Invariants de similitudes et rØduction de Frobenius Marc SAGE 21 octobre 2005 Table des matiŁres 1 Endomorphismes cycliques 2 1.1 PrØliminaires (cid:150)notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Un rØsultat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 CyclicitØ et polyn(cid:244)me minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 CyclicitØ et matrices compagnons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Invariants de similitude et rØduction de Frobenius 7 2.1 Suite des invariants de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 RØduction de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Applications 10 3.1 Commutant et cyclicitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 RØduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3 Matrices semblables et extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.4 Rang et degrØ du polyn(cid:244)me minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.5 Une formule explicite pour le polyn(cid:244)me caractØristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1 1 Endomorphismes cycliques Soit E un K-espace vectoriel de dimension n non nulle. ConsidØrons f (E) un endomorphisme sur E. 2L On cherche des x dans E tels que x;f(x);:::;fn 1(x) soit une base de E, i.e. qui donnent une reprØsen- (cid:0) tation "cyclique" de f. (cid:0) (cid:1) 1.1 PrØliminaires (cid:150)notations Soit f (E) et x E. On note respectivement : 2L 2 (cid:22) le polyn(cid:244)me minimal de f; (cid:15) f (cid:31) le polyn(cid:244)me caractØristique de f; (cid:15) f l(cid:146)ensemble des polyn(cid:244)mes en f : f (cid:15) L =K[f]= P (f) ;P K[X] ; f L f 2 g E l(cid:146)ensemble des polyn(cid:244)mes en f ØvaluØs en x : x (cid:15) E = (x)= P (f)(x) ;P K[X] ; x f L f 2 g l(cid:146)idØal de K[X] des polyn(cid:244)mes annulant f en x : x (cid:15) I = P K[X] ;P (f)(x)=0 . x I f 2 g est principal en tant qu(cid:146)idØal de l(cid:146)anneau principal K[X], n(cid:146)est pas rØduit (cid:224) (0) car (cid:22) (f)(x)=0, donc Ix f est engendrØ par un unique (cid:22) unitaire qui vØri(cid:133)e x P (f)(x)=0 (cid:22) P. () x j (cid:22) est appelØ polyn(cid:244)me minimal de x relatif (cid:224) f. x Remarques. Si (cid:22) Øtait constant, on aurait 0 = (cid:22) (f) = 1(f) = Id et E = 0 , ce qui exclu vu que l(cid:146)on a supposØ (cid:15) f f E f g dimE 1. Il en rØsulte (cid:21) deg(cid:22) 1. f (cid:21) Puisque (cid:22) (f)(x)=0, on a toujours (cid:15) f x E; (cid:22) (cid:22) . 