INVERSION D’OPE´RATEURS DE COURBURES AU VOISINAGE D’UNE ME´TRIQUE RICCI PARALLE`LE II : VARIE´TE´S NON COMPACTES A` GE´OME´TRIE BORNE´E. ERWANN DELAY 7 1 0 2 R´esum´e. Onconsid`ereune vari´et´eriemannienne (M,g)noncom- pacte,compl`ete,`ag´eom´etrieborn´eeetcourburedeRicciparall`ele. n Nous montrons que certains op´erateurs ”affines” en la courbure a J de Ricci sont localement inversibles, dans des espaces de Sobolev 3 classiques, au voisinage de g. 2 ] G Mots clefs : Vari´et´e non compacte, Courbure de Ricci, 2-tenseurs D sym´etriques, syst`eme elliptique quasi-lin´eaire, Probl`eme inverse, es- . paces de Sobolev. h t a m 2010 MSC : 53C21, 53A45, 58J05, 58J37, 35J62. [ 1 v 0 Table des mati`eres 9 3 6 1. Introduction 1 0 2. D´efinitions, notations et conventions 3 . 1 3. Outils d’analyse 4 0 4. Le th´eor`eme principal 5 7 1 5. Op´erateurs de type Riemann-Christoffel 7 : v 6. Appendice 8 i R´ef´erences 10 X r a 1. Introduction Surunevari´et´eRiemannienne(M,g),consid´erons Ric(g)sacourbure de Ricci et R(g) sa courbure scalaire. Parmi les (champs de) 2-tenseurs sym´etriques g´eom´etriques naturels que l’on peut construire, les plus simplessontceuxquiseront”affines”enlacourburedeRicci,autrement dit, de la forme Ein(g) := Ric(g)+κR(g)g +Λg, Date: 22 janvier 2017. 1 2 E. DELAY ou` κ et Λ sont des constantes. Ainsi, si κ = Λ = 0 on retrouve la courbure de Ricci, si κ = −1 le tenseur d’Einstein (avec constante 2 cosmologique Λ), enfin si κ = − 1 et Λ = 0 le tenseur de Schouten. 2(n−1) Ce tenseur est g´eom´etriquement naturel : pour tout diff´eomorphisme ϕ assez r´egulier, ∗ ∗ ϕ Ein(g) = Ein(ϕ g). Nous nous posons ici le probl`eme de l’inversion de l’op´erateur Ein. On se donne donc E un champ de tenseur sym´etrique sur M, on cherche g m´etrique riemannienne telle (1.1) Ein(g) = E. On doit ainsi r´esoudre un syst`eme quasi-lin´eaire particuli`erement com- plexe. La motivation d’une telle question, ainsi qu’une liste des travaux ant´erieurs sur le sujet, sont d´etaill´es dans [4] et ses r´ef´erences, cette question y ´etant ´etudi´ee sur des vari´et´es compactes. L’objectif de cette note est de montrer que les r´esultats alors obte- nus sont transposables `a une large classe de vari´et´es non compactes. Les preuves identiques ne seront pas reproduites. Cette exposition veut faire ressortir uniquement des ingr´edients suffisants pour r´epondre au probl`eme dans ce nouveaux contexte. Elle permettra une adaptation ais´ee `a d’autres cadres. Par exemple, pour des g´eom´etries particuli`eres, ou` l’on veut mesurer plus pr´ecis´ement le comportement des fonctions ou(champsde)tenseursviadesespaces`apoids(vari´et´esasymptotique- ment cylindriques, asymptotiquement coniques, `a cusps, a` singula- rit´es coniques,...), il suffira de v´erifier l’´eventuelle validit´e des quelques ´etapes donn´ees ici. Certains cas de vari´et´es asymptotiquement eucli- diennes ou asymptotiquement