LA DIVINA RAZO´N DE LA BELLEZA J. IGNACIO EXTREMIANA ALDANA, L. JAVIER HERNA´NDEZ PARICIO Y M. TERESA RIVAS RODR´IGUEZ Resumen. La belleza, una noci´on dif´ıcil de precisar, relacionada con la armon´ıa, bondad, simplicidad y orden, est´a presente en to- das las culturas a lo largo del tiempo y puede constatarse que de algunamanerahayunsentidouniversaldeloqueesbello.Elobjeti- vo de crear algo bello, que en cierto modo representar´ıa un reflejo de la perfecci´on divina, aparece en la naturaleza, en las creacio- nes art´ısticas musicales, pict´oricas, escult´oricas y arquitect´onicas, y tambi´en en las creaciones t´ecnicas y cient´ıficas. Estas notas est´an dedicadas a exponer c´omo, quiz´as de una manera sorprendente para los que consideren las matem´aticas al- go frio y aislado, es precisamente un maravilloso nu´mero, φ = 1,61803··· , uno de los que est´a contenido con m´as profusi´on en las creaciones m´as bellas. Resaltamos tambi´en algunas de las numerosas propiedades geo- m´etricas, aritm´eticas y algebraicas de este singular nu´mero que se obtiene al dividir un segmento en media y extrema raz´on. La be- lleza matem´atica de φ parece transmitirse a toda obra que lo con- tenga, convirti´endolo en un generador por excelencia de belleza. Los diferentes nombres que ha recibido este “irracional” nu´mero: Secci´on ´aurea, proporci´on ´aurea, raz´on ´aurea, nu´mero de oro, san- ta proporci´on, divina proporci´on, etc., son s´olo una muestra del car´acter m´agico, misterioso, secreto, simb´olico, poderoso y divino que en muchos casos se le ha otorgado. ´ Indice 1. Retorna a lo antiguo y ser´as moderno (G. Verdi) 2 1.1. Pit´agoras y los Pitag´oricos 3 1.2. Creaci´on y belleza 6 1.3. Experimento 10 2. Proporciones: El nu´mero de oro 12 2.1. Proporciones 12 2.2. Or´ıgenes de φ 16 3. Propiedades de φ 23 3.1. Las sucesiones de Fibonacci y Lucas 25 4. Relaciones de φ 28 4.1. Tri´angulo de Pascal. 28 1 2 J. I. EXTREMIANA, L. J. HERNA´NDEZ Y M. T. RIVAS 4.2. Tri´angulos rect´angulos 29 4.3. Relaciones “trascendentes” de φ 30 5. Volvamos a Egipto 31 6. La Divina Proporci´on 33 Referencias 42 P´aginas web 43 1. Retorna a lo antiguo y sera´s moderno (G. Verdi) Figura 1. Manzanas y naranjas Comenzamos mostrando una imagen (Figura 1) tomada de la p´agina web de George W. Hart. Esta ilustraci´on aparec´ıa en el cartel anuncia- dor de la edici´on 2003-04 del Seminario Permanente de Actualizaci´on en Matem´aticas que organiza el Departamento de Matem´aticas y Com- putaci´on de la Universidad de La Rioja desde hace 25 an˜os. Se trata de un dodecaedro y un icosaedro cuyos v´ertices son naranjas y manzanas respectivamente. Cuando los organizadores del Seminario eligieron la imagen se nos ocurri´o que pod´ıamos preparar un pequen˜o trabajosobrelaproporci´onquerigelaconstrucci´ondeambospoliedros: la Divina Proporci´on; quiz´a porque, como dice Luca Pacioli en el tra- tado [15] dedicado a ella, “no hay nada en el intelecto que previamente no se haya ofrecido de alguna manera a los sentidos”. Nuestros sentidos se inclinan hacia lo que les resulta m´as agradable y atractivo, lo que les resulta bello. Ahora bien, ¿qu´e es la belleza? , ¿por qu´e unos objetos son bellos y otros no? Estas preguntas han tratado de ser respondidas muchas veces en diferentes culturas. Laideam´asextendidaesquelabellezapodr´ıaconsistirenlaspropor- cionesarmoniosasdelasdimensiones.EstaideaseatribuyeaPit´agoras, quien habr´ıa descubierto el hecho de que ciertas proporciones aritm´eti- cas en los instrumentos musicales, como las longitudes de las cuerdas, LA DIVINA RAZO´N DE LA BELLEZA 3 producen armon´ıa de tonos. En la Figura 2 mostramos una ilustra- ci´on de la Theorica Musice, de Gafurio [6] , 1492, en la que aparecen los nu´meros marcando o dirigiendo la escala musical. Sobre la base de estas