Hubert Weber | Helmut Ulrich Laplace-, Fourier- und z-Transformation Leserstimmen „Das Buch ist eine ausgezeichnete Darstellung der Laplace-Transformation und ihrer Anwendungen speziell für Elektrotechnikstudenten an Fachhoch- schulen. Die vielen auch praktischen Beispiele ermöglichen eine sehr gute Arbeit mit dem Buch. Das Niveau der Darstellung ist der Zielgruppe hervor- ragend angepasst. Ich werde das Buch meinen Studenten (Mathe für E-Tech- nik bzw. Mechatronik 3.Semester) uneingeschränkt empfehlen.“ Professor Dr.-Ing. Axel Schenk, Hochschule Heilbronn „Es ist eine sehr gute, vor allem didaktisch sehr gute, Einführung in die Laplace- transformationen. Die Kombination zwischen genauer mathematischer Dar- stellung und einer Vielzahl von praktischen Beispielen macht es zu einem sehr hilfreichen Lehrbuch.“ Professor Dr.rer.nat. Martin Pohl, Hochschule Regensburg „Von Fourier-Reihen über die Fourier-Transformation bis zur Laplace-Trans- formation bekommt man ein gutes Verständnis von der Signalbetrachtung im Frequenzbereich. Viele Beispiele fördern das Verständnis.“ Dipl.-Ing. Jens Oberrath, Ruhr-Universität Bochum www.viewegteubner.de Hubert Weber | Helmut Ulrich Laplace-, Fourier- und z-Transformation Grundlagen und Anwendungen für Ingenieure und Naturwissenschaftler 9., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 176 Abbildungen, 87 Beispielen und 75 Aufgaben mit Lösungen STUDIUM Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. Das in diesem Werk enthaltene Programm-Material ist mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgend - einer Art verbunden. Der Autor übernimmt infolgedessen keine Verantwortung und wird keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Höchste inhaltliche und technische Qualität unserer Produkte ist unser Ziel. Bei der Produktion und Auslieferung unserer Bücher wollen wir die Umwelt schonen: Dieses Buch ist auf säuref reiem und chlorfrei gebleichtem Papier gedruckt. Die Einschweißfolie besteht aus Polyäthylen und damit aus organischen Grundstoffen, die weder bei der Herstellung noch bei der Verb rennung Schadstoffe freisetzen. 1. Auflage 1976 2. Auflage 1978 3. Auflage 1981 4. Auflage 1984 5. Auflage 1987 6. Auflage 1990 7. Auflage 2003 8. Auflage 2007 Die Vorauflagen erschienen unter dem Titel „Laplace-Transformation“. 9., überarbeitete und erweiterte Auflage 2012 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012 Lektorat: Reinhard Dapper | Walburga Himmel Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuläss ig und strafb ar. Das gilt insb es ondere für Vervielfältigungen, Über setzun gen, Mikro verfil mungen und die Ein speiche rung und Ver ar beitung in elek tro nischen Syste men. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: AZ Druck und Datentechnik, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0560-7 Vorwort Das vorliegende Buch behandelt die Laplace- und z-Transformation als leicht zu verstehende Einführung mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben. Beide Transformationen gehören zum mathematischen Handwerkszeug der Ingenieur- und Naturwissenschaften. Da für viele Anwendungen in der Technik das Frequenzverhalten eine wichtige Rolle spielt, wird im Buch zunächst die Fourier-Reihe und die Fourier-Transformation behandelt. Von den Eigenschaften der Fourier-Transformation ausgehend, kann leicht auf die Laplace- Transformation übergegangen werden. Die Laplace-Transformation ermöglicht es, den oft schwierigen Differentiationen und Integra- tionen des Zeitbereiches einfachere algebraische Operationen im Bildbereich zuzuordnen. So werden beispielsweise lineare Differentialgleichungen des Zeitbereiches zu linearen Gleichun- gen des Bildbereiches, die im Allgemeinen leichter zu lösen sind. Da die L-Transformation eine lineare Transformation ist, stellt sie geradezu ein ideales Werk- zeug dar, um lineare, zeitinvariante Systeme zu beschreiben und zu berechnen. Durch diesen Vorteil erlangte die Laplace-Transformation ihre Bedeutung auf vielen Gebieten, wie beispielsweise der Elektrotechnik, der Signalverarbeitung, der Informationstechnik und der Regelungstechnik. Zur Beschreibung diskreter Probleme eignet sich die z-Transformation, die aus der Laplace- Transformation abgeleitet werden kann. Auch die z-Transformation ist eine lineare Transfor- mation. Man