La conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes hyperboliques 2 Vincent Lafforgue 1 0 2 24 janvier 2012 n a J 3 Le but de cet article est de montrer la conjecture de Baum-Connes à co- 2 efficients pour les groupes hyperboliques au sens de Gromov [Gro87, CDP90, ] GdlH90]. A Soit G un groupe localement compact. La conjecture de Baum-Connes, O formulée en 1982 [BC82] affirme que . h at µG : Ktop(G) K (C∗ (G)) m red ∗ → ∗ red [ est un isomorphisme de groupes abéliens. La conjecture de Baum-Connes à 1 coefficients [BCH94] affirme que pour toute G-C∗-algèbre A, v 3 µG,A : Ktop(G,A) K (C∗ (G,A)) 5 red ∗ → ∗ red 6 4 est un isomorphisme de groupes abéliens. . 1 Pour les groupes hyperboliques, l’injectivité de µG,A a été montrée par 0 red Kasparov et Skandalis [KS94, KS03]. La conjecture sans coefficients a été 2 1 démontrée dans [Laf02] et [MY02]. La conjecture à coefficients commutatifs : v a été démontrée dans [Laf07] (mais la méthode de [Laf07] ne permet pas de i X montrer la conjecture de Baum-Connes à coefficients commutatifs pour un r produit de deux groupes hyperboliques). a Pour énoncer le théorème principal nous avons besoin de quelques défini- tions. Définition 0.1 Soit δ 0. Un espace métrique (X,d) est dit δ-hyperbolique ≥ si pour tout quadruplet (x,y,z,t) de points de X on a d(x,z)+d(y,t) max d(x,y)+d(z,t),d(x,t)+d(y,z) +δ. (H (x,y,z,t)) δ ≤ (cid:0) (cid:1) 1 Définition 0.2 Soit δ 0. Un espace métrique (X,d) est dit faiblement ≥ δ-géodésique si pour tous x,y X et pour tout s [0,d(x,y)+ δ] il existe ∈ ∈ z X tel que d(x,z) s et d(z,y) d(x,y) s+δ. ∈ ≤ ≤ − Un espace métrique (X,d) est dit hyperbolique (resp. faiblement géodé- sique) s’il existe δ 0 tel que (X,d) soit δ-hyperbolique (resp. faiblement ≥ δ-géodésique). Lorsque x X et r R , on note B(x,r) = y X,d(x,y) r . + ∈ ∈ { ∈ ≤ } Définition 0.3 Un espace métrique (X,d) est dit uniformément localement fini si pour tout r R il existe K N tel que, pour tout x X, B(x,r) + ∈ ∈ ∈ contienne au plus K points. Le théorème principal est le suivant. Théorème 0.4 Soit G un groupe localement compact agissant de façon iso- métrique, continue et propre sur un espace métrique hyperbolique, faiblement géodésique et uniformément localement fini. Alors G vérifie la conjecture de Baum-Connes à coefficients, c’est-à-dire que pour toute G-C∗-algèbre A, µG,A : Ktop(G,A) K (C∗ (G,A)) est une bijection. red ∗ → ∗ red G,A On rappelle que l’injectivité de µ est démontrée dans [KS94, KS03]. red Tout groupe hyperbolique Γ muni de la métrique d invariante à gauche associée à la longueur des motsdéterminée parunsystème fini degénérateurs est un espace métrique hyperbolique, faiblement géodésique et uniformément localement fini.Donclethéorème0.4implique la conjecturedeBaum-Connes à coefficients pour les groupes hyperboliques. On aimerait remplacer dans le théorème 0.4 l’hypothèse “uniformement localement fini” par l’hypothèse “à géométrie grossière bornée” qui est stric- tement plus faible (on renvoie à [KS03] pour cette notion et on note que dans [KS03] l’injectivité de µG,A est démontrée sous cette hypothèse plus red faible). Cependant cela rendrait la démonstration encore plus technique et nous y avons renoncé. On aimerait aussi traiter le cas général des groupoïdes hyperboliques, au moins à base compacte, mais cela serait très difficile, car il faudrait adapter la construction de cet article (qui est assez combinatoire) aux techniques de Jean-Louis Tu dans [Tu99], consistant à pondérer par des coefficients tendant vers 0 les éléments du groupoïde qui sont près de disparaître. En revanche, la conjecture sans coefficients pour ces groupoïdes est beaucoup plus accessible par les méthodes de [Laf07], elle est d’ailleurs démontrée dans certains cas dans [Laf07]. 