armon´ıas, los antiguos griegos intentaron explicar tambi´en la be- lleza en las proporciones del cuerpo humano, en la arquitectura y otros ´ambitos. Figura 2. Escala musical 1.1. Pit´agoras y los Pitag´oricos. Recordaremos algunos aspectos de la geometr´ıa en la cultura hel´enica1. Herodoto (485-425 a.C.) afirma que los or´ıgenes de la geometr´ıa griega est´an en Egipto: “ ...Dijeron tambi´en que este rey (Sesostris) dividi´o la tierra entre todos los egipcios de modo que a cada uno le tocara un cuadr´angulo de igual taman˜o y tomara de cada uno sus ingresos, estableciendo un impuesto que se exig´ıa anualmente. Pero cuando el r´ıo invad´ıa una parte de alguno, ´este ten´ıa que ir a ´el y notificar lo que hab´ıa sucedido. Enviaba entonces supervisores, quienes ten´ıan que medir en cu´anto se hab´ıa reducido el terreno, para que el propietario pudiera pagar sobre lo que le quedaba, en proporci´on al impuesto total que se hab´ıa fijado. En esta forma, me parece que se origin´o la geometr´ıa y pas´o entonces a H´elade (Grecia).” La principal fuente de informaci´on que tenemos sobre la geometr´ıa griega es el Sumario de Eudemo de Proclo, que es un esbozo muy breve del desarrollo de la geometr´ıa griega desde los tiempos primitivos hasta Euclides(entornoa300a.C.).Proclovivi´oenelsigloVd.C.perotuvo acceso a varios trabajos hist´oricos y cr´ıticos que ahora se han perdido; entre ellos, una historia completa de la geometr´ıa griega escrita por Eudemo, el cu´al hab´ıa sido alumno de Arist´oteles. 1Para una introducci´on a la geometr´ıa que tambi´en incluye aspectos hist´oricos recomendamos la lectura de los libros de H.Eves [5] ´ 4 J. I. EXTREMIANA, L. J. HERNANDEZ Y M. T. RIVAS PYTHAGORAS 4 J. I. EXTREMIANA, L. J. HERNA´NDEZ Y M. T. RIVAS Figura 3. Tales y Pit´agoras 4 3 1, , , 2 Elprimergranmatem´aticoalquehacere3ferenciaesTa2lesdeMileto2, v´ease la Figura 3 , aprox. 624-546 a. C. . El segundo gran matem´atico quesecitaenelSumarioesPit´agorasdeSamos,580-500a.C.,v´easela Figura 3 . Ambos viajaron a Egipto y Mesopotamia. El primero pudo haber iniciado al segundo en la matem´atica3. do, fa, sol, do Pit´agoras juega un papel decisivo en la historia de las matem´aticas. Naci´o en la isla de Samos, colonia j´onica en la costa del mar Egeo cercana a Mileto; su padre fue Menesarco. Se distinguen tres etapas en su vida. En la primera se destaca su relaci´on con Tales; tambi´en pudo haber participado en los Juegos de la XLVIII Olimpiada, en los que habr´ıa obtenido la corona de olivo en las competencias de pugilato. La segunda etapa corresponde a sus viajes, de los que regresa a Sa- mos en la que gobierna el tirano Policrates. Por “divergencias” con ´este, Pit´agoras se exilia a Crotona, en el golfo de Tarento, al sur de la actual Italia y en donde se situ´a el inicio de la tercera etapa. En esta ciudad se asienta y crea la hermandad Pitag´orica, fraternidad esot´eri- ca, dedicada a la pr´actica del ascetismo, la comunidad de bienes y el estudio de las matem´aticas para obtener la realizaci´on de la armon´ıa interior, acorde con la gran armon´ıa del cosmos, a la que se accede por la gnosis numeral (“Todo est´a dispuesto conforme al Nu´mero”). En Crotona, Pit´agoras vive en la casa de Milo, con cuya hija, Theano, se casa. De Theano se dice que fue la primera mujer matem´atica y que dirigi´o la hermandad despu´es de la muerte de Pit´agoras, a pesar de que en ella no se permit´ıa la participaci´on de las mujeres. Esta hermandad se extendi´o r´apidamente y lleg´o a alcanzar el poder pol´ıtico en varias Figciuudradaes c3om.o CTroatloenasoyS´ıbPariist,´arigvaolrdae sla anterior y famosa en el mundo griego por sus riquezas y su vida lujosa. 