La pˆeche dans les trous noires ∗ A. Brotas Departamento de F´ısica, Instituto Superior T´ecnico, Av Rovisco Pais 1096. Lisboa Codex, Portugal 4 0 (February 9, 2008) 0 2 n a Abstract J 8 ] The problem of a thread whose extremity is beyond the Schwarzschild h p horizon is discussed. - n We present a new coordinate system allowing to write the Schwarzschild e metric in all regions. g . The system of coordinates introduced appears to be particulary indicated s c to study the passage of extended bodies throuth the Schwarzschild horizon, i s as it is the case of a thread that continues to attach a fisherman to a fish that y h entered a black hole. p [ Resum´e 1 v 3 On discute le probl`eme d’un fil dont l’extr´emit´e d´epasse l’horizon de 3 Schwarzschild r = 2m ; h 0 1 ds2 = −dr2 1− 2m −1−r2 dθ2+sin2θdφ2 + 1− 2m c2dt2 0 r r 4 Le changement(cid:16)de coor(cid:17)donn´ees:(cid:0) (cid:1) (cid:16) (cid:17) 0 / −1 cs r = r0−cK τ − Bx0 ; B0 = cK 1− 2rm0 +K2 2 ; r0 ≥2m , 0< K2 < ∞ i ys (cid:16) t = (cid:17)x − 1 r 1(cid:16)− 2m +K2 (cid:17)12 1− 2(cid:0)m −1dr (cid:1) h cK cK r r p Zr0 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) : v i lacoordonn´ee x´etant lalonguer d’unfilinextensibleetτ letempsmarqu´epar X deshorlogesli´esauxpointsdufil,permetd’´ecrirelam´etriquedeSchwarzschild r a sous la forme: 1 ds2 = c2 + 1 − 2m − 2c 1− 2m +K2 2 dx2−r2 dθ2+sin2θdφ2 + B0 K2 K2r KB0 r (cid:20) 2 −c2 + c (cid:16)1− 2m +K2 (cid:17)21 (cid:21)dxdτ +c2d(cid:0)t2 (cid:1) B0 K r (cid:20) (cid:21) (cid:16) (cid:17) qui peut ˆetre utiliz´e dans toute la region r > 2m . 1+K2 ∗ E-mail:brotas@fisica.ist.utl.pt 1 On sait que l’horizon de Schwarzschild est une patologie li´ee au choix des coordonn´ees habituellement utilis´ees dans l’´ecriture de la m´etrique de Schwarzschild: 2m −1 2m ds2 = −dr2 1− −r2 dθ2 +sin2θdφ2 + 1− c2dt2 (1) r r (cid:18) (cid:19) (cid:16) (cid:17) (cid:18) (cid:19) Eddington, Kruskal, Novikov et d’autres ont present´e des syst`emes de coordonn´ees pour lequeles il n’y a pas en r = r = 2m aucune sorte de singularit´e et il est possible d’´etudier h le mouvement des particules (et des photons) qui traversent r = 2m et tombent en r = 0. h La distance statique (`a t = ct.) entre un point r > r et r = 2m donn´ee par: 0 h h −1 rh 2m 2 d(r ,r ) = − 1− dr (2) h 0 r Zr0 (cid:18) (cid:19) ´etant finie, il se pose d’embl´ee le probl`eme de savoir ce qui arrive `a un fil suspendu en r et 0 dont l’extr´emit´e p´en`etre en r (il suffit pour cela d’avoir une longuer L sup´erieur `a d(r ,r ). h h 0 Nous pouvons imaginer, par example, que le fil sort avec une vitesse constante d’un treuil plac´e en r . 0 Une particule partie de r en chute libre ou en mouvement forc´e ne peut attendre r 0 h avant t = ∞. De plus, une fois arriv´ee en r , la particule tombe, in´evitablemente, en r = 0. h Un point mat´eriel ayant atteint r ne peut donc retourner `a r . h 0 Comment, dans ces conditions, imaginer un fil dont l’extr´emit´e d´epasse r ? Nous pou- h vons imaginer que le treuil qui a laiss´e sortir le fil renverse sa marche. Comment concilier cette possibilit´e (toujour imaginable) d’inversion de la marche du treuil avec l’impossibilit´e de r´ecuperation du fil ? Comment imaginer le simple cas d’un fil avec une extremit´e fixe en r et l’autre tombant in´evitablement en r = 0 apr`es avoir d´epass´e r ? 