2 D’après [HLS02] la conjecture de Baum-Connes à coefficients est fausse pour certains groupes aléatoires construits par Gromov dans [Gro03]. Ces groupes sont des limites inductives de groupes hyperboliques, la limite étant indexée par N, et les morphismes de transition étant surjectifs. Comme le membre de gauche de la conjecture de Baum-Connes commute aux limites inductives, on voit bien que ces contre-exemples sont “dus” au fait que C∗ red n’est pas fonctoriel en les morphismes de groupes (non nécessairement injec- tifs). Plus précisément si G H est un morphisme de groupes, et A une H- → C∗-algèbre,doncaussiuneG-C∗-algèbre,lemorphismeC (G,A) C (H,A) c c → ne se prolonge pas en général par continuité en un morphisme C∗ (G,A) red → C∗ (H,A). red Voicimaintenantquelquesindicationssurladémonstrationduthéorème0.4, quioccupetoutl’article.Oncommencepardesrappelssurlaméthode“Dirac- dual Dirac”, inventée par Kasparov puis développée par Kasparov et Skanda- lis, et Higson et Kasparov. Cette méthode s’applique à une très large classe C de groupes localement compacts, dont la définition est rappelée dans l’intro- duction de [Laf02], et qui contient en particulier les groupes hyperboliques, lessous-groupesfermésdesgroupesréductifssuruncorpslocal,etlesgroupes ayant lapropriété deHaagerup,c’est-à-direpossédant uneactionaffineconti- nue et propre sur un espace de Hilbert. Pour tout groupe G dans la classe , C on possède un idempotent γ KK (C,C) tel que pour toute G-C∗-algèbre G ∈ A, µG,A soit injectif et que l’image de l’action de γ sur K (C∗ (G,A)) soit red ∗ red égale à l’image de µG,A. Donc si G appartient à , la conjecture de Baum- red C Connes à coefficients pour G équivaut au fait que γ agit par l’identité sur K (C∗ (G,A)). Si G a la propriété de Haagerup, Higson et Kasparov ont ∗ red montré dans [HK01] que γ = 1 dans KK (C,C). G Soit G un groupe hyperbolique. Comme certains groupes hyperboliques ont la propriété (T) de Kazhdan, on ne peut pas espérer montrer que γ = 1 dans KK (C,C). D’un autre côté on sait d’après [Laf02] que γ est égal à 1 G dans KKban(C,C) pour tout s > 0 : cela permet de montrer la conjecture G,sℓ sans coefficients grâce à la propriété (RD) de Jolissaint [Laf02], et aussi à coefficients commutatifs grâce à un autre argument de stabilité par calcul fonctionnel holomorphe un peu plus subtil [Laf07], mais cela ne permet pas de montrer la conjecture à coefficients arbitraires. L’idée pour montrer la conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes hyperboliques est que ceux-ci, même s’ils ont la propriété (T), ne vé- rifient pasla propriété(T) renforcée ausens de ladéfinition 0.1de[Laf08].De façon un peu imprécise un groupe localement compact G n’a pas la propriété (T) renforcée s’il existe une longueur ℓ sur G (comme dans la définition 1.1) telle que pour tout s > 0 il existe C R tel que la représentation triviale + ∈ ne soit pas isolée parmi les représentations continues π de G dans des es- 3 paces de Hilbert vérifiant π(g) eC+sℓ(g) pour tout g G. Le théorème k k ≤ ∈ 1.4 de [Laf08] affirme que si un groupe localement compact