2Uno de los siete sabios de Grecia junto con P´ıtaco de Mitilene, B´ıas de Priene, Cle´obulodeLinde,PeriandrodeCorinto,Quil´ondeLacedemoniaySol´ondeAtenas para obtener la realizac(Pilo´atn´on edn eel dil´aalogoaPrromt´agoorans´ısean˜alainatMeir´ornioenrlu,gaar dceoPrerdianedroc).on la gran 3 Como curiosidad sen˜alemos que el siglo VI a. C. fue el de los grandes m´ısticos; armon´ıa del cosmos, a la que se accede por la gnosis numeral (“Todo en ese periodo vivieron: Zoroastro (Zaratustra) (660-583 a. C.), Lao Tse (604-510 a. C.), Confucio (551-479 a. C.), Buda (560-477 a. C.) y Pit´agoras (580-500 a. C.). est´a dispuesto conforme al Nu´mero”). En Crotona, Pit´agoras vive en la casa de Milo, con cuya hija, Theano, se casa. De Theano se dice que fue la primera mujer matema´tica y que dirigi´o la hermandad despu´es LA DIVINA RAZO´N DE LA BELLEZA 5 Los Pitag´oricos, que se divid´ıan en dos tipos: Matem´aticos (conoce- dores) y Acusm´aticos (o´ıdores), recopilaron las ensen˜anzas del Maestro en el Ieros Logos (Discurso sagrado). EnCrotonaseproducelaprimeragranrebeli´oncontralospitag´oricos y durante una revuelta se incendia la casa de Milo, en la que au´n viv´ıa ´ Pit´agoras. Este se refugia en Tarento y luego en Metaponto, donde muere. En Metaponto, an˜os m´as tarde, hacia el 450 a. C., durante otras revueltas, mueren en un incendio gran parte de los miembros de la comunidad. Entre los que lograron salvarse se encuentran Filolao de Crotona, Hipaso de Metaponto e Hip´ocrates de Chios. Filolao fue acusado de haber divulgado los secretos matem´aticos y filos´oficos de la hermandad en sus escritos y de haber vendido a Dionisio de Siracusa tres libros que conten´ıan la doctrina secreta del pitagorismo. Plat´on pudo tener acceso a estos escritos dada su amistad con el hermano de Dionisio, Di´on. Arquitas de Tarento, disc´ıpulo de Filolao, que fue regente de Tarento y siete veces general´ısimo, fue quien inici´o a Plat´on en el pitagorismo. Hipaso fue expulsado de la comunidad por dar a conocer a los profanos el secreto “de la esfera de los doce pent´agonos” y de “la naturaleza de lo conmensurable y lo inconmensurable”. Sus excompan˜eros le construyeron una tumba para escenificar que para ellos ya hab´ıa muerto; morir´ıa an˜os m´as tarde en un naufragio del que se sospecha que fueron responsables aqu´ellos. Parece que fue Hipaso quienplante´olaexistenciademagnitudesinconmensurablesestudiando la figura del pent´agono regular; sin embargo, Y´amblico le concede el descubrimiento al propio Pit´agoras. Figura 4. Proporciones egipcias en relieves Hemos mencionado que tanto Tales como Pit´agoras habr´ıan viaja- do a Egipto. Es muy probable que los constructores y decoradores del antiguo Egipto usasen algu´n tipo de teor´ıa matem´atica de las propor- ciones. Se sabe que en torno al 600 a. C. estudiosos egipcios midieron los relieves en Sakkara, en la tumba del fara´on Zhoser, que fueron he- chos hacia el 2800 a. C.. Sobre esta base construyeron un sistema de proporciones que m´as tarde fue ampliamente usado. Tal vez sea este 6 J. I. EXTREMIANA, L. J. HERNA´NDEZ Y M. T. RIVAS sistema lo que ahora podemos ver en muchos relieves egipcios como finas l´ıneas sin significado aparente, ve´ase la Figura 4. 1.2. Creaci´on y belleza. Plat´on, 427-347 a. C., de quien ya he- mos comentado su relacio´n con el pitagorismo, nos ofrece en el Timeo (quiz´as el m´as plat´onico de sus di´alogos segu´n los expertos) su visi´on de construcci´on del Universo, del Cosmos (orden), en oposici´on al Caos. Figura 5. Dibujos de Kepler sobre Elementos y Cuer- pos plat´onicos Segu´n Plat´on [16], el mundo real es una copia imperfecta del mundo de las ideas hecha por el Demiurgo, ser inteligente y bueno al que le atraelabellezaytrataderecrearla.Estepersonajecreaenprimerlugar el alma del mundo y la esfera celeste (lo hace d´andole forma esf´erica, la m´as perfecta) en cuyo centro est´a la Tierra. Despu´es se ocupa de la