8 2 x j f (cid:22) n(cid:146)est jamais constant si x est non nul : en e⁄et, on a les Øquivalences (cid:15) x deg(cid:22) =0 (cid:22) =(cid:21) pour un certain (cid:21)=0 x () x 6 (cid:22) K[X]=K[X] () x =K[X] x () I 1 x () 2I 0=1(f)(x)=Id(x)=x. () Ainsi, deg(cid:22) 1 x=0. x (cid:21) () 6 Proposition (structure cyclique de E ). x E est un sous-espace vectoriel de dimension deg(cid:22) , stable par f, dont la base canonique est x x x;f(x);:::;fdeg(cid:22)x(cid:0)1(x) . (cid:0) (cid:1) DØmonstration. Si deg(cid:22) =0, alors x=0 et E est rØduit (cid:224) 0 dont l(cid:146)unique base est . On suppose donc deg(cid:22) 1. x x f g ; x (cid:21) 2 ConsidØrons l(cid:146)application linØaire K[X] E ’: (cid:0)! , P P (f)(x) (cid:26) 7(cid:0)! d(cid:146)image E et de noyau . x x I En factorisant canoniquement ’ selon K[X](cid:30)Ker’ Im’, on obtient ’ dimEx =dim K[X](cid:30)Ix =dim K[X](cid:30)((cid:22)x) =deg(cid:22)x. (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) On remarque par ailleurs que la famille x;f(x);:::;fdeg(cid:22)x(cid:0)1(x) est libre dans Ex : (cid:0) (cid:1) deg(cid:22) 1 deg(cid:22) 1 deg(cid:22) 1 x(cid:0) x(cid:0) x(cid:0) (cid:21) fi(x)=0 = (cid:21) Xi = (cid:22) (cid:21) Xi = ((cid:21) )=0 i ) i 2Ix ) x j i ) i i=0 i=0 i=0 X X X en prenant les degrØs. Pour obtenir la stabilitØ, il su¢ t de remarquer que fdeg(cid:22)x(x) reste dans Vect x;f(x);:::;fdeg(cid:22)x(cid:0)1(x) , ce qui s(cid:146)obtient en Øcrivant P (f)(x)=0. (cid:0) (cid:1) DØ(cid:133)nition. Un endomorphisme f (E) est dit cyclique s(cid:146)il y a un x dans E tel que x;f(x);:::;fn 1(x) soit une (cid:0) 2L base de E. (cid:0) (cid:1) En d(cid:146)autres termes, f est cyclique ssi x E; E =E, x 9 2 ou encore ssi x E; E = (x). f 9 2 L Proposition (structure cyclique de ). f L est un sous-espace vectoriel de (E) de dimension deg(cid:22) dont la base canonique est Lf L f Id;f;:::;fdeg(cid:22)f(cid:0)1 . (cid:0) (cid:1) DØmonstration. Comme pour E , on considŁre l(cid:146)application x K[X] (E) ’: (cid:0)! L , P P (f) (cid:26) 7(cid:0)! d(cid:146)image et de noyau (cid:22) , de sorte que Lf f (cid:0) (cid:1) dimLf =dimIm’=dim K[X](cid:30)((cid:22)f) =deg(cid:22)f. On montre ensuite que la famille Id;f;:::;fdeg(cid:22)f(cid:0)1 est libre : (cid:0) (cid:1) deg(cid:22) 1 deg(cid:22) 1 deg(cid:22) 1 f(cid:0) f(cid:0) f(cid:0) (cid:21) fi =0 = (cid:21) Xi Ker’ = (cid:22) (cid:21) Xi = ((cid:21) )=0 i ) i 2 ) f j i ) i i=0 i=0 i=0 X X X en prenant les degrØs. Remarque. Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par f et P un polyn(cid:244)me de K[X], on a P f =P (f) F F j j (cid:0) (cid:1) 3 (Øvaluer en un x F quelconque), d(cid:146)oø pour x F 2 2 (x)= P f (x) ; P K[X] = P (f) (x) ; P K[X] = P (f)(x) ; P K[X] = (x). LfjF jF 2 jF 2 f 2 g Lf (cid:8) (cid:0) (cid:1) (cid:9) n o On en dØduit la propriØtØ f cyclique [ x F; (x)=F]. F f j () 9 2 L (cid:201)tudions (cid:224) prØsent le rapport entre la cyclicitØ d(cid:146)un endomorphisme et son polyn(cid:244)me minimal. 