Introduzione alla teoria dei semigruppi Alessandra Lunardi Corso di Equazioni di Evoluzione, Secondo Semestre, a.a. 2014/15 2 Indice 1 Preliminari 9 1.1 Funzioni con valori in spazi di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Derivate e integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Problemi lineari nel caso in cui A `e limitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Spettro e risolvente 21 2.1 Definizioni e propriet`a elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Punti isolati dello spettro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Un esempio importante: l’operatore di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Semigruppi fortemente continui 43 3.1 Generalit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.1 Il generatore infinitesimale di T(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.2 Comportamento asintotico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Il teorema di Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3 Problemi non omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4 Semigruppi analitici 73 4.1 Definizioni e propriet`a fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2 Esempi di operatori settoriali e non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.1 Esempi in dimensione 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.3 Esempi in dimensione n ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.4 Gli spazi di interpolazione D (θ,∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 A 4.4.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3 4 4.5 Problemi non omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.5.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.6 Comportamento asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.6.1 Comportamento di etA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.7 Comportamento asintotico in problemi non omogenei . . . . . . . . . . . . . 118 4.7.1 Soluzioni limitate in [0,+∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.7.2 Soluzioni limitate in (−∞,0] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.7.3 Soluzioni limitate in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.7.4 Soluzioni con crescita o decadimento esponenziale . . . . . . . . . . 127 4.7.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Introduzione Queste sono le note di un corso semestrale di introduzione alla teoria dei semigruppi di operatori in spazi di Banach e delle equazioni di evoluzione lineari in spazi di Banach, dette equazioni astratte. Il primo importante risultato di tale teoria `e il teorema di Hille-Yosida sui semigruppi fortemente continui, che sar`a dimostrato nel capitolo 3. L’importanza di questo teorema non `e solo storica. Infatti `e un teorema molto generale che si applica a una vasta classe di problemi, che include equazioni e sistemi differenziali iperbolici (del tipo dell’equazione delle onde), parabolici (del tipo dell’equazione del calore), equazioni e sistemi integro- differenziali (del tipo delle equazioni di evoluzione delle popolazioni con struttura di et`a). Come tutti i teoremi molto generali non d`a per`o informazioni particolarmente precise nei singoli casi specifici in cui viene applicato. In particolare per quanto riguarda le equazioni di tipo parabolico avremo bisogno di studiare in dettaglio una classe di semigruppi detti semigruppi analitici (capitolo 4). Vediamo in un esempio concreto in cosa consistono i metodi astratti nelle equazioni a derivate parziali. Uno degli esempi piu´ semplici fra quelli significativi `e l’equazione del calore,  u (t,x) = u (t,x)+f(t,x), 0 < t ≤ T, 0 ≤ x ≤ 1,  t xx     u(0,x) = u (x), 0 ≤ x ≤ 1, (1) 0      u(t,0) = u(t,1) = 0, 0 ≤ t ≤ T. L’incognita `e la funzione u, mentre f e u sono dati. Il metodo che seguiremo sar`a quello 0 di vedere l’equazione (1) come equazione di evoluzione in un opportuno spazio di Banach, di studiarla usando risultati per equazioni astratte, e di interpretare poi tali risultati in termini del problema iniziale. Poniamo