Introduzione alla Matematica La Matematica della Scuola Media Renzo Sprugnoli Dipartimento di Sistemi e Informatica Viale Morgagni, 65 - Firenze (Italia) 27 settembre 2005 2 Indice Introduzione 5 1 Il linguaggio della Matematica 11 1.1 Gli insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Le relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Funzioni e operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Il contare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5 Rappresentazione dei numeri naturali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 La nomenclatura della Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.7 Matematica e Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.8 Predicati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Aritmetica 39 2.1 L’addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Confronto e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5 Divisibilit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.6 Numeri primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.7 Massimo comun divisore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.8 Le altre operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3 Numeri 65 3.1 I numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2 I numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3 I numeri decimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4 I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5 La costruzione dei numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6 Potenze, radici, logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.7 Espressioni e proporzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.8 Matematica finanziaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4 Matematiche finite 99 4.1 Calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2 Permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 Problemi combinatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4 Strutture dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.5 Il modello delle parole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.6 Il calcolo delle proposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.7 Calcolo delle probabilit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.8 Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3 4 INDICE 5 Algebra 133 5.1 Calcolo letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.2 I polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.3 Risoluzione delle equazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.4 Sistemi di equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.5 Disequazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.6 Numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.7 Equazioni di grado superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.8 Algebra astratta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6 Geometria Euclidea 163 6.1 Le basi della Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.2 Perpendicolarit`a e parallelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.3 Congruenza e similitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.4 La misura delle superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.5 Luoghi geometrici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.6 La geometria della circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.7 Poligoni regolari e cerchio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.8 Geometria dello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7 Le altre Geometrie 199 7.1 Coordinate Cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.2 L’equazione della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.3 La parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.4 Circonferenza, ellisse e iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.5 Geometrie non-Euclidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.6 Geometria descrittiva e proiettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.7 Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.8 Gli spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8 Trigonometria e Calcolo 217 8.1 Le funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.2 