kann sie auch als diskrete Version der Laplace-Transformation ansehen. Die Verwendung von Korrespondenzen und Sätzen zu beiden Transformationen eröffnet einen einfachen Weg, um aus den Bildfunktionen die zugehörigen Zeitfunktionen zu erhalten. Dieses Buch will an die Prinzipien und Methoden der Laplace- und z-Transformation heran- führen. Es ist als Grundlage besonders geeignet für Studierende ingenieur- und naturwissen- schaftlicher Studiengänge im Hinblick auf Anwendungen. Die Herleitungen wurden ausführlich erläutert und durch graphische Darstellungen veran- schaulicht. Die große Zahl von Beispielen und Aufgaben sollen einen nachhaltigen Lernerfolg bei den Studierenden sichern. Regensburg, im August 2011 Helmut Ulrich Hubert Weber Inhalt 1 FOURIERREIHEN 1 1.1 EINFÜHRUNG .......................................................................................... 1 1.2 REELLE FOURIERREIHEN....................................................................... 1 1.2.1 Grundbegriffe .............................................................................. 1 1.2.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten ........................................... 3 1.2.3 Amplitudenspektrum ................................................................... 7 1.3 KOMPLEXE FOURIERREIHEN................................................................. 10 1.3.1 Grundlagen ................................................................................. 10 1.3.2 Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten ......................... 11 2 FOURIERTRANSFORMATION 15 2.1 FOURIERINTEGRAL ................................................................................ 15 2.1.1 Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral .................... 15 2.1.2 Eigenschaften des Fourierintegrals .............................................. 17 2.2 DEFINITION DER FOURIERTRANSFORMATION ................................. 22 3 LAPLACE-TRANSFORMATION 26 3.1 DEFINITION DER LAPLACE-TRANSFORMATION ............................... 26 3.2 INVERSE LAPLACE-TRANSFORMATION ............................................. 29 3.3 TRANSFORMATIONSREGELN ................................................................ 40 3.3.1 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen .................... 41 3.3.2 Additionssatz .............................................................................. 45 3.3.3 Verschiebungssatz ....................................................................... 48 3.3.4 Dirac'sche Deltafunktion ............................................................. 55 3.3.5 Dämpfungssatz ........................................................................... 59 3.3.6 Partialbruchzerlegungen .............................................................. 62 3.3.7 Pol- Nullstellenplan einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion ................................................................................ 73 3.3.8 Faltungssatz ................................................................................ 76 3.3.9 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklung der Bildfunktion ................................................................................ 79 3.3.10 Integrationssatz für die Originalfunktion ..................................... 83 3.3.11 Differentiationssatz für die Originalfunktion 88 3.3.12 Differentiationssatz für die verallgemeinerte Ableitung einer Zeitfunktion ................................................................................ 91 3.3.13 Grenzwertsätze ........................................................................... 94 3.3.14 Differentiationssatz für die Bildfunktion ..................................... 97 3.3.15 Integrationssatz für die Bildfunktion ........................................... 99 VIII Inhalt 4 ANWENDUNGEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION 4.1 LÖSEN VON LINEAREN GEWÖHNLICHEN DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFIZIENTEN .......................... 102 4.2 LÖSEN VON SYSTEMEN GEWÖHNLICHER DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFIZIENTEN ....................... 109 4.3 RCL – NETZWERKE ................................................................................. 