u(t,·) = U(t), f(t,·) = F(t), 0 ≤ t ≤ T, cosicch´e, per ogni t ∈ [0,T], U(t) e F(t) sono funzioni della variabile x appartenenti a un opportuno spazio di Banach X. La scelta di X dipende dal tipo di risultati che cerchiamo, o dalla regolarit`a dei dati. Per esempio, se f e u sono continue una scelta naturale `e 0 X = C([0,1]), se f ∈ Lp((0,T) × (0,1)) e u ∈ Lp(0,1), p ≥ 1, una scelta naturale `e 0 5 6 Introduzione X = Lp(0,1). Fatta questa scelta, scriviamo (1) nella forma  U(cid:48)(t) = Au(t)+F(t), 0 < t ≤ T,  (2)  U(0) = u , 0 dove A `e la realizzazione della derivata seconda con condizione al bordo di Dirichlet (cio`e consideriamo funzioni che si annullano per x = 0 e per x = 1) nello spazio X scelto. Per esempio, se C([0,1]) allora D(A) = {ϕ ∈ C2([0,1]) : ϕ(0) = ϕ(1) = 0}, (Aϕ)(x) = ϕ(cid:48)(cid:48)(x). Ilproblema(2)`eunproblemadiCauchyperunaequazionedifferenzialelinearenellospazio di Banach X = C([0,1]). Per queste equazioni non si generalizza in modo ovvio la teoria delle equazioni differenziali ordinarie, perch´e l’operatore A `e definito su un sottospazio proprio di X, e non `e continuo. Si sfrutta invece una propriet`a spettrale di A, che `e la seguente: l’insieme risolvente di A contiene un settore S = {λ ∈ C : λ (cid:54)= 0, |argλ| < θ}, con θ > π/2 (per la precisione, consiste di una successione di autovalori reali negativi), e inoltre M (cid:107)(λI −A)−1(cid:107) ≤ , λ ∈ S. (3) L(X) |λ| Questa propriet`a ci permetter`a di costruire la soluzione del problema di Cauchy omogeneo (cio`e con F = 0), che per analogia col caso finito dimensionale chiameremo etAu . Per 0 ogni t ≥ 0 fissato l’applicazione u (cid:55)→ etAu `e lineare e continua. La famiglia di operatori 0 0 {etA : t ≥ 0} viene detta semigruppo analitico: semigruppo perch´e gode delle propriet`a e(t+s)A = etAesA, ∀t,s ≥ 0, e0A = I, analitico perch´e si dimostra che la funzione (0,+∞) (cid:55)→ L(X), t (cid:55)→ etA `e analitica. Vedremo poi che la soluzione di (2) nel caso generale`e data dalla formula di variazione delle costanti (cid:90) t U(t) = etAu + e(t−s)AF(s)ds, 0 ≤ t ≤ T, 0 0 usando la quale potremo studiare le propriet`a della soluzione di (2), e ricordando che U(t) = u(t,·) anche quelle di u. Uno degli studi che potremo portare bene fino in fondo `e quello del comportamento asintotico per t → +∞ (ovviamente, nel caso in cui F sia definita in [0,+∞)). I risultati sul comportamento asintotico che vedremo hanno interesse anche nel caso in cui X sia di dimensione finita, e anch’essi sono legati in modo essenziale alle propriet`a spettrali di A. Vista la natura dei problemi di cui ci occuperemo, il primo capitolo `e dedicato a fun- zioni, divariabilerealeocomplessa, convaloriinspazidiBanach, earichiamisuoperatori lineari in spazi di Banach e su equazioni differenziali lineari. Inoltre, vista l’importanza delle propriet`a spettrali di A, il secondo capitolo `e dedicato a spettro, risolvente, e pro- priet`a spettrali varie, di operatori lineari chiusi in spazi di Banach. Il cuore del corso `e nei capitoli 3 e 4, in cui sono trattati rispettivamente semigruppi fortemente continui e semigruppi analitici. 7 Il corso `e il piu´ possibile elementare ed autosufficiente; gli unici prerequisiti sono il calcolo per funzioni di una o piu´ variabili, le prime nozioni di variabile complessa, e un minimo di dimestichezza con gli spazi di Banach e gli operatori lineari in spazi di Banach. Fra gli esempi e gli esercizi ce ne sono vari che riguardano spazi Lp e spazi di Sobolev W1,p, W2,p. La conoscenza di questi spazi e delle loro propriet`a fondamentali `e molto utile dato che permette di arricchire il panorama delle applicazioni della teoria generale, tuttavia non `e indispensabile per la comprensione della maggior parte del corso. Su tutti gli argomenti sono proposti parecchi esercizi, di vari gradi di difficolt`a. Lo svolgimento di una buona parte di essi `e essenziale per impadronirsi delle nozioni e delle tecniche usate nel corso. 