Le formule di somma e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.3 Risoluzione dei triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.4 Il concetto di limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.5 Logaritmo ed esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 8.6 Il calcolo differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 8.7 Lo studio delle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 8.8 Il calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Introduzione AVVERTENZA noscenze umanistiche, quali la storia, la filosofia e la stessa letteratura. Queste note devono ancora essere messe a Si pensi, per fare qualche esempio, alla determi- punto. L’autore `e consapevole del fatto che nazione dell’et`a dei reperti archeologici con il meto- esse contengono errori di forma e di sostanza. do del carbonio, allo studio statistico dell’evoluzione Ilettori sonoinvitati asegnalare tutto ci`oche di una lingua, ai modelli matematici dell’equilibrio ritengono scorretto o comunque da modifica- biologico di un determinato ambiente, alle struttu- re, togliere e aggiungere. Di tali segnalazioni re spaziali delle molecole, alle grammatiche formali l’autore ringrazia anticipatamente. per comprendere la struttura di un linguaggio. Oggi, poi,ladiffusionepervasivadeglielaboratorielettroni- c R. Sprugnoli, 2002. ° ci richiede un’impostazione mentale e un bagaglio di conoscenze di natura tecnologica e astratta, se non si vuole rimanere utenti puramente passivi di mac- chine che inglobano in s´e, nei loro programmi, co- 1. La conoscenza della Matematica `e diventata noscenze logiche e matematiche molto profonde. E un’esigenza fondamentale del mondo moderno, dove se queste macchine ci risparmiano lavoro di routine la scienza e la tecnica costituiscono una parte im- e la necessit`a di dover eseguire calcoli tanto nume- portante della cultura di ciascuna persona, che in- rosi quanto banali, non ci esimono dal conoscere i contra, ad ogni passo, riferimenti precisi ai concetti loro principi operativi (algoritmi e programmi) pena matematici. Intorno al 1600, Galileo aveva puntua- unasudditanza,psicologicaedeconomica,dachi`ein lizzato l’inizio del pensiero moderno affermando che grado di controllare queste macchine e quindi la par- la natura `e un libro scritto in termini matematici, e tedimondo,semprepiu` grande,chequestemacchine pertantolaMatematica`elostrumentofondamentale controllano. per la conoscenza della natura. Con questo spirito si Questeedaltreconsiderazionicispingonoatentare `e sviluppata la scienza moderna, che ha fatto della diriunireinununicotesto,didimensioniabbastanza Matematica un punto di riferimento e un ideale da ridotte, le conoscenze di cui uno studente dovrebbe perseguire. Ma mentre nel 1700 e nel 1800 la scienza essere padrone alla fine dei suoi studi elementari e e la tecnica erano appannaggio di una stretta mino- medi,echequindicostituisconoilbagagliodinozioni ranzadipersone,conil1900labasesi`eenormemente con cui affrontare gli studi universitari. Da un pun- allargata ed ora, all’inizio del terzo millennio, le per- to di vista puramente pratico, perci`o, `e qui raccolta sone che hanno la necessit`a di usare la Matematica tuttalaMatematicacheserveperl’accessoaunCor- per il proprio lavoro sono diventate la maggioranza. so di Laurea di tipo scientifico o tecnologico di una Spesso la conoscenza della parte tecnica della Ma- nostra Universit`a, sia per poter seguire utilmente gli tematica`elimitataallenozionichesiapprendonoalle insegnamenti del primo anno, sia per superare i test scuole elementari e medie, sia inferiori che superiori; per l’accertamento dei debiti formativi in Matemati- comunque, queste conoscenze formano la base indi- ca,attualmenteprevisti. Questotestohal’ambizione spensabile per acquisire le tecniche piu` evolute che si dipotercolmareleeventualilacunedeglistudentiche insegnano nelle Universit`a. Il sapere matematico `e intendono iscriversi al primo anno di Universit`a. un sapere unitario, che non permette frammentazio- ni, e una lacuna in un qualsiasi settore, l’aritmetica, — l’algebraolageometria,costituiscedifattounaman- canza in tutte le altre parti della Matematica. Per 2. La