1.2 Un rØsultat fondamental LadeuxiŁmeremarquedesprØliminairesa¢ rmeque(cid:22) (cid:22) pourtoutvecteurx.L(cid:146)ØgalitØestenfaitatteinte. x j f ThØorŁme. Il existe un x dans E tel que (cid:22) =(cid:22) . x f Lemme 1. On suppose que (cid:22) se factorise en f (cid:22) =P(cid:11)A f avec P irrØductible et A premier avec P. Alors x E; (cid:22) =P(cid:11). 9 2 x Lemme 2. Pour x;y E on a l(cid:146)implication 2 (cid:22) (cid:22) =1 = (cid:22) =(cid:22) (cid:22) . x^ y ) x+y x y DØmonstration du thØorŁme. On factorise (cid:22) en produit de facteurs irrØductibles : f r (cid:22) = P(cid:11)i. f i i=1 Y Remarquer que le produit n(cid:146)est pas vide car deg(cid:22) 1. Par le lemme 1, pour tout i on peut trouver unfx(cid:21)dans E tel que (cid:22) =P(cid:11)i, et le lemme 2 nous a¢ rme que i xi i (cid:22) =(cid:22) :::(cid:22) =P(cid:11)1:::P(cid:11)r =(cid:22) , x1+:::+xr x1 xr 1 r f d(cid:146)oø l(cid:146)ØlØment recherchØ. DØmonstration du lemme 1. Pour x E donnØ, on dispose des implications 2 x KerP(cid:11)(f) = P(cid:11)(f)(x)=0 = (cid:22) P(cid:11). 2 ) ) x j Sijamais(cid:22) P(cid:11) 1 pourtoutxdansKerP(cid:11)(f),alorsP(cid:11) 1Aannulef surKerP(cid:11)(f);commeP(cid:11) 1As(cid:146)annule x j (cid:0) (cid:0) (cid:0) Øgalement sur KerA(f) et que le lemme des noyaux nous donne E = KerP(cid:11)(f) KerA(f), on a (cid:133)nalement (cid:8) que P(cid:11) 1A annule f, d(cid:146)oø (cid:22) P(cid:11) 1A, absurde. (cid:0) f j (cid:0) 4 (cid:22) P(cid:11) Ainsi, il y a un x tel que x j , i.e. (cid:22) =P(cid:11) par irrØductibilitØ de P, CQFD. (cid:26) (cid:22)x -P(cid:11)(cid:0)1 x DØmonstration du lemme 2. On a (cid:22) (f)(y)= (cid:22) (f)(x), donc x+y (cid:0) x+y 0=(cid:22) (cid:22) (f)(y)=(cid:22) (cid:22) (f)(y)= (cid:22) (cid:22) (f)(x), x+y y y x+y (cid:0) y x+y d(cid:146)oø (cid:22) (cid:22) (cid:22) et (cid:22) (cid:22) en utilisant l(cid:146)hypothŁse de primalitØ. Par symØtrie on obtient (cid:22) (cid:22) , et on en x j y x+y x j x+y y j x+y dØduit (toujours par primalitØ) (cid:22) (cid:22) (cid:22) . x y j x+y Par ailleurs, on a (cid:22) (cid:22) (f)(x+y)=(cid:22) (cid:22) (f)(x)+(cid:22) (cid:22) (f)(y)=(cid:22) (f)(cid:22) (f)(x)+(cid:22) (f)(cid:22) (f)(y)=0, x y y x x y y x x y =0 =0 d(cid:146)oø la divisibilitØ rØciproque | {z } | {z } (cid:22) (cid:22) (cid:22) . x+y j x y 1.3 CyclicitØ et polyn(cid:244)me minimal Proposition (cyclicitØ et polyn(cid:244)me