La Géométrie de Compensation Non-Linéaire - Le Problème Spatial d’Intersection dans l’Option de la Géodésie Tridimensionnelle Par 7 1 0 Abdelmajid BEN HADJ SALEM 2 n Ingénieur Général Retraité de l’Office de la Topographie et du a J Cadastre 6 ] M Janvier 2017 G . h Version 1. t a m [ 1 v 8 5 1 3 0 . 1 0 7 1 [email protected] : v i X r a Table des matières 1 Introduction 3 2 La Géométrie Non Linéaire du Modèle de Gauss-Markov 3 3 Etude d’un cas pratique 5 3.1 Ecriture des Equations de Lagrange-Euler . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Réduction des Equations de Lagrange-Euler . . . . . . . . . . . . 7 4 Résolution du Système 8 5 Résolution du système des inconnues en ρ et θ 8 6 Calcul de la Matrice Covariance des inconnues 9 2 La Géométrie de Compensation Non-Linéaire - Le Problème Spatial d’Intersection dans l’Option de la Géodésie Tridimensionnelle Abdelmajid Ben Hadj Salem, Dipl. Ing.1 1 Introduction Dans un article [1] E. Grafarend et B. Schaffrin ont étudié la géométrie de la compensation ou ajustement non-linéaire pour le cas du problème d’intersec- tion plane en utilisant le modèle de Gauss Markov, par les moindres carrés. Le présent papier développe la même méthode en travaillant sur un exemple de la déterminationd’unpointpartrilatération dansl’optiondelagéodésietridimen- sionnelle pour la détermination des coordonnées (x,y,z) d’un point inconnu à partir des mesures des distances vers n points connus. 2 La Géométrie Non Linéaire du Modèle de Gauss- Markov Le modèle non linéaire de Gauss-Markov est défini par : ζ(X) = L e; e (0,Γ) (1) − ∈ N avec : - L : le vecteur des observations (n 1) = (L1,L2,..,Ln)T, × - X : le vecteur des inconnues (m 1) = (X1,X2,..,Xm)T, × -e:levecteurdeserreurs(n 1) = (e1,e2,..,en)T suitlaloinormale (0,Γ) × N avec E(e) = 0 et Γ = E(eeT) la matrice de dispersion ou variance, on prendra 2 −1 Γ = σ0.P . P est la matrice des poids et σ0 une constante positive. - ζ : est une fonction donnée injective d’un ouvert U Rm Rn et m < n. ⊂ → Remarque : dans le cas d’un modèle linéaire, la fonction ζ = A.X où A est une matrice n m. × On note Imζ = ζ(X)/X U l’image de U par la fonction ζ. Imζ est une { ∈ } variété de dimension m vérifiant les conditions : ∂ζ ∂ζ ∂ζ (i) : les vecteurs , ,..., sont linéairement indépendants en ∂X1 ∂X2 ∂Xm chaque point X U, ∈ 2 ∂ ζ (ii) : les fonctions sont continues sur U pour i,j 1,2,...,m . ∂X ∂X ∈{ } i j 1. 6, rue du Nil, Cité Soliman Er-Riadh,8020 Soliman, Tunisie 3 On introduit un produit scalaire : < ζ1,ζ2 >= ζ1T.P.ζ2 (2) D’où la norme du vecteur ζ = (ζ1,ζ2,...,ζn)T : n ζ 2 =<ζ,ζ >= ζT.P.ζ = p .