Carmen Bonell La divina proporción Las formas geométricas EDICIONS UPC crèdits 18/4/00 16:33 Página 1 Primera edición: septiembre de 1994 Segunda edición ampliada: febrero de 2000 Con la colaboración del Servei de Publicacions de la UPC Diseño de la cubierta: Manuel Andreu Maquetación: Josep Maldonado © Carmen Bonell, 1999 © Edicions UPC, 1999 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel. 934 016 883 Fax 934 015 885 Edicions virtuals: www.edicionsupc.es e-mail: [email protected] Producción: CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord) La Cup. C. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona Depósito legal: B-4.904-99 ISBN: 84-8301-287-1 Queda rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del copy- right, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tra- tamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o prés- tamo públicos, así como la exportación e importación de ejemplares para su distri- bución y venta fuera del ámbito de la Unión Europea. portadilla 18/4/00 16:24 Página 1 Kalyana Chakra («Rueda de la fortuna») Rajasthan, s. XIX, tinta y color s/p. prólogo 18/4/00 16:49 Página 9 ÍNDICE PRÓLOGO … … … … … … … … … … … … … … … 11 I LADIVINAPROPORCIÓN … … … … … … … … … … 15 I. I FORTUNAHISTÓRICADELADIVINAPROPORCIÓN … … … 26 II FORMASGEOMÉTRICAS, ARQUETIPOSSIMBÓLICOS … … … 53 III LAACCIÓNDELDEMIURGO … … … … … … … … … 83 IV ELABISMODELASEMILLA … … … … … … … … … 111 BIBLIOGRAFÍASELECCIONADA … … … … … … … … … … 124 prólogo 18/4/00 16:49 Página 11 PRÓLOGO El alma se siente empavorecida y tiembla a la vista de lo bello, porque siente que evoca en sí misma algo que no ha adquirido a través de los sentidos sino que siempre había estado depositado allí dentro en una región profundamente inconsciente. Platón Fedro Uno de los más grandes misterios del universo es el hecho de que no sea un misterio. Somos capaces de entender y predecir su funcionamiento hasta el punto que si un hombre normal de la Edad Media fuese transportado a nuestros días pensaría que éramos magos. La razón de que hayamos tenido tanto éxito en desvelar el funcionamiento interno del universo es que hemos descubierto el lenguaje en el que parece estar escrito el libro de la naturaleza. John D. Barrow1 prólogo 18/4/00 16:49 Página 12 12 Prólogo Estos tres textos, elaborados en momentos distintos y con finalidades distintas, son fruto de la fascinación por las formas geométricas; fas- cinación a la que no es ajena la estética, porque estas formas produ- cen «de un modo completamente directo, la sensación de algo muy bello, que no requiere justificación ni explicación alguna».2 Las for- mas geométricas son formas activas, orgánicas, acumulativas; son configuraciones con capacidad organizativa que provocan, que mue- ven a la imaginación. Son formas fundamentales que están presentes en todos los tiempos, en todas las artes y son comunes a todas las civilizaciones. Ahora bien: ¿por qué la geometría? ¿Por qué las pro- piedades matemáticas del triángulo, del círculo, del cuadrado, de la esfera, del dodecaedro… se ajustan tan excelentemente a toda una serie de conceptos filosóficos y teológicos? ¿Son las formas geométri- cas únicamente una creación instrumental de la mente humana para comprender el mundo o también existen fuera de ella? En el libro séptimo de La República,Sócrates, después de comen- tar con Glaucón lo útil y excelente que resulta la ciencia del cálculo, porque «puede aplicarse a la guerra y a facilitar una vuelta del alma misma al mundo de la verdad y de la esencia», añade: —No creo que ninguno de los que se dedican a la geometría, por poca práctica que tengan de ella, vayan a ponernos en duda que esta ciencia ofrece perspectivas contrarias a las mantenidas por sus ver- daderos usuarios. —¿Cómo? —preguntó (Glaucón). —Dicen muchas cosas que por fuerza resultan ridículas. Pues hablan como si realmente actuasen y como si sus palabras tuviesen tan solo un fin práctico, adornando su lenguaje de términos como «cuadrar», «prolongar» y «adicionar». Y, sin embargo, toda esta ciencia se aplica fundamentalmente al conocimiento. (…) Esta es una