materia con la que est´a hecho el mundo; se compone de cuatro elemen- tos: fuego, tierra, aire y agua. Los elementos han de ser “s´olidos” (pues las cosas no solamente son planas sino que tienen profundidad) y han de ser capaces de recomponerse unos en otros. Puesto que han de ser s´olidos, esto es, limitados por planos y un plano est´a compuesto por piezas sencillas (tri´angulos), el Demiurgo elige de ´estos los m´as bellos: eltri´angulorect´angulois´osceles(condospiernas—catetos—iguales,es decir,laescuadra)yeltria´ngulorect´anguloescaleno(cojo)queposeela propiedaddetenerlahipotenusadedoblelongitudqueunodesuscate- tos (el cartab´on). A partir de seis de estos u´ltimos tri´angulos construye el tri´angulo equil´atero y, con estas piezas, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Con cuatro tri´angulos rect´angulos is´osceles construye el cua- drado y con seis de´estos el cubo. Concluye, analizando las propiedades de los elementos y de los cuatro poliedros anteriores, que los ´atomos de tierra son cubos, los de agua icosaedros, los de aire octaedros y los de fuego tetraedros. Como le queda una u´ltima configuraci´on regular ! !"#$%&’#"()*)*)#’+)#’,-"&,-)#’.’+)#’+"$/)#0’ ! 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CC..)) ddeecc´´ııaa qquuee uunn eeddiifificciioo eess bbee-- lllloo ccuuaannddoo llaa aappaarriieenncciiaa ddee llaa oobbrraa eess aaggrraaddaabbllee yy ddee bbuueenn gguussttoo,, yy ccuuaannddoo ssuuss mmiieemmbbrrooss ssoonn ddee llaass ddeebbiiddaass pprrooppoorrcciioonneess ddee aaccuueerrddoo aa llooss pprriinncciippiiooss ccoorrrreeccttooss ddee ““ssiimmeettrr´´ııaa”” ((ddoonnddee ““ssiimmeettrr´´ııaa”” ssiiggnniifificcaa ““uunnaa ccoonnccoorrddaanncciiaa ccoorrrreeccttaa eennttrree llooss mmiieemmbbrrooss ddee llaa oobbrraa mmiissmmaa,, yy uunnaa rree-- llaaccii´o´onn eennttrree llaass ddiiffeerreenntteess ppaarrtteess yy eell eessqquueemmaa ggeenneerraall ddeell ccoonnjjuunnttoo ccoonn rreessppeeccttoo aa uunnaa cciieerrttaa ppaarrttee eelleeggiiddaa ccoommoo rreeffeerreenncciiaa””)).. LLaass iiddeeaass ddee VViittrruuvviioo ssoobbrree llaa bbeelllleezzaa,, bbaassaaddaass eenn llaa aarrmmoonn´´ııaa ddee llaass pprrooppoorrcciioonneess,, ttaannttoo eenn eeddiifificciiooss ccoommoo eenn eell ccuueerrppoo hhuummaannoo,, eesstt´a´ann ccoonntteenniiddaass eenn llaa 8 J. I. EXTREMIANA, L. J. HERNA´NDEZ Y M. T. RIVAS Figura 7. La Escuela de Atenas, obra de Rafael obra De architectura [19], un tratado de diez tomos que mucho tiempo despu´es ser´ıa estudiado y verdaderamente valorado por grandes artis- tas y arquitectos del Renacimiento. Para ´estos, los c´anones de bellleza establecidos por Vitruvio fueron gu´ıa e inspiraci´on de gran parte de sus obras. En la temprana Edad Media, el estudio de la belleza sol´ıa ser clasi- ficado como una rama de la teolog´ıa. El argumento era que la belleza es un atributo de Dios. Un investigador notable fue San Agust´ın (354- 430), segu´n el cu´al la belleza consiste en unidad y orden que surgen de la complejidad4. Tal orden podr´ıa ser, por ejemplo, ritmo, simetr´ıa o simples proporciones. Ve´ase Figura 8. Santo Tom´as de Aquino (1225 - 1274), tambi´en reflexion´o sobre la esencia de la belleza. Pensaba que la belleza era el resultado de tres requisitos: integridad o perfecci´on, armon´ıa y claridad o brillantez. 