Matematica non `e solo una serie di nozioni questo la cosiddetta “Matematica elementare” `e una tecniche che permettono di risolvere problemi prati- base di conoscenza dalla quale `e difficile prescindere ci, ma `e anche, e soprattutto, un modo di pensare e se si vuole avere accesso alle conoscenze del mondo un atteggiamento culturale. Per i Greci, che queste scientifico e tecnologico, mondo che sempre piu` inva- coseleavevanoinventate, nonc’eradistinzionetrala de anche i campi tradizionalmente riservati alle co- Matematica (la Geometria) e la Filosofia. Talete e 5 6 INDICE Pitagora prima, Platone e Aristotele poi videro nella parte e di Apollonio dall’altra. Indubbiamente, que- Matematicalaformaperfettadelsapere;soloSocrate sto fu favorito da una inadeguata rappresentazione sembra non conformarsi a questa idea, ma sulla por- dei numeri e dalla mancanza di un’Algebra formaliz- ta d’ingresso dell’Accademia platonica stava scritto zata. Quando per`o, dopo Vi`ete, Fermat e Cartesio, “NessunoentrichenonconoscalaGeometria”. Ilra- l’Algebra(nelsensolatocheoggivifarebbecompren- gionamento,nellavitadituttiigiornicomenellafilo- dere anche l’Analisi) prese il sopravvento, un tradi- sofiapiu` astratta,segueunmodelloche`equellodella mento fu perpetrato nei confronti di tutta la Mate- Matematica, quello che la Matematica ha portato a matica. La Geometria contemplava due metodologie un rigore assoluto. distinte, anche se utilizzate indifferentemente: la di- La necessit`a, il gusto della dimostrazione rigorosa mostrazioneastrattaelacostruzionegeometrica. Ad siapprendonopienamenteconlaMatematica;questa esempio, la prova che gli angoli alla base di un trian- d`a anche i limiti di applicabilit`a del metodo dedut- goloisoscelesonouguali(Teorema6.12)`epuramente tivo, che, ad esempio, non pu`o entrare in un regres- astratta e fa riferimento solo a costatazioni di fatto sus ad infinitum, ma deve fondarsi su qualcosa che e a risultati gi`a noti. Il teorema di Pitagora, invece, diamo per buono e per certo: ed `e proprio la Mate- nella prova per mezzo del primo teorema di Euclide matica che ci fa capire come questo qualcosa di fon- (osservazionedopoilTeorema6.27)fausodiunaco- dante abbia un senso o lo acquisti in un sistema di struzione, senza la quale la dimostrazione fallirebbe. assiomi che si autosostengono. E anche senza arri- Allorch´el’AlgebrasiimposeallaGeometria,quest’ul- vare a queste finezze che confinano con la filosofia, timatipologiadidimostrazionefurelegatainsecondo la Matematica ci d`a la forma mentis necessaria ad piano e, quando possibile, evitata. affrontare,inmodorigoroso,tantolostudiodellana- La dimostrazione astratta `e, idealmente, atempo- tura quanto quello dell’uomo. Per questo motivo ho rale. Sisvolgeneltempo,cometuttelefaccendeuma- voluto inserire in queste pagine la dimostrazione di ne, ma questo sembra e vuol essere piu` un accidente tuttiiteoremienunciati: leeccezionicredosicontino che una parte intrinseca della prova. Si fanno cer- sulle dita di una mano; e ho cercato di essere sem- te valutazioni che “valgono” indipendentemente dal plice e chiaro e allo stesso tempo rigoroso. Questo momento in cui le facciamo; usiamo assiomi o teore- `e piu` di quanto si faccia normalmente nella scuola, mi gi`a dimostrati, che vengono prima “logicamente”, che spesso (secondo me sbagliando) si accontenta di machecirifiutiamodiconsiderareveritemporalmen- enunciare risultati da usare per risolvere gli esercizi te prima del teorema che stiamo dimostrando e che ed essere promossi alla classe successiva. Il senso e ne fa uso. In altre parole, un teorema deve valere in- l’amore del ragionamento vanno cos`ı a sperdersi e la dipendentemente dal tempo, sia del momento in cui Matematica diviene una sequenza di nozioni, da ap- `e stato dimostrato (il che sembra ovvio), ma anche plicarequandonecessario,invecediunfattoculturale a prescindere da azioni che debbono essere eseguite cheformalamentalit`adellepersoneefadariferimen- perdimostrarlo,equesto`eunpo’menoovvio. Laco- to nell’affrontare la realt`a che ci circonda (anche se struzionegeometrica,invece,nonpu`oprescinderedal mia moglie sostiene che`e meglio cos`ı!) Analogamen- tempo: primasifannocertecoseepoisenefannoal- te, va coltivato