Kort om linj(cid:228)r algebra Lars Svensson och Oscar Mickelin 24 juli 2014 Inneh(cid:229)ll 1 F(cid:246)rord 1 2 Grundl(cid:228)ggande de(cid:28)nitioner 2 2.1 Bin(cid:228)ra kompositioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Moduler (cid:246)ver ringar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Strukturebevarande avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.4 Strukturella delm(cid:228)ngder av algebror . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.5 K(cid:228)rnor och bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.6 N(cid:229)gra exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.7 Metriska rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.8 Normerade rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.9 Inreproduktrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Vektorrum och linj(cid:228)ra avbildningar 11 3.1 Linj(cid:228)rt beroende och oberoende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.1 Bas f(cid:246)r vektorrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Linj(cid:228)ra avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2.1 Koordinatavbildingar med avseende p(cid:229) en bas. . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2.2 Matrisrepresentationen av en avbildning relativt baser . . . . . . . . . . . 13 3.2.3 Projektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Multilinj(cid:228)ra avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 Alternerande avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4.1 Alternerande multilinj(cid:228)ra avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4.2 Cramers regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.5 Adjugatet till en matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.6 Determinanten f(cid:246)r en linj(cid:228)r avbildning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.7 Egenv(cid:228)rden och egenvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.7.1 N(cid:229)gra beteckningar och konventioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.7.2 Invarianta delrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.7.3 Triangulering av avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.7.4 Diagonalisering av avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.8 Annihilerande polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.9 Reducerade polynomet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.10 Struktursatsen f(cid:246)r (cid:228)ndligt genererade moduler (cid:246)ver Euklidiska ringar . . . . . . . 25 3.10.1 V(cid:228)lgrundade relationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.11 Strukturen hos linj(cid:228)ra avbildningar p(cid:229) (cid:228)ndligtdimensionella vektorrum . . . . . . 26 3.12 Adjungerad avbildning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 3.12.1 Dualitetsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.13 Normala, Hermitiska och unit(cid:228)ra avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.13.1 Spektralsatsen f(cid:246)r normala avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.13.2 Singul(cid:228)rv(cid:228)rdesdekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Kvadratiska former 32 4.1 Kvadratiska former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 Kanonisk bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2.1 Existens av kanonisk bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2.2 Sylvesters tr(cid:246)ghetssats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Matrisrepresentation av kvadratiska former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5 Diverse 36 5.1 