Kohomologie von Spechtmoduln von Christian Weber Diplomarbeit in Mathematik vorgelegt der Fakult¨at fu¨r Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften der Rheinisch-Westf¨alischen Technischen Hochschule Aachen Dezember 2006 Angefertigt am Lehrstuhl D fu¨r Mathematik bei Professor Dr. G. Hiß 2 Inhaltsverzeichnis Vorwort 5 1 Grundlagen 7 1.1 Darstellungen von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Spechtmoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Endlich pr¨asentierte Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4 Kohomologie von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5 Das Zassenhaus-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 Die Bestimmung von H2(S ,Sλ) 47 n Z 2.1 Zassenhaus-Matrizen zu Sλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Z 2.2 Invariantenteiler von Zassenhaus-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3 Primteiler von |H2(S ,Sλ)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 n Z A GAP-Routinen 63 A.1 Zur Berechnung von A (G ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 λ n A.2 Zur Berechnung von A (H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 λ n A.3 Zur Berechnung der Invariantenteiler von A (P) . . . . . . . . . . . . 66 λ B GAP-Ergebnisse 69 B.1 Isomorphietypen von H2(S ,Sλ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 n Z B.2 Graphen der Form D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 p C Der Beweis von Lemma 2.2.4 79 3 4 INHALTSVERZEICHNIS Vorwort Wer das Unm¨ogliche m¨oglich macht, sollte dennoch das Wahrscheinliche nicht ganz aus dem Auge verlieren. Ulrich Roski Die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppen ist eine der sch¨onsten, beliebtesten und wichtigsten Bereiche der Algebra, mit vielen tiefen Beziehungen zu anderen Gebieten der Mathematik wie Kombinatorik, Lie-Theorie und algebraischer Geometrie. In der vor- liegendenArbeitwirdeinBogenzurKohomologiegeschlagen.Genauergesagtuntersuchen wir die Isomorphietypen der zweiten Kohomologiegruppen von symmetrischen Gruppen mit Werten in Spechtmoduln u¨ber den ganzen Zahlen. Zur Motivation dieser Fragestellung betrachten wir zun¨achst eine Vermutung von Szczepan´ski, die lautet: Fu¨r jede endliche Gruppe G existiert eine Bieberbachgruppe mit Holonomiegruppe G und einer Q-vielfachheitsfreien Holonomiedarstellung (siehe [Sz03]). Im Vokabular der Erweiterungstheorie bedeutet das: Fu¨r jede endliche Gruppe G existiert ein k ∈ N und eine torsionsfreie Erweiterung Γ von Zk mit G, so dass die durch Γ bewirkte Darstellung von G auf Zk vielfachheitsfrei u¨ber Q ist. Solange dieses Problem nicht in dieser Allgemeinheit gel¨ost ist, kann man sich fragen, ob die Vermutung fu¨r bestimmte Gruppen zutrifft, beispielsweise fu¨r symmetrische Gruppen. UmkeinefalschenErwartungenzuwecken:DievorliegendeArbeitbeantwortetdieseFrage nicht. Aber