0 h Si nous travaillons avec un fil inextensible (rigide-ind´eformable `a une dimension aux sens de Born) nous nous trouvons, sans aucune doute, devant des situations paradoxales. Mais ces paradoxes sont semblables `a bien d’autres qui surgissent en Relativit´e Restreite et en Relativit´e G´en´erale quand nousutilizons lecorps rigide-ind´eformable de Born(simple notion g´eometrique) comme mod`ele des objects physiques ´etendus que nous imaginons en mouve- ment dans nos exp´eriences mentales. Les paradoxes disparaisent quand nous considerons des corps d´eformables sumis `a des lois ´elastiques. Les lois ´elastiques relativistes [1], [2], [3], [4], y compris celle qui correspond au cas limite des corps dans lequels les ondes de choc se d´eplacente avec la vitesse c (que j’appellerai les v´eritables corps rigides [5]): ρ0c2 1 L p = 0 −1 ; s = (ρ0 densite´ propre iniciale) (3) 2 s2 L 0 (cid:18) (cid:19) 0 2 ont cette propri´et´e curieuse; la pression p tends vers une valeur finie quand L tends vers l’infini. On peut donc ´etirer de fac¸on illimit´ee un fil, mˆeme si `a la limite il est rigide. Le fait qu’une extremit´e du fil tombe en r = 0 est ainsi parfaitement conciliable avec la possibilit´e pour l’autre d’ˆetre fixe en r , ou mˆeme d’ˆetre receuillie par un treuil. 0 Un pˆecher qui laisse un poisson entrer dans un trou noir pourra, par la suite, rembobiner le moulinet pour un temp illimit´e, sans r´eussir `a l’en faire sortir ni l’empˆecher de tomber `a r = 0, tout en le tenant toujours au but de sa ligne. Etudions, pour le moment, le mouvement d’un fil inextensible sorti avec une vitesse con- stante d’un treuil plac´e en r . 0 Soit ∆x¯ = cK∆t la quantit´e (longueur propre) du fil qui sort du treuil dans l’intervale ∆t (dans la direction de r = 0). On trouve (apr`es des calculs que nous expliciterons par la suite) que la quantit´e du fils en mouvement comprise entre r > r et r (que nous pouvons 1 h 0 appeler distance dynamique) est donn´ee par: r0 2m 12 2m −1 d (r ,r ) = 1− +K2 1− dr (4) k 1 0 r r Zr1 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) Nous constatons que d (r ,r ) a une valeur infinie (mˆeme pour des K tr`es petits). Le K h 0 treuilpeutdonctravaillerpendantuntempsinfinisansque”dupointdevuedet”l’extremit´e du fil arrive `a r . (ce r´esultat est bien d’accord avec l’impossibilit´e pour un point mat´eriel h d’atteindre r dans un temps t fini, ce qui ne signifie pourtant pas que le temps propre pour h un voyage de r `a r soit n´ecessairemente infini). 0 h Cherchons l’equation x¯ = x¯(r,t) que d´ecrit le mouvement du fil. La coordonn´ee x¯ sera la longuer propre du fil compt´ee `a partir du point x¯ = 0 qui passe en r `a l’instant t = 0. 0 La condition d’inextensibilit´e impose que les quantit´es de fil ∆x¯ qui passent en r et r 0 1 dans le mˆeme intervale ∆t soient les mˆemes. Nous avons ainsi: ∂x¯ ∂x¯ = = cK ; (K = ct.) (5) ∂t ∂t ! ! r1 r0 Les observateurs imobiles en r voient passer les points du fil avec la vitesse: ∂x¯ v2 12 2m −21 v = 1− 1− (6) ∂t c2 r !r ! (cid:18) (cid:19) En faisant les calculs nous obtenons: −1 2m 2 v = cK 1− +K2 ; (0 < v < c) ⇒ (0 < K2 < ∞) (7) r (cid:18) (cid:19) En calculant la ”distance dynamique” d (r,r ) `a partir de: K 0 r0 v2 −12 2m −21 d (r,r ) = 1− 1− dr (8) K 0 c2 r Zr ! (cid:18) (cid:19) 3 et en utilizant (5) et (7) nous obtenons (4). La quantit´e de fil qui est pass´ee en r `a l’instant t est celle qui est sorti du treuil dans l’intervale [0,t] moins celle qui est entre r et r (`a t = ct.). Nous pouvons donc ´ecrire: 0 x¯(r,t) = cKt−d (r,r ) (9) K 0 Pour calculer le temps propre dτ necessaire pour qu’un point du fil (x¯ = ct.) parcoure dr nous utilizons cdτ = ds et la relation: 2m 12 2m −1 0 = cKdt+ 1− +K2 1− dr (10) r r (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) obtenue de (9) pour le cas x¯ = ct.. Ces expressions nous donnent: dr = −cKdτ (11) r´esultat particuli`erement simple. Le temps propre necessaire pour qu’un point du fil aille de r `a r est donc: 0 1 r = r −cK∆τ = r −cK(τ −τ ) (12) 1 0 0 1 0 Admettons que les points du fil qui sort du treuil plac´e en r sont munis d’horloges (qui 0 marquent le temps propre τ) et que ces horloges sont r´egl´es au passage de r conformement 0 `a la formule: v2 −21 2m 12 τ = t 1− 1− (13) c2 r ! (cid:18) 0 (cid:19) (Ce processus de reglage fait que les horloges du fil soient r´egl´es entre eux au passage en r ). 