il gusto delle definizioni precise, che tre, che non si sarebbero potute fare se non avessimo puntualizzano idee e concetti, spesso piuttosto vaghi completato quelle precedenti. nel loro uso quotidiano, e quindi a rischio di diven- L’idea di una Matematica statica, del pensare che tareambigui quandosicerchidiportarlialleestreme “laMatematica`equellache`e”risulta,proprionelsuo conseguenze, procedimento utile tutte le volte che si essere vagamente blasfema, un qualcosa di attraente, voglia criticare un atteggiamento o un’impostazione, epiu`volte`estatariecheggiatadavarimatematici,co- facendo vedere le estreme conseguenze (negative) a meil“Diocre`oinumerieilrestofufattodall’uomo” cuipotrebbecondurre. E,nellostessospirito,hocer- di Frege e di Platone. E’ anche, per`o, una concezio- cato anche di introdurre vari concetti dei fondamenti ne vecchia che fa della Matematica uno strumento di della Matematica, attraverso i quali spero di chiarire studio, cio`e di indagine di una natura scritta in ca- cosasiintendeper“teoria”,sianellaMatematica,sia ratteri matematici, piuttosto che di una Matematica in qualsiasi altro settore del sapere umano. volta aoperarenelmondo equindi aprovareinteres- si per i procedimenti e non solo pei teoremi. D’altra — parte,gliantichiavevanogi`achiaraquestadifferenza ed `e nota l’affermazione di Proclo sulla Geometria, 3. Fino al 1600 la Matematica `e stata essenzial- nella quale “si distinguono problemi e teoremi; i pri- mente Geometria. Se si escludono Pitagora e i suoi mi contengono la generazione delle figure, i secondi seguaci di tutti i tempi, che ritenevano il numero co- dimostrano le propriet`a delle figure.” stituire l’essenza dell’Universo, tutta la Matematica ruotava intorno alla Geometria, di Euclide da una In effetti, i procedimenti o, come `e piu` adeguato INDICE 7 oggi dire, gli algoritmi sono da 300 anni relegati al un’ideapersonaleprecisa,cio`eacapirechecosasialo ruolo secondario di “Matematica applicata”, consi- Sturm und Drang. Naturalmente, seleggiamo i com- derata spesso uno o piu` gradini inferiore alla “Mate- menti “al posto” delle opere originali, abbreviamo il matica Pura”. Ad esempio, il metodo di Gauss per percorso, ma invece diidee personali avremo acquisi- la risoluzione dei sistemi lineari, di natura puramen- toleideedeicommentatori; questo`enegativo, anche te algoritmica, `e pressoch´e ignorato nei testi di Ma- se talvolta fa parte del gioco. tematica e “relegato” in quelli di Calcolo Numerico. Al contrario, lo studio delle discipline scientifiche Ognuno ricorda come l’unico algoritmo menzionato (che voglio nettamente distinguere dalla “scoperta dai programmi della scuola `e quello di Euclide per il scientifica”, di cui dir`o piu` avanti) parte da consi- calcolo del massimo comun divisore, ma nessuno lo derazioni e soluzioni generali di classi di problemi. impara, perch`e docenti e studenti preferiscono altri Infatti, sarebbe una perdita di tempo enorme comin- metodi. ciare ad esaminare soluzioni particolari di problemi Oggi, per`o, l’affermarsi dell’Informatica ha ripor- specifici per poter poi indurre un metodo globale di tato l’interesse per le soluzioni costruttive dei pro- soluzione di tutti i problemi della classe considera- blemi, cio`e per gli algoritmi, che costituiscono pro- ta. Se si pu`o “dimostrare” che tutti i problemi di prio la base teorica della programmazione. Gli al- una certa classe hanno una determinata soluzione, si goritmi, tuttavia, non sono semplicemente un modo studia tale soluzione e poi si verifica se si `e capito astratto per arrivare a programmare un elaborato- andando ad utilizzare quella soluzione nei problemi re;essisonounametodologiaperaffrontareproblemi specifici. Questa impostazione vale non solo nel pro- di qualsiasi natura e, quindi, per farne uno studio e saico campo della soluzione pratica dei problemi (la darne una soluzione rigorosa, analoga ad un teore- tecnica), ma anche per l’apprendimento dei concetti, ma, anche se concettualmente diversa. Gli algoritmi che si cerca di dare sempre nella forma piu` genera- hanno influenzato anche parte della logica e stanno le possibile, discutendo poi come si specializzino in prendendo piede in molte parti della Matematica (si