H. Franeck Klausurtraining Technische Mechanik Klausurtraining Technische Mechanik Von Prof. Dr. rer. nat. habil. Heinzjoachim Franeck Technische Universitat 8ergakademie Freiberg m B. G. Teubner Stutt&l!rt . Leipzig· Wiesbaden Prof. Dr. rer. nat. habil. Heinzjoachim Franeck Geboren 1930 in G6rlitz/Schlesien. Ab 1950 Studium des Bauingenieurwesens an der Technischen Hochschule Dresden. Diplom 1956. Von 1956 bis 1959 wissenschaftlicher Assistent an der Bergakademie Freiberg. Promotion 1959. Von 1959 bis 1969 wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Bergakademie Frei berg. 1969 Habilitation in Freiberg. Von 1969 bis 1990 Hochschuldozent fOr Kinematik und Kinetik. 1990 Ernennung zum auBerordentlichen Professor. 1992 Berufung zum Univ.-Professor fOr Festk6rpermechanik an der Techni schen Universitat Bergakademie Freiberg. 1998 Eintritt in den Ruhestand. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz fOr diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhiiltlich 1. Auflage September 2000 Aile Rechte vorbehalten © B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2000 Der Verlag Teubner ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages un zuliissig und strafbar. Das gilt besonders fOr Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. www.teubner.de Umschlaggestaltung: Peter Pfitz, Stuttgart ISBN-13: 978-3-519-00261-1 e-ISBN-13:978-3-322-80014-5 001: 10.1007/978-3-322-80014-5 Vorwort Es ist eine altbekannte Tatsache, daf3 man die Technische Mechanik trotz guter theoretischer Kenntnisse in erster Linie nur durch "Uben", also durch das Rechnen von Aufgaben, lernen und begreifen (!) kann. Deshalb laBt der Teubner-Verlag dem Buch Starthilfe Technische Mechanik nun den Band Klausurtraining Technische M echanik folgen. Selbstverstandlich habe ich der Bitte des Verlages, dieses Buch zu schreiben, gern entsprochen. Schon bei der Arbeit an der Starthilfe Technische Mechanik drangte es mich an vielen Stellen, das Verstandnis und die Fahigkeit zur Anwendung der theoretischen Grundlagen der Technischen Mechanik durch praktische Beispiele zu fOrdern und zu vertiefen. Diesem Anliegen waren damals auf rund einhundert Seiten naturgema£ enge Grenzen gesetzt. Mit dem neuen Buch kann ich nun den Wunsch nach ausfUhrlich vorgerechneten Beispielen erfUllen. Die beiden Biicher Starthilfe Technische Mechanik und Klausurtraining Technische Mechanik sind unabhangig voneinander lesbar, aber sie erganzen sich: Sowohl die Gliederung ("Statik starrer Korper", "Statik elastischer Korper", "Kinematik und Kinetik") als auch die verwendeten Formelzeichen und die Systematik in den Abbil dungen entsprechen vollkommen einander. Hinsichtlich des Schwierigkeitsgrades der ausgewahlten Aufgaben habe ich mich - bis auf wenige Ausnahmen - an leichte bis mittelschwere Klausuraufgaben gehalten. Das ist natiirlich oft Ansichtssache, aber ich lie£ mich bei der Auswahl der besprochenen Aufgaben von meiner Erfahrung in den Seminaren und Priifungen zur Technischen Mechanik leiten und hoffe, dem Studierenden mit den vorgelegten Losungen eine brauchbare und niitzliche Hilfe bei der Klausurvorbereitung in die Hand zu geben. Mein Dank gebiihrt den Darnen und Herren der Arbeitsgruppe Mechanik des Instituts fUr Technische Mechanik und Maschinenelemente der TU Bergakademie Freiberg, aus deren Sammlung viele Aufgaben und Losungen stammen. Ich danke Frau Brigitte Kolsch fUr die sorgfci.ltige Herstellung der Abbildungen und Herrn Dr.