MATE MATICA SUPERIOR PR0BLEMA5 RESUELTOS I. I. Liashko, 4. K. Boiarchuk Id. C. Gai, G. R Colovath Analisis matematico Introduction il analisis Calculo diferencial para hinciones de una variable TEMATI/IKA URSS M, HJiuitiM), A. K lioup'iyK, M. f. I . Jl. I oiroim'i Cii|M»o*nmu uocofine iio iibicmcti MaTCivurriiKc*rIV>M I. Macii> 1. MhtcmsithmcckhMi imiuiifi: iiiicjieiiHi 11 uiiujih3, npoH3uo;uiitH L L Litishkfi, A, K. Haiti relink, hi, G, Gai, G. R Golovach Matemitica superior Problemas resueltos. Tonio 1. Analisis matematico: introduccidn al anjlisis y calculo diferencial para funriones de una variable Traduction de la cuarta edition rusa (1997) Esta serie consta de ocho volumenes- Los cuatro primeros tomos con Jos que se abre esta obra, cstan dedicados al estudio practico de las funriones, las sucesiones, las series, el calculo diferencial e integral de las f unciones de una y varias variables; en ellos se presentan soluciones completamente detalladas de los problemas expuestos en el famoso libra de B. P. Demidovich. En los tomos 5 y 6, aparte de una detaliada exposition de la teorfa de las funciones de variable compleja, se resuelven escrupulosamente cerca de 400 problemas, muchos de los cuales aparecen en la inmortal coleccion del matematico sovietico L. L Volkoviski Ademas de los temas caractensticos de los cursos de este tipo, en esta parte de la obra se hallan cuestiones menos comunes como son la integral de Newton—Leibniz y la derivada de Fermat—Lagrange. Se presta una especial a tend on a las aplicaciones conformes. En aproximadamente 800 problemas resueltos paso a pa so, los tomos 7 y 8 abarcan todos los topicos del curso habitual de la teona de las ecuaciones diferenciales. En cada seccion se expone el nunimo teorico estrictamente necesario para la resoluci6n de los problemas correspondientes; muchos de estos aparecen en la genial coleccion de A. F.Filfppov. Asimismo, en estos volumenes se analizan toda una serie de temas bastante atlpicos para libros de esta clase (teona de la prolongation de la solution del problems de Cauchy, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden no lineales, algunos metodos numericos para la resolution de ecuaciones diferenciales, aplicacion de los criterios de existencia de los ciclos limites en el piano fasico, etc.). En la edicion de este libro participaron; Director Domingo Marin Ricoij Vicedirector Natalia Finoguienova Director de production Irina Makieeva Director de sistemas Viktor Romanov Traduction Viktoria Malishenko, Konstantin Miedkov y Maria Andridnova Diseno Viktor Romanov y Vasili Podobied Enmaquetacion Natalia Beketova Procesamiento de texto Svietlana Bondarenko y Anna Tiiirina Correction Igor Korovin, Larisa Kirdidshkina y Luis Rodriguez Garcia Realization tecnica Natalia Arincheva y Elena Logvinova Rcservados todos los derechos en todos los idiomas y en todos los pafees del mundo. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacion escrila del titular del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduction total o partial de esia obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografia y el tratamiento in forma tico, y la distribution de ejemplares de ella mediante alquiler o prestamo publico. ISBN 5-88417-183-8 (Obra completa) 5^88417-184-6 (Tomo 1) Editorial URSS http:// urssjsa.ac.ru €> Editorial URSS, 1999 De la editorial Los cuatro prinieros iomos que abren la seric "Ma tenia lica superior. Problemas resueltos", soil la traduccion al castellano de la obra "Manual de cons Li It a de analisis matemitico", bautizadn por los estudiantes sovieticos con el seudotitulo de "Anti-Demido vich". Las dos prim eras ediriones fueron rcali- zadas durante la existencia de la Union Sovietiea con una tiiada total de mas dc 200 mil ejern- plares. tin 1995, tras un gran intervalo de a us en- da en li brer fas y bibliotecas, Editorial URSS y el colectivo de autores acordaron no s61o limi- tar.se a llevar a cabo la tcrcera edition (revisada y ampliada) del "Anti-Demidovich", sino crear ademAs un proyecto que de algiin modo de- sarrollase en otras rainas de ia