Teubner Studienskripten (TSS) Mit der preiswerten Reihe Teubner Studienskripten werden dem Student en ausgereifte Vorlesungsskripten zur UnterstOtzung des studiums zur VerfOgung ge stellt. Die sorgfaltigen Darstellungen, in Vorle sungen erprobt und bewahrt, dienen der EinfOhrung in das jeweilige Fachgebiet. sie fassen das fOr das Fachstudium notwendige Prasenzwissen zusammen und ermoglichen es dem studenten, die in den Vor lesungen erworbenen Kenntnisse zu festigen, zu ver tiefen und weiterfOhrende Literatur heranzuziehen. FOr das fortschreitende studium konnen Teubner studienskripten als Repetitorien eingesetzt werden. Die auch zum selbststudium geeigneten Veroffent lichungen dieser Reihe sollen darOber hinaus den in der Praxis stehenden Ober neue stromungen der einzelnen Fachrichtungen orientieren. Zu diesem Buch Dieses Buch ist aus Vorlesungen ent standen, die im Fachbereich Elektrotechnik an der Fachhochschule Regensburg gehalten wurden. Es wendet sich daher in erster Linie an Studenten an Fachhochschulen. Es kann aber auch Studenten an Technischen Universit!ten fUr ein erstes Kennenlernen der Laplace-Transformation und in der Pra xis stehenden Ingenieuren fUr ein selb st!ndiges Einarbeiten in dieses Gebiet von Nutzen sein. Zahlreiche durchgerechnete Beispiele und Ubungsaufgaben, deren Ergeb nisse im Anhang angegeben sind, sol len dem Leser dabei helfen. Laplace~ransformation fur Ingenieure der Elektrotechnik Von Hubert Weber Professor an der Fachhochschule Regensburg 6., durchgesehene.Auflage Mit 113 Bildern und 117 Beispielen B. G. Teubner Stuttgart 1990 Professor Hubert Weber 1931 in Frauenau geboren. 1951 bis 1955 Studium der Mathematik und der Physik in Regensburg und an der Universitat Erlangen. AnschlieBend im Gymnasialdienst tatig. Seit 1964 Dozent am Johannes-Kepler-Polytechnikum Regensburg, seit 1971 Professor an der Fachhochschule Regensburg. CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Weber, Hubert: Laplace Transformation fUr Ingenieure der Elektrotechnik / von Hubert Weber. - 6., durchges. Aufl. - Stuttgart: Teubner, 1990 CTeubner-Studienskripten ; 141 : Elektrotechnik) Bis 5. Aufl. als: Teubner-Studienskripten ; 69 : Elektrotechnik ISBN 978-3-519-00141-6 ISBN 978-3-322-96634-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-96634-6 NE: GT Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrecht lich geschUtzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fUr Vervielfalti gungen, Ubersetzungen, Mikroverfilrnungen und die Einspeiche rung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. © B. G. Teubner Stuttgart 1987 Gesamtherstellung: Druckhaus Beltz, Hemsbach/BergstraBe Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen Vorwort Das in der 6. Auflage vorliegende Skriptum ist aus Vorlesun gen entstanden, die ich im Fachbereich Elektrotechnik an der Fachhochschule Regensburg gehalten habe. Die Laplace-Transformation wird dort als ein Teil der Mathe matik behandelt. Vorausgesetzt werden nur Grundkenntnisse der Analysis. Die Laplace-Transformation ist eine Funktionaltransformation, d.h. eine Originalfunktion fit), eine Funktion 1m reel len Zeitbereich, wird in eine zugeh6rige Bildfunktion F(s) in ei nem komplexen Bildbereich transformiert. Die fUr die Anwendungen wichtigste Eigenschaft dieser Trans formation besteht darin, daB