minimal). On dispose des Øquivalences f cyclique deg(cid:22) =n (cid:22) =(cid:31) . () f () f f DØmonstration. Supposonsf cyclique et soit x tel que E =E. On a alors x deg(cid:22) =dimE =dimE deg(cid:22) deg(cid:22) , x x (cid:21) f (cid:21) x d(cid:146)oø deg(cid:22) =n, ce qui Øquivaut (cid:224) (cid:22) =(cid:31) par Cayley-Hamilton. f f f RØciproquement, si deg(cid:22) = n, alors par le thØorŁme prØcØdent il existe un x E tel que (cid:22) = (cid:22) = (cid:31) , f 2 x f f d(cid:146)oø dimE =deg(cid:22) =deg(cid:22) =n x x f et E =E. x 1.4 CyclicitØ et matrices compagnons Pour P polyn(cid:244)me unitaire de degrØ n, disons P =Xn+a Xn 1+:::+a X +a , n 1 (cid:0) 1 0 (cid:0) on notera (P) la matrice compagnon de P, i.e. C 0 a 0 (cid:0) 0 1 ... ... 1 (P)= . C B ... 0 a C BB 1 (cid:0)an(cid:0)2 CC B (cid:0) n(cid:0)1 C @ A Onditqu(cid:146)unematriceA (K)estcyclique sil(cid:146)endomorphismedeKn quiluiestcanoniquementassociØ n 2M est cyclique. 5 Proposition (cyclicitØ et matrices compagnons). Soit f cyclique. Alors f est semblable (cid:224) la matrice compagnon de son poly(cid:244)me minimal : f cyclique = f (cid:22) . ) (cid:24)C f RØciproquement,si f estsemblable(cid:224)unematricecompagnon (cid:0) (P(cid:1)),alors f estcycliquedepolyn(cid:244)meminimal C P : f cyclique [ P K[X]; f (P)] = . 9 2 (cid:24)C ) (cid:22) =P (cid:26) f DØmonstration. Soit f cyclique et x E tel que E =E. On considŁre la base = x;f(x);:::;fn 1(x) de E et on note x (cid:0) 2 B (cid:22) =Xn+a Xn 1+:::+a X +(cid:0)a . (cid:1) f n 1 (cid:0) 1 0 (cid:0) On Øcrit alors fn(x) = fn(x) 0 (cid:0) = fn(x) (cid:22) (f)(x) (cid:0) f = fn(x) fn(x)+a fn 1(x)+:::+a f(x)+a x n 1 (cid:0) 1 0 (cid:0) (cid:0) = a fn 1(x) ::: a f(x) a x, n 1 (cid:0)(cid:0) 1 0 (cid:1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d(cid:146)oø 0 a 0 (cid:0) 0 1 ... ... 1 Matf = = (cid:22) . B BBB ... 01 (cid:0)aan(cid:0)2 CCC C(cid:0) f(cid:1) B (cid:0) n(cid:0)1 C @ A Supposons rØciproquement qu(cid:146)il y a une base =(e ;:::;e ) de E et un polyn(cid:244)me P de K[X] tels que 1 n B 0 a 0 (cid:0) 0 1 ... ... 1 Matf = (P)= . B C BBB ... 01 (cid:0)aan(cid:0)2 CCC B (cid:0) n(cid:0)1 C @ A On lit dans la matrice que f(e )=e pour i=1;:::;n 1, donc i i+1 (cid:0) = e ;f(e );f2(e );:::;fn 1(e ) , 1 1 1 (cid:0) 1 B d(cid:146)oø la cyclicitØ de f. (cid:0) (cid:1) Remarque. LapropositionprØcØdentepermetd(cid:146)obtenirsanse⁄ortlepolyn(cid:244)meminimald(cid:146)unematrice compagnon. En e⁄et, pour P K[X], la matrice (P) est clairement cyclique dans la base canonique de Kn, 2 C d(cid:146)oø (cid:22) =(cid:31) =P. (P) (P) C C Nous allons (cid:224) prØsent