× Kleines 1 1 der Relativita¨tstheorie Princeton,4.5.1936 LiebeNachwelt! Wenn ihr nicht gerechter, friedlicher und u¨berhaupt vernu¨nftiger sein werdet,alswirsind,bezw.gewesensind,sosolleuchderTeufelholen. DiesenfrommenWunschmitallerHochachtunggea¨usserthabendbinich euer(ehemaliger) gez.AlbertEinstein · Gottfried Beyvers Elvira Krusch × Kleines 1 1 der Relativita¨tstheorie Einsteins Physik mit Mathematik der Mittelstufe 2. Auflage Dr.GottfriedBeyvers Dr.ElviraKrusch http://www.1x1relativitaet.de [email protected] 1.AuflageerschienenbeiBooksonDemandGmbH,Norderstedt,2007 ISBN:978-3-540-85201-8 e-ISBN:978-3-540-85202-5 DOI:10.1007/978-3-540-85202-5 BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetu¨berhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. (cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2009 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschu¨tzt. Die dadurch begru¨ndeten Rechte, insbesondere die der U¨bersetzung,desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,derFunk- sendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfa¨ltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Ver- vielfa¨ltigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauchimEinzelfallnurindenGrenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9.September1965inderjeweilsgeltendenFassungzula¨ssig.Sieistgrundsa¨tzlichvergu¨tungspflichtig. ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinne derWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwa¨renunddahervonjeder- mannbenutztwerdendu¨rften. Einbandgestaltung:eStudioCalamarS.L.,F.Steinen-Broo,Girona,Spain;DesigndesHintergrundmu- stersvonDipl.-Ing.KlaudiusKrusch Gedrucktaufsa¨urefreiemPapier 9 8 7 6 5 4 3 2 1 springer.com Vorwort WennSiegernewissenmo¨chten, • wasesmitdemZwillingsparadoxonaufsichhat, • woherdasGoldbzw.SilberIhresRingesoderKettchensletztlichstammt, • warumessovielEisenaufderErdegibt, • warum Uhren in den Bayerischen Alpen tatsa¨chlich anders laufen als in Berlin, • wiederHimmelimInnereneinesSchwarzenLochsaussieht • undvielesanderemehr, und bereit sind, einige human dargebotene Rechnungen nachzuvollziehen, dannsolltenSieaufjedenFallweiterlesen! Das Grundgeru¨st dieses leichtversta¨ndlichen Textes zu den Relati- vita¨tstheorienentstandinseinerUrformzuna¨chstalsStrukturierungshilfefu¨r dieAutorenselbst,wa¨hrendsieihreerstenBu¨cheru¨berEinsteinsWerklasen. MitjederweiterenausgewertetenLiteraturquellestiegderSeitenumfangan, wiederholtundkonsequentwurdedabeiunanschaulichesMaterialverworfen undanschaulichereseingearbeitet.DasErgebnisdervielja¨hrigenBescha¨fti- gung mit dieser Thematik ist die vorliegende Einfu¨hrung mit ihren leicht nachvollziehbarenFormelherleitungen. Hauptziel dieser Schrift ist es, den Leser unter Anwendung einfacher Schulmathematik an die Spezielle Relativita¨tstheorie hinzufu¨hren (Kapitel 1)undihmersteEinblickeindieAllgemeineRelativita¨tstheoriezugewa¨hren (Kapitel 2). Diese Theorien sind keine weltfremden Ideenkonstrukte, son- dern za¨hlen immerhin zu den Grundpfeilern des heutigen Weltbildes und vieler moderner Wissenschaftszweige, u.a. der Theoretischen Physik, der Teilchenphysik,derAstrophysikundderKosmologie;außerdemistdieSpe- zielle