den schwierigeren Operationen des Differenzierens und Integrierens im Originalbereich ein fache algebraische Operationen im Bildbereich entsprechen. Dadurch werden zum Beispiel im Originalbereich geltende li neare Differentialgleichungen zu linearen algebraischen Glei chungen des Bildbereichs. Da die Laplace-Transformation besonders in der Elektrotech nik heute viel verwendet wird, sollte jeder Elektroingenieur Grundkenntnisse auf diesem Gebiet besitzen. Es soll nun versucht werden, eine EinfUhrung in die Theorie und die Anwendungen der Laplace-Transformation zu geben, die einerseits ausreicht, viele in der Praxis des Elektroinge nieurs vorkommende Aufgaben zu 16sen, die andererseits aber auch eine Grundlage fUr weitergehende Studien auf diesem Ge biet darstellt. Urn dieses Ziel ohne allzu gro£em Aufwand er reichen zu k6nnen, wurde vielfach auf eine volle mathema tische Strenge verzichtet. Die Verwendung funktionentheore tischer Methoden zur inversen Laplace-Transformation wird zwar gezeigt, aber nicht zum Prinzip der inversen Laplace Transformation gemacht. Der Weg, die Bildfunktion in einfache Terme zu zerlegen und diese gliedweise zu Ubersetzen, ist praxisgerechter und zeigt die Bedeutung der Lage der Pole einer Bildfunktion fUr die zugeh6rige Zeitfunktion. - 6 - FUr eine gekUrzte Behandlung Oer Laplace-Transformation hat es sich bewahrt, nach der Definition der Laplace-Transforma tion im Abschn. 4.1 gleich zu den Transformationsregeln Uber zugehen, wobei die Abschnitte 4.3.9, 4.3.13, 4.3.14 und 4.3.15 ausgelassen werden konnen, urn schneller zu den Anwendungen der Laplace-Transformation zu gelangen. Ich mochte mich beim Verlag und bei den Lesern der blsher er schienenen Auflagen fUr wertvolle Hinweise bedanken. Regensburg, im August 1989 Hubert Weber Inhalt Seite 1 Fourierreihen 9 1.1 EinfUhrung 9 1.2 Reelle Fourierreihen 10 1.2.1 Grundbegriffe 10 1.2.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten 11 1.2.3 Amplitudenspektrum 17 1.3 Komplexe Fourierreihe 21 1.3.1 Grundbegriffe 21 1. 3.2 Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten 22 2. Fourierintegral 26 2.1 Ubergang von der Fourierreihe zum Fourier 26 integral 2.2 Eigenschaften des Fourierintegrals 30 3. Fourier-Transformation 35 3.1 Definition der Fouriertransformation 35 3.2 Diskrete Fouriertransformation (DFT) und 38 schnelle Fouriertransformation (FFT) 4 Laplace-Transformation 39 4.1 Definition der Laplace-Transformation 39 4.2 Inverse Laplace-Transformation 43 4.3 Transformationsregeln 58 4.3.1 Laplace-Transformierte elementarer Zeit 59 funktionen 4.3.2 Additionssatz (Linearit~tssatz) 66 4.3.3 Verschiebungssatz 70 4.3.4 Dirac'sche Deltafunktion 79 4.3.5 D~mpfungssatz 85 4.3.6 Partialbruchzerlegungen 88 4.3.7 Pol-Nullstellenplan einer echt gebrochen 103 rationalen Bildfunktion 4.3.8 Faltungssatz 107 4.3.9 Inverse Laplace-Transformation durch III Reihenentwicklung der Bildfunktion - 8 - 4.3.10 Integrationssatz fUr die Origina1funktion 116 4.3.11 Differentiationssatz fUr die Origina1funktion 121 4.3.12 Differentiationssatz fUr die vera11gemeinerte 125 Ab1eitung einer Zeitfunktion 4.3.13 Grenzwertsatze 129 4.3.14 Differentiationssatz fUr die Bi1dfunktion 132 4.3.15 Integrationssatz fUr die Bi1dfunktion 135 4.4 Anwendungen der Laplace-Transformation 138 4.4.1 Losen von linearen gewohn1ichen