hyperboliques ayant ´et´e analys´ees par le pass´e [3,5–7]. On consid`ere une vari´et´e riemannienne (M,g) sans bord, compl`ete, non compacte, lisse et Ricci parall`ele. Nous supposons de plus qu’elle est `a g´eom´etrie born´ee : son rayon d’injectivit´e est minor´e (par une constante strictement positive) et toutes les d´eriv´ees covariantes de la courbure de Riemann sont born´ees. Notre but est de prouver un r´esultat d’existence locale sur M pr`es de la m´etrique g. Nous travaillons pour cela dans des espaces de Sobolev classiques Hk de fonctions (ou champs de tenseurs, voir section 3 pour une d´efinition plus pr´ecise). Un exemple de r´esultat que nous nous proposons de montrer ici est le suivant : Th´eor`eme 1.1. Soit s ∈ N tels que s > n, κ = 0. Soit Λ un r´eel tel 2 que −2Λ n’est pas dans le spectre L2 du Laplacien de Lichnerowicz ∆ , L ou bien est simplement dans son spectre discret. On suppose aussi que −2Λ n’est pas dans le spectre L2 du Laplacien de Hodge agissant sur INVERSION D’OPE´RATEURS DE COURBURE II 3 les 1-formes. Alors pour tout e ∈ Hs+2(M,S ) petit, il existe un unique 2 h proche de z´ero dans Hs+2(M,S ) telle que 2 1 Ein(g +h)+ Π(h) = Ein(g)+e, 2 ou` Π(h) est la projection orthogonale L2 de h sur le noyau de ∆ +2Λ. L De plus l’application e 7→ h est lisse au voisinage de z´ero entre les espaces de Hilbert correspondants. Pour Λ assez grand toutes les conditions sont clairement v´erifi´ees et Π = 0, l’´equation (1.1) est donc r´esolue au voisinage de g. Ce th´eor`eme est un cas particulier du th´eor`eme 4.2 ou` tous les κ 6= −1/n et κ 6= −1/2(n − 1) sont aussi autoris´es `a condition que la m´etrique g soit en plus d’Einstein. L’analogue du r´esultat sur la courbure de Ricci contravariante obtenu dans [4] est facilement trans- posable dans ce nouveau contexte, il ne sera pas d´ecrit ici. La r´egularit´e de notre solution est optimale, il suffit de transporter l’´equation par un diff´eomorphisme peu r´egulier pour s’en convaincre. Le fait que la m´etrique de d´epart soit Ricci parall`ele ´equivaut au fait qu’elle est localement le produit de m´etriques d’Einstein (voir par exemple [10]). Cette inversion nous permet ensuite, en section 5 de prouver que l’image de certains op´erateurs de type Riemann-Christoffel sont des sous-vari´et´es dans des espaces de Fr´echet. Remerciements.Jeremercie Gilles Carronpourles r´ef´erences [9]et [1]. 2. D´efinitions, notations et conventions Pour une m´etrique riemannienne g, nous noterons ∇ sa connexion de Levi-Civita, parRic(g)sa courburedeRicciet parRiem(g)sa courbure de Riemann sectionnelle. SoitT q l’ensemble destenseurs covariantsderangpetcontravariants p de rang q. Lorsque p = 2 et q = 0, on notera S le sous-ensemble des 2 tenseurs sym´etriques, qui se d´ecompose en G ⊕S˚ ou` G est l’ensemble 2 des tenseurs g-conformes et S˚ l’ensemble des tenseurs sans trace (re- 2 lativement `a g). On