possède la pro- priété (T) renforcée toute action continue et isométrique de ce groupe sur un espace métriquehyperbolique, faiblement géodésique etuniformément locale- ment fini a des orbites bornées. La démonstration du théorème 1.4 de [Laf08] montre même que pour un groupe hyperbolique Γ muni de la longueur ℓ associée à un système fini de générateurs, il existe un polynôme P tel que la représentation triviale nesoit pasisolée parmilesreprésentations π de Γ dans des espaces de Hilbert vérifiant π(g) P(ℓ(g)) pour tout g Γ. Notons k k ≤ ∈ que Ozawa [Oza08] a montré que les groupes hyperboliques sont faiblement moyennables, ce qui amène à se demander si dans la phrase précédente on ne pourrait pas prendre pour P un polynôme constant. Cependant cela n’appor- terait rien pour la conjecture de Baum-Connes car la seule chose qui compte est que P soit une fonction sous-exponentielle. Pourmontrerlethéorème0.4nousconstruisonsunehomotopiede1àγ en utilisant des représentations (continues) de G dans des espaces de Hilbert qui ne sont pas unitaires mais à croissance exponentielle arbitrairement petite. Plus précisément nousfixonsunelongueurℓsur Get nousmontronsquepour tout s > 0 il existe C R tel que l’on puisse construire une homotopie de + ∈ 1 à γ en utilisant des représentations π de G dans des espaces de Hilbert qui vérifient π(g) eC+sℓ(g) pour tout g G. (1) k k ≤ ∈ Le théorème 1.3 affirme l’existence pour tout s > 0 d’une telle homotopie et le théorème 1.2 (qui repose sur des idées de Nigel Higson) montre que cela implique la conjecture de Baum-Connes à coefficients pour G. La preuve du théorème 1.3 est ramenée à celle du théorème 1.5 où l’on suppose que G agit proprement sur un espace hyperbolique X vérifiant certaines propriétés supplémentaires (essentiellement que la métrique est associée à une structure de graphe). La preuve du théorème 1.5 repose sur l’acyclicité du complexe d’homologie simpliciale 0 C(∆0) ∂ C(∆1) ∂ C(∆2)... ∂ C(∆pmax) 0 ← ← ← ← ← du complexe de Rips, où l’ensemble ∆ des faces de dimension p 1 est formé p − des parties de X de cardinal p et de diamètre N, pour N assez grand. On ≤ fixeunpointbasex X.LapartiedifficileestlaconstructiondeJ : C(∆p) x ∈ → C(∆p+1) tel que ∂J +J ∂ = 1 et de normes de Hilbert sur C(∆p) vérifiant (1) x x et telles que ∂ et J soient continus. L’homotopie de 1 vers γ se fait alors x en conjuguant ∂ + J par etρ♭, où ρ♭(a) est égal à d(x,a) à une constante x près et est obtenu par un procédé de moyenne garantissant l’équivariance 4 à compacts près des opérateurs conjugués. Le lecteur qui voudrait se faire une idée rapide de la construction est invité à lire les paragraphes 1 et 2, l’introduction du paragraphe 3, et les sous-paragraphes 4.1 et 4.2. La méthode que nous utilisons est semblable à celle utilisée par Pierre Julg pour montrer la conjecture de Baum-Connes à coefficients pour Sp(n,1) (voir[Jul02]).Enfaitl’idéedeJulgd’utiliserdesreprésentationsnonunitaires dans des espaces de Hilbert est très ancienne : dans [Jul97] Julg proposait de construire une homotopie de 1 à γ en utilisant des représentations uni- formément bornées de Sp(n,1). L’idée d’utiliser des représentations non pas uniformément bornées mais à petite croissance exponentielle a été dégagée lors de discussions avec Julg et Higson en 1999. Pour conclure voici un petit aperçu du statut actuel de la conjecture de Baum-Connes à coefficients BC pour des groupes G de la classe : coeff C – “nonT” :siGalapropriétédeHaagerup,GvérifieBC d’après[HK01] coeff – “T possible mais non T renforcé” : BC est vrai si G = Sp(n,1) coeff d’après [Jul02] ou si G est un groupehyperbolique par le présent article – “T renforcé” : dans ce cas, qui comprend probablement tous les groupes simples sur des corps locaux de rang déployé 2 (et au moins ceux ≥ qui contiennent un SL d’après [Laf08]), BC est totalement ouvert 3 coeff et ne pourra être résolu qu’avec des idées nouvelles comme le principe d’Oka (on renvoie à [Laf10] pour plus de détails). Je remercie Georges Skandalis pour son aide et toutes les discussions que j’ai eues avec lui. Je remercie aussi Miguel Bermudez pour m’avoir indiqué le logiciel JPicEdit, avec lequel les dessins ont été réalisés, et Thomas Delzant pour m’avoir parlé du lemme d’approximation par les arbres, qui simplifie certaines démonstrations. Enfin jeremercie vivement lerapporteur qui a tout lu en détail et indiqué de nombreuses corrections. 1 Structure de la démonstration Lebut de ce paragrapheest de ramener la démonstration du théorème 0.4 à celle du théorème 1.5. Les paragraphes 3, 4 et 5 seront consacrés à la démonstration du théorème 1.5. Le théorème 1.2 ci-dessous affirme en gros que pour un groupe G agissant proprement sur un espace hyperbolique, l’existence d’homotopies de 1 à γ, utilisant desreprésentationsdansdesespacesdeHilbertdontlacroissanceest contrôlée par une exponentielle arbitrairement petite, implique la surjectivité de l’application de Baum-Connes à coefficients (l’injectivité est déjà connue grâce à [KS03]). 5 Définition 1.1 Soit G un groupe localement compact. On appelle longueur sur G une fonction continue ℓ : G R vérifiant ℓ(g−1) = ℓ(g) et ℓ(g g ) + 1 2 → ≤ ℓ(g )+ℓ(g ) pour tous g,g ,g G. 1 2 1 2 ∈ Soit G un groupe localement compact et ℓ une longueur sur G. Pour toutes G-C∗-algèbres A et B on définit E (A,B) comme l’ensemble des G,ℓ classes d’isomorphisme de (E,π,T) où E est un (A,B)-bimodule hilbertien Z/2Z-gradué muni d’une action continue de G vérifiant π(g) eℓ(g) pour k k ≤ tout g G, et d’un opérateur T borné impair tel que pour tout a A ∈ ∈ les opérateurs [a,T] et a(T2 1) soient compacts et que l’application g − 7→ a(g(T) T) soit une application normiquement continue de G dans (E). B − K On définit ensuite KK (A,B) comme l’ensemble des classes d’homotopie G,ℓ dans E (A,B) : deux éléments sont homotopes si ils sont les évaluations en G,ℓ 0 et 1 d’un élément de E (A,B[0,1]). On rappelle que B[0,1] = C([0,1],B) G,ℓ muni de la norme du sup. On peut montrer que la somme directe munit KK (A,B) d’une structure de groupe abélien. G,ℓ En particulier E (C,C) est l’ensemble des classes d’isomorphisme de G,ℓ (H,π,T) où H est un espace de Hilbert Z/2Z-gradué muni d’une action continue de G vérifiant π(g) eℓ(g) pour tout g G, et d’un opérateur T k k ≤ ∈ borné impair tel que (T2 1) soit compact et que l’application g g(T) T − 7→ − soit une application normiquement continue de G dans (H). K Théorème 1.2 Soit G un groupe localement compact agissant de façon iso- métrique, continue et propre sur un espace métrique (X,d) hyperbolique, fai- blement géodésique et uniformément localement fini. Soit γ KK (C,C) G ∈ l’élément défini sous ces hypothèses par Kasparov et Skandalis [KS03]. Soit x un point de X et ℓ la longueur sur G définie par ℓ(g) = d(x,gx). Suppo- sons que pour tout s > 0 il existe C R tel que l’image de 1 γ dans + ∈ − KK (C,C) soit nulle. Alors G vérifie la conjecture de Baum-Connes à G,sℓ+C coefficients, c’est-à-dire que pour toute G-C∗-algèbre A, µG,A : Ktop(G,A) red ∗ → K (C∗ (G,A)) est une bijection. ∗ red Ce théorème est le corollaire 2.12 de [Laf10], dont la preuve repose sur des idées de Higson. En fait nous avons remplacé l’hypothèse “à géométrie grossière bornée” du corollaire 2.12 de [Laf10] par l’hypothèse “uniformément localement fini” qui est strictement plus forte, car nous appliquerons ce théo- rème à des espaces uniformément localement finis et qu’il n’est donc pas nécessaire de rappeler la notion de géométrie grossière bornée. Grâce au théorème 1.2, le théorème 0.4 est une conséquence du théorème suivant. 6 Théorème 1.3 Soit G un groupe localement compact agissant de façon iso- métrique, continue et propre sur un espace métrique (X,d) hyperbolique, fai- blement géodésique et uniformément localement fini. Soit γ KK (C,C) G ∈ l’élément défini sous ces hypothèses par Kasparov et Skandalis [KS03]. Soit x X et ℓ la longueur sur G définie par ℓ(g) = d(x,gx). Alors pour tout ∈ s > 0 il existe C R tel que l’image de 1 γ dans KK (C,C) est + G,sℓ+C ∈ − nulle. Remarque. Le théorème 1.3 est encore vrai sans l’hypothèse de propreté de l’action de G sur X (nous avons inclus cette hypothèse pour que γ soit un “élément γ” pour G). De toute façon le théorème avec l’hypothèse de propreté de l’action implique le théorème sans cette hypothèse car le groupe des automorphismes de (X,d) est localement compact et agit proprement sur X. Nous allons voir maintenant que le théorème 1.3 résulte du théorème 1.5 ci-dessous qui utilise des hypothèses plus fortes sur l’espace métrique (X,d). Définition 1.4 On dit qu’un espace métrique (X,d) est un bon espace hy- perbolique discret si – d prend ses valeurs dans N et est géodésique, c’est-à-dire vérifie a,b X, k 0,...,d(a,b) , c X,d(a,c) = k,d(c,b) = d(a,b) k, ∀ ∈ ∀ ∈ { } ∃ ∈ − autrement dit d provient d’une structure de graphe connexe sur X, – (X,d) est uniformément localement fini (comme d est géodésique, cela équivaut à dire que le nombre de points à distance 1 d’un point, est borné indépendamment du point), – (X,d) est hyperbolique. Remarquons que si G est un groupe hyperbolique, et d est la distance in- variante à gauche associée à la longueur des mots, pour un système fini de générateurs, (G,d) est un bon espace hyperbolique discret, muni d’une ac- tion isométrique de G par translations à gauche (d provient de la structure de graphe de Cayley sur G associée à ce système de générateurs). Soit δ R∗, et (X,d) un espace métrique δ-hyperbolique, faiblement δ- ∈ + géodésique, uniformément localement fini, et muni d’une action isométrique d’un groupe G. Munissons X de la distance suivante : d′(a,b) = min i N, a ,...,a , 0 i { ∈ ∃ tels que a = a,a = b, et j 0,...,i 1 ,d(a ,a ) δ +1 . 0 i j j+1 ∀ ∈ { − } ≤ } Autrement dit d′ provient de la structure de graphe sur X pour laquelle deux points distincts x,y X sont voisins si d(x,y) δ +1. On a alors les ∈ ≤ propriétés suivantes : 7 – l’action de G sur (X,d′) est isométrique, – d′ est quasi-isométrique à d : on a d (δ + 1)d′, et, en utilisant le ≤ fait que (X,d) est faiblement δ-géodésique, on montre facilement que d′ d+1, ≤ – (X,d′) est un bon espace hyperbolique discret. L’hyperbolicité de (X,d′) résulte de la conservation de l’hyperbolicité par quasi-isométrie pour des espaces faiblement géodésiques. Pour