montrer que l(cid:146)on peut toujours casser l(cid:146)espace ambiant E en sous-espaces stables sur lesquels f est cyclique ((cid:224) l(cid:146)exemple de E ). x 6 2 Invariants de similitude et rØduction de Frobenius 2.1 Suite des invariants de similitude ThØorŁme (invariants de similitudes). Soit f (E). Il existe F ;:::;F des sous-espaces vectoriels de E non rØduits (cid:224) 0 tels que 1 r 2L f g (i) E =F ::: F ; 1 r (cid:8) (cid:8) (ii) F est stable par f et f est cyclique; (iii) eni posant (cid:22) =(cid:22) , ojnFia la suite de divisibilitØs i fjFi (cid:22) (cid:22) ::: (cid:22) (cid:22) =(cid:22) . r j r(cid:0)1 j j 2 j 1 f Par ailleurs, la suite ((cid:22) ;:::;(cid:22) ) ne dØpend que de f et non des F ; on l(cid:146)appelle la suite des invariants de 1 r i similitude de f. DØmonstration. Existence. Par rØcurrence sur n. Notons (cid:23) =deg(cid:22)f 2N(cid:3). Soit x E tel que (cid:22) =(cid:22) et notons e =fi 1(x) pour i=1;:::;(cid:23). On sait que 2 x f i (cid:0) E =Ke Ke ::: Ke x 1 2 (cid:23) (cid:8) (cid:8) (cid:8) eststableparf envertudel(cid:146)identitØ(cid:22) (f)(x)=0(laquellemontrequef(cid:23)(x)restedansVect x;f(x);:::;f(cid:23) 1(x) ). f (cid:0) Cette derniŁre ØgalitØ nous permet en outre d(cid:146)Øcrire Mat f = (cid:22) , donc f est cyclique et (cid:22) =(cid:22) . En(cid:133)n, dimE =(cid:23) 1, donc E n(cid:146)est pas rØduit(e(cid:224)1;:::0;e(cid:23).)TjoEuxt celaCfaitf de E unjEb(cid:0)xon candidat pour (cid:1) Ffj.EIxl fautfmaintenant troxuver (cid:21)un "gentil" sxupplØmentaire de Ef sgur lequel on(cid:0)pou(cid:1)rra rxØcurrer. 1 x ComplØtons (e ;:::;e ) en une base quelconque de E, de sorte que l(cid:146)on puisse parler des e dans cette base. 1 (cid:23) (cid:3)i On pose successivement F = Ke Ke ::: Ke , 1 2 (cid:23) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:0) = e(cid:3)(cid:23) (cid:14)fi; i2N (cid:26)E(cid:3), G = (cid:0) (orthogonal dual). (cid:8)(cid:14) (cid:9) On a dØj(cid:224) dit que F =E Øtait stable par f, et il est en outre clair que G est stable par f : x x2(cid:0)(cid:14) =) 8i2N; e(cid:3)(cid:23) (cid:14)fi(x)=0 =) 8i2N; e(cid:3)(cid:23) (cid:14)fi(f(x))=0 =) f(x)2(cid:0)(cid:14). Montrons maintenant que F G=E. (cid:8) 1 p (cid:23) Soit y 2F \G non nul. Puisque y 2F, y s(cid:146)Øcrit pi=1(cid:21)iei oø (cid:21)(cid:20)p =(cid:20)0 (p est le plus grand indice i tel (cid:26) 6 que (cid:21)i =0). Comme de plus y G, on a P 6 2 p p 0 = e f(cid:23) p(y)=e f(cid:23) p (cid:21) e =e (cid:21) f(cid:23) p(e ) (cid:3)(cid:23) (cid:14) (cid:0) (cid:3)(cid:23) (cid:14) (cid:0) i i! (cid:3)(cid:23) i (cid:0) i ! i=1 i=1 X X p p p = e (cid:21) e = (cid:21) e (e )= (cid:21) (cid:14)(cid:23) p+i =(cid:21) , absurde. (cid:3)(cid:23) i (cid:23) p+i i (cid:3)(cid:23) (cid:23) p+i i (cid:23)(cid:0) p (cid:0) ! (cid:0) i=1 i=1 i=1 X X X On veut maintenant dimF +dimG=n, ce qui Øquivaut sucessivement (cid:224) dimE =n dimG deg(cid:22) =n dim(cid:0) dim =dimVect(cid:0). x (cid:0) () x (cid:0) (cid:14) () Lf On considŁre pour cela l(cid:146)application linØaire Vect(cid:0) ’: Lf (cid:0)! P (f) e P (f) (cid:26) 7(cid:0)! (cid:3)(cid:23) (cid:14) 7 clairementsurjective,etonmontresoninjectivitØ.Soitu Ker’nonnul:onpeuttoujoursØcrireu= p (cid:21) fi 2 i=0 i 0 p<(cid:23) oø (cid:20) , d(cid:146)oø P (cid:21) =0 p (cid:26) 6 p p 0 = e u f(cid:23) p 1(x) =e (cid:21) fi+(cid:23) p 1(x) =e (cid:21) e (cid:3)(cid:23) (cid:14) (cid:0) (cid:0) (cid:3)(cid:23) (cid:14) i (cid:0) (cid:0) ! (cid:3)(cid:23) i i+(cid:23)(cid:0)p! i=0 i=0 (cid:0) (cid:1) X X p p = (cid:21) e (e )= (cid:21) (cid:14)i+(cid:23) p =(cid:21) , absurde. i (cid:3)(cid:23) i+(cid:23) p i (cid:23) (cid:0) p (cid:0) i=0 i=0 X X Ainsi ’ est un isomorphisme, d(cid:146)oø l(cid:146)ØgalitØ des dimensions dim =dimVect(cid:0). f L Dans le cas oø dimG=0, on a terminØ. Sinon, puisque (cid:22) =(cid:22) =(cid:22) , (cid:22) annule f, donc annule f , d(cid:146)oø (cid:22) (cid:22) = (cid:22) . Il su¢ t alors de rØcurrer en se pla(cid:231)anftjFsur lefsjEoxus-espfacefGjF (qui est bien de dimensijoGn fG j fF f 1). j j (cid:21) UnicitØ. F ;:::;F Supposons que 1 r vØri(cid:133)ent les conditions du thØorŁme. On peut toujours supposer r s par G1;:::;Gs (cid:20) (cid:26) P =(cid:22) symØtrie. Notons Qi =(cid:22)fjFi . On veut ( j fjGj (P ;:::;P )=(Q ;:::;Q ). 1 r 1 s Si ce n(cid:146)est pas le cas, on peut considØrer k le plus petit indice k r tel que P = Q . Un tel k existe, sinon 0 k k 0 (cid:20) 6 on aurait (P ;:::P )=(Q ;:::;Q ), d(cid:146)oø 1 r 1 r r r s s r s degP = dimF =n= dimG = degQ = degP + degQ i i j j j j i=1 i=1 j=1 j=1 j=1 j=r+1 X X X X X X et s degQ =0, j j=r+1 X ce qui force s r puis s=r, d(cid:146)oø (cid:20) (P ;:::P )=(Q ;:::;Q )=(Q ;:::;Q ), exclu. 1 r 1 r 1 s Ensuite, en notant (cid:25) =P (f), puisque que tous les F sont stables par f, donc par tout polyn(cid:244)me en F, a k0 i fortiori par (cid:25), on peut Øcrire (cid:25)(E) = (cid:25)(F ::: F ;)=(cid:25)(F ) ::: (cid:25)(F ) 1 r 1 r (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) = (cid:25)(F ) ::: (cid:25)(F ) [(cid:25)(F ) ::: (cid:25)(F )] ; 1 (cid:8) (cid:8) k0(cid:0)1 (cid:8) k0 (cid:8) (cid:8) r on a de mŒme (cid:25)(E)=(cid:25)(G ) ::: (cid:25)(G ) [(cid:25)(G ) ::: (cid:25)(G )]. 