utilisera la convention de sommation d’Einstein (les indices correspondants vont de 1 `a n), et nous utiliserons g et son ij inverse gij pour monter ou descendre les indices. Le Laplacien (brut) est d´efini par △ = −tr∇2 = ∇∗∇, ou` ∇∗ est l’adjoint formel L2 de ∇. Pour u un champ de 2-tenseur covariant sym´etrique, on d´efinit sa divergence par (divu) = −∇ju . i ji 4 E. DELAY Pour une 1-forme ω on M, on d´efinit sa divergence par : d∗ω = −∇iω , i et la partie sym´etrique de ses d´eriv´ees covariantes : 1 (Lω) = (∇ ω +∇ ω ), ij i j j i 2 (notons que L∗ = div). On d´efinit l’op´erateur de Bianchi des 2-tenseurs sym´etriques dans les 1-formes : 1 B (h) = div h+ d(Tr h). g g g 2 Le Laplacian de Lichnerowicz agissant sur les (champs de) 2-tenseurs covariant sym´etriques est △ = △+2(Ric−Riem), L ou` 1 (Ric u) = [Ric(g) uk +Ric(g) uk], ij 2 ik j jk i et (Riem u) = Riem(g) ukl. ij ikjl Le laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les 1-formes sera not´e ∗ ∗ ∆ = dd +d d = ∆+Ric. H 3. Outils d’analyse Les espaces que nous utiliserons sont les espace des Sobolev clas- sique Hk de fonctions ou tenseurs ayant k d´eriv´ees covariantes (au sens des distributions) dans L2. Plus pr´ecis´ement un champ de tenseur u est dans Hk(M,Tq) si u est dans Hk et, la quantit´e suivante, qui p loc repr´esentera sa norme dans Hk est finie 1 k 2 kuk = k∇(i)uk2dµ . k g g M ! Z i=1 X Sous la condition de g´eom´etrie born´ee (d´efinie en introduction), ces espaces ont beaucoup de bonnes propri´et´es comme : L’injection de Sobolev (voir [8] th´eor`eme 3.4 page 16 par exemple) n s > +k ⇒ Hs ⊂ Ck, 2 b ou` Ck est l’ensemble des fonctions (ou champs de tenseurs) Ck sur b M dont les d´eriv´ees covariantes d’ordre ≤ k sont born´ees. Cette in- jection permet entre autre de s’assurer que les champs de 2-tenseurs sym´etriques de la forme g+h, avec h petit dans Hs, sont encore d´efinit positifs. Lelemmesuivant aaussisonimportance(voir [8]th´eor`eme3.12page 21 par exemple). INVERSION D’OPE´RATEURS DE COURBURE II 5 Lemme 3.1. Soient s > n, u ∈ Hs(M,T p) et v ∈ Hs(M,T k) alors on 2 q l a u⊗v ∈ Hs(M,Tp+k). De plus il existe une constante C, ind´ependante q+l de u et v telle que ku⊗vk ≤ Ckuk kvk . s s s Enfin, nous avons besoin de propri´et´es d’isomorphismes pour des op´erateurs dutype ∇∗∇+ termes de courbures, agissant sur les champs de 2-tenseurs sym´etriques, sur les 1-formes, ou les fonctions. Nous ren- voyons le lecteur `a des r´ef´erences comme [9] ou [1] pour le vocabulaire et certains outils utilis´es ici. On consid`ere donc un fibr´e tensoriel E sur M et ∗ P = ∇ ∇+K, ou` K est un endomorphisme born´e de E. On suppose que P : H2(M,E) → L2(M,E) est Fredholm, en particulier le noyau L2 de P est de dimension finie. Nous noterons alors Π la projection orthogonale L2 sur kerP. Ainsi, si h ,...,h est une base L2-orthonorm´ee de kerP, 1 k k Π(h) = hh,hiiL2hi. i=1 X Nous pouvons ´enoncer