les es- paces géodésiques la démonstration figure dans [GdlH90, CDP90] et pour les espaces faiblement géodésiques il n’y a pas grand chose à modifier. On peut aussi invoquer le théorème 3.18 de [Vai05] ainsi que la remarque 3.19 de [Vai05] appliquée à (X,d) et à l’espace total du graphe considéré précé- demment (je remercie Yves Stalder qui m’a indiqué cette référence). Donc le théorème 1.3 pour (X,d) résulte du théorème 1.5 ci-dessous ap- pliqué à (X,d′). Théorème 1.5 Soit G un groupe localement compact agissant de façon iso- métrique, continue et propre sur un espace métrique (X,d) qui est un bon espace hyperbolique discret. Soit γ KK (C,C) l’élément défini sous ces G ∈ hypothèses par Kasparov et Skandalis [KS03]. Soit x X et ℓ la longueur ∈ sur G définie par ℓ(g) = d(x,gx). Alors pour tout s > 0 il existe C R tel + ∈ que l’image de 1 γ dans KK (C,C) est nulle. G,sℓ+C − Pour montrer le théorème 0.4 nous sommes donc ramenés à montrer le théorème 1.5. Les paragraphes 3, 4 et 5 sont consacrés à la démonstration du théorème 1.5. 2 Le cas des arbres Lebutdeceparagrapheestdedémontrer lethéorème1.5danslecasoùX estunarbre,afind’introduiredansuncassimplelesidéesdeladémonstration du théorème 1.5. Soit X un arbre et q un entier tel que chaque sommet de l’arbre ait au plus q + 1 voisins. Soit G un groupe localement compact agissant de façonisométrique, continue et propre sur X.Soit γ KK (C,C) G ∈ l’élément γ de Julg et Valette, dont la construction est rappelée ci-dessous. Soit x X et ℓ la longueur sur G définie par ℓ(g) = d(x,gx). La proposition ∈ suivante est le théorème 1.5 dans le cas où X est un arbre. Proposition 2.1 Pour tout s > 0 il existe C R tel que l’image de 1 γ + ∈ − dans KK (C,C) est nulle. G,sℓ+C 8 BiensûrJulgetValetteontmontrédans[JV84]queγ = 1dansKK (C,C), G sans aucune hypothèse sur l’arbre (c’est-à-dire un résultat plus fort en par- tant d’une hypothèse plus faible). Rappelons la construction de l’élément γ de Julg et Valette. Notons ∆ = 1 X l’ensemble des sommets de l’arbre et ∆ l’ensemble des arêtes. Notons 2 C(∆1) l’ensemble des combinaisons finies d’éléments de ∆ . Pour simplifier les 1 notations, nous choisissons pour chaque arête une orientation, ce qui permet d’identifier C(∆2) ausous-espace vectorieldeΛ2(C(∆1))engendréparlese e a b ∧ pour a,b ∆ . De même ℓ2(∆ ) s’identifie au sous-espace vectoriel fermé 2 2 { } ∈ de Λ2(ℓ2(∆ )) engendré par les e e pour a,b ∆ . 1 a b 2 ∧ { } ∈ L’élément γ KK (C,C) (associé au choix de x comme origine) est G ∈ représenté par l’espace de Hilbert Z/2Z-gradué ℓ2(∆ ) ℓ2(∆ ) et par l’opé- 1 2 ⊕ 0 u rateur T = , où u : ℓ2(∆ ) ℓ2(∆ ) et v : ℓ2(∆ ) ℓ2(∆ ) sont v 0 2 → 1 1 → 2 (cid:18) (cid:19) définis de la façon suivante : si a,b est une arête telle que b se trouve sur { } la géodésique entre x et a, alors u(e e ) = e et v(e ) = e e et a b a a a b ∧ − − ∧ enfin v(e ) = 0. On voit que 1 v u = 0 et que 1 u v est le projecteur x − ◦ − ◦ orthogonal sur e . De plus, si g G, g(u) u et g(v) v sont de rang fini. x ∈ − − 0 u Dans la suite nous écrirons toujours T = u+v au lieu de T = . v 0 (cid:18) (cid:19) Démonstration de la proposition 2.1.Nousallonsmontrer quepourtout s > 0 il existe C R tel que l’image de 1 γ dans KK (C,C) soit + G,2sℓ+C ∈ − nulle. Soit s R∗. En fait nous allons montrer qu’il existe un polynôme P ∈ + et une homotopie de 1 à γ faisant intervenir des représentations π de G dans des espaces de Hilbert tels que π(g) P(ℓ(g))esℓ(g). k k ≤ Notons ∂ : C(∆2) C(∆1) l’opérateur bord de l’homologie simpliciale. → Pour toute arête a,b on a ∂(e e ) = e e . Alors ∂ est injectif et son a b b a { } ∧ − image est de codimension 1. Pour le montrer définissons h : C(∆1) C(∆2) de → la façon suivante : pour tout point a X, notons n = d(a,x) et a ,...,a la 0 n ∈ suite de points reliant a à x (c’est-à-dire que a = a, a = x et a est voisin de 0 n i a pour tout i 1,...,n ) et posons h(e ) = (e e +...