Differential- 138 gleichungen mit konstanten Koeffizienten 4.4.2 Losen von Systemen gew5hnlicher linearer Dif 145 ferentia1gleichungen mit konstanten Koeffizi enten 4.4.3 RCL-Netzwerke 155 4.4.4 Ubertragungsverhalen von Netzwerken 173 a) Impulsantwort eines Systems 174 b) Sprungantwort eines Systems 175 c) Ubertragungsfunktion eines Systems 175 d) Pol-Nul1stellenp1an einer Ubertragungs 183 funktion e) Ubertragungsfunktion und Frequenzgang 185 f) Berechnung des stationaren Anteils des 192 Ausgangssigna1s bei periodischen Erre gungen Anhang Losungen zu den Ubungsaufgaben 2~ Satze fUr die Laplace-Transformation 213 Korrespondenzen der Laplace-Transformation A) Einige Bi1dfunktionen und ihre Originalfunktionen 214 B) Einige Einze1impu1se, bzw. periodische Zeitfunk- 218 tionen und ihre Lap1ace-Transformierten WeiterfUhrende BUcher 221 Forme1zeichen 222 Sachregister 223 1 F 0 uri err e i hen 1.1 Einfilhrung In vie len Bereichen der Naturwissenschaften und der Technik, etwa in der Physik oder in der E1ektrotechnik, haben harmoni sche Schwingungen, die durch die Sinusfunktion f (t) = A. sin ( tu t + If> ) (1.1 ) beschrieben werden k5nnen, eine groBe Bedeutung. Hierbei ist A die Amplitude, tu die Kreisfrequenz und If> der Nu1lphasen winkel der harmonischen Schwingung. Bei der Uberlagerung harmonischer Schwingungen sind zwei FaIle zu unterscheiden: 1. Uberlagert man harmonische Schwingungen der gleichen Fre quenz, so erhalt man wieder eine harmonische Schwingung dieser Frequenz. Von dieser Tatsache wird in der Elektrotechnik standig Ge brauch gemacht. Durch Uberlagerung von sinusf5rmigen Wech selspannungen der gleichen Frequenz, etwa der Netzfrequenz 50 Hz erhalt man wieder eine sinusf5rmige Wechselspannung der Frequenz 50 Hz. 2. Uberlagert man harmonische Schwingungen verschiedener Fre quenzen, so erhalt man einen zwar periodischen, i. allg. jedoch nicht sinusf5rmigen Vorgang. Es stellt sich jetzt die Frage, ob man umgekehrt "jede belie bige" periodische Funktion als eine Summe von harmonischen Schwingungen darstellen kann. Diese Frage wurde von Jean Baptiste Joseph F 0 uri e r (1768 - 1830) positiv beantwortet. Die genauen Bedingungen hierfilr wurden von Peter Gustav D i ric hIe t (1805 - 1858) angegeben. - 10 - 1.2 Reelle Fourierreihen 1.2.1 Grundbegriffe Definition 1.1: Eine Funktion f(t) heiBt T-periodisch (periodisch mit der Periode T), wenn fUr aIle t des Definitionsbereichs gilt: f(t + T) f(t) (1. 2) Definition 1.2: Eine T-periodische Funktion f(t) genUgt den Dirichlet bedingungen, wenn 1. f(t) beschr~nkt ist, 2. f(t) im Intervall [O,T ] h1ichstens endlich viele Unste tigkeitsstellen hat und 3. die Ableitung f' (t) im Intervall [ O,T] bis auf h1ichs tens endlich viele Stellen stetig ist. Eine Funktion f(t), die den Dirichlet-Bedingungen genUgt. kann innerhalb einer Periodendauer in endlich viele Teilin tervalle zerlegt werden, auf denen f(t) monoton und stetig verl~uft. An Unstetigkeitsstellen treten nur endliche Sprung h1ihen auf. Diese Voraussetzungen sind bei den in den Anwendungen auftre tenden periodischen Zeitfunktionen i. allg. erfUllt. Satz 1.1: Eine T-periodische Funktion, die den Dirichlet-Beding gungen genUgt, l~Bt sich als F 0 uri err e i h e L<Xl f(t) ao + akcos(k wot) + bksin(k wot) ( 1.3) k=l darstellen, wobei w 0 2 It IT die Grundkreisfrequenz ist.