-lng. Hans Wulf fUr seine sachkundige und einsatzfreudige Unterstiitzung bei der Losung programmierungstechnischer Probleme. Meinen besonderen Dank spreche ich dem Verlag B.G. Teubner Stuttgart· Leipzig fUr die Anregung zu diesem Buch und Herrn Jiirgen Weill fUr die freundliche und auBerst entgegenkommende Zusammenarbeit aus. Freiberg/Dresden, im Februar 2000 Heinzjoachim Franeck Inhalt Einfiihrung 9 Statik starrer Korper 11 1 Resultierende ebener Kriiftegruppen 11 2 Linienkriifte . . 16 3 Schwerpunkte . 20 3.1 Schwerpunkte von Flii.chen . 20 3.2 Schwerpunkte von Linien 23 4 Ebene Tragwerke. . . . . . . 24 4.1 Stiitzgrofien ebener Tragwerke . 24 4.2 DreigelenkbOgen 27 4.3 Gerber-Trager . 33 5 Ebene Fachwerke . 38 6 Schnittkriifte und Schnittmomente 44 6.1 Differentialbeziehungen 44 6.2 SchnittgroBenschaubilder . 47 7 Bewegungswiderstiinde . 54 7.1 Haftung .. 54 7.2 Seilreibung ...... 57 8 Schwach gekriimmte Seilkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58 Statik elastischer Korper 63 9 Zugbeanspruchung.. 63 10 Biegebeanspruchung 65 10.1 Flachenmomente 2. Grades 65 10.2 Spannungszustand . . 72 10.3 Verschiebungszustand 76 11 Torsion . . . . . . . . . . . 84 8 Inhalt 12 Formfulderungen . . . . . . . . . . . . . 86 12.1 Verfahren von Castigliano ..... . 86 12.2 Verfabren von Mobr/Miiller-Breslau 87 13 Festigkeitshypothesen. 95 14 Knicken ........ . 96 Kinematik und Kinetik 101 15 Kinematik der Punktmasse . 101 16 Kinetik der Punktmasse . . .106 16.1 Dynamisches Grundgesetz, Impulssatz 106 16.2 Arbeitssatz, Leistung. . . . . . . . . . 111 16.3 Potentielle Energie, Energieerhaltungssatz 114 17 Kinetik des Punktmassensystems . . . . . . . . . . . . . . .120 17.1 Schwerpunktsatz, Impulssatz, Arbeitssatz, Energieerhaltungssatz . 120 17.2 Prinzip von D'Alembert .. 127 18 Kinetik des starren Korpers .131 18.1 Schwerpunktsatz, Impulssatz, Drehimpulssatz . 131 18.2 Arbeitssatz, Energieerhaltungssatz 136 18.3 Prinzip von D'Alembert 140 19 Schwingungen ...... . .144 19.1 Freie ungedampfte Schwingungen . 144 19.2 Freie gedampfte Schwingungen 149 19.3 Erzwungene Schwingungen .. 152 Verwendete Formelzeichen 156 Literatur 159 Register 160 Einfiihrung Die in diesem Buch vorgestellten Aufgaben und Losungen der Technischen Mechanik entstammen entweder direkt oder entsprechend modifiziert der Aufgabensammlung des Instituts fUr Technische Mechanik und Maschinenelemente der TU Bergakademie Freiberg. Sie erheben nicht den Anspruch, das in den Klausuren der Technischen Me chanik geforderte Wissen umfassend zu behandeln, da einerseits die zur Verfiigung ste hende Seitenzahl zu einer Auswahl zwingt, andererseits sich aber auch der Charakter der "schwierigeren"Aufgaben von Bildungseinrichtung zu Bildungseinrichtung andert, so daB es keinen gro:6en Lehr- und Lerneffekt hatte,. nur eine bestimmte Sorte kom plizierterer Klausuraufgaben vorzustellen. Aus diesem Grunde habe ich vorwiegend Aufgaben gewahlt, die zu den leichteren oder hochstens mittelschweren gezahlt und mit Hilfe einer auch nicht allzu ausfiihrlichen Formelsammlung gelost werden konnen. Ihre Beherrschung sollte dann auch eine erfolgreiche Bearbeitung anspruchsvollerer Probleme ermoglichen. Die Beschrankung auf ein- bzw. zweidimensionale Koordina tensysteme