ISNM INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK SERlE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE Editors: Ch. Blanc, Lausanne; A. Ghizzetti, Roma; A. Ostrowski, Montagnola; J. Todd, Pasadena; H. Unger, Bonn; A. van Wijngaarden, Amsterdam VOL. 15 Iterationsverfahren Numerische Mathematik Approximationstheorie Vo rtragsa uszuge der Tagung uber Nichtlineare Aufgaben der Numerischen Mathematik vom 17. bis23. November 1968 der Tagung uber Numerische Methoden der Approximationstheorie vom 8. bis 14. J uni 1969 und der Tagung uber Iterationsverfahren in der Numerischen Mathematik vom 16. bis 22. November 1969 im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwald) Herausgegeben von L. COLLATZ, G. MEINARDUS, H. UNGER und H. WERNER 1970 SPRINGER BASEL AG ISBN 978-3-0348-5834-2 ISBN 978-3-0348-5833-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-5833-5 Nachdruck verboten Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten. © Springer Basel AG 1970 Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1970 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1970 VORWORT Ais Bindeglied zwischen den zwei grossen sich gegenseitig befruchtenden Ge bieten der «Reinen» und der «Angewandten» Mathematik hat sich die Funk tionalanalysis einen festen Platz erobert und ist heute auch aus der «Numeri schen Mathematik» nicht mehr fortzudenken. Das zeigte sich auch bei den fol genden Arbeitstagungen am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwald) : 17. bis 23. November 1968 Tagung fiber Nichtlineare Aufgaben der Numerischen Mathematik (Tagungsleiter: L. COLLATZ und H. WERNER) 8. bis 14. Juni 1969 Tagung fiber Numerische Methoden der Approximationstheorie (Tagungsleiter: L. COLLATZ und G. MEINARDUS) 16. bis 22. November 1969 Tagung fiber Iterationsverfahren in der Numerischen Mathematik (Tagungsleiter: L. COLLATZ und H. UNGER) Die hier wiedergegebenen Vortrage gaben einen Oberblick fiber einige der vielen in neuerer Zeit entstandenen Teildisziplinen der Numerischen Mathematik. Die Tagungsleiter und die Tagungsteilnehmer danken dem Leiter des Mathe matischen Forschungsinstituts Oberwolfach, Herrn Prof. Dr. M. BARNER, und allen seinen Mitarbeitern in Freiburg und in Oberwolfach dafilr. dass die Ta gungen im gewohnten harmonischen Rahmen in der vertrauten Atmosphare des Oberwolfacher Hauses stattfinden konnten. Ferner sei dem Birkhauser Verlag besonders gedankt filr die gute Ausstattung dieses Buches und die stete Forde rung. Tagung tiber Nichtlineare Aufgaben der Numerischen Mathematik vom 17. bis 23. November 1968 Leiter: L. COLLATZ lind H. WERNER V ortragsauszuge BROSOWSKJ, B., K.-H. HOFFMANN, E. SCHAFER lind H. WEBER: Stetigkeits- siitze fUr metrische Projektionen . . . . . . . . . . . . . .. II BROSOWSKI, B., K.-H. HOFFMANN, E. SCHAFER lind H. WEBER: Metrische Projektionen auf Iineare TeiIriiume von CO [Q, H] . . . . . . .. 19 FREHSE, J.: Ober die Konvergenz von Differenzen- und anderen Niihe- rungsverfahren bei nichtlinearen Variationsproblemen . . . . .. 29 LAASONEN, P.: Ober einige L6sllngsverfahren nichtlinearer Gleichungs- systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45 LANCASTER, P.: Spektraleigenschaften von Operatorfunktionen . . .. 53 MAYER, H.: Abschiitzungen fUr den Defektvektor der L6sung eines linea- ren Gleichungssystems bei Ungenauigkeiten in den Ausgangsdaten und numerische Auswertung dieser Abschiitzungen . . . . . .. 61 NITSCHE, J.: Konvergenz des Ritz-Galerkinschen Verfahrens bei nicht- linearen Operatorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .. 75 NIXDORFF, K.: Nichtlineare Rechenmethoden der Peiltechnik . . . .. 83 NIXDORFF, K.: Bemerkungen zur Anwendung der harmonischen Balance 89 REIMER, M.: Semidefinite Peano-Kerne stabiler Differenzenformen. .. 91 WETTERLlNG, W.: Ober Minimalbedingungen und Newton-Iteration bei nichtlinearen Optimierungsaufgaben 93 ZELLER, K.: Newton-Cebysev-Approximation . . . . . . . . . " 10 1 Tagung iiber Numerische Methoden der Approximationstheorie vom 8. bis 14. Juni 1969 Leiter: L. COLLATZ und G. MEINARDUS Vortragsauszuge ANSELONE, P. M.: Abstract Riemann Integrals, Monotone Approxima- tions, and Generalizations of Korovkin's Theorem 107 CHENEY, E. W. and K. PRICE: Minimal Interpolating Projections 115 COLLATZ, L.: Approximationstheorie und Anwendllngen. . . . 