KVOTIENTGRUPPER (FAKTORGRUPPER) OG HOMOMORFIER IANKIMING 1. Sideklasser Vi gennemg˚ar her de essentielle dele af stoffet fra afsnit 3.1 i [1] i koncentreret form. Mht. motivation etc. henviser vi til indledningen af 3.1 i bogen og forelæs- ningerne. Tilsvarendeservip˚aillustrerendeeksemplervedforelæsningerogøvelser. I resten af noterne betegner G en fast, givet gruppe. Definition 1. Lad H ≤ G. For g ∈ G defineres venstre- hhv. højresideklassen af H i G: gH :={gh| h∈H} hhv. Hg :={hg | h∈H}. Ethvert element i sideklassen gH kaldes en repræsentant for sideklassen. I.e., en repræsentant for sideklassen gH er et element af form gh hvor h∈H. Bemærk, at h H = H, n˚ar h ∈ H: Det følger, da elementerne h h præcist 1 1 1 gennemløberH, n˚arhgennemløberH (benyt, atH erenundergruppeforatindse dette). Vi arbejdernedenfor mest med venstresideklasser, menfor alle relevante udsagn om disse har man oplagte analogier for højresideklasser. Proposition 1. Lad H ≤G. For u,v ∈G haves uH =vH hvis og kun hvis v−1u∈H hvis og kun hvis u og v begge er repæsentanter for samme venstresideklasse. Mængden af venstresideklasser i G udgør en partition af G, dvs. (cid:91) G= gH g∈G og for vilk˚arlige u,v ∈G gælder enten uH ∩vH =∅ eller uH =vH. Bevis. Lad u,v ∈G. Hvis uH =vH, har vi v ∈vH =uH, og alts˚a har v form uh for et h∈H. Det følger, at v−1u=h−1u−1u=h−1 ∈H. Hvis v−1u = h ∈ H, f˚as u = vh ∈ vH, s˚a u og v er begge repræsentanter for samme venstresideklasse vH. Hvis u og v er repæsentanter for samme venstresideklasse, lad os sige wH, har u og v form u=wh og v =wh for visse h ,h ∈H. Det følger, at 1 2 1 2 uH =wh H =wH 1 idet h H =H, da h ∈H. Tilsvarende f˚as vH =wH. Alts˚a er uH =vH. 1 1 Hermed er første del af propositionen bevist. 1 2 IANKIMING (cid:83) Det er klart, at vi har G = gH simpelthen, fordi g ∈ gH for ethvert g∈G g ∈ G. (Eller sagt p˚a en anden m˚ade: Ethvert element g ∈ G ligger i mindst een venstresideklasse af H, nemlig i gH). Lad nu u,v ∈G og antag, at uH∩vH (cid:54)=∅. Lad x∈uH∩vH. Vi kan da skrive x=uh og x=vh for visse h ,h ∈H. Alts˚a er uh =vh hvormed 1 2 1 2 1 2 v−1u=h h−1 ∈H. 2 1 Af første del af propositionen følger nu, at uH =vH. (cid:3) 2. Normale undergrupper Definition 2. En undergruppe N af G kaldes normal, og vi skriver N(cid:69)G, hvis vi for alle g ∈G har, at gNg−1 :={gng−1 | n∈N}=N. Bemærkning. Afdefinitionenfølgerumiddelbart,athvisGerabelsk, s˚aerenhver undergruppe i G normal. Proposition 2. Lad N ≤G. Da er følgende betingelser ækvivalente. (1) N (cid:69)G. (2) N (N)=G, i.e., normalisatoren N (N) af N i G er hele G. G G (3) gN =Ng for alle g ∈G. (4) gNg−1 ⊆N for alle g ∈G. Bevis. At (1)⇔(2) er en umiddelbar konsekvens af definitionen af N (N): G N (N):={g ∈G| gNg−1 =N}. G Vi viser nu (1)⇒(3)⇒(4)⇒(1). Antag, at N(cid:69)G