la Proposition 3.2. Soient k ∈ N et c ∈ R avec c 6= 0. Alors P +cΠ est un isomorphisme de Hk+2(M,E) dans Hk(M,E). D´emonstration. NotonsKlenoyaudedimensionfiniedeP,ces´el´ements sont lisses par r´egularit´e elliptique. On note K⊥, l’orthogonal L2 de K. Alors P ´etant Fredholm, P : H2 ∩K⊥ −→ K⊥ est un isomorphisme. Ensuite tout ´el´ement h ∈ H2 se d´ecompose en h = u⊥ +u ∈ (H2 ∩K⊥)⊕K. L’application ⊥ ⊥ h 7→ P(u )+cu ∈ K ⊕K estclairement unisomorphisme,orc’estP+cΠ.Lar´egularit´eelliptique permet de conclure `a l’isomorphisme entre les Hk (voir par exemple [8] (cid:3) th´eor`eme 3.31 page 36). 4. Le th´eor`eme principal Ilestmaintenantbienconnuquel’´equationquenousvoulonsr´esoudre (1.1)n’estpaselliptiqueduˆ`al’invariancedelacourburepardiff´eomorphisme. Nous allons modifier cette ´equation via un terme jauge en s’inspirant de la m´ethode de DeTurck. 6 E. DELAY Tout d’abord l’´equation (1.1) est ´equivalente `a κTr E +Λ g Ric(g) = E − g. 1+nκ Pour toute m´etrique g, B (Ric(g)) = 0 par l’identit´e de Bianchi. Nous g d´efinissons donc 2κ+1 (n−2)κ B (E) = div E + dTr E = B (E)− dTr E, g g g g g 2(1+κn) 2(1+κn) de sorte que l’identit´e de Bianchi se traduise ici par B (Ein(g)) = 0. g On d´efinit [4] : κTr E +Λ F(h,e) := Ric(g+h)−E+ g+h (g +h)−L Ein−1B (E), 1+κn g g g+h ou` Ein est l’endomorphisme de T∗M associ´e `a Ein(g), g 1 E = Ein(g)+e− Π(h), 2 et Π une projection L2 sur un espace de dimension fini `a pr´eciser ult´erieurement. Proposition 4.1. Pour κ 6= −1/n, s > n l’application 2 F : Hs+2(M,S )×Hs+2(M,S ) −→ Hs(M,S ), 2 2 2 est bien d´efinie et lisse au voisinage de z´ero. D´emonstration. La preuve de cette proposition est renvoy´ee en appen- dice, elle utilise essentiellement le fait que sous ces hypoth`eses, l’es- pace Hs est ”uniform´ement” stable par produit tensoriel (voir lemme (cid:3) 3.1). Comme dans [4], d´efinissons l’op´erateur Ph := ∆ h+ 2(nκτ+Λ)h+ κ (n−2)∆Tr h−2nτ Tr h g L 1+kn n(1+κn) g g (cid:18) (cid:19) = (∆ +2κR(g)+2Λ)h+ κ (n−2)∆Tr h−2nτ Tr h g. L n(1+κn) g g (cid:18) (cid:19) Il sera li´e `a la diff´erentielle de F comme nous allons voir ci-apr`es. Notons qu’il respecte le scindage S = G ⊕ S˚. En particulier si u est 2 2 ˚ une fonction sur M et h un champ de 2-tenseurs sym´etrique sans trace, on a 1 P(ug +˚h) = p(u)g +P˚(˚h), 1+κn ou` p(u) = (1+2(n−1)κ)∆u+2Λu, et P˚(˚h) = [∆ +2κR(g)+2Λ]˚h. L INVERSION D’OPE´RATEURS DE COURBURE II 7 ˚ Pour u une fonction sur M et h un champ de 2-tenseurs sym´etrique sans trace, on d´efinit ˚ ˚ ˚ Π(ug +h) := π(u)g+Π(h), ou` π est la projection L2 sur noyau de p, et ˚Π la projection L2 sur noyau de P˚. Ainsi si h = ug on trouve [4] : 1 (n−2)nκ ˚ D F(0,0)(ug) = [p(u)+π(u)]g − Hess u, h 2 2(1+κn) ˚ ˚ ou` Hess u est la partie sans trace de la hessienne de u. Si h = h est sans trace, on obtient [4] : 1 D F(0,0)(˚h) = P˚+˚Π ˚h. h 2 (cid:16) (cid:17) D´efinissons enfin l’op´erateur agissant sur les 1-formes : P := ∆ +2κR(g)+2Λ. H H Th´eor`eme 4.2. Soient s > n/2, κ 6= −1,− 1 et Λ ∈ R. Soit g une n 2(n−1) m´etrique Ricci parall`ele si κ = 0 et d’Einstein sinon, telle que Ein(g) est non d´eg´en´er´e. On suppose que p, P˚ et P sont Fredholm de H2 H dans L2, que le noyau L2 de p est trivial ou r´eduit aux constantes, et que le noyau de P est trivial. Alors pour tout e ∈ Hs+2(M,S ) petit, H 2 il existe un unique h proche de z´ero dans Hs+2(M,S ) telle que 2 1 Ein(g +h) = Ein(g)+e− Π(h), 2 De plus l’application e 7→ h est lisse au voisinage de z´ero entre les espaces de Hilbert correspondants. D´emonstration. Idem `a [4] (cid:3) 5. Op´erateurs de type Riemann-Christoffel Nousallonsrappelercommentmontrerquel’imagedecertainop´erateurs de type Riemann-Christoffel, sont des sous vari´et´es dans C∞, au voi- sinage de la m´etrique g. D´efinissons un tenseur Ein qui soit 4 fois covariant, ayant les mˆemes propri´et´es alg´ebriques que le tenseur de Riemann, affine en la courbure et dont la trace soit proportionnelle `a Ein [4] : Ein(g) = Riem(g)+g(cid:13)∧ (aRic(g)+bR(g)g +cg), ou` (cid:13)∧ est le produit de Kulkarni-Nomizu ( [2] p. 47), −1 1+(n−2)a κ[1+a(n−2)]−a a ∈ R\ , c = Λ, b = . n−2 2(n−1) 2(n−1) (cid:26) (cid:27) On a alors Tr Ein(g) = [a(n−2)+1]Ein(g). g 8 E. DELAY La version de type Riemann-Christoffel de Ein(g) est d´efinie par [g−1Ein(g)]i := gijEin(g) . klm jklm Consid´erons R1, le sous-espace de T 1 des tenseurs v´erifiants 3 3 τi = 0, τi = −τi , τi +τi +τi = 0. ilm klm kml klm mkl lmk On d´efinit l’espace de Fr´echet H∞ = ∩k∈NHk, munit de la famille de semi-normes {k.kk}k∈N. On proc`ede alors de fac¸ons similaire `a [5] pour prouver que Th´eor`eme 5.1. Sous les conditions du th´eor`eme 4.2, on suppose de plus que le noyau de P est trivial, autrement dit Π = 0. Alors l’image de l’application H∞(M,S ) −→ H∞(M,R1) 2 3 h 7→ (g +h)−1Ein(g +h)−(g)−1Ein(g) est une sous-vari´et´e lisse au voisinage de z´ero. 6. Appendice Nous justifions ici la proposition 4.1 par une preuve formelle (voir [5] pour une preuve similaire particuli`erement d´etaill´ee). Nous pourrions omettre cet appendice, tr`es similaire `a celui de [3], qui utilise essentiel- lement le lemme 3.1. Nous avons choisi de l’adapter afin d’avoir une trame compl`ete de la r´esolution du probl`eme dans d’autres contextes. Rappelons que la diff´erence des courbures de Ricci s’exprime en co- ordonn´ees locales par Ric(g +h) −Ric(g) = ∇ Tl −∇ Tl +Tp Tl −TpTl , jk jk l jk k jl jk pl jl pk ou` 1 Tk = [(g +h)−1]ks(∇ h +∇ h −∇ h ). ij 2 i sj j is s ij Nous ´ecrirons donc abusivement Ric(g) = ∇T +TT , T = (g +h)−1∇h. Ici nous avons h petit dans Hs+2, s > n. On a alors 2 (g +h)−1 = g−1 +h , h ∈ Hs+2, avec par in´egalit´e triangulaire et par le lemme 3.1 e e khk khk ≤ Ckkhkk+1 = s+2 . s+2 s+2 1−Ckhk k∈N s+2 X e Pour khk ≤ 1 , ce qu’on suppose d´esormais, on a s+2 2C khk ≤ 2khk . s+2 s+2 e INVERSION D’OPE´RATEURS