ihr Thema erw¨achst aus diesem Kontext. Wenn wir n¨amlich die zu einer Erweiterung geh¨orige Operation von S auf Zk zu einer n Operation auf Qk fortsetzen, dann wird Qk mit dem Satz von Maschke zu einem halbein- fachen QS -Modul und ist damit eine direkte Summe aus Spechtmoduln. Spechtmoduln n u¨ber Q erh¨alt man durch Konstantenerweiterung von Spechtmoduln u¨ber Z mit Q. Da- her bewirkt eine direkte Summe aus Spechtmoduln Sλ mit λ (cid:96) n u¨ber Z, in der jeder Spechtmodul nur einmal auftaucht, eine Q-vielfachheitsfreie Darstellung von S auf dieser n direkten Summe. AufBasisdieserU¨berlegungenliegtesnahe,ErweiterungenvonSpechtmodulnu¨berZmit den zugeh¨origen symmetrischen Gruppen zu untersuchen. Deren A¨quivalenzklassen wer- den gem¨aß dem Hauptsatz der Erweiterungstheorie klassifiziert durch die Elemente der zweiten Kohomologiegruppen von S mit Werten im jeweiligen Spechtmodul. Und eben n mit deren Bestimmung befasst sich die vorliegende Arbeit. 5 6 VORWORT Das erste Kapitel beleuchtet den ben¨otigten mathematischen Hintergrund. Wir beginnen mit einem Abschnitt u¨ber verschiedene Grundbegriffe und grundlegende Aussagen aus der Darstellungstheorie von Gruppen, um dann im zweiten Abschnitt speziell die Darstel- lungstheorie von symmetrischen Gruppen ins Auge zu fassen. Hier werden Konstruktion und Eigenschaften von Spechtmoduln erl¨autert. Zentraler Punkt hierbei ist eine Version der Branching Rules fu¨r Spechtmoduln u¨ber beliebigen Integrit¨atsbereichen. Es folgt in Vorbereitung auf den Begriff der Fox-Derivationen und das Zassenhaus-Verfah- ren ein kurzer Abschnitt u¨ber endlich pr¨asentierte Gruppen. Der vierte Abschnitt liefert Grundlagen aus der homologischen Algebra und erkl¨art die Interpretation von ersten und zweiten Kohomologiegruppen als Faktorgruppen von Derivationen beziehungsweise Fak- torensystemen. Und schließlich stellt der letzte Abschnitt des ersten Kapitels das eben erw¨ahnte Verfahren nach Zassenhaus vor, das die Berechnung von Kohomologiegruppen der Form H1(G,Qk/Zk) erm¨oglicht. Daszweite Kapitelerl¨autertzun¨achstdieGAP-ImplementierungderBestimmungdes Iso- morphietypsvonH2(S ,Sλ)unterVerwendungdesZassenhaus-Verfahrens.Hierbeikonnte n Z ichaufbauenaufdieDiplomarbeitvonDr.ReinhardWaldmu¨ller(siehe[Wa02]).Erhatdas Zassenhaus-Verfahrenfu¨rbeliebigeGruppenmitbeliebigenPr¨asentationenprogrammiert. IndervorliegendenSituationl¨asstsichdieBerechnungallerdingswesentlichbeschleunigen durch den Umstand, dass wir hier auschließlich symmetrische Gruppen betrachten und so zus¨atzliche Informationen mit verarbeiten k¨onnen. Auf der Basis der so erhaltenen Ergebnisse werden dann einige theoretische Aussagen u¨ber die gesuchten Kohomologiegruppen hergeleitet. Daru¨ber hinaus gibt eine Beobach- tung der berechneten Daten Anlass zu diversen Vermutungen, deren Beweis mir bis dato leider nicht gelungen ist. Auf