Algebrans fundamentalsats av Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kapitel 1 F(cid:246)rord Detta kompendium inneh(cid:229)ller en bearbetning av f(cid:246)rel(cid:228)sningsanteckningar som givits i samband medkurseniutvidgadlinj(cid:228)ralgebravidKTH.Det(cid:228)rt(cid:228)nktattfungerasomettsj(cid:228)lvst(cid:228)ndigt,rig- or(cid:246)stochkompaktkomplementtilldentypiskakurslitteratureninomlinj(cid:228)ralgebraochinneh(cid:229)ller dessutom n(cid:229)gra ytterligare de(cid:28)nitioner inom algebra och sm(cid:229)tt och gott inom andra grenar av matematiken. Tanken (cid:228)r (cid:228)ven att det skall kunna anv(cid:228)ndas som n(cid:229)got av ett uppslagsverk un- der de f(cid:246)rsta (cid:229)ren p(cid:229) KTH d(cid:229) det inneh(cid:229)ller ett (cid:29)ertal nyttiga de(cid:28)nitioner och satser. Dock (cid:228)r det fortfarande under uppbyggnad och rapporter om eventuella tryckfel mottages tacksamt till [email protected]. 1 Kapitel 2 Grundl(cid:228)ggande de(cid:28)nitioner Dettakapitelinledsmedde(cid:28)nitioneravdebegreppsomkommerattanv(cid:228)ndasf(cid:246)rbeviseniresten av kompendiet. Sedan f(cid:246)ljer en rad exempel f(cid:246)r att (cid:229)sk(cid:229)dligg(cid:246)ra dessa. 2.1 Bin(cid:228)ra kompositioner L(cid:229)t M vara en m(cid:228)ngd. En avbildning ∗ M ×M →M (2.1) (x,y)(cid:55)→x∗y (2.2) kallas en bin(cid:228)r komposition eller en bin(cid:228)r operation. ∗ (cid:228)r kommutativ om x∗y =y∗x f(cid:246)r alla x och y i M. ∗ (cid:228)r associativ om x∗(y∗z)=(x∗y)∗z f(cid:246)r alla x,y och z i M. De(cid:28)nition 1 (Distributivitet). L(cid:229)t ∗ och (cid:3) vara tv(cid:229) bin(cid:228)ra kompositioner p(cid:229) M. Vi s(cid:228)ger d(cid:229) att ∗ (cid:228)r distributiv (cid:246)ver (cid:3) om x∗(y(cid:3)z)=(x∗y)(cid:3)(x∗z) (2.3) (y(cid:3)z)∗x=(y∗x)(cid:3)(z∗x). (2.4) Anm(cid:228)rkning 1. Den f(cid:246)rsta likheten kallas v(cid:228)nsterdistributivitet och den andra h(cid:246)gerdistribu- tivitet. De(cid:28)nition 2 (Enhet). Ett element e∈M kallas enhet eller identitet f(cid:246)r ∗ om x∗e=e∗x=x ∀x∈M. Observation 1. Om e och e(cid:48) (cid:228)r enheter s(cid:229) (cid:228)r e=e(cid:48), d(cid:229) e∗e(cid:48) =e=e(cid:48). 2 3 Linj(cid:228)r Algebra De(cid:28)nition 3 (Inverser). Omx∗y =es(cid:229)kallasxv(cid:228)nsterinverstilly ochy h(cid:246)gerinversf(cid:246)rx.Omx∗y =y∗x=e s(cid:229) kallas y invers till x och betecknas vanligen x−1. Observation 2. Om y (cid:228)r v(cid:228)nsterinvers och z (cid:228)r h(cid:246)gerinvers till x och om ∗ (cid:228)r associativ, s(cid:229) (cid:228)r y = z = x−1 inversen till x, ty (y∗x)∗z = y∗(x∗z) ⇒ e∗z = y∗e ⇒ z = y. Vi f(cid:229)r som slutsats att om x har invers s(cid:229) (cid:228)r denna unik. Med hj(cid:228)lp av dessa enkla begrepp kan ett antal matematiska strukturer de(cid:28)nieras. De(cid:28)nition 4 (Monoid). En monoiod (cid:228)r en m(cid:228)ngd med associativ bin(cid:228)r komposition med enhet. De(cid:28)nition 5 (Grupp). En grupp (cid:228)r en monoid d(cid:228)r varje element har invers. Anm(cid:228)rkning 2. Axiomen f(cid:246)r en grupp (cid:228)r precis de som kr(cid:228)vs f(cid:246)r att garantera att ekvationer av typen ax=b har en entydig l(cid:246)sning x f(cid:246)r givna element a,b i gruppen. De(cid:28)nition 6 (Abelsk grupp). En abelsk grupp (cid:228)r en grupp med kommutativ bin(cid:228)r komposition. Anm(cid:228)rkning 3. F(cid:246)r abelska grupper (cid:228)r det vanligast att kompositionen betecknas + och kallas (cid:16)addition(cid:17). Enheten betecknas 0 och kallas (cid:16)nolla(cid:17). Inversen till x betecknas −x. De(cid:28)nition 7 (Ring). En ring (cid:228)r en m(cid:228)ngd R med tv(cid:229) associativa bin(cid:228)ra kompositioner kallade addition (+) ochmultiplikation(·),s(cid:229)danattmultiplikationen(cid:228)rdistributiv(cid:246)veradditionenochd(cid:228)r (R,+) (cid:228)r en abelsk grupp. Vanligen har ringen en (cid:16)etta(cid:17), dvs ett element betecknat 1 som (cid:228)r enhet vid multiplikation. De(cid:28)nition 8 (Kommutativ ring). En kommutativ ring (cid:228)r en ring d(cid:228)r multiplikation (cid:228)r kommutativ. Lars Svensson, Oscar Mickelin 4 De(cid:28)nition 9 (Skevkropp). En skevkropp K (cid:228)r en ring d(cid:228)r varje nollskilt element har multiplikativ invers och med K (cid:54)={0}. De(cid:28)nition 10 (Kropp). En kropp (cid:228)r en kommutativ skevkropp. 2.2 Moduler (cid:246)ver ringar L(cid:229)t M vara en Abelsk grupp med operationen +, och R en ring. Vi betecknar nollan i R med 0 och nollan i M med 0. Antag att vi har en avbildning R×M →M (2.5) (r,x)(cid:55)→r·x (2.6) s(cid:229)dan att (i) 0·x=0 och 1·x=x, ∀x∈M (ii) r·(x+y)=r·x+r·y, ∀r ∈R, ∀x,y ∈M (iii) (r+s)·x=r·x+s·x, ∀s,r ∈R, ∀x∈M (iv) r·(s·x)=(rs)·x, ∀s,r ∈R, ∀x∈M D(cid:229) kallas M en R-modul. Om R (cid:228)r en kropp K s(cid:229) kallas modulen M f(cid:246)r ett vektorrum (cid:246)ver kroppen K. Anm(cid:228)rkning 4. Vi kommer i forts(cid:228)ttningen anv(cid:228)nda den vanliga konventionen f(cid:246)r parenteser r·x+s·y =(r·x)+(s·y). Oftast skriver vi rx ist(cid:228)llet f(cid:246)r r·x och betecknar nollan i b(cid:229)de R och M med 0. 2.3 Strukturebevarande avbildningar En avbildning ϕ:M →M(cid:48) mellan tv(cid:229) monoider som ∀x,y ∈M uppfyller ϕ(x∗y)=ϕ(x)∗(cid:48)ϕ(y) (2.7) ϕ(e)=e(cid:48) (2.8) kallas en monoidmor(cid:28)sm. En avbildning θ :G→G(cid:48) mellan tv(cid:229) grupper som ∀x,y ∈G uppfyller θ(x∗y)=θ(x)∗(cid:48)θ(y) (2.9) θ(e)=e(cid:48) (2.10) θ(x−1)=θ(x)−1 (2.11) 5 Linj(cid:228)r Algebra kallas en grupphomomor(cid:28)sm. En avbildning ρ:R→R(cid:48) mellan tv(cid:229) ringar s(cid:229)dan att ∀x,y ∈R ρ(x+y)=ρ(x)+(cid:48)ρ(y) (2.12) ρ(0)=0(cid:48) (2.13) ρ(x·y)=ρ(x)·(cid:48)ρ(y) (2.14) ρ(1)=1(cid:48) (om ettan existerar) (2.15) kallas en ringhomomor(cid:28)sm. En avbildning T :M →M(cid:48) mellan tv(cid:229) R-moduler s(cid:229)dan att ∀x,y ∈M, ∀r ∈R T(x+y)=T(x)+(cid:48)T(y) (2.16) T(r·x)=r·T(x) (2.17) kallas en modulhomomor(cid:28)sm eller en linj(cid:228)r avbildning. 2.4 Strukturella delm(cid:228)ngder av algebror EndelmonoidAavenmonoidM (cid:228)rendelm(cid:228)ngdA⊆M s(cid:229)danatt∀x,y ∈As(cid:229)g(cid:228)llerattx∗y ∈A oche∈A.Endelgrupp H avengruppG(cid:228)rendelm(cid:228)ngdH ⊆Gs(cid:229)danatt∀x,y ∈H : x−1 ∈H och x∗y ∈H. Det (cid:28)nns ocks(cid:229) en speciellt (cid:16)(cid:28)n(cid:17) typ av delgrupper N ⊆G, kallade normala, som uppfyller kravet att ∀x∈N ∀y ∈G: y−1∗x∗y ∈N. Ett ideal J i en ring R (cid:228)r en delm(cid:228)ngd J ⊆R s(cid:229)dan att 0∈J och (i) ∀x,y ∈J x+y ∈J (ii) ∀x∈J ∀z ∈R zx∈J, (v(cid:228)nsterideal) (iii) ∀x∈J ∀z ∈R xz ∈J, (h(cid:246)gerideal) En delmodul L av en R-modul M (cid:228)r en delm(cid:228)ngd L⊆M s(cid:229)dan att (i) ∀x,y ∈L x+y ∈L (ii) ∀x∈L ∀r ∈R rx∈L Ett delrum W till ett K-vektorrum V (cid:228)r en delm(cid:228)ngd som (cid:228)r en delmodul av K-modulen V (ett vektorrum (cid:246)ver K (cid:228)r ju ocks(cid:229) en K-modul). 