gehort zu diesem Konzept. (Natfulich wird der Leser manche Darstellung linden, die den Umfang einer Klausuraufgabe iibersteigt, die aber - wie ich hoffe - zum allgemeinen Verstandnis beitragt.) Beziiglich der Gliederung und Einteilung des Stoffes habe ich mich an die Start hilfe Technische Mechanik [1] gehalten. Ich werde die in diesem Buch verwendeten Abkiirzungen und Formeln auch hier benutzen. Da man voraussetzen darf, daB bei ei ner Klausurvorbereitung neb en diesem Trainingsbuch auch eine Vorlesungsnachschrift und/oder ein bzw. mehrere Lehrbiicher der Technischen Mechanik zur Verfiigung ste hen, geniigt es meistens, notwendige allgemeine Formelnjedem Aufgabenkomplex nur einmal voranzustellen. Erfahrungsgema£ ist es bei der Bearbeitung einer Priifungsaufgabe zunachst erfor derlich, diese Aufgabe stofflich richtig einzuordnen. Wahrend dies bei einem Fachwerk oder einer Biegelinie auf der Hand liegt, fant eine Entscheidung bei Kinetik-Aufgaben schon schwerer (Impulssatz oder Arbeitssatz? Energieerhaltungssatz oder Prinzip von D'ALEMBERT?). Bei diesen Aufgaben werde ich mich bemiihen, entsprechende Hin weise zu geben. Dieses Buch setzt die engagierte Mitarbeit des Lernenden voraus, da Zwischenrech nungen auf das fiir das Verstandnis Notwendige beschrankt sind. Auch hat es sich als giinstig erwiesen, Aufgaben zunachst mit allgemeinen Bezeichnungen zu rechnen. So lassen sich Dimensionspriifungen leichter durchfiihren und damit viele Fehler von vornherein vermeiden. Dariiber hinaus ist es mitunter vorteilhaft, im Gegensatz zur sonst iiblichen Beschrankung auf ein vernunjtiges ingenieurgemiifles Ergebnis auch einmal mehr Stellen im Zahlenergebnis "mitzunehmen", da dann eventuell mogliche Proben exakter erfiillt sind und somit das Vertrauen in die Losung gestarkt wird. (Natiirlich ist es sinnlos, zum Beispiel eine Durchbiegung auf 1/1000 cm anzugeben.) H. Franeck, Klausurtraining Technische Mechanik © B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2000 10 Einflihrung Abbildungen sind nur als Strichskizzen dargestellt (so schOn anzusehen und verst and nisfOrdernd die in manchen Lehrbiichern zu findenden "realitatsnahen" Bilder auch sind). Dem Leser werden dafiir aber bei einer Reihe von Aufgaben verschiedene Losungswege angeboten, urn ihn zu iiberzeugen, daB ein technisches Ergebnis (zurn Beispiel die Lage eines Flachenschwerpunktes oder die Wirkungslinie einer resultie renden Kraft) nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhangen kann. Grafische Losungen sind in diesem Buch nicht enthalten, da sie kaum noch in den Lehrveran staltungen der Technischen Mechanik angeboten werden. Die Vorgehensweise bei der Bearbeitung von Mechanik-Aufgaben lafit sich meistens in die Losung einzelner Teilaufgaben zerlegen. Auf Grund meiner langjahrigen Lehr erfahrungen schlage ich folgende Schritte vor: • Einordnung des Problems in ein bestimmtes Stoffgebiet. Darauf weist bei der Statik starrer oder elastischer Korper im Allgemeinen die Aufgabenformulierung hin. Hochstens in der Kinetik sind mitunter Uberlegungen notig. • Bereitstellung aller erforderlichen Formeln aus einer Formelsammlung, einem Mechanik-Buch oder einer Vorlesungsnachschrift. • Klarung, welche Bedeutung die in den Formeln aufgefiihrten GroBen haben, und Priifung, welche GroBen gegeben und welche gesucht sind. • Herstellung einer - nicht