La armonía es numérica Música y matemáticas Javier Arbonés - Pablo Milrud E l m undo es m atem ático La armonía es numérica La armonía es numérica Música y matemáticas Javier Arbonés - Pablo Milrud El mundo es m atemático © 2010 Javier Arbonés y Pablo Milrud por el texto © 2012, RBA Contenidos Editoriales y Audiovisuales, S.A. © 2012, RBA Coleccionables, S.A. Realización: EDITEC Diseño cubierta: Lloren? Martí Créditos fotográficos: Gettyimages, iStockphoto Reservados todos los derechos. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada o transmitida por ningún medio sin permiso del editor ISBN: 978-84-473-6961-4 Depósito legal: NA-1081-2011 Impreso y encuadernado en Rodesa,Villatuerta (Navarra) Impreso en España - Printed ¡n Spain Sumario Prefacio ...................................................................................................................... 8 Capítulo 1. Tensando la cuerda .......................................................................... 11 El mundo griego ...................................................................................................... 11 El sistema musical pitagórico ........................................................................... 12 Afinación absoluta.............................................................................................. 14 Intervalos y afinación relativa ........................................................................... 16 Para afinar un piano.................................................................................................. 20 La escala pitagórica............................................................................................. 20 Haciendo las cuentas .......................................................................................... 22 La coma pitagórica ............................................................................................. 24 Otras afinaciones....................................................................................................... 25 Escala diatónica................................................................................................... 26 Por algún lugar, siempre se complica............................................................... 27 Todos contentos ................................................................................................. 28 Cents..................................................................................................................... 31 Conmensurabilidad ............................................................................................ 32 Capítulo 2. La otra dimensión: el tiempo ....................................................... 37 Agrupamientos rítmicos. Ritmo, pulso, acentos ................................................. 37 De Grecia a las primeras figuras proporcionales .......................................... 38 Perfectum/imperfectum.............................................................................. 40 Percusión: el ritmo puro ................................................................................... 44 Cubriendo el «espacio» sonoro.................................................................. 46 El compás. Métricas. Subdivisiones ....................................................................... 50 El acento y el compás ........................................................................................ 50 Tipos de compás .......................................................................................... 50 Irregularidades ..................................................................................................... 52 Ritmos en estratos ....................................................................................... 54 Amalgamas ..................................................................................................... 54 La velocidad: el metrónomo............................................................................. 55 Irregularidades aisladas ................................................................................ 57 5 SUMARIO La notación moderna.......................................................................................... 59 Sin escala ......................................................................................................... 60 Capítulo 3. La geometría de la composición ................................................. 61 Altura + ritmo: el plano musical............................................................................. 62 Los elementos de la escritura musical ............................................................. 62 El pentagrama ................................................................................................. 62 Las figuras ........................................................................................................ 64 Consignando las alturas................................................................................. 65 Las claves ......................................................................................................... 65 Variando semitonos...................................................................................... 68 La curva melódica................................................................................................ 68 Transformaciones geométrico-musicales.............................................................. 69 Transformaciones isométricas............................................................................ 71 Traslaciones..................................................................................................... 71 Traslación horizontal: repetición y canon ................................................ 72 Traslación vertical: transporte...................................................................... 73 Reflexiones..................................................................................................... 76 Reflexión sobre un eje vertical: retrogradación....................................... 77 Reflexión sobre un eje horizontal: inversión........................................... 78 Rotaciones....................................................................................................... 81 Combinadas.................................................................................................... 83 Traslación horizontal más traslación vertical: el canon a intervalos .... 83 Traslación vertical más reflexión sobre un eje vertical: traslación retrógrada................................................................................. 84 Traslación vertical más reflexión sobre un eje horizontal: transporte invertido................................................................................. 84 Transformaciones escalares................................................................................. 88 Escalar en lo horizontal............................................................................... 89 El Réquiem alemán de Johannes Brahms.................................................... 90 «Puttin’ on the Ritz»..................................................................................... 90 Escalar en lo vertical.................................................................................. 91 Simetrías armónicas ................................................................................................... 92 Acordes simétricos............................................................................................... 92 Escalas simétricas.................................................................................................. 93 La matemática de la forma musical ........................................................................ 95 6 ABCDE............................................................................................................ 96 La Misa en Si menor de Bach......................................................................... 97 El número de oro y la música............................................................................ 99 Capítulo 4. Ondas y bits .................................................................................. 103 La física del sonido .............................................................................................. 103 Tono puro y tono real ................................................................................... 107 Superposición de ondas................................................................................. 109 La función de los armónicos........................................................................ 110 Síntesis de sonido ................................................................................................ 111 Audio digital......................................................................................................... 112 Digitalización ................................................................................................. 113 De vuelta a lo analógico ............................................................................... 114 Compresión ......................................................................................................... 116 Audio «crudo» ............................................................................................... 116 A comprimir................................................................................................... 116 Métodos de compresión ............................................................................... 117 MIDI .................................................................................................................... 118 La orquesta ...................................................................................................... 120 Cuantización................................................................................................... 120 Capítulo 5. Matemática para componer....................................................... 121 Igualitarismo tonal: el dodecafonismo ............................................................... 121 Qué es el dodecafonismo ............................................................................. 122 Series............................................................................................................... 123 Forma numérica y forma matricial ............................................................. 125 Forma circular ................................................................................................ 127 Alban Berg..................................................................................................... 130 Serialismo, control y caos .............................................................................. 131 Música estocástica .......................................................................................... 133 Un juego de dados con Mozart......................................................................... 134 ¿Cuántas obras? .............................................................................................. 135 Copiando a los grandes ....................................................................................... 136 El cumpleaños de Markov............................................................................ 137 El segundo cumpleaños................................................................................. 139 EMI ................................................................................................................ 140 7 SUMARIO Mecanizar................................................................................................................... 140 Inspiración............................................................................................................ 141 Composición algorítmica.................................................................................. 142 Anexo I. Conceptos básicos de escritura y de teoría musical .................. 143 Anexo 11. Una segunda mirada al rol del tiempo en la música .............. 155 Bibliografía................................................................................................................ 157 Indice analítico ........................................................................................................ 158