eine Vorstellung dieser Vermutungen m¨ochte ich dennoch nicht verzichten. Mein Dank gilt in erster Linie Herrn Professor Hiß, der mir dieses reizvolle Thema zur Be- arbeitunganbotunddessenwertvolleHinweisemeineU¨berlegungenimmerwiederaufden rechtenPfadzuru¨cklenkten.Insbesonderedankeichihmfu¨rdieentscheidendenRatschl¨age fu¨r den Beweis von Lemma (2.3.1). Ich danke weiterhin allen Mitarbeitern des Lehrstuhls D, die mit hilfreichen Anregun- gen zum Gelingen dieser Diplomarbeit beitrugen. Besonders wichtig war fu¨r mich der Literaturhinweis von Dr. Matthias Ku¨nzer auf Kapitel 17 von [Ja78] fu¨r den Beweis der verallgemeinerten Branching Rule (1.2.31 (b)). Und nicht zuletzt m¨ochte ich Dr. Frank Lu¨beck nennen, der jederzeit ein offenes Ohr fu¨r meine Fragen und Probleme hatte und dessen Kenntnisse in GAP mir von unsch¨atzbarem Wert waren. Kapitel 1 Grundlagen Wir verwenden folgende notationelle Konventionen: • Die Menge der positiven ganzen Zahlen wird mit N bezeichnet, und es ist N := 0 N∪{0}. • DiesymmetrischeGruppeaufeinerendlichenMengeX wirdmitS bezeichnet.Fu¨r X Y ⊆ X identifizieren wir S mit dem Stabilisator von Y in X. Y Die symmetrische Gruppe auf n Punkten wird mit S := S fu¨r n ∈ N und X := n X {1,...,n} bezeichnet. Dementsprechend fassen wir S als Untergruppe von S auf. n n+1 • Abbildungen und Gruppenoperationen werden von links geschrieben, sofern nichts anderes gefordert wird. Moduln sind damit bis auf wenige gekennzeichnete Ausnah- men immer Links-Moduln. 1.1 Darstellungen von Gruppen Im Folgenden sei immer G eine Gruppe (multiplikativ geschrieben), R ein Integrit¨atsbe- reich und V ein endlich erzeugter freier R-Modul vom Rang n. 1.1.1 Definition und Bemerkung Eine Darstellung von G auf V ist ein Homomorphismus ϕ : G −→ Aut (V). In diesem R Fall operiert G auf V via gv := (ϕ(g))(v) fu¨r alle g ∈ G,v ∈ V. Nach Wahl einer Basis {v ,...,v } von V erhalten wir als Matrixdarstellung von G 1 n vom Grad n u¨ber R den Homomorphismus ϕ˜ : G −→ GL (R),g (cid:55)→ M . Hierbei n ϕ(g) bezeichnet M die Abbildungsmatrix vom Automorphismus ϕ(g) zur gew¨ahlten Basis. ϕ(g) In diesem Fall operiert G auf Rn via gv := (ϕ˜(g))·v fu¨r alle g ∈ G,v ∈ Rn. 1.1.2 Definition Es sei ϕ : G −→ Aut (V) eine Darstellung von G auf V. R (a) Ein R-Untermodul W ≤ V heißt G-invariant, wenn gW ≤ W fu¨r alle g ∈ G. (b) Es sei R ein K¨orper. Dann heißt ϕ reduzibel, wenn V gleich {0} ist oder einen echten, nichttrivialen, G-invarianten Unterraum besitzt, ansonsten irreduzibel. 7 8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 1.1.3 Definition (a) Die Gruppenalgebra von G u¨ber R (Bezeichnung: RG) ist der freie Modul u¨ber R mit Basis G und Multiplikation: ( a g)( b g) = c g mit c := a b fu¨r alle a ,b ∈ R,g ∈ G. (cid:88) g (cid:88) g (cid:88) g g (cid:88) h k g g g∈G g∈G g∈G h,k∈G, hk=g (b) Ein RG-Modul, der als R-Modul endlich erzeugt und frei ist, heißt RG-Gitter. 