DE COURBURE II 9 On obtient alors, en utilisant encore le lemme 3.1, et en omettant dor´enavant les constantes T = (g−1 +h)∇h ∈ Hs+1 , kTk ≤ khk , s+1 s+2 et e ∇T ∈ Hs , k∇Tk ≤ kTk ≤ khk , s s+1 s+2 d’ou`, toujours en utilisant le lemme 3.1, Ric(g +h)−Ric(g) ∈ Hs , kRic(g +h)−Ric(g)k ≤ khk . s s+2 ´ Etudions maintenant l’op´erateur de Bianchi 2κ+1 B (E) = div E + dTr E, (g+h) (g+h) (g+h) 2(1+κn) que nous ´ecrirons encore abusivement B (E) = (g +h)−1(∇E +TE)+∇[(g +h)−1E]. (g+h) Compte tenu des calculs pr´ec´edent et du fait que E = Ein(g)+e (avec ∇Ein(g) = 0 par hypoth`ese), on a B (E) = (g−1 +h)[∇e+T(Ein(g)+e)]+∇[g−1e+h(Ein(g)+e)]. g+h On estime alors comme pr´ec´edemment e e B (E) ∈ Hs+1 , kB (E)k ≤ (khk +kek ), g+h g+h s+1 s+2 s+2 et L Ein−1B (E) ∈ Hs, g g g+h kL Ein−1B (E)k ≤ kB (E)k ≤ (khk +kek ). g g g+h s g+h s+1 s+2 s+2 Il reste a estimer un terme d’ordre z´ero : κTr E +Λ g+h Z := (g +h)−E +Ric(g) 1+κn On ´ecrit encore formellement, en se souvenant ici que le premier ”pro- duit” est une trace, κ(g−1 +h)(Ein(g)+e)+Λ Z = (g +h)−(Ein(g)−Ric(g)+e) 1+nκ κg−1e+eκh(Ein(g)+e)+Λ+κTr Ein(g)) g = (g +h) 1+nκ e −(Ein(g)−Ric +e). g En d´eveloppant, on remarque que le terme ”constant” : Λ+κTr Ein(g) g g −(Ein(g)−Ric(g)) 1+nκ est nul et que l’on peut estimer comme auparavant, pour k 6= −1/n, Z ∈ Hs , kZk ≤ kZk ≤ (khk +kek ). s s+2 s+2 s+2 10 E. DELAY R´ef´erences [1] C. B¨ar, The Dirac operator on hyperbolic manifolds of finite volume, J. Diffe- rential Geom. 54 (2000), no. 3, 439–488. [2] A.L. Besse, Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenz- gebiete.3.Folge,vol.10,SpringerVerlag,Berlin,NewYork,Heidelberg,1987. [3] E. Delay, Inversion d’op´erateurs de courbure au voisinage de la m´etrique eu- clidiennne, bull. Soc. Math. France, `a paraˆıtre,hal-00973138. [4] , Sur l’inversion de l’op´erateur de Ricci au voisinage d’une m´etrique Ricci parall`ele, Annales de l’institut Fourier, `a paraˆıtre,hal-00974707v2. [5] , Etude locale d’op´erateurs de courbure sur l’espace hyperbolique, J. Math. Pures Appli. 78 (1999), 389–430. [6] , Study of some curvature operators in the neighbourhood of an asymp- toticallyhyperbolic Einsteinmanifold,AdvancesinMath.168(2002),213–224. [7] E. Delay and M. Herzlich, Ricci curvature in the neighbourhood of rank-one symmetric spaces, J. Geometric Analysis 11 (2001), no. 4, 573–588. [8] Ju¨rgenEichhorn,Global analysis on open manifolds, Nova Science Publishers, Inc., New York, 2007. MR 2343536(2008i :58001) [9] M. Shubin, Th´eorie spectrale sur les vari´et´es non compactes, M´ethodes semi- classiques (volume 1) E´cole d’E´t´e (Nantes, juin 1991), Ast´erisque (1991), no. 207, 224p. [10] H. Wu, Holonomy groups of indefinite metrics, Pacific J. Math. 20 (1967), 351–392. Erwann Delay, Avignon Universit´e, Labo. de Math. d’Avignon, F- 84916 Avignon, France E-mail address: [email protected] URL: http://www.math.univ-avignon.fr