idee particolari e casi speciali. Di nuovo, diventa un pensi al classico caso delle basi di Groebner). Cos`ı esercizioutileallacomprensionequellodipassaredal le due metodologie antiche della Geometria classica, generale allo specifico. quella deduttivo-astratta e quella costruttiva, stanno Questo d`a a molti l’impressione che la scienza sia avvicinandosi di nuovo. In questo testo ho cercato di dogmaticaecheinvecedifavorirelaformazionedelle seguire tale linea, anche se il risultato`e a mio parere idee,inquadrilamenteaseguirecertestradepreordi- ancora molto parziale poich´e, con mentalit`a tuttora nate senza sviluppare un apparato critico appropria- vecchia, non riesco ad amalgamarle, e continuo a ve- to. Ci`o, ammettiamolo, pu`o esser vero a un livello dere il teorema come la fase di controllo della verit`a molto basso, ma non credo sia diverso dallo studiare di un risultato e l’algoritmo come il metodo di riso- la letteratura in un manuale di critica, che presenta luzione pratica di un problema, che basa la propria leideedell’autorecomeverit`aapodittichedaimpara- validit`a su un opportuno teorema. re piu` o meno a memoria. In realt`a, la Matematica, anche negli aspetti piu` tecnici, fornisce sempre me- — todi alternativi di soluzione, stimola a cercare strade 4. C’`e, credo, una differenza fondamentale tra lo diverse,invogliaadimostrarecheunasoluzione`emi- studio delle materie umanistiche e quello delle disci- gliore di altre, almeno nella situazione considerata. pline scientifiche. Lo studio delle prime si svolge, Di volta in volta, sta all’intuito, alla bravura e alle idealmente, dal particolare al generale, mentre l’ap- conoscenze del solutore trovare la strada piu` conve- prendimento delle seconde passa dal generale al par- nienteperaffrontareilproblema. Proviamoadesem- ticolare. Se, ad esempio, voglio capire che cos’`e lo pioatrovarelesoluzionidell’equazionex2 x 2=0: Sturm und Drang, `e essenziale che io legga almeno avetecinqueminutiditempoadisposizion−e.−.... So- le opere principali degli autori che si rifanno a quel no passati i cinque minuti; vediamo qual `e stata la movimento letterario. Solo prendendo atto delle so- vostra soluzione: miglianze e delle differenze che esistono tra i vari au- tori, delle idee e delle emozioni che ciascuno di loro 1. avete applicato la formula classica, calcolando il esprime o cerca di esprimere, mi posso fare un’idea discriminante ∆ = 1+8 = 9 e ottenendo x = generaledicosasialoSturmundDrang. Spesso`euti- 2 e x = 1. Bene, conoscete ed apprezzate la − le leggere quello che `e stato scritto sullo Sturm und tecnicadellaMatematica,malavostratendenza Drang: un esperto professionista `e capace di mette- `e quella di prendere le formule come verit`a da re in evidenza aspetti che abbiamo appena intuito o non discutere; che non abbiamo afferrato nella loro importanza; un critico geniale pu`o esprimere un punto di vista illu- 2. visto che i coefficienti sono semplici, avete visto minante o originale. Tutto questo ci aiuta a formarci ad occhio, o dopo un po’ di riflessione, che x2 − 8 INDICE x 2=(x+1)(x 2) e quindi le soluzioni sono ovvio o banale o chiaro `e una conseguenza diretta di − − 2 e 1. Avete un buon intuito matematico e regole o propriet`a che sono state appena citate o che − frapiu`stradepossibilisapetesceglierequellapiu` fanno parte delle basi piu` semplici della Matematica, appropriata al problema; quellecio`echeillettorenondeveignorare. Quindi,se costui non riesce a capire, `e perch´e non sta ponendo 3. aveteragionatocos`ı: x2 x 2=x2+x 2x 2= − − − − attenzione a ci`o che legge oppure ha qualche lacuna, x(x + 1) 2(x + 1) = (x 2)(x + 1). Altre − − che `e opportuno venga rimossa. Purtroppo, c’`e an- stradeanaloghe sonopossibili, maunasoluzione che un uso scorretto dell’“ovviet`a”, quando l’autore diquestotiporivelaunanotevolepredisposizione vuole nascondere qualche zona d’ombra del suo lavo- per la Matematica; ro (e questo ha a che fare con l’etica professionale), 4. non avete nemmeno tentato di risolvere l’equa- oppure quando l’autore ha preso un abbaglio. Spero, zione e siete passati a leggere queste conside- in queste note, di non essere caduto in simili scor- razioni: avete un atteggiamento troppo pigro e