matematica el camino ma read o por el "Anti-Demidovich". Asf nacio la serie "Mateniatiea superior. Problemas resueltos", la cual asimismo incktye, por a bo- ra, dos lomos sobre la teorfa de la variable compleja y dos tomos sobre la feorfa de las ecuaciones diferenciales. li.stas partes de !a serie ban sido denominadas, respect iv a mcnte, "Anti- Voikoviski" y "Anti-Filfppov" no solo debido a que muchos de los problemas que en el las se presentan aparecen enunciados en las magnifi- cas colecciones de problemas de L. 1. Volkoviski y A. F. Fitfppov, sino tambicn como un sfmbolo de reconocimiento a cstos autores. Moscil 1999 C a p i t u l o 1 Introduccion al analisis §1. Elementos de la teoria de conjuntos 1.1, Sfmbolos logicos Frecuentemente, en las matenititicas algunas exprcsiones verba tes se sustituyen por sfmbolos. Asf, por ejcmplo, el snnbolo V sustituye a la expresion "para to do" o "t ualquiera que sea", y el simbolo 3, a la expresi6n "existe". Los sfmbolos V y 3 se llaman fiumtificadores. La notacion A B (implication) quiere deck que la validez del enunciado A predetermina la validez del enunciado B. Si, ademas, de la.validez del enunciado B se deduce la validez de A, cscribimos A & B. Si A B, el enunciado B es condicion neeesaria y sufiricntc para que se cumpla la afirmacion A. Si las a firmadones A y B son simullAneamente validas, so cscribe A A B. Si a I menos una de las a firmadones es valida, se denota A V B. 1.2. Opcraciones con conjuntos El concepto matemitico de conjunto de elementos se considers ra intuitive. Un conjunto se define por una regla o un criterio con forme al cual se determina si un elemento dado perlencce o no al conjunto. Los conjuntos se designan mediante el sfmbolo A = {a:}, dortde x es la notacion general para todos los elementos del conjunto A, Frecuentemente los conjuntos sueten escribirse de la forma A — {a, fe, ..}, donde entre Ilaves van indieados sus elementos. Usaremos las notaciones siguientes: N, conjunto de los numeros naturales; %, conjunto de los numeros enteros; Q, conjunto de los numeros racionales; R, conjunto de los numeros rcales; C, conjunto de los numeros complejos; Zn, conjunto de los numeros enteros no negativos. La notacidn a C. A (o A 3 a) significa que el elemento a pertenece al conjunto A. La notacion a g A {o A 2 a) significa que el elemento a no pertenece a I conjunto A. Si cada uno de los elementos dt; un conjunto B, pertenecen a un conjunto A, se dice que B es un subamjunto del conjunto A, y en ese caso se escribe B C A {o A D B) (fig, 1). N6tese que VA se verifica que A C A, pues, naturalmente, todo elemento del conjunto A 6 Gipilulo I. I iiL iocU kcioii «i1 <111 ill is is pcTtenive a A. lil conjunto vaeio, es decir, el conjunto quo no contiene ningun elemento, se dcnotnrd con el simbolo 0. Cualquier con junto contiene a I conjunto vacio como uno de sus subconjuntos* Be. A Fig.l Fig. 2. Definition 1, Si A C B A B C A, los conjuntos A y B se denominan conjuntos iguales, y se escribe A — B. Definicion 2, Sea A C J - El conjunto de elementos del conjunto J no pertenecien- tes a A, se llama complemento del conjunto A respecto al conjunto J (fig. 2). El complemento del conjunto A respecto al conjunto J se designa con el simbolo CjA; tambi^n puede escribirse de forma mas simple, CA, siempre que se sepa respecto a que conjunto se toma el complemento. De este mo do, CjA=^ {x:x € J Ax £ A}, Si A C J y B C J, el complemento del conjunto B respecto al conjunto A se llama, a veces, diferencia de los conjuntos A y B y se representa por A \ B (fig. 3), es decir, A \ B ^={x:x G A Ax g B}. Sean A y B subconjuntos del conjunto J. Definicion 3. Se denomina union de los conjuntos A y B al conjunto (fig. 4) A U B = {x : x e A V x £ B}. AuB AnB AAB Fig. 3. Fig. 4. Fig. 5. Fig. 6. Por analogia, si Aj j — n son subconjuntos del conjunto J, la union de los f t mismos es el conjunto n ( I Aj - {x : X e Al V X e A V ... V as G A }. 2 n j-1 Definicion 4, Se denomina intersecciim de los subconjuntos A y B al conjunto fj 1. IdemontoM do la leorfa <lc (onjuulnr. 