consiste à repro peintre chinois, invite duire des motifs issus de l'art décoratif à retrouver une unité populaire, en particulier la broderie, où primordiale et à porter dominent les dessins de cercles et un autre regard sur le d'entrelacs. monde sensible. Cette autre lecture du Ces quelques exemples, qui portent monde, nous allon la témoignage de l'importance du cercle retrouver dans l'évo dans l'art moderne, ne ont que des lution de la peinture pistes de réflexion ur les premiers dans ces deux derniers peintres abstraits. Bien d'autres ont iècles. L'œuvre poursuivi leur recherches dans cette devient davantage direction : Vasarely, Morellet. .. Les cercles sont création de l'esprit que simple repré nombreux dans sentation du monde extérieur. Une conclusion en forme de regret, car les œuvres de L'abstraction s'affirme et l'inspiration l'exposition le Louvre invite Pierre Kandinsky. va chercher ses sources dans la géomé Boulez est fermée depui février. L'art trie. Jusqu'à faire de la géométrie un musical aussi peut évoquer le cercle (et art en lui-même. Dans son ouvrage plus généralement le trait). Car l'hom « Point, ligne, plan » sous-titré mage qui était consacré à ce grand « Grammaire des formes », Kandinski musicien tissait des liens inattendus cherche à définir l'importance du point entre les études inachevées d'Ingres, de comme unité primordiale. Paul Klee Klee ou de Kandinsky et les partitions parle de « lignes actives, promenade de Boulez, avec leurs notes minu cules, sans but particulier », puis du cercle biffures et autres annotations. « comme preuve des formes en mouve ment, celle qui n'apparaît qu'avec la M.-J. P. suppression de la pesanteur, la dispari tion des amarres terrestres ». Pour Delaunay, le cercle, du latin circulus Tangente Hors-série n°36. Le cercle