ciencia del conocimiento del ser, pero no de lo que está sujeto a la generación y a la muerte. —Conforme con todo ello —dijo Glaucón— pues sin duda la geometría es una ciencia de lo que siempre es. —Por tanto, mi buen amigo, conducirá al alma hacia la verdad 1J. D. Barrow: ¿Por qué el mundo es y dispondrá la mente del filósofo para que eleve su mirada hacia arri- matemático?, Barcelona, Grijalbo, 1997, p. 11. ba en vez de dirigirla a las cosas de abajo, que ahora contemplamos 2 W. Heisenberg: «La ciencia y lo sin deber hacerlo.3 bello», en K. Wilber (ed.): Cuestiones Pitágoras y sus discípulos y, posteriormente, Platón promovieron Cuánticas, Barcelona, Kairós, 1991; p. 92. En ese sentido véase también J. la geometría del harpedonapta egipcio desde su primitiva condición D. Barrow, op. cit. de saber práctico a la condición de saber especulativo y abstracto: 3Platón: La RepúblicaVII, 526e- con ellos geometría no será sólo agrimensura sino conocimiento de 527b, en Obras Completas, Madrid, los principios superiores. Aguilar, 1979; pp. 785-86. prólogo 18/4/00 16:49 Página 13 La divina proporción. Las formas geométricas 13 Siglos después, Roger Penrose se pregunta: «¿Es la matemática 4R. Penrose: La nueva mente del invención o descubrimiento? Cuando los matemáticos obtienen sus emperador, Madrid, Mondadori, 1991; p. 134. resultados ¿están produciendo solamente elaboradas construcciones mentales que no tienen auténtica realidad, pero cuyo poder y elegan- 5Ibid., pp. 157-58. cia bastan simplemente para engañar incluso a sus inventores hacién- 6Agradezco a Pablo Palazuelo sus comentarios y precisiones, siempre doles creer que estas construcciones mentales son ‘reales’? ¿O están penetrantes y certeros, que han sido descubriendo realmente verdades que estaban ya ‘ahí’, verdades cuya fuente de enriquecimiento intelectual existencia es independiente de las actividades de los matemáticos?».4 y, a la vez, una valiosa guía en la ela- boración final del texto. Pregunta a la que responde con estas palabras: «He descrito breve- mente las tres corrientes principales de la filosofía matemática actual: formalismo, platonismo e intuicionismo. No he ocultado mis fuertes simpatías por el punto de vista platónico de que la verdad matemáti- ca es absoluta, externa y eterna, y no se basa en criterios hechos por el hombre; y que los objetos matemáticos tienen una existencia intemporal por sí mismos, independiente de la sociedad humana o de los objetos físicos particulares».5 Puesto que las formas geométricas son arquetipos, presencias eternas que no sólo se transmiten tradicionalmente sino que renacen espontáneamente, he rastreado algunas de ellas (el rectángulo Ø, el triángulo, el cuadrado, el círculo…), desde las tradiciones orientales hasta Platón y su diálogo Timeo, que explica cómo el universo está organizado matemática y armónicamente. Septiembre de 1994 En esta segunda edición, en la que he ampliado los capítulos I y II, he querido añadir un texto escrito recientemente,6 El abismo de la semilla, sobre las investigaciones científicas de Goethe. Si la pre- misa fundamental de los tres artículos primeros es que las leyes de la matemática son o, mejor dicho, «parecen ser» las leyes de la natura- leza, unas leyes que el ser humano debe conocer por su propio inte- rés y el de su trabajo, la experiencia de Goethe ilumina una vía de acceso a la naturaleza que, más que nueva, parecía olvidada. Y es especialmente importante invocarla hoy porque ya no podemos desa- tender impunemente lo que, con insistencia, reafirma la ciencia actual: no somos más que naturaleza. Febrero de 1999 cap. 4Ω 9/5/00 08:28 Página 124 124 Bibliografía seleccionada I LADIVINAPROPORCIÓN BEOTHY, E. La Série d’Or, París, Chanth, 1939. BOULEAU, CH. Charpentes. La géométrie secrète des peintres, París, Ed. du Seuil, 1963. (Vers. cast. Tramas. La geometría secreta de los pintores, Madrid, Akal, 1996). COOK, TH. The Curves of Life, Nueva York, Dover, 1979. FUNK-HELLET, C. Les Œuvres peintes de la Renaissance italienne et le Nombre d’Or, París, Vincent Fréal, 1932. 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