Relativita¨tstheorie eines der Standbeine der relativistischen Quanten- mechanik.AuchbeiverschiedenentechnischenAnwendungensinddieRela- tivita¨tstheorienzunehmendimSpiel,z.B.beiderKernenergieerzeugung,der v vi Vorwort Strahlentherapie, der Geoda¨sie, den satellitengestu¨tzten Navigationssyste- men(GPSundNachfolgesysteme)etc. Der Wunsch nach einem Versta¨ndnis von Einsteins Theorien ist unter naturwissenschaftlich Interessierten sehr weit verbreitet und bleibt doch meist unerfu¨llt. Mit ein Grund dafu¨r ist, daß manche Texte zu sehr an der Oberfla¨che bleiben, andere nur wortreiche Umschreibungen von im Kern mathematischeinfachdarstellbarenZusammenha¨ngenliefern,wiederande- rehingegendenLesermitvielenzuknapperla¨utertenFormelnu¨berfordern. HierwirdnuneinMittelwegversucht:MitSchulmathematiketwaaufMittel- stufenniveau, mit einga¨ngigen Gedankenexperimenten, mit treffenden Ana- logienundnurdasWesentlichezeigendenAbbildungenwerdendiewichtig- stenAspektederRelativita¨tstheorienversta¨ndlichdargestellt. DerSpeziellenTheoriewirddieersteHa¨lftedesBuchesgewidmet,nicht weil sie zeitlich gesehen zuerst entstanden ist, sondern weil sie sehr viel leichter als die Allgemeine Theorie zu verstehen ist, ja sogar mit der hier verwendeten kleinen Schulalgebra“ fast vollsta¨ndig durchdrungen wer- ” den kann. Lediglich die Abschnitte 1.10 und 1.14 enthalten wenige einfa- cheAnwendungenderWinkelfunktionen;dieseRechenschritteko¨nnenaber auchohneNachteilfu¨rdasGesamtversta¨ndnisdesTextesu¨bersprungenwer- den. Fu¨r eingefleischte Mathematikabstinenzler bietet der Abschnitt 1.17, derauchunabha¨ngigvomRestdesBuchesgelesenwerdenkann,einealter- nativeEinfu¨hrungindieSpezielleRelativita¨tstheorie,dieganzohneFormeln zubewa¨ltigenist. Auch die Textpassagen der u¨brigen Abschnitte sind meist so ausfu¨hrlich gehalten, daß sogar Leser, die einen großen Bogen um sa¨mtliche Gleichun- gen machen, immer noch einen ausreichenden Eindruck von den Theorien bekommendu¨rften.NebenderErarbeitungvoninteressantenFormelnkom- men na¨mlich Erkla¨rungen der Zusammenha¨nge und Hinweise auf astrono- mische Bezu¨ge nicht zu kurz. Gerade am Beispiel der Schwarzen Lo¨cher (Kapitel 3) wird deutlich, wie sehr insbesondere die Allgemeine Relati- vita¨tstheorie das heutige Weltbild der Astrophysik beeinflußt. Zur Abrun- dung schließt der Text mit Kapitel 4 u¨ber die verschiedenen Arten von Rotverschiebung einschließlich einigen wichtigen kosmologischen U¨berle- gungen.DieindenverschiedenenAbschnittenbeispielhafterwa¨hntenTypen vonHimmelsko¨rpernwerdenimAnhangAzusammenfassendbeschrieben. Die Fachleute aus der Theoretischen Physik mo¨gen den Autoren eini- geVereinfachungenverzeihen;dieerscho¨pfendeDiskussionallerUmsta¨nde fu¨r stets lu¨ckenlose Beweisfu¨hrungen wu¨rde viele Einsteiger vom Wesent- lichen ablenken. Einige Herleitungen mu¨ssen außerdem auf quasinewton- ” sche“Weiseerfolgen(v.a.Kapitel2). Beisorgfa¨ltigem,ggf.wiederholtemStudiumallerAbschnitteindervor- liegendenReihenfolgesolltewirklichjedeminteressiertenLeserderZugang Vorwort vii zu dieser Materie gelingen. Aber auch jemand, der evtl. nur einen Teil des Textes nachvollziehen kann, mag dies als fu¨r sich gewinnbringend empfinden. In diesem Sinne wu¨nschen die Autoren viel Erfolg, zahlreiche Aha-ErlebnisseundvorallemFreudebeiderEntdeckungsreisedurchdieses immerwiederfaszinierendeWissensgebiet. Ergoldsbach,Mu¨nchen,2008 Dr.G.Beyvers Dipl.