1.1.4 Bemerkung Jede Darstellung ϕ : G −→ Aut (V) l¨asst sich linear zu einer Darstellung ϕ(cid:48) : RG −→ R End (V) fortsetzen: R (cid:48) ϕ( a g) := a ϕ(g). (cid:88) g (cid:88) g g∈G g∈G Damit wird V via ϕ(cid:48) zu einem RG-Gitter: av := (ϕ(cid:48)(a))(v) fu¨r alle a ∈ RG,v ∈ V. Analog kann man eine zu ϕ geh¨orige Matrixdarstellung fortsetzen zu einer Matrixdar- stellung ϕ˜(cid:48) : RG −→ Rn×n,a (cid:55)→ Mϕ(cid:48)(a) fu¨r alle a ∈ RG. Hierbei bezeichnet Mϕ(cid:48)(a) die Abbildungsmatrix vom Endomorphismus ϕ(cid:48)(a) zur gew¨ahlten Basis. Damit wird Rn via (cid:48) ϕ˜ zu einem RG-Gitter. 1.1.5 Bemerkung Es sei V ein RG-Gitter und W ≤ V ein G-invarianter R-Untermodul. Dann induziert die Operation von G auf V eine Operation von G auf V/W via g(v+W) := (gv)+W fu¨r alle g ∈ G,v ∈ V. Dadurch wird V/W zum RG-Modul. ∼ Insbesondere induziert eine Operation von G auf Zn eine Operation auf Fn = Zn/pZn fu¨r p jede Primzahl p. Des Weiteren induziert eine Operation von G auf Zn eine Operation auf Qn via gv := (ϕ˜(cid:48)(g))v fu¨r alle g ∈ G,v ∈ Qn. Mit obiger Aussage erhalten wir außerdem eine Operation auf Qn/Zn. 1.1.6 Definition und Bemerkung (a) Ein Modul heißt einfach, wenn er ungleich {0} ist und keinen echten, nichttrivia- len Untermodul besitzt. Er heißt halbeinfach, wenn er eine direkte Summe aus einfachen Untermoduln ist. (b) Es sei W ≤ V ein R-Untermodul des RG-Moduls V. Dann sind ¨aquivalent: • W ist G-invariant. • W ist RG-invariant. • W ist ein RG-Untermodul von V. Wenn also R ein K¨orper, dann ist die zu V geh¨orige Darstellung ϕ : G −→ Aut (V) R genau dann irreduzibel, wenn V ein einfacher RG-Modul ist. 1.1. DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN 9 1.1.7 Lemma und Definition Es sei W ein R-Untermodul von V. Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent: (a) Der Faktormodul V/W ist torsionsfrei. (b) Falls av ∈ W ist fu¨r ein 0 (cid:54)= a ∈ R und ein v ∈ V, so ist v ∈ W. In diesem Fall heißt W rein. Ein reiner RG-Untermodul ist ein G-invarianter reiner R- Untermodul. Falls eine R-Basis von W existiert, die sich zu einer R-Basis von V erg¨anzen l¨asst, so ist W rein. Beweis: Der Faktormodul V/W ist genau dann torsionsfrei, wenn gilt: a(v+W) (cid:54)= 0+W fu¨r alle 0 (cid:54)= a ∈ R,v ∈ V\W. Dies ist ¨aquivalent zu: av ∈/ W fu¨r alle 0 (cid:54)= a ∈ R,v ∈ V\W. Nun sei {v ,...,v } eine R-Basis von V, so dass {v ,...,v } fu¨r ein m ≤ n eine R-Basis 1 n 1 m von W ist. Fu¨r 0 (cid:54)= a ∈ R und v := n b v ist av genau dann in W, wenn alle b = 0 i=1 i i i sind fu¨r m+1 ≤ i ≤ n. (cid:80) (cid:3) Im Folgenden sei immer H ≤ G eine Untergruppe von G. 1.1.8 Definition Es sei V ein RG-Modul und W ein RH-Modul. (a) V wird durch die eingeschr¨ankte Operation zum RH-Modul. In diesem Fall bezeich- net man V =: V ↓G als den auf H eingeschr¨ankten Modul. H (b) RG kann man auf natu¨rliche Weise als RG-RH-Bimodul auffassen. Dann hat W ↑G:= RG W eine eindeutige Struktur als RG-Modul via a(g⊗w) := (ag)⊗w H (cid:78) RH fu¨r alle a,g ∈ RG,w ∈ W. Man bezeichnet W ↑G als den zu G induzierten H Modul. 