123 GILBERT, R. P.: Integral Operator Methods for Approximating Solu- tions of Dirichlet Problems . . . . . . . . . . . . . 129 HAUSSMANN, W.: Mehrdimensionale Hermite-Interpolation 147 LOCHER, F., und K. ZELLER: Approximation auf GiUerpunkten 161 LUPAS, A.: On the Approximation by Linear Positive Operators 167 SMITH, L. B.: Using Interactive Graphical Computer Systems on Appro- ximation Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 177 Tagung fiber Iterationsverfahren in der Numerischen Mathematik vom 16. bis 22. November 1969 Leiter: L. COLLATZ und H. UNGER Vortragsauszfige DORING, B.: Ein Satz fiber eine von Grebenjuk betrachtete Klasse von Iterationsverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . .. 195 GEKELER, E.: Relaxation bei einer Klasse nichtIinearer Gleichungs- systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 NIETHAMMER, W.: Konvergenzbeschleunigung bei einstufigen Itera- tionsverfahren durch Summierungsmethoden. . . . . . . . .. 235 WACKER, H. J.: Eine Losungsmethode zur Behandlung nichtlinearer Randwertprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245 Tagung fiber NichtHneare Aufgaben der Numerischen Mathematik 17. bis 23. November 1968 Leiter: L.Collatz und H. Werner 11 STETIGKEITSSATZE FUR METRISCHE PROJEKTIONEN von B. Brosowski, K. -H. Hoffmann, E. Schafer, H. Weber in Munchen Es seien Rein normierter linearer Raum und V eine nichtleere Teilmenge von R. Wir betrachten die folgende Approximationsaufgabe: Zu einem gege benen Element f aus R bestimme man ein Element v 0 aus V derart, daB gilt Ilf-v II = inf Ilf-v II· o vEV Jedes Element v 0 aus V mit dieser Eigenschaft heiBt eine Minimallosung fUr f bezuglich V. Wir setzen E(f, V):= inf Ilf-v II und definieren durch vEV die Abbildung --~) UI(V). Dabei bezeichnet UI (V) die Menge der abgeschlossenen Teilmengen von V. Man nennt die Abbildung Pv die zu V gehorige metrische Projektion. In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir Stei.igkeitseigenschaften dieser Ab bildung. Stetigkeitseigenschaften derartiger mengenwertiger Abbildungen sind auch fUr numerische Fragen von Interesse. Betrachten wir zunachst den bekann ten Fall, daB fUr jedes f aus R die Menge PV(f) genau ein Element ent- 12 B. Brosowski, K. -H. Hoffmann, E. Schafer und H. Weber halt (d. h. V ist eine Tschebyscheff-Menge). Man kann dann Pv als Abbil dung von R in V auffassen, die im allgemeinen nicht stetig ist (vgl. WERNER [llJ). Will man fUr ein Element 1 aus Reine Minimallosung beziiglich V bestimmen, so muJ3 man in der Praxis haufig eine beste Approximierende fUr 1 111-1 II ein Element beziiglich V bestimmen, wobei < E ist und E im Prinzip beliebig klein gemacht werden kann. Wenn die Abbildung P V stetig ist, so unterscheidet sich fUr hinreichend kleines E auch P V (7) nur wenig von P V (I). Nun hat man heute auch Konstruktionsverfahren zur Bestimmung von Minimallosungen, selbst wenn die Approximationsaufgabe nicht eindeutig losbar ist. Es sei hier das Verfahren von TOEPFER CloJ fUr die Tscheby scheff-Approximation genannt, das sich nach einem Vorschlag von LAURENT [8J auf beliebige reelle normierte Raume verallgemeinern laJ3t. Es erhebt sich dann wie im Fall der Tschebyscheff-Mengen die Frage nach der Stetigkeit der nun im allgemeinen mengenwertigen Abbildung PV• Stetigkeitsbegriffe fUr mengenwertige Abbildungen sind schon seit langem be kannt. Ma n definiert nach HAHN [7 J: 1. Die Abbildung P V heiJ3t 1:0 -stetig oder oberhalb stetig in 1 E R, wenn fUr jede offene Menge U C V mit PV(I) C U eine offene Menge W mitl E W existiert, so daJ3 mit g E W auch PV(g) C U gilt. 2. Die Abbildung Pv heif3t 1:u -stetig oder unterhalb stetig in 1 E R, wenn fUr jede offene Menge U C V mit P V (I) n U 'I" eine offene Menge W mit 1 E W existiert, so daf3 mit g E W auch PV(g) n U 'I" gilt. 3. 1st die Abbildung Pv sowohl1:o - als auch 1:u -stetig, so heif3t Pv eine 1:s- stetige Abbildung. Wie der folgende Satz von SINGER [9J zeigt, ist die Bedingung der 1:0 -Stetig keit von P V nicht sehr einschrankend. SATZ 1: [st V eine approximativ-kompakte Teilmenge1) von R, so ist Pv eine 1:0 -stetige Abbildung. Jedoch ist im allgemeinen Pv selbst fUr lineare Teilraume nicht 1:s -stetig. Die jenigen reellen normierten Raume, bei denen die metrische Projektion fUr gewis se approximativkompakte Teilmengen stets 1:s -stetig ist, werden im folgenden Satz charakterisiert. SA T Z 2: FUr einen reellen normierten Raum R sind die lolgenden Aussagen