8 Introduzione Capitolo 1 Preliminari 1.1 Funzioni con valori in spazi di Banach Sia X uno spazio di Banach reale o complesso, con norma (cid:107)·(cid:107). Dato un intervallo I ⊂ R indichiamo con B(I;X) lo spazio vettoriale (con definizione ovvia delle operazioni lineari) delle funzioni u : I (cid:55)→ X limitate. Intenderemo sempre B(I;X) munito della norma del sup (cid:107)u(cid:107) = sup(cid:107)u(t)(cid:107). ∞ t∈I Indichiamo con C(I;X) (rispettivamente, C (I;X)) lo spazio vettoriale delle funzioni con- b tinue (rispettivamente, continue e limitate) da I in X. Se X = R oppure C scriveremo C(I) al posto di C(I;R) o C(I;C). 1.1.1 Derivate e integrali La nozione di derivata si estende in modo ovvio alle funzioni f : (a,b) (cid:55)→ X. f si dice derivabile nel punto t ∈ (a,b) se esiste il limite (nella topologia di X) del rapporto 0 incrementale f(t)−f(t ) 0 lim . t→t0 t−t0 Tale limite viene chiamato derivata di f nel punto t e indicato con f(cid:48)(t ). Analoghe 0 0 definizioni si danno per la derivata destra e sinistra. Per ogni intero positivo k indichiamo con Ck(I;X) lo spazio delle funzioni da I in X derivabili k volte, con derivate fino all’ordine k continue. Anche le definizioni di funzione di classe C∞ e di funzione analitica sono analoghe a quelle del caso X = R: si indica con C∞(I;X) lo spazio delle funzioni da I in X derivabili infinite volte; inoltre una funzione f ∈ C∞(I;X) viene detta analitica se per ogni t ∈ I esiste r > 0 tale che 0 f(t) = (cid:88)∞ (t−t0)k fk(t ), t ∈ (t −r,t +r)∩I. 0 0 0 k! k=0 9 10 Capitolo 1 Anche la nozione di integrale di Riemann si generalizza facilmente, ma non possiamo introdurresommesuperioriesommeinferioridatochesuX nonc’`eunastrutturadiordine in generale. Una funzione f : [a,b] (cid:55)→ X si dice integrabile in [a,b] se esiste un x ∈ X tale che per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni partizione a = t < t < ... < t = b di 0 1 n ampiezza minore di δ, e per ogni scelta dei punti ξ ∈ (t ,t ) valga i i−1 i (cid:13) (cid:13) n (cid:13) (cid:88) (cid:13) (cid:13)x− f(ξ )(t −t )(cid:13) ≤ ε. (cid:13) i i i−1 (cid:13) (cid:13) (cid:13) i=1 In questo caso si pone (cid:90) b f(t)dt = x. a Con la stessa dimostrazione del caso X = R si prova che ogni funzione continua da [a,b] in X `e integrabile (cfr. esercizio 7, §1.1.3). Segue subito dalla definizione che se f : [a,b] (cid:55)→ X `e integrabile in [a,b] come funzione con valori in X e A `e un operatore lineare e continuo da X a un altro spazio di Banach Y, allora la funzione Af : [a,b] (cid:55)→ Y `e integrabile in [a,b], come funzione con valori in Y, e vale (cid:90) b (cid:90) b A f(t)dt = Af(t)dt. (1.1.1) a a Questapropriet`averr`ausataspesso,esigeneralizzaaoperatorichiusi(esercizio12,§1.1.3). Gli integrali impropri su semirette o su intervalli non chiusi si definiscono come nel caso X = R. In questo corso avremo modo di incontrare principalmente integrali di funzioni conti- nue,chenonrichiedonounateoriadell’integrazioneparticolarmenteraffinata. Perqualcosa di piu´ si veda l’appendice del libro [3]. Se X `e uno spazio di Banach complesso e Ω`e un aperto in C, una funzione f : Ω (cid:55)→ X si dice olomorfa in Ω se`e derivabile in senso complesso in ogni punto z ∈ Ω, cio`e se esiste 0 il limite f(z)−f(z ) 0 lim . z→z0 z−z0 Alcune delle note propriet`a degli integrali su cammini complessi di funzioni olomorfe con valori in C si estendono al caso di funzioni con valori in spazi di Banach complessi. Sia f : Ω (cid:55)→ X olomorfa, e sia γ : [a,b] (cid:55)→ Ω una funzione continua, di classe C1 a tratti. Poniamo (cid:90) (cid:90) b f(z)dz = f(γ(t))γ(cid:48)(t)dt. γ a Ovviamente, se f `e olomorfa in Ω, per ogni x(cid:48) ∈ X(cid:48) (X(cid:48) `e lo spazio duale di X, costituito da tutte le funzioni lineari e continue da X in C) la funzione ϕ(z) = (cid:104)f(z),x(cid:48)(cid:105) `e olomorfa in Ω. Vale anche il viceversa, come mostra la seguente proposizione. Proposizione 1.1.1. Sia f : Ω (cid:55)→ X continua tale che per ogni x(cid:48) ∈ X(cid:48) la funzione ϕ(z) = (cid:104)f(z),x(cid:48)(cid:105) `e olomorfa in Ω. Allora f `e olomorfa in Ω.