+e e ). i−1 ∈ { } a − a0∧ a1 an−1∧ an En particulier h(e ) = 0. Alors h ∂ = Id et Id ∂ h est de rang x ◦ C(∆2) C(∆1) − ◦ 1. Plus généralement pour tout t [0,1] on définit des opérateurs u : t ∈ C(∆2) C(∆1) et v : C(∆1) C(∆2) de sorte que u = ∂, v = h, et u et t 1 1 0 → → v soient les restrictions de u et v à C(∆2) ℓ2(∆ ) et C(∆1) ℓ2(∆ ). La 0 2 1 ⊂ ⊂ formule est la suivante : pour toute arête a,b telle que b se trouve sur la { } géodésique entre x et a on pose u (e e ) = (e te ). Pour tout point t a b a b ∧ − − a X, on note n = d(a,x) et a ,...,a la suite de points reliant a à x (c’est- 0 n ∈ à-dire que a = a, a = x et a est voisin de a pour tout i 1,...,n ) et 0 n i i−1 ∈ { } 9 on pose v (e ) = (e e +te e +t2e e +...+tn−1e e ). t a − a0 ∧ a1 a1 ∧ a2 a2 ∧ a3 an−1 ∧ an Nous allons compléter C(∆2) et C(∆1) pour certaines normes de Hilbert telles que π(g) P(ℓ(g))esℓ(g) pour un certain polynôme P et telles que k k ≤ les opérateurs u et v soient continus, uniformément en t [0,1]. t t ∈ Rappelons que dans [Laf02] nous introduisons les espaces ℓ1 (∆ ) et x,s 1 ℓ1 (∆ ) comme les complétés de C(∆1) et C(∆2) pour les normes ℓ1 pondérées x,s 2 suivantes : f(a)e = f(a) esd(x,a) et a (cid:13)aX∈∆1 (cid:13)ℓ1x,s(∆1) aX∈∆1| | (cid:13) (cid:13) (cid:13) f(a,b)e(cid:13) e = f(a,b) esd(x,a). a b (cid:13){a,b}∈∆2X, b∈géod(x,a) ∧ (cid:13)ℓ1x,s(∆2) {a,b}∈∆2X, b∈géod(x,a)| | (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) On voit que pour tout t [0,1] on a u = 1 + te−s et ∈ k tkL(ℓ1x,s(∆2),ℓ1x,s(∆1)) v = (1 te−s)−1. k tkL(ℓ1x,s(∆1),ℓ1x,s(∆2)) − Rappelons la construction de [Laf02]qui montre que l’image de 1 γ dans − KKban(C,C) est nulle. On note E (∆ ) la C-paire (c (∆ ),ℓ1 (∆ )), où G,sℓ x,s 1 0,x,s 1 x,s 1 c (∆ )est lecomplété deC(∆1) pourlanorme f = sup f(a) e−sd(x,a) 0,x,s 1 k k a∈∆1| | etoùlecrochetentrec (∆ )etℓ1 (∆ )estdonnépar f,f′ = f(a)f′(a). 0,x,s 1 x,s 1 h i a∈∆1 On introduit de la même façon la C-paire E (∆ ). Pour toute C-paire x,s 2 P E = (E<,E>) on note E[0,1] la C-paire (E<[0,1],E>[0,1]) (où E<[0,1] = C([0,1],E<) muni de la norme du sup, et de même pour E>[0,1]). Alors (E (∆ )[0,1] E (∆ )[0,1],(u +v ) )définitunélémentdeEban(C,C[0,1]). x,s 1 ⊕ x,s 2 t t t∈[0,1] G,sℓ D’autre part (E (∆ ) E (∆ ),u + v ) est égal à 1 dans KKban(C,C) x,s 1 ⊕ x,s 2 1 1 G,sℓ grâce au lemme 1.4.2 de [Laf02] et (E (∆ ) E (∆ ),u +v ) est égal à γ x,s 1 x,s 2 0 0 ⊕ dans KKban(C,C) (pour l’homotopie entre ces deux éléments, on garde les G,sℓ opérateurs, on complète C(∆1) pour la norme tk.kEx,s(∆1) + (1 − t)k.kℓ2(∆1), on considère la C-paire formée de cet espace de Banach et du complété de C(∆1) pour la norme duale et on fait de même pour ∆ ). Par conséquent on 2 voit que l’image de 1 γ dans KKban(C,C) est nulle. − G,sℓ Pour montrer que l’image de 1 γ dans KK (C,C) est nulle (avec G,2sℓ+C − C une constante assez grande), la première idée qui vient est de remplacer les normes ℓ1 par des normes ℓ2 pour avoir des espaces de Hilbert. 10