og lad x∈gN. S˚a har x form x=gn for et n∈N. Da N(cid:69)G, ved vi, at n := gng−1 ∈ N. S˚a er x = gn = n g ∈ Ng. Vi har set, at gN ⊆ Ng. 1 1 Den omvendte inklusion indses p˚a tilsvarende vis, s˚a vi har, at gN =Ng. Antag da, at gN = Ng for alle g ∈ G. Lad g ∈ G og lad x ∈ gNg−1. Skriv x=gng−1 for et n∈N. Da er xg =gn∈gN =Ng, s˚a vi kan skrive xg =n g 1 for et vist n ∈N. Men s˚a er x=n ∈N. Vi har vist, at gNg−1 ⊆N. 1 1 Antag endelig, at gNg−1 ⊆ N for alle g ∈ G. Betragt et fast g ∈ G. Vi har da gNg−1 ⊆ N. Men da g−1 ∈ G og (g−1)−1 = g, har vi ogs˚a g−1Ng ⊆ N. Det følger, at g(cid:0)g−1Ng(cid:1)g−1 ⊆gNg−1 ⊆N. Idet det er klart, at g(cid:0)g−1Ng(cid:1)g−1 = gg−1Ngg−1 = N, indser vi, at gNg−1 = N. (cid:3) 3. Kvotientgrupper Sætning 1. Lad N(cid:69)G og betragt mængden af venstresideklasser af N i G. Denne mængde betegner vi G/N (læses: “G modulo N”). P˚a G/N giver fastsættelsen uN ·vN :=(uv)N for u,v ∈ G en veldefineret komposition, og G/N er en gruppe med denne kompo- sition. Det neutrale element i G/N er sideklassen N, og det inverse element til en sideklasse gN er sideklassen g−1N. KVOTIENTGRUPPER (FAKTORGRUPPER) OG HOMOMORFIER 3 G/N med denne komposition kaldes kvotientgruppen eller faktorgruppen af G modulo N. Bevis. Lad os først vise, at kompositionen er veldefineret. Med andre ord skal vi vise, at s˚afremt u,u ,v,v ∈G med 1 1 uN =u N, vN =v N 1 1 da vil uvN =u v N. 1 1 Fra Proposition 1 ved vi, at uN = u N betyder u−1u ∈ N. Skriv da u−1u = 1 1 1 n∈N. Tilsvarende har vi v−1v =n ∈N. Da f˚as: 1 1 (u v )−1uv =v−1u−1uv =v−1nv. 1 1 1 1 1 Da N er normal i G, har vi v−1nv ∈ v−1Nv = N, s˚a vi kan skrive v−1nv = 1 1 1 1 1 1 n ∈N og f˚ar da: 2 (u v )−1uv =v−1nv =v−1nv v−1v =n v−1v =n n ∈N. 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 Af Proposition 1 konkluderer vi nu, at uvN =u v N. 1 1 Det er klart, at den herved definerede komposition p˚a G/N er associativ: Det følger af associativiteten af kompositionen i G. Da sideklassen N jo er 1·N, er det ligeledes klart, at N er neutralt element for kompositionen i G/N. Givet dette ser vi, at g−1N er invers til gN for vilk˚arligt g ∈G. (cid:3) Bemærkning. Mankunneogs˚ahavedefineretG/N sommængdenafhøjresideklasser Ng med kompositionen Nu·Nv :=N(uv). Pgra. Proposition 2 ville det have givet den samme gruppe G/N som ovenfor defineret. Hvisdeterunderforst˚aethvadN er,skrivermanofteg¯forelementetgN iG/N. 4. Homomorfier Sætning 2. Lad G og H være grupper og lad φ: G→H være en homomorfi. Da er mængden kerφ:={g ∈G| φ(g)=1} en normal undergruppe i G. Denne kaldes for kernen af φ. Bevis. Umiddelbart udfra definitionen af kerφ følger, at 1 ∈ kerφ, og at kerφ er stabil under komposition og inversdannelse. Alts˚a er kerφ en undergruppe i G. Givet Proposition 2 er det derfor nok at vise, at gkg−1 ∈kerφ, n˚ar k ∈kerφ og g ∈G. Men da k ∈kerφ, har vi φ(k)=1 og dermed: φ(gkg−1)=φ(g)φ(k)φ(g)−1 =φ(g)φ(g)−1 =1, hvorfor gkg−1 ∈kerφ. (cid:3) Proposition 3. Lad G og H være grupper og lad φ: G→H være en homomorfi. Da er φ injektiv hvis og kun hvis kerφ={1}. 