rettezze, cercando di avvertire quando un punto pu`o se non lo correggete le materie scientifiche non presentare qualche problema. fanno per voi. Ma, ci si pu`o chiedere, non `e forse vero che tutta E’ impossibile studiare la Matematica semplice- la Matematica`e conseguenza di una serie ristretta di menteleggendountesto. Ilibrididivulgazionemate- assiomi, ai quali vengono applicate regole di dedu- matica agiscono “contro” l’apprendimento della Ma- zione che man mano ci dimostrano tutti i teoremi ai tematica. Possono fornire una serie di concetti, ma quali siamo interessati? Nella Sezione ?? parleremo questirimarrannosoloinsuperficiee,dopolalettura, esplicitamentediquestoaspetto,dettometodo assio- ci si trova spesso al punto di prima. Per studiare la matico,elarispostas`ıaquestadomandacidiceallora Matematicaoccorreleggere,munirsidicartaepenna che tutto nella Matematica dovrebbe essere ovvio e (qualcuno preferisce la matita, ma va bene lo stesso) banale, visto che assiomi e regole di deduzione non e svolgere per proprio conto i calcoli e gli esercizi. Se possono [ovviamente] essere ignorati e tutto il resto non si fa cos`ı, si perde tempo e basta. Lo sforzo per- `e conseguenza diretta di quelli. Anche se c’`e qualco- sonale non pu`o essere sostituito da alcun testo, per sa di vero in tutto questo, e si pu`o pensare ad una chiaro che possa essere. Studiare seriamente cento macchinache,dasola,sviluppassetuttalaMatemati- pagine di Matematica equivale a studiare un intero ca,[s]fortunatamentelecosenonstannopropriocos`ı. scaffale di libri di una materia letteraria. Chi cerca Vogliamo dare alcune motivazioni di questo fatto: strade piu` brevi va incontro a un sicuro fallimento, a 1) La derivazione meccanica di tutti i settori della meno che non sia un genio: non si sa mai. Matematica (a parte le difficolt`a intrinseche, di tem- Oggi esistono programmi sull’elaboratore, quali poedispazio,checomporterebbe)cidarebbeunavi- Mathematica e Maple, che riescono a svolgere quasi sione piatta della Matematica stessa. Con questo vo- tutta la Matematica conosciuta: se avete perso tem- glio dire che ogni teorema avrebbe la stessa rilevanza po a cercare la soluzione della precedente equazione, di tutti gli altri ein effetti non sapremmo quali risul- a suo tempo questi programmi vi saranno di enor- tati, fra gli infiniti risultati che avremmo ottenuto, ci me utilit`a, ma prima dovrete esservi formate solide pu`o servire piu` degli altri per risolvere un certo pro- basi. Se non avete nemmeno tentato di risolvere l’e- blema; anzi, addirittura, non sapremmo come e dove quazione (caso 4) `e inutile che tentiate di utilizzarli: andare a cercarlo. Questa argomentazione ci mostra nessuna macchina si pu`o sostituire a voi nel capire un punto importante della Matematica umana: noi e nello svolgere i concetti. O meglio, forse pu`o, ma procediamo per problemi, non per catene deduttive; allora`eleichepensa,enonvoi. Non`elastessacosa. per noi certi problemi sono importanti, altri meno. Noi costruiamo modelli della realt`a e siamo interes- — sati a sviluppare le teorie matematiche che stanno 5. I testi e gli articoli di Matematica sembrano dietroatalimodelli; procediamo, cio`e, inmodoutili- abbondare di avverbi come “ovviamente”, “chiara- taristico, non nel senso materialista del termine, ma mente” e di espressioni quali “`e banale dimostrare nel senso che cerchiamo risultati utili alla nostra co- che”, “si vede subito che”, e cos`ı via. Poich´e anche noscenza. Quindi operiamo delle scelte e tali scelte in queste note non potremo evitare tali modi di dire, dipendono da noi, non dalla consequenzialit`a della `ebenesicapiscaillorosenso, cheparrebbeintrodur- Matematica. Da questo punto di vista, piu` utile sa- re un aspetto troppo personale (per taluni una cosa rebbe una macchina alla quale potesse essere dato pu`o essere chiara, per altri molto meno) nel mondo l’enunciato di un possibile teorema e quella ci dices- oggettivo della Matematica. In realt`a tali espressioni se se `e vero oppure no. Questo si riesce a fare in hanno un significato “abbastanza” preciso, e cio`e vo- molti settori ben delineati, ma rimane al momento il gliono significare questo: ci`o che `e dichiarato essere problema di una