2.5 K(cid:228)rnor och bilder Om ϕ:M →M(cid:48) (cid:228)r en monoidmor(cid:28)sm s(cid:229) de(cid:28)nieras k(cid:228)rnan av ϕ av ker(ϕ)={x∈M :ϕ(x)=e(cid:48)}. (2.18) Bilden Im(ϕ) de(cid:28)nieras, som f(cid:246)r funktioner i allm(cid:228)nhet, av Im(ϕ)={y ∈M(cid:48) :∃x∈M ϕ(x)=y}={ϕ(x):x∈M}=ϕ(M). (2.19) K(cid:228)rna och bild f(cid:246)r grupp-, ring- och modulhomomor(cid:28)smer de(cid:28)nieras p(cid:229) samma s(cid:228)tt och (cid:228)r delgrupper av dom(cid:228)n respektive codom(cid:228)n av mor(cid:28)smen, d(cid:228)r dom(cid:228)nen av en avbildning f :A→ B (cid:228)r A och codom(cid:228)nen (cid:228)r B. Dom(cid:228)nen betecknas ibland med dom(f). Lars Svensson, Oscar Mickelin 6 (cid:214)vning 1. L(cid:229)t ϕ : M → M(cid:48) vara en monoidmor(cid:28)sm. Veri(cid:28)era att ker(ϕ) och Im(ϕ) (cid:228)r del- monoider. (cid:214)vning 2. L(cid:229)t θ :R→R(cid:48) vara en ringhomomor(cid:28)sm. (i) Visa att ker(θ) (cid:228)r ett ideal i dom(θ). (ii) Ge exempel som visar att Im(θ) inte alltid (cid:228)r ideal i R(cid:48). (cid:214)vning 3. L(cid:229)tF :M →M(cid:48) varaenmodulhomomor(cid:28)sm.Visaattker(F)ochIm(F)(cid:228)rdelmod- uler av M respektive M(cid:48). 2.6 N(cid:229)gra exempel Exempel 1. L(cid:229)tAvaraenm(cid:228)ngd.ViuppfattarAsomenm(cid:228)ngdavteckenellersymbolerellerbok- st(cid:228)ver.Detvills(cid:228)gaattvitolkarAsomettsortsalfabet.L(cid:229)tnuList(A)varam(cid:228)ngden av alla (cid:228)ndliga ordnade listor av element ur A. Vi inkluderar ovan den tomma listan som vi betecknar med (inget alls), dvs om a ,a ,a ,... (cid:228)r i A s(cid:229) (cid:228)r a a a a a 1 2 3 2 1 1 3 2 en 5−lista, a en 1−lista och det tomma ordet en 0−lista. 2 Om L ={n-listor i L} och List(A)=L, s(cid:229) har vi att n L=L0∪L1∪L2∪...=∪n∈NLn (2.20) Vi ska nu g(cid:246)ra L till en monoid genom att de(cid:28)niera ∗ genom konkatenation av listor. L(cid:229)tx∈L,y ∈L,x=x x ...x ochy =y y ...y d(cid:228)rn,m∈N\{0}, x ∈A,y ∈A 1 2 n 1 2 m i i s(cid:229) s(cid:228)tter vi x∗y =x x ...x y ...y (2.21) 1 2 n 1 m Dettommaordet(ellerlistan)(cid:228)ridentitetellerenhet.Uppenbarligen(cid:228)r∗enassociativ bin(cid:228)rkompositionp(cid:229)L,ochLblird(cid:228)rvidenmonoid.Denkallasden fria monoiden p(cid:229) A. Detta (cid:228)r den mest naturliga monoiden. Exempel 2. De naturliga talen N={0,1,2,...} (cid:228)r en kommutativ monoid under addition. Exempel 3. M(cid:228)ngden av icke-negativa funktioner fr(cid:229)n en m(cid:228)ngd X (cid:228)r en monoid under punktvis addition, dvs med f :X →[0,∞) och g :X →[0,∞) s(cid:229) de(cid:28)nieras f +g :X →[0,∞) genom (f +g)(x)=f(x)+g(x). (2.22) De heltalsv(cid:228)rda funktionerna fr(cid:229)n X (cid:228)r en delmonoid. 7 Linj(cid:228)r Algebra Exempel 4. Zn (cid:228)r en Abelsk grupp under addition. Exempel 5. M(cid:228)ngden av bijektioner S(X) fr(cid:229)n X till X (cid:228)r en grupp under sammans(cid:228)ttning, dvs om f och g (cid:228)r bijektiva X → X s(cid:229) (cid:228)r f ◦ g bijektiv X → X. Enheten i S(X) (cid:228)r identitetsavbildningen id :X →X. X Exempel 6. Z (cid:228)r en kommutativ ring under vanlig addition och multiplikation. Exempel 7. Om R (cid:228)r en ring s(cid:229) (cid:228)r R[t], m(cid:228)ngden av polynom i den formella variabeln t med koe(cid:30)cienter i R, en ring som (cid:228)r kommutativ om R (cid:228)r kommutativ. Exempel 8. Mat (R), m(cid:228)ngden av matriser av format n×n med element i ringen R, (cid:228)r en ring n under addition och matrismultiplikation. Exempel 9. M(cid:228)ngden av kontinuerliga funktioner Rn → R (cid:228)r en ring med punktvis der(cid:28)nierad addition och multiplikation. (cid:214)vning 4. Beskriv hur Zn kan tolkas som en Z−modul och visa sedan p(cid:229) samma s(cid:228)tt att varje Abelsk grupp G kan tolkas som en Z−modul. (cid:214)vning 5. Hitta p(cid:229) (cid:29)er exempel. 2.7 Metriska rum L(cid:229)t M vara en godtycklig m(cid:228)ngd. En avbildning M ×M →d [0,∞)⊆R (2.23) kallas en metrik p(cid:229) M om