zu kleinen - iibersichtlichen Skizze, in der aIle not wendigen GroBen und MaBe enthalten sind. • Falls erforderlich und nicht in der Aufgabenstellung vorgeschrieben, Wahl eines giinstig gelegenen Koordinatensystems. • Durchfiihrung aller erforderlichen Berechnungen mit moglichst allgemeinen Be zeichnungen. Priifung, ob bei mehreren Unbekannten die Anzahl der hinge schriebenen Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten iibereinstimmt. • Kontrolle der Dimensionen in den allgemeinen Ergebnissen. • Ausflihrung der Zahlenrechnungen und Einschatzung der Losungen auf sinnvolle GroBenordnungen. • Kontrolle der Resultate {z. B. mit Hilfe der nicht genutzten Gleichgewichtsbe dingungen oder auch anderer Rechnungsvarianten}. AbschlieBend ein kurzer Hinweis: Ich habe mich bemiiht, (auBer in den Abbildungen aus Platzgriinden) dimensionsbehaftete Zahlen mit einem Komma zu schreiben (also z. B. 2,0 cm), urn diese GroBen von Faktoren {z. B. der 8 in ql2/8 } zu unterscheiden. Dies erhOht meines Erachtens bei Zahlenrechnungen die Ubersicht (auch wenn dann einmal eine O,OkN als Ergebnis stehen sollte). Statik starrer Korper 1 Resultierende ebener Kraftegruppen Aufgabe 1.1: Fiir die gegebene Kriiftegruppe sind GroBe und Lage der resultierenden Kraft zu bestimmen (Abb. 1.1.1). y rTt" I' F -------- --_.-t ~ IlL E F I --.... ~ 211 I /'1 11/ r-------c r----J IA II z ___________ --f-J F2x x F, Fl1 O,8m 02m O,8m 02m Abbildung 1.1.1: Ebene Kriiftegruppe Abbildung 1.1.2: Koordinatensystem 1 FI = 100,0 kN, F2 = 600,0 kN, F3 = 120,0 kN Die zur Losung dieser Aufgabe benotigten Beziehungen zur Ermittlung von GroBe und Lage der Resultierenden der ebenen allgemeinen K riijtegruppe lauten: n n n n F&J = 2: Fiz = 2: F;, cos ai j FRy 2: Fiy = 2: Fi sinai, i=1 i=1 i=1 i=1 FR = JFk+F~yj cosaR = F&J/FR j sinaR = FRy/FR, n FRy MR CI>MR = 2: (Fiy Xi - Fiz Yi) j Y(X) = --X--- i=1 F&J F&J· In diesen Gleichungen stehen x- und y-Koordinaten und -Komponenten, so daB zunachst ein X, y, z-Koordinatensystem festgelegt werden muB. Dessen Wahl ist natiirlich vollkommen beliebig, aber man wird immer so vorgehen, daB die erforder lichen Zahlenrechnungen moglichst einfach werden. Wir losen die Aufgabe fur zwei verschiedene Koordinatensysteme (Abb. 1.1.2 und Abb. 1.1.5). H. Franeck, Klausurtraining Technische Mechanik © B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2000 12 1 Resultierende ebener Kraftegruppen Variante 1: i Fi Xi Yi ai cosai Sinai Fix Fiy FiyXi FixYi N m m 0 - - N N Nm Nm 1 100,0 0,8 0,0 270 0,0 -1,0 0,0 -100,0 -80,0 0,0 2 600,0 1,0 0,0 45 0,7071 0,7071 424,3 424,3 424,3 0,0 3 120,0 1,0 0,4 0 1,0 0,0 120,0 0,0 0,0 48,0 E - - - - - - 544,3 324,3 344,3 48,0 Damit folgen die Komponenten und der Betrag der resultierenden Kraft einschlieBlich ihres Richtungswinkels zu 3 3 Fnx = E Fix = 544,3 N j E Fiy = 324,3N, i=l i=l J Fb + FAy = V544,32 + 324, 32 633, 6N, Fnx 544,3 . FRy 324,3 FR = 633,6 = 0,8591 j smaR = FR = 633,6 = 0,5118 -+ 30,80 • Zusammen mit dem resultierenden Moment 3 3 3 E E E MR = (FiyXi - FixYi) = FiyXi - FixYi = 344,3 - 48,0 = 296,3 Nm i=l i=l i=l bildet sie die auf das Koordinatensystem 1 bezogene resultierende Wirkung der gege benen Kriiftegruppe (Abb. 1.1.3). y T I ! I ~// /( 7 /' x ,' 0 ~ E \.~ ~. \~ 634N o /'.~; /' I O.91m Abbildung 1.1.3: Resultierende Wirkung der Kraftegruppe Abbildung 1.1.4: Zentrallinie