KALKULUS VISUAL BAGIAN II DIKTAT PENDUKUNG KULIAH MA1202 MATEMATIKA 2B Public domain, tidak untuk komersial Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Irisan Kerucut, property of WD2011 Program Studi Matematika, Fakultas MIPA Institut Teknologi Bandung Januari 2015 Kata Pengantar MATEMATIKA merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi hampir semua Pro- gram Studi dan Sekolah di Institut Teknologi Bandung. Berdasarkan kebutuhan yang berbeda pada berbagai Program Studi yang ada, mulai tahun ajaran 2004 perku- liahan Matematika dibagi menjadi dua macam yaitu Matematika A (4 kredit) dan Matematika B (3 kredit). Perlu diperhatikan, materi Matematika 2B bukan meru- pakan subset dari materi Matematika 2A. Untuk itu, penulis mengembangakn diktat untuk masing-masing Matematika 2A dan 2B secara terpisah. Diktat ini mulai disusun sejak tahun 2004. Pada awalnya materi disusun dalam bentuk beningan/transparency. Tujuannya adalah untuk meningkatkan proses pembelajaran, dengan cara menyediakan bahan kuliah yang berisi ringkasan teori dan soal-soal latihan terpilih. Dengan adanya beningan ini diharapkan proses pencatatan yang banyak di- lakukan pada perkuliahan konvensional bisa dikurangi. Dengan demikian, waktu yang tersedia dapat digunakan dengan lebih efektif untuk kegiatan ceramah dan diskusi. Diktat ini selalu direvisi secara kontinu dan disesuaikan dengan kebutuhan yang ada. Perkembanganperalatan multimediasaat ini memungkinkankonstruksi tampilankonsep- konsep matematika secara visual melalui bantuan komputer. Hal ini akan sangat mem- bantu proses belajar mahasiswa, karena konsep-konsep yang rumit dan abstrak dapat diperlihatkan secara kongkrit melalui program animasi. Sejalan dengan perubahan ini, mulai tahun ajaran 2011 judul diktat ini diubah menjadi ”Kalkulus Visual”. Melalui mekanisme ini diharapkan para mahasiswa dapat memahami konsep-konsep yang ada dengan lebih cepat dan lebih mudah. Pada diktat ini, bagian yang memuat animasi ditandai dengan ikon berbentuk ♠ atau Animation. Cara menampilkan animasinya adalah dengan meng-klik tombol mouse pada ikon tersebut. Untuk dapat memanfaatkan diktat ini secara efektif diperlukan beberapa perangkat lunak pendukung, yaitu: Adobe Acrobat Reader versi 9 atau lebih baru dan Quick Time player. Semua perangkat lunak tersebut bersifat public domain/free dan dapat diunduh/didownload via internet. Untuk memudahkan, penulis telah menempatkan diktat kuliah beserta perangkat lunak pendukung tersebut pada ftp server dengan alamat ftp://167.205.6.17 atau ftp://ftp2.math.itb.ac.id. Gunakan login- name: anonymous, password: anonymus. Diktat Matematika 2A dan Matematika 2B, masing-masing tersimpan di dalam folder BahanKuliah/Warsoma/2015 MA1201 Matematika 2A dan BahanKuliah/Warsoma/2015 MA1201 Matematika 2B, se- dangkanperangkat pendukungnya berada dalam folderBahanKuliah/Warsoma/Software i Diktat Matematika 2B, Untuk dipakai di ITB 1 Pendukung. Tatacara instalasi dan penggunaan diktat ini pada komputer anda dije- laskan pada file —readme1st.doc. Catatan: Sesuai dengan kebijakan dari pihak pengelola internet di ITB, semua ftp-server di • ITB hanya dapat diakses dari dalam kampus ITB. Akses dari luar kampus ITB masih dimungkinkan melalui fasilitas Virtual Private • Network (VPN). Akses ini hanya dapat digunakan oleh mereka yang mempunyai account internet di ITB. Untuk dapat memastikan tampilan animasi yang ada berjalan dengan benar, se- • mua file PDF yang ada harap dibuka menggunakanAdobe Acrobat Reader. Sejauh ini kelengkapan yang ada di PDF reader yang lain belum sepenuhnya mendukung fasilitas yang diperlukan oleh diktat ini. Sebagai penutup, Penulis mengucapkan terima kasih kepada rekan-rekan Dosen yang telah memberikan masukan terhadap pengembangan diktat ini, diantaranya kepada Dr. Wono Setya Budhi, Prof. Dr. Hendra Gunawan, Prof. Dr. Edy Tri Baskoro, Dr. Sri Redjeki, serta Drs Koko Martono M.Si. Semoga