Introduction aux Equations aux D´eriv´ees Partielles, analyse de Fourier et introduction aux distributions Cours pour les ´etudiants de l’ENS de Bucarest par B. Helffer a` partir de textes ´etablis par Thierry Ramond D´epartement de Math´ematiques Universit´e Paris-Sud Version pour la Roumanie de F´evrier 2014 2 Table des mati`eres 1 Qu’est-ce qu’une EDP? 13 1.1 Equations diff´erentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Equations aux D´eriv´ees Partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Premi`eres EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Exemple 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Discussion sur la notion de probl`eme bien pos´e . . . . . . . . . 19 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.1 Equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.2 EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 EDP lin´eaires du premier ordre 23 2.1 Diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Diff´erentiabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Diff´erentielle et d´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Les ´equations de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Equations a` coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 M´ethode des caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 M´ethode du changement de variables . . . . . . . . . . 30 2.4 Equations a` coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.2 Un probl`eme de Cauchy pour l’´equation (2.9) . . . . . 32 2.5 Un exemple d’´equation non-lin´eaire : Equation de Burgers . . 33 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6.1 Diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6.2 EDP du premier ordre a` coefficients constants . . . . . 36 2.6.3 Courbes int´egrales de champs de vecteurs . . . . . . . . 37 3 ` 4 TABLE DES MATIERES 2.6.4 EDP du premier ordre a` coefficients non-constants . . . 37 3 L’´equation des ondes sur un axe 39 3.1 Le mod`ele physique : cordes vibrantes . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Solutions de l’´equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.1 Solution g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.2 La formule de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Causalit´e et conservation de l’´energie . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.1 Vitesse de propagation finie . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.2 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.1 Ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Extrema 47 4.1 Fonctions d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5 L’´equation de Laplace 53 5.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2 Principe du Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.3 Propri´et´es d’invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.4 Le Laplacien en coordonn´ees polaires . . . . . . . . . . . . . . 57 5.5 Solutions particuli`eres : s´eparation des variables . . . . . . . . 59 5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.6.1 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.6.2 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6 L’´equation de la chaleur sur un axe 63 6.1 Le mod`ele physique : la loi de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.3 Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3.1 Invariances de l’´equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3.2 Une solution particuli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.3.3 La solution et ses propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.4.1 Avec le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . 72 6.4.2 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.4.3 Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 ` TABLE DES MATIERES 5 7 Rappels sur les s´eries de Fourier 77 7.1 S´eries trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.1.1 Applications p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.1.2 S´eries trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2 S´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.2.1 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.2.2 S´eries de Fourier. Cas des fonctions r´eguli`eres . . . . . 81 7.3 Th´eor`eme de convergence simple de Dirichlet . . . . . . . . . . 83 8 Notions hilbertiennes 87 8.1 Espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.1.1 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.1.2 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.2 Espaces pr´ehilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.2.1 Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.2.2 In´egalit´e de Cauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . 89 8.2.3 Norme pr´ehilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.3 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.3.1 Quelques d´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.3.2 Le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt. . . . 90 8.3.3 Expression du produit scalaire dans une base ortho- norm´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.4 Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.4.1 L’espace (cid:96)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.4.2 D´efinition d’un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . 91 8.4.3 Convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.5 Th´eor`eme de la projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . 92 8.6 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . 93 8.7 Th´eorie hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 9 Transformation de Fourier 99 9.1 Transform´ee de Fourier L1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.2 L’espace S(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.2.1 D´efinitions, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.2.2 Convergence des suites et th´eor`emes de densit´e . . . . 101 9.3 Transformation de Fourier dans S(Rn) . . . . . . . . . . . . . 103 9.3.1 D´efinitions, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . 103 9.3.2 Gaussiennes (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.3.3 Formule d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9.3.4 Formule de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.3.5 Convolution et transformation de Fourier dans S(Rn) . 108 ` 6 TABLE DES MATIERES 9.4 Transform´ee de Fourier L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.5 Retour `a l’´equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . 110 10 Distributions temp´er´ees 113 10.1 Les distributions temp´er´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.1.1 D´efinition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.1.2 Convergence dans S(cid:48)(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 10.2 Transformation de Fourier dans S(cid:48)(Rn) . . . . . . . . . . . . . 116 10.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 10.2.2 Gaussiennes (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 11 Distributions 119 11.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.1.2 Lesfonctionslocalementint´egrablesd´efinissentdesdis- tributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 11.1.3 Masse de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 11.1.4 Valeur principale de 1/x . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 11.2 Ordre d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11.2.1 D´efinition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11.2.2 Les distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.3 Premi`eres op´erations sur les distributions . . . . . . . . . . . . 125 11.3.1 D´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.3.2 Produit par une fonction C∞ . . . . . . . . . . . . . . . 128 11.4 Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.4.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.4.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 11.4.3 Distributions a` support compact . . . . . . . . . . . . . 133 11.4.4 Distributions support´ees en un point . . . . . . . . . . 135 11.5 Suites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11.5.1 Convergence, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11.5.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11.6 Distributions p´eriodiques sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 11.6.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 11.6.2 S´erie de Fourier d’une distribution p´eriodique . . . . . 140 12 Espaces de Sobolev 145 12.1 Espaces de Sobolev sur Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 12.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 12.1.2 Densit´e des fonctions r´eguli`eres . . . . . . . . . . . . . 147 12.1.3 Multiplicateurs de Hs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 ` TABLE DES MATIERES 7 12.1.4 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 12.1.5 Dualit´e Hs(Rn)/H−s(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . 152 12.1.6 Trace d’un ´el´ement de Hs(Rn), s > 1/2 . . . . . . . . . 153 12.2 Espaces de Sobolev sur Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 12.2.1 Espaces de Sobolev d’ordre entier sur Rn . . . . . . . . 155 12.2.2 Espaces de Sobolev d’ordre entier sur Ω . . . . . . . . 