ζ2 (3) i i k k i=1 X dans l’espace vectoriel Rn en prenant la matrice de poids P une matrice diago- nale . Alors la solution par les moindres carrés X¯ sera définie par : L ζ¯(X¯) = min L ζ(X) /X U (4) k − k {k − k ∈ } Cette condition est exprimée par les équations de Lagrange-Euler soit : ∂ 2 L ζ(X) = 0 pouri 1,2,...,m (5) ∂X k − k ∈{ } i En effet, on veut minimiser la fonction : F(X) =F(X1,X2,..,Xm) = L ζ(X) = L ζ(X1,X2,...,Xm) (6) k − k k − k 2 Comme F est une fonction positive, minimiser F c’est aussi minimiser F , soit 2 G(X) = F (X). En appliquant les équations de Lagrange-Euler, on obtient : ∂G(X) ∂G(X) = 0 = 0 − ∂X ⇒ ∂X i i soit : ∂ 2 L ζ(X1,X2,...,Xm) = 0 pouri 1,2,...,m (7) ∂X k − k ∈{ } i or : L ζ(X1,X2,...,Xm) 2 = (L ζ(X1,X2,...,Xm))T.P.(L ζ(X1,X2,...,Xm)) = k − k − − ζ(X)T.P.ζ(X) 2LT.P.ζ(X)+LT.P.L − (8) Soit : ∂G(X) ∂ζ(X) ∂ζ(X) = 2ζ(X)T.P. 2LT.P. pouri 1,2,...,m (9) ∂X ∂X − ∂X ∈ { } i i i ou encore : ∂G(X) ∂ζ(X) = 2(ζ(X) L)T.P. pouri 1,2,...,m ∂X − ∂X ∈ { } i i ce qui donne en utilisant (5) : ∂ζ(X) <L ζ(X), >=0 pouri 1,2,...,m (10) − ∂X ∈ { } i ∂ζ(X) ou < e, >=0 pouri 1,2,...,m (11) ∂X ∈ { } i 4 Géométriquement, cela veut dire que le vecteur erreur e = L ζ(X) est per- − pendiculaire (produit scalaire nul) au plan tangent de la variété Imζ au point ζ¯(X¯) (s’il existe). Pour le cas non-linéaire, la condition (11) est nécessaire mais non suffisante. 2 ∂ G Pour obtenir le minimum, il faut que la matrice ( ),i,j 1,2,...,m ∂X ∂X ∈ { } i j soit définie positive. 3 Etude d’un cas pratique On considère la détermination d’un point par trilatération dans l’option de la géodésie tridimensionnelle pour la détermination des coordonnées (x,y,z) d’un point M inconnu à partir des mesures des distances vers 4 points connus Mk(uk,vk,wk)k=1,2,3,4. Pour faciliter les calculs, on prendra P = I, σ0 = 1 et nous adoptons la fonction ζ(X) comme suit : 2 2 2 ζ1 = (x u1) +(y v1) +(z w1) − 2 − 2 − 2 ζ(X) = (cid:12)(cid:12)(cid:12) ζζ32 == ((xx−uu32))2++((yy−vv32))2++((zz−ww32))2 (12) (cid:12) − 2 − 2 − 2 (cid:12) ζ4 = (x u4) +(y v4) +(z w4) (cid:12) − − − (cid:12) avec X1(cid:12)= x, X2 = y, X3 = z les inconnues (13) (cid:12) et d’après (12), la fonction ζ n’est pas une fonction linéaire des variables X . ζ i est une fonction de R3 R4 qui s’écrit : → ζ(X) = ζ e k k où e est la base orthonormée de Rn. Voyons qu’elle vérifie les deux conditions k (i) et (ii) cités ci-dessus. ∂ζ Calculons , on a alors : ∂X i 2(x u1) 2(y v1) 2(z w1) − − − ∂ζ = (cid:12) 2(x−u2) , ∂ζ = (cid:12) 2(y−v2) , ∂ζ = (cid:12) 2(z−w2) (14) ∂X1 (cid:12)(cid:12) 2(x u3) ∂X2 (cid:12)(cid:12) 2(y v3) ∂X3 (cid:12)(cid:12) 2(z w3) (cid:12) − (cid:12) − (cid:12) − (cid:12) 2(x u4) (cid:12) 2(y v4) (cid:12) 2(z w4) (cid:12) − (cid:12) − (cid:12) − (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Pourque le(cid:12)s 3 vecteurs soient linéa(cid:12)irement indépendants,(cid:12)il faut que les points M,M ,M ,M ne soient pas alignés. Pour la condition (ii), on a facilement : i j k 2 2 2 2 2 2 ∂ ζ 2 ∂ ζ 2 ∂ ζ 2 = (cid:12) , = (cid:12) , = (cid:12) (15) ∂X12 (cid:12)(cid:12) 2 ∂X22 (cid:12)(cid:12) 2 ∂X32 (cid:12)(cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) 2 (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 