1.1.9 Lemma Es sei G endlich und {g ,...,g } ein Repr¨asentantensystem der Nebenklassen von H in 1 m G. Weiter sei W ein RH-Gitter mit R-Basis {w ,...,w }. Dann ist {g ⊗w |1 ≤ j ≤ m, 1 n j i 1 ≤ i ≤ n} eine R-Basis von W ↑G. H Beweis: ∼ m Es ist RG = g RH als RH-Rechts-Modul. Also ist RG ein freier RH-Rechts-Modul j (cid:76) j=1 mit RH-Basis {g ,...,g }. Mit der Distributivit¨at des Tensorproduktes gilt: 1 m W ↑G = RG W ∼= m (g RH W) = m g (1 W). H j j (cid:78) (cid:76) (cid:78) (cid:76) (cid:78) RH j=1 RH j=1 RH Damit ist W ↑G ein freier R-Modul mit Basis wie behauptet (siehe auch [CR81], H S. 228/229). (cid:3) 10 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 1.1.10 Lemma Es sei R(cid:48) ein Integrit¨atsbereich mit R ≤ R(cid:48), G sei endlich und W ein RH-Gitter. Dann sind R(cid:48) (W ↑G) ∼= (R(cid:48) W) ↑G als R(cid:48)G-Moduln. H H (cid:78) (cid:78) R R Beweis: Essei{g ,...,g }einRepr¨asentantensystemderNebenklassenvonH inGund{w ,...,w } 1 m 1 n eine R-Basis von W. Dann gilt: R(cid:48) (W ↑G) = (cid:104)r(cid:48)⊗(g ⊗w )|r(cid:48) ∈ R(cid:48),1 ≤ j ≤ m,1 ≤ i ≤ n(cid:105) H j i Z (cid:78) R = (cid:104)1⊗(gj ⊗wi)|1 ≤ j ≤ m,1 ≤ i ≤ n(cid:105)R(cid:48) (R(cid:48) W) ↑G = (cid:104)g ⊗(r(cid:48)⊗w )|r(cid:48) ∈ R(cid:48),1 ≤ j ≤ m,1 ≤ i ≤ n(cid:105) H j i Z (cid:78) R = (cid:104)gj ⊗(1⊗wi)|1 ≤ j ≤ m,1 ≤ i ≤ n(cid:105)R(cid:48) (cid:48) (cid:48) Bei den angegebenen R-Erzeugermengen handelt es sich um R-Basen. Der so erhaltene R(cid:48)-Modul-Isomorphismus 1⊗(g ⊗w ) (cid:55)→ g ⊗(1⊗w ) respektiert die Operation von G. j i j i Damit folgt die Behauptung. (cid:3) Die folgenden Aussagen ben¨otigen wir sp¨ater fu¨r den Beweis der Branching Rule fu¨r Spechtmoduln u¨ber einem K¨orper der Charakteristik 0. Im Folgenden sei R ein K¨orper; zur Verdeutlichung schreiben wir daher K := R. 1.1.11 Satz von Maschke Es sei G endlich mit char(K) (cid:45) |G|. Dann ist jeder KG-Modul halbeinfach. (Insbesondere ist KG selbst halbeinfach.) Beweis: Siehe [CR81], (3.14). (cid:3) 1.1.12 Definition und Bemerkung Es seien V und W zwei KG-Moduln. Dann ist Hom (V,W) ein K-Vektorraum, und KG i(V,W) := dim (Hom (V,W)) ist die sogenannte intertwining number von V und K KG W. Sie besitzt folgende Eigenschaften: (a) Falls V = V ⊕V , dann ist i(V,W) = i(V ,W)+i(V ,W). 1 2 1 2 (b) Falls KG halbeinfach ist, dann ist i(V,W) = i(W,V). Beweis: Siehe [CR62], (43.11). (cid:3) 1.1.13 Satz (Lemma von Schur) Es sei K algebraisch abgeschlossen, und V und W seien zwei einfache KG-Moduln. Dann ist Hom (V,W) = 0, falls V und W nicht isomorph sind, und es ist Hom (V,V) = KG KG (cid:104)id (cid:105) . V K Beweis: Siehe [CR62], (27.3). (cid:3)