macchina dimostratrice universale. INDICE 9 Forseungiornoverr`arealizzata,maperorasistanno risultato e cerca vari mezzi per convencersi che esso solosviluppandoteoriematematichesumacchinedel `e valido. Tali mezzi vanno dal proprio intuito alla genere. sperimentazione in casi particolari, dalla discussione con i colleghi alla simulazione sul calcolatore, e tan- 2) Se il precedente `e un criterio di opportunit`a, ti altri marchingegni fra i quali ci pu`o ben stare la esiste anche un criterio logico per preferire o repu- dimostrazione formale. Qualcuno, a questo propo- tare necessario un approccio umano alla Matemati- sito, ha sostenuto e sostiene che la formalizzazione ca. G¨odelhadimostratochelenostreformalizzazioni matematica `e un sovrappiu`, e quando una cosa `e ve- dellaMatematicanonpossonoesserecomplete,inten- ra tutti si possono convincere (a loro modo) che tale dendo con questo che non ci possono permettere di essa `e. Questo per`o `e del tutto irrazionale e, cosa dimostrare tutti i risultati “veri”. In altre parole, la piu` importante, io non ci credo. Riconosco che ogni macchinachepurpotessederivaretuttalaMatemati- matematico si possa convincere della validit`a di un ca a partire dagli assiomi, non riuscirebbe comunque teorema nel modo che crede piu` opportuno; il fatto, ad arrivare a dimostrare tutte le verit`a della Mate- per`o, `e che non deve crederci lui solo, specie se `e un matica stessa. Alcune di esse (in realt`a, infinite) ri- risultato al quale `e arrivato per primo, ma deve con- marrebbero fuori. Non sappiamo se l’uomo sarebbe vincereancheglialtrichelecosestannocomeluicre- capace di fare di meglio, n´e sappiamo se sia gi`a riu- de. Ecco allora che la dimostrazione diviene il mezzo scito a fare qualcosa di piu`, ma naturalmente vale la comunicativo per eccellenza, nella Matematica come pena di tentare, anzi sarebbe eticamente scorretto se in tutta la scienza, poich´e `e in grado di darci ragioni non lo tentassimo. obiettive,oanchesemplicementeintersoggettive(per 3) Esiste, infine, anche un criterio estetico. Ogni chinoncredeall’universalit`adellascienza)peressere teorema ha piu` dimostrazioni; la macchina che ab- convinti che una certa affermazione `e vera. Questo `e biamoipotizzatogenererebbetutteleprovepossibili, il ruolo semantico fondamentale della dimostrazione rendendoancorapiu`difficileilnostroeventualelavoro matematicaelagiustificazionedell’esistenzadeilibri diricercadeiteoremiinteressanti,cheapparirebbero, di Matematica nella forma che essi hanno. E’ questa con tutti gli altri, innumerevoli volte. In effetti, ogni credenza, assieme al citato aspetto estetico delle di- dimostrazione umana ha un proprio carattere (se si mostrazioni, che creano ci`o che abbiamo chiamato il preferisce, non ho obiezioni ad affermare che siamo “gusto della dimostrazione”, non acquisendo il quale noi a darglielo), e alcune ci appaiono ovvie e scon- penso che si perda molto del fascino della Matema- tate nel senso detto, altre sono interessanti o geniali tica. Essa allora diviene semplice strumento tecnico, perl’impostazioneadottataoilmetodoutilizzato,al- semmaidifficiledausare,e/ofontedicuriosit`a,meno tre ancora rivelano connessioni inusitate con aspetti vicine alla scienza che all’enigmistica (disciplina che diversi,chesemmainullahannoachefareconl’argo- personalmente non disprezzo affatto). mento trattato. Queste due ultime categorie sono le dimostrazioni che preferiamo, sono quelle che danno — soddisfazioneemeritanoallaMatematical’appellati- vodiArte. IlMathematical Intelligencer, unarivista 6. Concludoquestanonbreveintroduzioneconal- scientifica,nel1998haindettounaspeciedivotazione cune osservazioni su come`e stata scritta questa serie perlepiu` belledimostrazionidellastoriadellaMate- di appunti di Matematica, che naturalmente risen- matica. HavintolaprovadiEuleropereiπ = 1(un tono del mio modo di vedere la materia, le mie varie − risultato che purtroppo trascende l’ambito di queste idiosincrasieeipallinichehoacquisitoconlafrequen- note). Questo mostra come l’aspetto estetico (un’e- tazionedellamateriadelmiolavoro,ecio`el’Informa- stetica un po’ sui generis, se si vuole) abbia un ruolo tica. Vadas´echenonmipermettereimaidiscrivere non indifferente