5(cid:12) (cid:12) et pour i =j, on a : 6 0 2 ∂ ζ 0 =(cid:12) (16) ∂Xi∂Xj (cid:12)(cid:12) 0 (cid:12) (cid:12) 0 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) ∂ ζ(X) (cid:12) Donc les quantités sont continues et la condition (ii) est vérifiée. ∂X ∂X i j 3.1 Ecriture des Equations de Lagrange-Euler Pour déterminer la solution par les moindres carrés du modèle non-linéaire, on écrit les conditions (10). Le vecteur L = (L1,L2,L3,L4)T telque chacun des L représente le carré de la distance spatiale mesurée. On a alors en utilisant i (14) : ∂ζ(X) < L ζ(X), >= 0; i = 1,2,3 − ∂X i soit : (x u1)(L1 ζ1)+(x u2)(L2 ζ2)+(x u3)(L3 ζ3)+(x u4)(L4 ζ4)= 0 − − − − − − − − (y v1)(L1 ζ1)+(y v2)(L2 ζ2)+(y v3)(L3 ζ3)+(y v4)(L4 ζ4)= 0 − − − − − − − − (z w1)(L1 ζ1)+(z w2)(L2 ζ2)+(z w3)(L3 ζ3)+(z w4)(L4 ζ4)= 0 − − − − − − − − (17) Les équations (17) représente un système de trois équations non linéaires de trois inconnues (x,y,z) dont la solution est un peu compliquée. Pour faciliter encore la résolution du système précédent, on va supposerque la variable z est connue égale à z0, dans ce cas, on se limite à trois distances mesurées L1,L2 et L2. Alors (17) s’écrit : (x u1)(L1 ζ1)+(x u2)(L2 ζ2)+(x u3)(L3 ζ3)= 0 − − − − − − (y v1)(L1 ζ1)+(y v2)(L2 ζ2)+(y v3)(L3 ζ3)= 0 (18) − − − − − − avec : 2 2 2 ζ1 = (x u1) +(y v1) +(z0 w1) − − − 2 2 2 ζ2 = (x u2) +(y v2) +(z0 w2) − − − 2 2 2 ζ3 = (x u3) +(y v3) +(z0 w3) − − − Les expressions ζ L s’écrivent sous la forme : i i − 2 2 ζ L = x +y 2xu 2yv +a (19) i i i i i − − − avec a = constante (20) i 6 Le système (18) devient : 2 2 2 2 (x u1)(x +y 2xu1 2yv1+a1)+(x u2)(x +y 2xu2 2yv2+a2) − − − − − − 2 2 +(x u3)(x +y 2xu3 2yv3+a3)= 0 − − − (21) 2 2 2 2 (y v1)(x +y 2xu1 2yv1+a1)+(y v2)(x +y 2xu2 2yv2+a2) − − − − − − 2 2 +(y v3)(x +y 2xu3 2yv3+a3)= 0 − − − (22) En développant les équations (21) et(22), on obtient : 3 2 2 2 3x +3xy 3x (u1+u2+u3) y (u1 +u2+u3) 2xy(v1+v2+v3)+ − − − 2 2 2 x(a1+a2+a3+2u1+2u2+2u3)+2y(u1v1+u2v2+u3v3) (a1u1+a2u2+a3u3) = 0 − (23) 3 2 2 2 3y +3yx 3y (v1+v2+v3) x (v1 +v2+v3) 2xy(u1+u2+u3)+ − − − 2 2 2 y(a1+a2+a3+2v1 +2v2 +2v3)+2x(u1v1+u2v2+u3v3) (a1v1+a2v2+a3v3) = 0 − (24) Supposons qu’on se limite à deux distances L1 et L2, alors on a à résoudre : 3 2 2 2 2x +2xy 2x (u1+u2) y (u1+u2) 2xy(v1 +v2)+ − − − 2 2 x(a1+a2+2u1+2u2)+2y(u1v1+u2v2) (a1u1+a2u2) = 0 (25) − 3 2 2 2 2y +2yx 2y (v1+v2) x (v1+v2) 2xy(u1+u2)+ − − − 2 2 y(a1+a2+2v1 +2v2)+2x(u1v1+u2v2) (a1v1+a2v2) = 0 (26) − 3.2 Réduction des Equations de Lagrange-Euler Dans ce paragraphe, on essaye de réduire l’écrirure du système (25) - (26). A cet effet posons : z = x+iy, z¯= x iy avec i = √ 1 − − 2 2 2 2 s = u1+u2, t = v1+v2, p = u1+u2, q = v1 +v2 a= a1+a2, r = u1v1+u2v2, d = a1u1+a2u2, f = a1v1+a2v2 (27) ce qui donne : 2x = z+z¯, 2iy = z z¯ (28) − Alors les expressions (25) - (26) deviennent : 2 2 2 2 4z z¯+4zz¯ +(2it s)z 6szz¯ (s+2it)z¯ +2z(a+2p 2ir)+2z¯(a+2p+2ir) 4d = 0 − − − − − (29) 