diktat ini dapat berguna un- tuk meningkatkan kualitas pembelajaran Kalkulus. Januari 2015, Penyusun, Warsoma Djohan URL:ftp2.math.itb.ac.id Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2015 Diktat Matematika 2B, Untuk dipakai di ITB 2 Teknik Pengintegralan Sejauh ini, kita telah membahas fungsi-fungsi elementer dengan cukup lengkap. Fungsi-fungsi tersebut terdiri dari fungsi aljabar, bentuk akar dan harga mutlak, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi invers trigonometri, fungsi hiperbol dengan inversnya, dan kombi- nasi antara fungsi-fungsi tersebut. Proses untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi tersebut ’relatif mudah’ karena telah ada aturan yang lengkap untuk mengevaluasinya. Berlainan dengan menghitung turunan, proses sebaliknya, yaitu mencari anti turunan / integral dari sebuah fungsi merupakan proses yang jauh lebih sukar. Be- 2 berapa fungsi seperti f(x) = ex bahkan tidak memiliki anti turunan. Pada pembahasan sebelumnya telah diperkenalkan teknik substitusi untuk mencari anti turunan. Teknik ini hanya dapat diterapkan pada sekelompok fungsi tertentu. Pada bagian ini akan dikembangkan beberapa teknik baru untuk menentukan anti turunan dari suatu fungsi. Berikut ini disajikan rumus-rumus dasar anti turunan yang diperoleh lang- sung dari pembahasan konsep turunan pada bab-bab sebelumnya. ur+1 + c r = 1 1. kdu = ku + c 2. ur du = r+1 6 Z Z (cid:26) ln u + c r = 1 | | u a u u u 3. e du = e + c 4. a du = + c a = 1, a > 0 Z Z lna 6 5. sinudu = cosu + c 6. cosudu = sinu + c Z − Z 2 2 7. sec udu = tanu + c 8. csc udu = cotu + c Z Z − 9. secu tanudu = secu + c 10. cscu cotudu = cscu + c Z Z − 11. tanudu = ln cosu + c ♠ 12. cotudu = ln sinu + c Z − | | Z | | URL:ftp2.math.itb.ac.id Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2015 Diktat Matematika 2B, Untuk dipakai di ITB 3 Pengintegralan dengan Metode Substitusi Pada metode ini, sebagian suku dari integran (fungsi yang diintegralkan) disubstitusikan menjadi variabel baru. Substitusi ini diatur agar bentuk in- tegral semula berubah menjadi salah satu dari 15 bentuk integral di atas. Selanjutnya setelah diperoleh hasil integralnya, kita kembalikan variabel baru tersebut ke variabel semula. Contoh-Contoh: x 1. dx Z cos2(x2) • 6. cscxdx Z • 6e1/x 2. dx Z x2 • 2 7. sin xdx Z • 3. x3√x4 + 11dx Z • 2 8. cos xdx atanx Z • 4. dx Z cos2 x • x2 + 1 9. dx Z x 2 • 5. secxdx − Z • URL:ftp2.math.itb.ac.id Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2015 Diktat Matematika 2B, Untuk dipakai di ITB 4 Pengintegralan Parsial Pengintegralan parsial merupakan sebuah teknik di mana fungsi yang akan diintegralkan berasal dari perkalian dua buah fungsi. Untuk memperoleh rumus integral parsial, perhatikanlah proses berikut. Misalkan u = u(x) dan v = v(x) dua buah fungsi. d(uv) = u v + uv ′ ′ dx d(uv) = u v dx + uv dx ′ ′ uv = u v dx + uv dx ′ ′ Z Z uv dx = uv u v dx atau udv = uv v du ′ ′ Z − Z Z − Z Contoh-Contoh: 1. x cosxdx ♠ Z x 4. e sinxdx Z • 2 2. lnxdx ♠ Z 1 3 5. sec xdx ♠ 2 Z 3. x sinxdx Z • • URL:ftp2.math.itb.ac.id Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2015 Diktat Matematika 2B, Untuk dipakai di ITB 5 Pengintegralan Fungsi Rasional Pada pasal ini akan dibahas integral berbentuk P(x) dx dengan P(x),Q(x) polinom. Z Q(x) x5 + 2x3 x + 1 Contoh: Tentukan − dx Z x3 + 5x Sebelum kita lakukan proses integrasi, hal pertama yang harus diperhatikan adalah derajat dari pembilang dan penyebut. Bila derajat pembilang ’lebih besar atau sama dengan’ derajat penyebut, lakukan dahulu proses pemba- gian polinom. Untuk contoh di atas, bila dilakukan pembagian polinom maka diperoleh: x5 + 2x3 x + 1 14x + 1 2 − = x 3 + x3 + 5x − x3 + 5x x5 + 2x3 x + 1 14x + 1 2 Jadi, − dx = (x 3)dx + dx Z x3 + 5x Z − Z x3 + 5x Suku pertama pada ruas kanan mudah untuk diintegralkan karena berupa polinom. Permasalahan tinggal pada suku kedua yang berupa fungsi ra- sional. Dengan