-Phys.Dr.E.Krusch Hinweise: AusPlatzgru¨ndenwerdenWo¨rterwie Leser“, Beobachter“, Astronaut“ ” ” ” etc.nurinma¨nnlicherFormverwendet.DieAutorenbittendarum,diesnicht alsVernachla¨ssigungdesweiblichenGeschlechtsaufzufassen.DasInteresse auchallerLeserinnenistausdru¨cklichwillkommen. DiesogenanntealteRechtschreibungistinvielenPunkteneindeutigerals die durch die Rechtschreibreform verordnete Schreibweise. Sie eignet sich daher wesentlich besser zur Vermittlung des vorliegenden Stoffes und wird imgesamtenTextverwendet. Danksagung Biszuseinemvielzufru¨henTodhatunsHerrPriv.-Doz.Dr.HartmutSchulz bei der Ausarbeitung des Textes geduldig und selbstlos unterstu¨tzt. Mit sei- ner herausragenden Fachkompetenz hat er entscheidend zur Verbesserung desManuskriptsbeigetragen.Warummu¨ssensogroßartigeMenschendiese Weltoftzufru¨hverlassen? Dank gebu¨hrt auch Herrn Prof. Dr. Wolfhard Schlosser und Herrn Priv.-Doz.Dr.Jo¨rgFrauendienerfu¨rdiekritischeDurchsichtdesTextes. Fu¨r einige Verbesserungsvorschla¨ge bedanken wir uns ferner bei Frau Dr.MarianneKupfer,beiHerrnDiplomphysikerDr.AlexanderUnzicker,bei HerrnDipl.-Ing.KlausMischkeundbeiHerrncand.rer.nat.StefanGeier. Die Abbildungen und den Computer-Satz hat Herr Dipl.-Ing. Klaudi- us Krusch mit unvergleichlicher Genauigkeit angefertigt. Auch fu¨r die Umschlaggestaltung und die Erstellung der Homepage danken wir ihm herzlich. AlshilfreichempfandenwirnichtzuletztauchdenServicedesSpringer- Verlages. Hinweise fu¨r Lehrer und Fortgeschrittene Es mag einerseits vermessen erscheinen, Mittelstufenschu¨lern rotierende Schwarze Lo¨cher oder die kosmologische Rotverschiebung nahebringen zu wollen. Andererseits werden solche Pha¨nomene gerade auch in vielen popula¨ren Medien aufgegriffen − leider zu oft in unsachgema¨ßer Weise. Deshalb schien es den Autoren wu¨nschenswert, als Gegengewicht hierzu eine etwas sachlichere Darstellung zu schaffen, ohne jedoch die Faszinati- on der Thematik verloren gehen zu lassen. Der Leser muß natu¨rlich mehr Zeit,KonzentrationundMu¨heinvestierenalsbeimKonsumleichtererKost: DasBuchverstehtsichdahervorallemalsArbeitstextfu¨rInteressierte.Der Schwierigkeitsgrad ist aber strikt der Mittelstufenmathematik und -physik angepaßt. Etwas komplexere Themen wurden als Anha¨nge aus dem Haupt- textausgegliedert. ImGegensatzzumu¨blichenVorgehenerfolgtderEinstiegindieSpezielle Relativita¨tstheorie(SRT)(Kapitel1)direktu¨berdieEinsteinschenPostulate, nicht u¨ber den Michelson-Morley-Versuch. Dieser ist zwar fu¨r den Fortge- schrittenen lehrreich, der Einsteiger gera¨t aber mit den dabei angenomme- nen Rahmenbedingungen (ruhender A¨ther, variable Lichtgeschwindigkeit) allzuleicht zuna¨chst aufs falsche Gleis“; und das Dilemma der Physik vor ” Einsteinla¨ßtsichaucheinfacheraufzeigen.DieRechenschrittedesVersuchs lerntderLesertrotzdemkennen:inAbschnitt1.5(Raumkontraktion),jedoch gleichunterderrichtigenDevise:Invarianzvonc. Fast alle Formelherleitungen beginnen mit einem Gedankenexperiment, obwohl die meisten Beziehungen der SRT auch direkt aus der Lorentz- Transformation ableitbar wa¨ren. Fu¨r den Anfa¨nger ist es aber viel anschau- licher, wenn er jeweils mit einem Gedankenexperiment starten kann und sieht, wie daraus dann Gleichungen entwickelt werden. Auch die Lorentz- Transformation selbst wird mit einem Gedankenexperiment erarbeitet, da der u¨bliche Weg ( Wir nehmen folgenden linearen Ansatz...