nell’arido mondo della Matematica. un libro sulla Matematica seria, dove i colleghi ma- Queste considerazioni si legano a un altro aspetto tematici sono ben piu` esperti e bravi di me: io mi che amo mettere in rilievo, e cio`e la differenza tra posso limitare a scrivere delle semplici note su quelle unlibrodiMatematicaelasoluzionematematicadei parti della Matematica che tutti (e quindi, anche io) problemi. Qui intendo per problema una qualsiasi dovrebbero sapere. questione di Matematica, dall’esercizio didattico ai Note: Ho inserito nel testo un bel po’ di note che, grandi temi della ricerca matematica (d’altra parte, spero,nonsianodeltuttoperegrine. Laloronatura`e per chi affronta per la prima volta un esercizio, esso piuttostovaria: alcunesononotediapprofondimento `e un tema di “ricerca”, l’unica differenza essendo che del materiale esposto nella sezione; altre sono consi- esso `e gi`a stato risolto da qualcuno). La “scoperta” derazioni di carattere storico; alcune sono curiosit`a o matematica non avviene mai (o quasi mai) nel modo divagazioni sul tema; altre infine sono anticipazioni razionale in cui si espongono i risultati; piuttosto, il o rimandi che non potevano essere inserite nel testo matematicointuisce,oimmagina,osifigurauncerto vero e proprio. Questo dovrebbe essere intelligibile 10 INDICE anche senza le note; in altre parole, se un lettore tra- per verificare i risultati dei programmi realizzati. lascia(adesempioadunaprimalettura,ammessoche voglia leggere queste cose due volte) le note, dovreb- beriuscireaseguiretuttigliargomentisenzaperdere nulla di essenziale alla comprensione. Spero che le note (questo `e almeno il compito che io intendo loro affidare) soddisfino qualche curiosit`a e, soprattutto, ne sollevino molte altre, invogliando cos`ı il lettore a proseguire questi studi, per i quali potr`a utilmente ricorrere a testi universitari specifici, che incontrer`a andando avanti negli studi. Punto decimale: La virgola che separa la parte intera di un numero dalla sua parte decimale costi- tuisce una mia piccola idiosincrasia. Di fronte alla scrittura (5,32) `e spesso difficile rendersi conto (spe- cie nello stampato, quando gli spazi sono ridotti al minimo indispensabile) se siamo di fronte al nume- ro decimale cinque virgola trentadue o alla coppia di numeri interi 5 e 32. Per questo, preferisco alla vir- gola il punto decimale della notazione anglosassone, della quale ovviamente rifiuto l’uso della virgola per indicare i raggruppamenti in migliaia, milioni, etc.: a questo scopo user`o un punto situato in alto. Per- tanto, senza ambiguit`a, scrivere (51,328) indicher`a la coppia di numeri 51 e 328; scrivere (51.328) vorr`a significare il numero decimale 51 punto 328; scrivere infine(51.328)denoter`ailnumerointerocinquantuno mila trecentoventotto. Esercizi: Come ho avuto modo di affermare, lo studiodellaMatematicasidevefareconcarteepenna o matita, e soprattutto si devono risolvere problemi, poich´e solo la pratica ci rende familiari con i metodi di risoluzione che la Matematica ci fornisce. Questo testo `e privo di esercizi, e ci`o `e una grave lacuna. E’ mia intenzione rimediare con un testo di esercizi, in parte anche svolti. Per`o, siccome ho le mie idee su comeimpostareuntaletesto, perilmomento lacosa `e ancora in fieri e non so immaginare quando potr`a essererealizzato. Inquestenote, spessosuggeriscodi scrivere programmi sull’elaboratore che realizzano o simulano certi risultati: poich´e naturalmente penso ai futuri studenti di Informatica, questi sono esercizi pressoch´eindispensabili. Vistocheoggil’Informatica ha pervaso un po’ tutte le materie, gli stessi esercizi penso possano essere utili anche agli altri, che avran- nocos`ıoccasioneperimparareunpo’diprogramma- zione. Il linguaggio da usare `e indifferente: il Pascal va tanto bene quanto il C; oggi il C++ e il Java so- nopiu` a` la pageedintroduconoallaprogrammazione ad oggetti. Chi mai avesse a disposizione il Maple o Mathematica, pu`o utilizzarli come linguaggi di pro- grammazione a tutti gli effetti, anche se tanti degli esercizisonogi`afunzionipredefiniteintalilinguaggi; il trucco sta nel programmare ignorando (o facendo finta di ignorare) tali funzioni e, semmai, utilizzarle