1 (cid:8) (cid:8) k0(cid:0)1 (cid:8) k0 (cid:8) (cid:8) s (cid:25)(F ) ::: (cid:25)(F )= 0 On va montrer qu(cid:146)en fait k0 (cid:8) (cid:8) r f g . (cid:25)(G ) ::: (cid:25)(G )= 0 (cid:26) k0 (cid:8) (cid:8) s f g Soit i un indice tel que k i r. 0 (cid:20) (cid:20) Par hypothŁse, P ::: P P , donc P P , d(cid:146)oø successivement r j j k0+1 j k0 i j k0 (cid:22) P = P f =0 = P (f) =0 = (cid:25) =0 = dim(cid:25)(F )=0. fjFi j k0 ) k0 jFi ) k0 jFi ) jFi ) i (cid:0) (cid:1) Soit maintenant i un indice tel que 1 i<k . 0 (cid:20) Toujours par hypothŁse, f est cyclique, donc est semblable (cid:224) (cid:22) = (P ), et de mŒme f jFi C fjFi C i jGi (cid:24) C(Qi)=C(Pi) car (P1;:::;Pk0(cid:0)1)=(Q1;:::;Qk0(cid:0)1). On en dØduit (cid:16) (cid:17) f f = P f P f = (cid:25) (cid:25) = rg(cid:25) =rg(cid:25) = dim(cid:25)(F )=dim(cid:25)(G ). jFi (cid:24) jGi ) k0 jFi (cid:24) k0 jGi ) jFi (cid:24) jGi ) jFi jGi ) i i (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) 8 En reprenant les deux "cassages" de (cid:25)(E) ci-dessus (cid:25)(F ) ::: (cid:25)(F ) [(cid:25)(F ) ::: (cid:25)(F )] 1 (cid:8) (cid:8) k0(cid:0)1 (cid:8) k0 (cid:8) (cid:8) r (cid:25)(E)=(cid:12) mŒme dimension =0 , (cid:12) (cid:12)(cid:12) (cid:25)|(G1)(cid:8):::{(cid:8)z (cid:25)(Gk0(cid:0)1})(cid:8)[|(cid:25)(Gk0)(cid:8){:z::(cid:8)(cid:25)(Gs})] (cid:12) (cid:12) z }| { on obtient (cid:12) dim[(cid:25)(G ) ::: (cid:25)(G )]=0 = dim(cid:25)(G )=0 = (cid:25) =0 k0 (cid:8) (cid:8) s ) k0 ) jGk0 = P f =0 = (cid:22) P = Q P . ) k0 jGk0 ) fjGk0 j k0 ) k0 j k0 (cid:16) (cid:17) Un argument symØtrique nous donnerait l(cid:146)autre sens, d(cid:146)oø l(cid:146)ØgalitØ P =Q qui contredirait la dØ(cid:133)nition k0 k0 de k . 0 2.2 RØduction de Frobenius ThØorŁme (rØduction de Frobenius). Si (cid:22) ;:::;(cid:22) est la suite des invariants de similitude de f, il existe une base de E oø 1 r B ((cid:22) ) C 1 Matf =0 ... 1. B ((cid:22) ) B C r C @ A De plus : (cid:22) =(cid:22) f 1 . (cid:31) =(cid:22) :::(cid:22) (cid:26) f 1 r DØmonstration. La rØduction dØcoule directement du thØorŁme prØcØdent et du fait qu(cid:146)un endomorphisme cyclique est sem- blable (cid:224) la matrice compagnon de son polyn(cid:244)me minimal. Pour obtenir le polyn(cid:244)me caractØristique, il su¢ t d(cid:146)Øcrire (cid:31) =(cid:31) =(cid:31) :::(cid:31) =(cid:22) :::(cid:22) par construction de la matrice compagnon. f ((cid:22) ) ((cid:22) ) ((cid:22) ) 1 r C 1 C 1 C r 0 ... 