“) fu¨r den Neu- ” ling wenig durchsichtig ist. Einige Gleichungsumformungen, die nur Platz eingenommen ha¨tten, ohne den Leser neue Prinzipien zu lehren, wurden ix x Hinweisefu¨rLehrerundFortgeschrittene weggelassen.Gleichesgiltfu¨r Pru¨fungsaufgaben“,diesewu¨rdenvieleEin- ” steiger doch nur frustrieren. Enthalten sind aber einige Beispielrechnungen undvieleHinweise,diedenLeserzumSelberrechnenanregensollen. DieAllgemeineRelativita¨tstheorie(ART)(Kapitel2)unddieSchwarzen Lo¨cher (Kapitel 3) ko¨nnen hier naturgema¨ß nur beschreibend erkla¨rt wer- den,oftmittelsAnalogien.Letzterewerdenabernurdorteingesetzt,wosie physikalischgerechtfertigtsind. In Kapitel 4 werden kosmologische Zusammenha¨nge (bereits unter Beru¨cksichtigungdesaktuellenWeltmodells)auseinerzumTeilungewohn- ten Perspektive geschildert, die aber doch wissenschaftlich abgesichert ist (vgl. z.B. Publications of the Astronomical Society of Australia 2004, 21, 97-109). Das Literaturverzeichnis ist nicht als Empfehlungsliste anzusehen, son- dern als Zusammenstellung der verwendeten Quellen. Literaturempfehlun- gensindaufdiesemGebieteinschwierigesUnterfangen,daderNutzeneines bestimmten Werkes ganz empfindlich von den Mathematikkenntnissen des Lesersabha¨ngt.EinVersuchseidennochgewagt: • Fu¨rdieSRTkann EineFormelvera¨ndertdieWelt“vonH.Fritzschemp- ” fohlen werden; leicht zu lesen ist auch Spacetime Physics“ von Taylor ” undWheeler. • Einfache, aber doch korrekte Darstellungen der ART sind leider extrem du¨nn gesa¨t. Empfohlen werden kann Exploring Black Holes“ von Tay- ” lorundWheeler;GrundkenntnissederDifferential-undIntegralrechnung sindaberhierfu¨rno¨tig. • Fu¨r kosmologisch Interessierte ist Cosmology“ (2. Auflage, 2000) von ” E.R.HarrisondasNonplusultra. Fu¨rwen,außerdemschonerwa¨hntenMittelstufenschu¨ler,istdasBuchsonst nochgeeignet? Eventuell auch fu¨r den hochmotivierten Hauptschu¨ler und fu¨r jedermann mitausreichendenAlgebra-Kenntnissen.Vielleichtko¨nnenaucheinigeStu- dentenderNaturwissenschaftenTeiledesTextesalspropa¨deutischeLektu¨re nutzen. Falls den Autoren nach Drucklegung noch Fehler im Text bekannt werden, erfolgt deren Vero¨ffentlichung unter www.1x1relativitaet.de. Die Leserko¨nnenihrerseitseventuelleFehlermeldungenandiedortangegebene E-Mail-Adresserichten. Verzeichnis der verwendeten Gro¨ßen und Abku¨rzungen Verwendete Gro¨ßen Allgemein:c Lichtgeschwindigkeit m imVakuum =2,99792458·108 s m3 G Gravitationskonstante =6,674·10−11 kg·s2 π KreiszahlPi = 3,1416 h PlanckschesWirkungs- quantum = 6,6261·10−34J·s km/s H Hubble-Konstante = 71±4 0 Mpc Erde: g Erdfallbeschleunigung, m Mittelwert =9,807 s2 R Erdradius,Mittelwert = 6371km E M Erdmasse = 5,974·1024kg E ρ DichtederLuft L kg (0◦C,1013hPa) = 1,293 m3 Sonne: R RadiusderSonne = 695500km S M MassederSonne =1,989·1030kg S R(cid:3) Schwarzschild-Radius = 2,954km S xi