demikian, untuk selanjutnya pembahasan cukup kita batasi pada masalah integral fungsi rasional dengan derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut. Pada beberapa soal, integral fungsi rasional dapat diselesaikan dengan 3x2 5x substitusi sederhana. Misalnya − dx dapat kita selesaikan Z 2x3 5x2 + 6 − dengan mudah memakai substitusi u = 2x3 5x2 + 6. − Untuk selanjutnya kita akan membahas integral fungsi rasional secara bertahap serta teknik-teknik penyelesaiannya. URL:ftp2.math.itb.ac.id Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2015 Diktat Matematika 2B, Untuk dipakai di ITB 6 Bentuk 1: Pembilang konstanta, penyebut terdiri dari satu faktor linear dengan multiplisitas m 1. ≥ 1 dx gunakan substitusi u = ax + b Z (ax + b)m 2 2 Contoh: (a) dx (b) dx ♠ Z (2x + 1)3 Z 3x + 5 • Bentuk 2: Pembilang polinom derajat 1, penyebut terdiri dari satu ≥ faktor linear dengan multiplisitas m. Integran tersebut kita uraikan atas suku-suku sebagai berikut: p(x) A A A 1 2 m = + + + (ax + b)m (ax + b) (ax + b)2 ··· (ax + b)m Perhatikan bahwa setiap suku pada ruas kanan merupakan bentuk 1. x 3 Contoh: − dx ♠ Z (x 1)2 − Bentuk 3: Penyebut terdiri dari beberapa faktor linear dengan multiplisi- tas satu. Pada bentuk ini kita lakukan penguraian sebagai berikut, S(x) A A A 1 2 n = + + + (x x )(x x ) (x x ) x x x x ··· x x 1 2 n 1 2 2 − − ··· − − − − Setiap suku pada ruas kanan merupakan bentuk 1. 7 5x + 3 Contoh: (a) dx (b) dx ♠ Z (2x 1)(x + 3) Z x3 2x2 3x • − − − URL:ftp2.math.itb.ac.id Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2015 Diktat Matematika 2B, Untuk dipakai di ITB 7 Bentuk 4: Penyebut terdiri dari faktor-faktor linear dengan multiplisitas boleh lebih dari satu. Masing-masing faktor kita uraikan mengikuti aturan pada bentuk 2 dan bentuk 3. Hasilnya adalah integran dengan suku-suku seperti bentuk 1. x2 11x + 15 A B C − = + + (x 2)2 (x + 1) (x 2) (x 2)2 x + 1 − − − x2 11x + 15 A(x 2)(x + 1) + B(x + 1) + C(x 2)2 − = − − (x 2)2 (x + 1) (x 2)2(x + 1) − − 2 2 x 11x + 15 = A(x 2)(x + 1) + B(x + 1) + C(x 2) − − − Substitusikan secara beruntun nilai-nilai x = 2, x = 1 dan x = 0 pada − persamaan di atas, maka diperoleh B = 1, C = 3 dan A = 2. Jadi − − x2 11x + 15 2 1 3 − = − + − + (x 2)2 (x + 1) x 2 (x 2)2 x + 1 − − − 2 5 4 3 2 8x + 5x 8 3x + 17x + 9x 64x 30x + 1 Contoh: (a) − dx ♠ (b) − − dx Z (2x 1)2(x + 3) Z (x 1)2(x 2)(x + 3)3 • − − − URL:ftp2.math.itb.ac.id Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2015 Diktat Matematika 2B, Untuk dipakai di ITB 1 Bentuk Tak tentu Limit Perhatikan tiga buah limit berikut: sinx x2 9 f(x) f(a) (a) lim (b) lim − (c) lim − x 0 x x 3 x2 x 6 x a x a → → − − → − Bila masing-masing titik limitnya disubstitusikan, semuanya menghasilkan bentuk 0. Namun demikian, bila dihitung, nilai limit dari ketiga contoh 0 tersebut berbeda-beda. Bentuk seperti ini dinamakan bentuk tak tentu. Pada beberapa bab sebelumnya kita telah mempelajari berbagai metode yang dapat diterapkan untuk menghitung bentuk tak tentu di atas. Pada pasal ini, akan disajikan metode lain yang relatif mudah untuk mengeval- uasi limit tersebut. Aturan L’Hopital 1: Misalkan lim f(x) = lim g(x) = 0. x a x a → → f (x) f(x) f (x) Bila lim ′ ada (boleh tak hingga) maka lim = lim ′ g (x) g(x) g (x) x a ′ x a x a ′ → → → Contoh: Tentukan limit-limit berikut: 2 (a) lim sinx (b) lim 1 cosx (c) lim x +3x 10 x 0 x ♠ x 0 −x ♠ x 2+ x2−4x−+4 ♠ → → → (d) lim tan(2x) (e) lim sinx x (f) lim 1 cosx x 0 ln(1+x) • x 0 x3− ♠ x 0 x−2+3x • → → → x (h) lim e− 1 x x− • →∞ Aturan L’Hopital 2: Misalkan lim f(x) = lim g(x) = . x a| | x a| | ∞ → → f (x) f(x) f (x) Bila lim ′ ada (boleh takhingga) maka lim = lim ′ g (x) g(x) g (x) x a ′ x a x a ′ → → → Contoh: Tentukan limit-limit berikut: a (a) lim x (b) lim x , a>0 x ♠ x ♠ e e x x →∞ →∞ (c) lim lnx a>0 (d) lim lnx a x x • x 0+ cotx • →∞ → URL:ftp2.math.itb.ac.id Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2015