4 IANKIMING Bevis. Antag, at φ er injektiv og lad k ∈ kerφ. Da er φ(k) = 1 = φ(1). Da φ er injektiv, følger k =1. Vi har vist, at kerφ={1}. Antag omvendt, at kerφ={1} og lad u,v ∈G med φ(u)=φ(v). Da er 1=φ(u)φ(v)−1 =φ(uv−1), alts˚a uv−1 ∈ kerφ = {1}, alts˚a uv−1 = 1, alts˚a u = v. Vi har vist, at φ er injektiv. (cid:3) Sætning 3. Lad G og H være grupper og lad φ: G→H være en homomorfi. Da giver φ anledning til en veldefineret homomorfi φ¯: G/kerφ→H givet ved: φ¯(g(kerφ)):=φ(g). Homomorfien φ¯ er en isomorfi af G/kerφ p˚a Imφ (billedet af φ). Specielt har vi alts˚a G/kerφ∼=Imφ. Bevis. Lad os først indse, at φ¯ er veldefineret. Sæt N := kerφ. Vi skal vise, at hvis uN =vN, da er φ(u)=φ(v). Men uN =vN betyder ifølge Proposition 1, at v−1u∈N =kerφ, og derfor er: 1=φ(v−1u)=φ(v)−1φ(u), og vi f˚ar φ(u)=φ(v). Udfra definitionen af kompositionen i G/N og definitionen af φ¯ er det klart, at φ¯er en homomorfi: For u,v ∈G har vi: φ¯(uN ·vN)=φ¯(uvN)=φ(uv)=φ(u)φ(v)=φ¯(uN)φ¯(vN). Lad os betragte kernen af φ¯. At gN ∈ kerφ¯ betyder, at φ(g) = 1 alts˚a, at g ∈ kerφ = N alts˚a, at g(kerφ) = kerφ er det neutrale element i G/kerφ. Med andre ord: φ¯har triviel kerne. Ifølge Proposition 3 betyder dette, at φ¯er injektiv. Nu kan vi selvfølgelig opfatte φ¯som en homomorfi G/kerφ→Imφ. Som s˚adan er φ¯naturligvis stadig injektiv. Den den klart ogs˚a er surjektiv p˚a Imφ, er den en isomorfi G/kerφ∼=Imφ. (cid:3) 5. Normale undergrupper og kerner Sætning 4. Lad N (cid:69)G. Da er afbildningen π : G→G/N givet ved π(g):=gN en surjektiv homomorfi med kerne N. Denne kaldes den kanoniske homomorfi af G p˚a G/N (bog: “Natural projec- tion”). Bevis. Det er klart, at π er en surjektiv afbildning. Definitionen af kompositionen i G/N viser ogs˚a umiddelbart, at π er en homomorfi. Da N = 1·N er neutralelement i G/N, ser vi, at et element g ∈ G er i kernen forπ,netophvisgN =N. IfølgeProposition1erdetteækvivalentmedg ∈N. (cid:3) Sætning 5. En undergruppe N i G er normal hvis og kun hvis N er kerne for en (eller anden) homomorfi af G ind i en gruppe. KVOTIENTGRUPPER (FAKTORGRUPPER) OG HOMOMORFIER 5 Bevis. Hvis N er kerne for en homomorfi, følger det af Sætning 2, at N er normal. Hvis p˚a den anden side N er normal, siger Sætning 4, at N er kerne for den kanoniske homomorfi π : G→G/N. (cid:3) References [1] D.S.Dummit,R.M.Foote: ‘Abstractalgebra’,thirdedition,Wiley2004. Department of Mathematics, University of Copenhagen, Universitetsparken 5, DK- 2100 Copenhagen Ø, Denmark. E-mail address: [email protected]