1 B C B ((cid:22) ) C BB C r CC @ A Corollaire (caractØrisation des classes de similitudes). Deux endomorphismes sont semblables ssi ils ont la mŒme suite d(cid:146)invariants de similitude. Lemme. Soit f (E), ’ (E) et g = ’f’ 1. On se donne F un sous-espace vectoriel de E stable par f. (cid:0) 2 L 2 GL Alors : (i) ’(F) est stable par g; (ii) f cyclique = g cyclique; F ’(F) (iii) (cid:22)j =(cid:22) .) j g’(F) fF j j DØmonstration du lemme. (i) Supposons f(F) F. Alors (cid:26) g(’(F))=g’(F)=’f’ 1’(F)=’f(F) ’(F), (cid:0) (cid:26) F (cid:26) donc ’(F) est stable par g. |{z} 9 (ii) Supposons f cyclique. Par la derniŁre remarque des prØliminaires, il y a un x F (mieux que F 0 x E) tel que j 2 0 2 F = (x ). f 0 L En remarquant que pour P K[X] on a 2 ’(P (f(x ))) = ’ P (f)(x )=’ P ’ 1g’ (x )= ’ ’ 1P (g)’ (x ) 0 0 (cid:0) 0 (cid:0) 0 (cid:14) (cid:14) (cid:14) = [P (g)’](x )=P (g)(’(x )), 0 (cid:0) 0 (cid:1) (cid:2) (cid:3) on dispose des Øquivalences y ’(F) x F; y =’(x) 2 () 9 2 x (x); y =’(x) f () 9 2L P K[X]; y =’(P (f(x ))) 0 () 9 2 P K[X]; y =P (g)[’(x )] 0 () 9 2 y (’(x )), g 0 () 2L d(cid:146)oø ’(F)= (’(x )), et g cyclique. g 0 ’(F) (iii) SoLit P K[X]. Ejn Øcrivant 2 P g =P (g) =P ’f’ 1 =’P (f)’ 1 , ’(F) ’(F) (cid:0) ’(F) (cid:0)’(F) j j j j (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) on a par Øquivalences P g =0 y ’(F); P g (y)=0 ’(F) ’(F) j () 8 2 j (cid:0) (cid:1) () 8x2F; ’P (f(cid:0))’(cid:0)’1(F(cid:1)) (’(x))=0 j x F; ’hP (f)(x)=0i () 8 2 ’ P f =0 F () (cid:14) j P f =0 car ’ est inversible, F(cid:0) (cid:1) () j desortequelespolyn(cid:244)mesannulateursdeg sont(cid:0)lesm(cid:1)Œmesqueceuxdef ;parconsØquent,lesgØnØrateurs ’(F) F unitaires de ces idØaux co(cid:239)ncident, i.e. (cid:22) j =(cid:22) , CQFD. j g’(F) fF j j DØmonstration du corollaire. Soient f et g deux endomorphismes semblables, mettons g = ’f’ 1 oø ’ isomorphisme. ConsidØrons des (cid:0) F ;:::;F associØs (cid:224) f comme dans le thØorŁme. En posant G =’(F ), on a 1 r i i E =’(E)=’(F ::: F )=’(F ) ::: ’(F )=G ::: G . 1 r 1 r 1 r (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) Par ailleurs, le lemme nous dit que les G sont stables par g, que les g sont cycliques et que (cid:22) = (cid:22) . Comme d(cid:146)autre part on a (cid:22) = (cid:22) (deuxiendorphismes semblables ontjGmiŒme polyn(cid:244)me minimal)g,jGdiu derfnjFieir g f point on dØduit (cid:22) (cid:22) ::: (cid:22) (cid:22) =(cid:22) . gjGr j gjGr(cid:0)1 j j gjG2 j gjG1 g Par l(cid:146)unicitØ du thØorŁme, les (cid:22) =(cid:22) sont les invariants de similitudes de g, d(cid:146)oø le rØsultat. Le sens rØciproque est triviagljGeni appflijFqiuant la rØduction de Frobenius. 3 Applications 3.1 Commutant et cyclicitØ On note Commf le commutant d(cid:146)un endomorphisme f : Commf = u (E); uf =fu . f 2L g 10