116 4.4 ÜBERTRAGUNGSVERHALTEN VON NETZWERKEN ........................ 131 4.4.1 Grundbegriffe ............................................................................. 131 4.4.2 Impulsantwort und Sprungantwort .............................................. 132 4.4.3 Übertragungsfunktion ................................................................. 132 4.4.4 Pol- Nullstellenplan einer Übertragungsfunktion 143 4.4.5 Stabilität von LTI-Systemen ........................................................ 145 4.4.6 Übertragungsfunktion und Frequenzgang .................................... 146 4.4.7 Berechnung des stationären Anteils des Ausgangssignals bei nichtsinusförmigen periodischen Erregungen .............................. 151 4.5 ZUSAMMENSCHALTUNG VON LTI-SYSTEMEN ................................ 159 4.5.1 In Reihe geschaltete Systeme........................................................ 159 4.5.2 Parallel geschaltete Systeme …………………………………….. 162 4.5.3 Rückgekoppelte Systeme ............................................................. 163 4.5.4 Elementare Übertragungsglieder ................................................. 164 4.6 ARBEITEN MIT BLOCK-DIAGRAMMEN ............................................. 167 4.6.1 Von der Netzwerkgleichung zum Block-Diagramm ..................... 167 4.6.2 Vom Block-Diagramm zur Übertragungsfunktion und Netzwerkgleichung ..................................................................... 169 4.6.3 Stabilisierung durch Rückkopplung ............................................. 172 4.6.4 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern .............. 174 5 DIE Z-TRANSFORMATION (ZT) 178 5.1 DISKRETE FUNKTIONEN UND SIGNALE …………………………….. 178 5.2 DEFINITION DER Z-TRANSFORMATION ............................................. 179 5.3 EIGENSCHAFTEN DER Z-TRANSFORMATION ................................... 179 5.4 ÜBERGANG VON DER S-EBENE AUF die Z-EBENE ....................... 180 5.5 Z-TRANSFORMATION ELEMENTARER SIGNALFOLGEN …………. 181 5.5.1 Sprungfolge ................................................................................ 181 5.5.2 Deltaimpuls ……………………………………………………… 181 5.5.3 Verschobener Deltaimpuls ………………………………………. 182 5.5.4 Exponentialfolge ………………………………………………… 182 5.5.5 Rechteckimpulse der Länge N …………………………………… 182 5.5.6 Folge der abgetasteten cos((cid:2)t)- Funktionen ……………………. 183 5.6 WICHTIGE SÄTZE ZUR Z-TRANSFORMATION .................................. 184 5.6.1 Linearität ………………………………………………………... 184 5.6.2 Verschiebungssatz …………………………………...…………... 184 5.6.3 Dämpfungssatz .............................................…………………… 185 5.6.4 Multiplikationssatz …………………………………………........ 185 5.6.5 Faltungssatz …………………………………………………….... 185 Inhalt IX 5.6.6 Differenzenbildung ………………………………….................... 186 5.6.7 Summenbildung ………………………….................................... 186 5.6.8 Periodische Abtastfolge ……………………................................ 186 5.7 METHODEN DER RÜCKTRANSFORMATION ..................................... 190 5.7.1 Inverse z-Transformation............................................................. 190 5.7.2 Praktische Handhabung der Rücktransformation ……………….. 190 5.8 ANWENDUNGEN DER z-TRANSFORMATION ...................................... 193 5.8.1 Lineare Differenzengleichungen …….…………………….. 193 5.8.2 Systembeschreibung und z-Übertragungsfunktion ..……… 194 5.8.3 Frequenzgang ……………………………………………… 197 5.8.4 Systemstabilität ……………………………………………. 198 5.8.5 Pol-Nullstellen-Plan (PN-Plan) …………………………… 199 5.9 BLOCKDIAGRAMME DISKRETER LTI-SYSTEME ……………………. 201 5.9.1 Reihen-Schaltung ………………………………...………….… 201 5.9.2 Parallel-Schaltung ………………………………………..... 202 5.9.3 Rückgekoppelte Systeme ……………………………...…... 202 6 Anhang 205 6.1 ERGEBNISSE DER ÜBUNGSAUFGABEN ............................................. 205 6.2 EIGENSCHAFTEN DER DELTAFUNKTION ......................................... 223 6.3 SÄTZE ZUR LAPLACE-TRANSFORMATION ....................................... 224 6,4 KORRESPONDENZEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION ............. 225 6.5 SÄTZE ZUR Z-TRANSFORMATION ....................................................... 232 6.6 KORRESPONDENZEN DER z-TRANSFORMATION ……….………... 232 6.7 LITERATUR …….….…………………………………….………………… 234 Sachwortverzeichnis …………………………………………………………...… 235