0 En utilisant (7) et (9) nous obtenons: −1 x¯ 2m 2 τ = ; B = cK 1− +K2 (14) 0 B r 0 (cid:18) 0 (cid:19) Representons parτ¯letemps marqu´eparleshorlogesdufilr´egl´esparleprocessus indiqu´e. En utilisant les formules (12), (14), (9) et (8) nous pouvons ´ecrire: r = r −ck τ¯− x¯ 0 B0  (cid:16) (cid:17) (15)  t = x¯ − 1 r 1− 2m +K2 21 1− 2m −1dr cK cK r0 r r Pour un K donn´e (x¯,τ¯) est unRsys(cid:16)t`eme de coord(cid:17)on(cid:16)n´ees qui(cid:17)peut`etre utilis´e dans ler´egion r > 2m. En calculant les g respectives nous obtenons: αβ 1 g = c2 ; g = −c2 + c 1− 2m +K2 2 τ¯τ¯ x¯τ¯ B0 K r (cid:16) (cid:17) (16) 1 g = c2 + 1 − 2m − 2c 1− 2m +K2 2 x¯x¯ B0 K2 K2r KB0 r (cid:16) (cid:17) 4 Ces coeficients sont definis et n’ont pas de singularit´es pour r > 2m(1+K2)−1. Le calcul direct du tenseur de Ricci donne R = 0. Le syst`eme (x¯,τ¯) peut donc ˆetre utilis´e αβ en alternative `a (r,t) non seulement dans la region r > 2m, mais dans toute la r´egion r > 2m . En choisissant un K suffisament grand ont peut approcher cette r´egion du centre 1+K2 r = 0 autant qu’on le veut. Le premier r´esultat (16) ´etait pr´evisible ´etait donn´e que τ¯ est un temps propre. En utilisant les suivants et en faisant les calculs nous obtenons: γ = g −g2 g−1 = −1 (17) x¯x¯ x¯x¯ x¯x¯ τ¯τ¯ ce qui traduit la condition que nous avons impos´ee d`es le debut, `a savoir, que x¯ soit la longueur d’un fil inextensible. En faisant en (14) r = 2m, ce qui correspond `a mettre le treuil `a r = 2m (ce qui 0 h est impossible), ou `a le mettre ailleurs mais `a r´egler les horloges de fac¸on telle qu’ils soient accord´ees au passage en r , nous obtenons B = c. Dans ce cas, les formules (15) et (16) h 0 prenent la forme plus simple; r = r +Kx¯−cKτ¯ 0  (18)  t = x¯ − 1 r0+Kx¯−Kcτ¯ 1− 2m +K2 21 1− 2m −1dr cK cK r0 r r et  R (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) 1 g = c2 ; g = −c+ c 1− 2m +K2 2 τ¯τ¯ x¯τ¯ K r (cid:16) (cid:17) (19) 1 g = 1 1− 2m +K2 − 2 1− 2m +K2 2 x¯x¯ K2 r K r (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) En r = r = 2m, ces coefficients prennent les valeurs g = c ; g = 0 et g = −1, ce qui h τ¯τ¯ x¯τ¯ x¯x¯ montre que les coordonn´ees (x¯,τ¯) sont localement les coordonn´ees d’un syst`eme euclidien associ´e au fil. Elles sont donc particuli`erement propices `a l’´etude des objects ´etendus qui entrent dans les trous noires. 1 1Madame Choquet-Bruhat, membre de l’Academie des Sciences de Paris, m’a donn´e l’honneur de pr´esenter ce texte dans une s´eance de l’Academie, en 1982. Il n’a pas ´et´e publi´e dans les Comptes Rendues parce que un ”referee” a consid´er´e ce syst`eme de coordon´ees sans int´erˆet. Dans la suite, il a ´et´e utilis´e pour ´ecrire l’´equation du passage d’un fil ”rigide” par l’horizon de Schwarzschild et ´etudier ses solutions. Je ne connais pas d’autres ´etudes concernant l’entr´e des corps ´etandus dans les trous noires. 5 REFERENCES [1] Mc Crea, Sci. Proc. R. Dublin Soc. (N.S.), 26 (1952); Hogart and Mc Crea, Proc. Cambr.Phil. Soc. 48 (1952) [2] A. Brotas, ”Sur le probl`eme du disque tournant”, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 267 A, 57 (1968) [3] A. Brotas, Th`ese Paris 1969 (N enregistrement C.N.R.S. A.O. 3081) [4] A. Brotas and J.C. Fernandes, ”A lei de Hooke relativista”, T´ecnica 461, Lisboa (1980) [5] A. Brotas, ”Rigide et ind´eformable sont-ils des synonimes?”, L. Nuovo Cimento I 1, 217 (1969); [6] A. Brotas and J. C. Fernades, The relativistic elasticity of rigid bodies, arXiv:physics/0307019 v2 19 Set 2003 6