4 Es sorprendente que con estas ideas sobre la belleza, San Agust´ın manifestara que las matem´aticas son cosa diab´olica: “Los buenos cristianos deben cuidarse de losmatem´aticosydetodoslosqueacostumbran ahacerprofec´ıas,au´ncuando estas profec´ıas se cumplan, pues existe el peligro de que los matem´aticos hayan pactado con el diablo para obnubilar el esp´ıritu y hundir a los hombres en el infierno”. LA DIVINA RAZO´N DE LA BELLEZA 9 Figura 8. Proporciones medievales El arquitecto y escritor del Renacimiento, Leon Battista Alberti (1404-1472), puso el ´enfasis en los atributos formales de los edificios y sus detalles, proporcionalidad y ornamentaci´on. La belleza es “una armon´ıa de todas las partes, en cualquier sujeto en que aparezca, en- sambladas con tal proporci´on y conexi´on, que nada podr´ıa an˜adirse, disminuirse o alterarse, si no es para peor ”. Como curiosidad queremos an˜adir que el estudio de la belleza como una cualidad de los objetos fue reavivado con un enfoque diferente en 1928, cuando el matem´atico norteamericano George David Birkhoff (1884-1944) present´o la siguiente ecuaci´on: cantidad de orden valor est´etico = complejidad del objeto El mismo Birkhoff someti´o a prueba la ecuaci´on disen˜ando un vaso (Figura 9) que, en su opini´on, ten´ıa un gran valor est´etico. Figura 9. Birkhoff y su vaso No es Birkhoff el u´nico matem´atico que se preocupa por la belleza. Hardy dec´ıa que “no hay lugar en el mundo para las matem´aticas feas”. ¿Cu´ales son las matem´aticas m´as bellas? Es dif´ıcil responder a esta pregunta, que se sigue formulando hoy en d´ıa. As´ı, por ejemplo, el matem´atico ruso y medallista Fields E. Zelma- nov, al ser preguntado en una estrevista (5 de Septiembre, 2001) para el peri´odico “El Pa´ıs” sobre c´omo pueden distinguirse los problemas 10 J. I. EXTREMIANA, L. J. HERNA´NDEZ Y M. T. RIVAS matem´aticos importantes, dice que deben ser “elegantes y bonitos”, y tambi´en afirma que “hay un sentido universal entre los matem´aticos de lo que es bello”. Por ejemplo, para Kepler (1571-1630) la Geometr´ıa ten´ıa “dos grandes tesoros: uno el Teorema de Pit´agoras; el otro la divisi´on de una l´ınea en una proporci´on extrema y una media ”. En esta direcci´on, hacia 1989, David Wells public´o en el Mathematical In- telligencer un listado de los teoremas matem´aticos considerados m´as bellos. En la actualidad puede encontrarse un listado similar en una de las p´aginas web citadas al final del trabajo (en la que adem´as puede votarse por el teorema que m´as le guste a cada visitante). Reproduci- mos, por el orden de belleza en que all´ı aparec´ıan cuando la visitamos, un listado de algunos de los teoremas referidos en esa p´agina. 1) eiπ +1 = 0 2) F´ormula de Euler: Para cualquier descomposici´on en celdas de una esfera de dimensi´on dos, se tiene que la suma del nu´mero de caras y el de v´ertices es igual al nu´mero de aristas m´as dos. 3) El nu´mero de primos es infinito. 4) Existen cinco poliedros regulares. π2 Xn 1 5) = l´ım . 6 n→∞ k2 k=1 6) Una aplicaci´on continua del disco unidad en s´ı mismo tiene un punto fijo. √ 7) 2 no es racional. 8) π es trascendente. 9) Todo plano dividido en regiones puede ser coloreado con cuatro colores. 10) Todo nu´mero primo de la forma 4n+1 se descompone de modo u´nico como la suma de dos cuadrados. 13) Un icosaedro regular inscrito en un octaedro regular divide los ´ ejes en la Raz´on Aurea. Remarcaremosquelosqueocupanloslugares2,4y13tienenrelaci´on directa con el tema que estamos tratando y todos en los que aparece el nu´mero π tienen una relaci´on indirecta, como veremos m´as adelante. 1.3. Experimento. Antes de continuar vamos a hacer un pequen˜o experimento. En la Figura 10 aparecen cuatro rect´angulos pintados cadaunodediferentecolor.Pedimosallectorque,haciendoabstracci´on del color en que cada uno est´a pintado, piense cu´al le resulta m´as agradable por su forma, por sus proporciones. Conf´ıamos en que la mayor´ıa de los observadores haya elegido el rect´angulo azul (inferior derecha). El rect´angulo rojo (superior izquier- da) es el que marca el formato 16/9, es decir, el de las televisiones pa- nor´amicas; el amarillo (superior derecha) es el 36/24 de las fotograf´ıas y diapositivas. El verde (inferior izquierda) es el habitual de las hojas