156 12.2.3 L’in´egalit´e de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 12.2.4 Le probl`eme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 12.3 R´egularit´e du probl`eme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 162 ` 8 TABLE DES MATIERES Avant-Propos pour la premi`ere partie Notre compr´ehension des ph´enom`enes du monde r´eel et notre technolo- gie sont aujourd’hui en grande partie bas´ees sur les ´equations aux d´eriv´ees partielles, qui seront not´ees en abr´eg´e EDP dans la suite. C’est en effet grˆace a` la mod´elisation de ces ph´enom`enes au travers d’EDP que l’on a pu com- prendre le roˆle de tel ou tel param`etre, et surtout obtenir des pr´evisions parfois extrˆemement pr´ecises. L’´etude math´ematique des EDP nous a aussi appris `a faire preuve d’un peu de modestie : on a d´ecouvert l’impossibilit´e de pr´evoir `a moyen terme certains ph´enom`enes gouvern´es par des EDP non- lin´eaires - pensez au d´esormais c´el`ebre effet papillon : une petite variation des conditions initiales peut en temps tr`es long conduire `a des tr`es grandes variations. D’un autre coˆt´e, on a aussi appris a` ”entendre la forme d’un tam- bour” : on a d´emontr´e math´ematiquement que les fr´equences ´emises par un tambour lors de la vibration de la membrane - un ph´enom`ene d´ecrit par une EDP, permettent de reconstituer parfaitement la forme du tambour. L’une des choses qu’il faut avoir `a l’esprit a` propos des EDP, c’est qu’il n’est en g´en´eral pas question d’obtenir leurs solutions explicitement! Ce que les math´ematiques peuvent faire par contre, c’est dire si une ou plusieurs solutions existent, et d´ecrire parfois tr`es pr´ecisement certaines propri´et´es de ces solutions. L’apparition d’ordinateurs extrˆemement puissants permet n´eanmoins au- jourd’hui d’obtenir des solutions approch´ees pour des ´equations aux d´eriv´ees partielles,mˆemetr`escompliqu´ees.C’estcequis’estpass´eparexemplelorsque vous regardez les pr´evisions m´et´eorologiques, ou bien lorsque vous voyez les images anim´es d’une simulation d’´ecoulement d’air sur l’aile d’un avion. Le roˆle des math´ematiciens est alors de construire des sch´emas d’approximation, et de d´emontrer la pertinence des simulations en ´etablissant des estimations a priori sur les erreurs commises. Quand sont apparues les EDP? Elles ont ´et´e probablement formul´ees pour la premi`ere fois lors de la naissance de la m´ecanique rationnelle au cours 9 ` 10 TABLE DES MATIERES du 17`eme si`ecle (Newton, Leibniz...). Ensuite le ”catalogue” des EDP s’est enrichi au fur et `a mesure du d´eveloppement des sciences et en particulier de la physique. S’il ne faut retenir que quelques noms, on se doit de citer celui d’Euler,puisceuxdeNavieretStokes,pourles´equationsdelam´ecaniquedes fluides, ceux de Fourier pour l’´equation de la chaleur, de Maxwell pour celles de l’electromagn´etisme, de Schro¨dinger et Heisenberg pour les ´equations de la m´ecanique quantique, et bien suˆr de Einstein pour les EDP de la th´eorie de la relativit´e. Cependant l’´etude syst´ematique des EDP est bien plus r´ecente, et c’est seulement au cours du 20`eme si`ecle que les math´ematiciens ont commenc´e a` d´evelopperl’arsenaln´ecessaire.Unpasdeg´eanta´et´eaccompliparL.Schwartz lorsqu’il a fait naˆıtre la th´eorie des distributions (autour des ann´ees 1950), et unprogr`esaumoinscomparableestdu`aL.Ho¨rmanderpourlamiseaupoint du calcul pseudodiff´erentiel (au d´ebut des ann´ees 1970). Il est certainement bon d’avoir a` l’esprit que l’´etude des EDP reste un domaine de recherche tr`es actifenced´ebutde21`emesi`ecle.D’ailleurscesrecherchesn’ontpasseulement un retentissement dans les sciences appliqu´ees, mais jouent aussi un rˆole tr`es important dans le d´eveloppement actuel des math´ematiques elles-mˆemes, a` la fois en g´eometrie et en analyse. Venons-en aux objectifs de cette premi`ere partie du cours. On souhaite queles´etudiantsprennentcontactaveclesEDPetquelquesunesdesm´ethodes et des probl`ematiques qui s’y rattachent. De ce point de vue relativement ´el´ementaire ou` l’on se place, les EDP constituent un terrain de jeu (de r´ecr´eation) extrˆemement riche et vaste. Nous esp´erons revenir a` certains as- pects plus d´elicats, une fois d´efinies les distributions en Partie III. Le contenu de la premi`ere partie du cours est tr`es largement inspir´e du livredeW.A.Strauss:PartialDifferentialEquations:AnIntroduction,John Wiley, 1992. Une pr´esentation plus d´etaill´ee est donn´ee dans le livre d’Evans. Cette pr´esentation des EDP est aussi l’occasion de mettre en action cer- tains outils math´ematiques : ´el´ements sur les ´equations diff´erentielles ordi- naires, calcul diff´erentiel des fonctions de plusieurs variables r´eelles, fonctions d´efinies par des int´egrales g´en´eralis´ees, s´eries de Fourier... La r´edaction a initialement ´et´e pr´epar´ee dans sa premi`ere partie pour des ´el`eves de seconde ann´ee d’universit´e. Ceci explique que parfois les exercices propos´es sont trop simples et que l’on rappelle beaucoup de r´esultats connus. Lesdeuxi`emesettroisi`emespartiessonteng´en´eraldeniveautroisi`emeann´ee, voir de quatri`eme ann´ee. Nous n’avons pas eu le temps dans ce cours de 24 heures de parler de la convolution des distributions.