2 2 2 2 4z z¯ 4zz¯ +(it 2s)z 6itzz¯+(2s+it)z¯ +2z(a+2q+2ir) 2z¯(a+2q 2ir) 4if = 0 − − − − − − (30) Nous présentons dans la suite la résolution des équations ci-dessus : 7 4 Résolution du Système Posons : z =x+iy = ρeiθ (31) s+2it = leiω (32) a+2p+2ir = meiα (33) a+2q+2ir = keiµ (34) 2s+it = heiϕ (35) Utilisant les relations : z+z¯= 2ρcosθ (36) 2 z z¯= 2iρsinθ, zz¯=ρ (37) − Les équations (29) et (30) deviennent : 3 2 2 8ρ cosθ 6sρ 2lρ cos(2θ ω)+4mρcos(θ α) 4d = 0 (38) − − − − − 3 2 2 8iρ sinθ 6itρ 2ihρ sin(2θ ϕ)+4ikρsin(θ+µ) 4if = 0 (39) − − − − Soit : 3 2 4ρ cosθ [3s+lcos(2θ ω)]ρ +2mρcos(θ α) 2d = 0 (40) − − − − 3 2 4ρ sinθ [3t+hsin(2θ ϕ)]ρ +2kρsin(θ+µ) 2f = 0 (41) − − − Eliminant les termes constants entre (40) et(41) et après simplification par ρ= 0, on obtient l’équation : 6 2 4ρ (dsinθ fcosθ)+ρ(3sf 3td+lfcos(2θ ω) hdsin(2θ ϕ))+ − − − − − 2kdsin(θ+µ) 2mfcos(θ α) = 0 (42) − − 3 Maintenant, on élimine les coefficients en ρ des équations (40) et(41), nous obtenons une équation en deuxième degré en ρ : 2 ρ (3s.sinθ 3tcosθ+lsinθcos(2θ ω) hcosθsin(2θ ϕ))+ − − − − 2ρ(kcosθsin(θ+µ) msinθcos(θ α)) 2fcosθ+2dsinθ = 0 (43) − − − 5 Résolution du système des inconnues en ρ et θ On écrit les équations (42) et(43) sous la forme : 2 Aρ +Bρ+C = 0 (44) ′ 2 ′ ′ Aρ +B ρ+C = 0 (45) Le système précédent est résolvable si et seulement si : A B C = = (46) A′ B′ C′ 8 soit en choisissant : B C ′ ′ = BC B C = 0 (47) ′ ′ B C ⇒ − Soit : [3sf 3td+lfcos(2θ ω) hdsin(2θ ϕ)](2dsinθ 2fcosθ)= − − − − − [2kcosθsin(θ+µ) 2msinθcos(θ α)][2kdsin(θ+µ) 2mfcos(θ α)] − − − − (48) ce qui donne un polynôme en sinθ,cosθ,sin2θ,cos2θ. En posant : ξ = tgθ (49) et utilisant les formules : 2ξ sin2θ = (50) 1+ξ2 2 1 ξ cos2θ = − (51) 1+ξ2 L’équation (48) devient un polynôme du troisième degré en ξ qu’on peut ré- soudre par les méthodes classiques. 6 Calcul de la Matrice Covariance des inconnues Comme on a : 2 2 2 ζ1 = (x u1) +(y v1) +(z0 w1) − 2 − 2 − 2 ζ =  ζ2 = (x u2) +(y v2) +(z0 w2)  (52) − 2 − 2 − 2 ζ3 = (x u3) +(y v3) +(z0 w3)  − − −    Or, on s’est limité à deux inconnues, le vecteur ζ = (ζ1,ζ2)T. D’où en différen- tiant (52) en utilisant les deux premières lignes, on obtient alors : dζ1 2(x u1) 2(y v1) dx dζ = = − − . = JX.dX (53) dζ2 ! 2(x u2) 2(y v2) ! dy ! − − avec : x u1 y v1 JX = 2. − − (54) x u2 y v2 ! − − Par suite : dx −1 dζ1 dX = = J . (55) dy ! X dζ2 ! d’où la matrice covariance du vecteur inconnu X = (x,y)T : 2 −1 2 −1T σ = J .σ .J (56) X X L X 9 Références [1] E.W. Grafarend et B. Schaffrin. The geometry of non-linear adjust- ment - the planar trisection problem. FESTCHRIFT to TORBEN KRA- RUP edited by E. Kejlo, K. Poder and C.C. Tscherning. Geodætisk Insti- ◦ tut, Meddelelse n 58. p149-172. København, Danmark. 1989. [2] P.J.G Teunissen. The Geometry of Geodetic Inverse Linear Mapping ◦ and Non-Linear Adjustment. Publications On Geodesy, n 1, Volume 8, Nether- lands Geodetic Commission. 1985. 177p. 10