7 11 Por analogfa, nn\liante el simbolo f) 4/ se designs! Li intersecdon do los mi boon i .1 juntos Aj C J , j — 1,11, es decir, el conjunto it Aj = {a;: x G Ai A x £ A-> A ... A a; 6 j=i Si cada elemento /tfMse pone en correspond enda con un cierto conjunto A , se fl dice que esta definida una familia de conjuntos {A }, ji € M. En este caso, el conjunto jt (J Ap = {todos los x tales que x t A al menos para algdn [i € M} se denomina unidn (1 K M de la familiu de conjuntos {A^}, ft <?_ M; el conjunto — [x : x F A V/j. Q M} ye fl llama intersection de esta familia. Definicion 5. Se denomina diferencia simehiai de dos conjuntos A y B al conjunto determinado por la uni6n de Lis diferencias A\B y B \ A (fig. 6). La diferencia simetrica se denola con el simbolo A A B. Definicl6n 6. Dos elementos a y ft se denominan par ordenado, si se indica cuSI de dichos elementos es el primero y cual es el segundo, y, ademas, se verifica que {{a, b) = (c, (J)) (a ~cAb~ d). Un par ordenado de elementos a y b se denota con el simbolo (a, 6). De modo analogo se define un sistema ordenado de n elementos a.\, «2) (cid:129) (cid:129) (cid:129), a„, el cual se designa con el sfinbolo {(ii <i2,..., a,,)- Los elementos «i, aj,..., a se llaman T n coordenadas del sistema ordenado (flj, a,..., a,J, 2 Definicion 7. El conjunto de todos los pares ordenados posibles (a, 6), donde a G A, b EE B, se denomina producto de los conjuntos A y B y se designa con el simbolo AxB. Analogamente, mediante el simbolo A\ X A X (cid:129) (cid:129) (cid:129) X A se designa el producto dc 2 tl los conjuntos Aj C J , j = 1. n, es dedr, el conjunto dc todos los sistemas ordenados posibles (oi, a?,..., a ), donde aj £ Aj, j = 1, n. n 1.3. Algebra tie Boole Sean A, B y D subconjuntos arbitrarios del conjunto J . De esta forma, de las definiciones de union, intersection y complemenlo se deducen iumediatamente las afirmaciones siguientes: 1) A u B C J , A n B C J {caracter interno de las operationes de union e interseccion); 2) A U B — B U A, A n B = B n A (conmutatividad de las operaciones de union e interseccion); 3) A U (B U D) = (A U B) U D, A n (B H D) - (A n B) n D (asociatividad do las operaciones de union c interseccion); 4) A U (B n D) = {A U B) n (A U D) (distributividad de la operation de union respecto a la operation de interseccion); A ft {B U D) = (A D B) U (A n D) (distributividad de la operation de interseccion respecto a la operation de nmon); 5) ADA — A n >4 - A; 6} 0 U S = S)#(An£#A); 7) A U 0 = A, A n J - A, A n 0 = 0, A U J = J) 8) A U CA ~ J , An QA — 0. K C'iipftuJo I. (ntroduccion al aruilisis Si para los elementos de un conjunto a = {A, B C,.*.} estan definidas las } operaciones de union U y do intersection n, las cuales verifican las relaciones l)-8), la lema (cr, U, n) se denomina algebra de Boole. De este modo, si cr es una familia de todas las partes del conjunto J , entonces U, Pi) es un algebra de Boole. 1.4. Principio de dualidad Para cualquier par de conjuntos Ay B del conjunto J se verifican las igualdades C (A U B) = CA fl CB C(Af)B) = CA U CB. (1) t Las propiedades expresadas por las igualdades (1) se denominan principio de duali- dad. Verbalmente dichas igualdades pueden enunciarse del modo siguiente: el complemento de la union de los conjuntos es igual a la interseccion de sus complements, y el complemen- to de la interseccion de los conjuntos es igual a la unidn de sus complementos. El principio de dualidad se extiende sin dificultad alguna a un numero arbitrario de subconjuntos A^; en este caso se escribe /t fi $ p Es decir, al intercambiar entre si el orden en que se escribe el simbolo de complemento C y el simbolo U (o bien el fl), este ultimo se transforms en el fl (en el U, correspondientemente), 1.5* Algebra de conjuntos Sea J un conjunto y P(J), el sistema de todos los subconjuntos del conjunto J . C Definicion 1. Una familia no vacfa R P{J) en donde la union, interseccion y diferencia de conjuntos son operaciones internas, se denomina anillo de conjuntos. Definicion 2* Un conjunto E se llama unidad de la familia de conjuntos £ si E £ S y VA G 2 se verifica la igualdad A n E ~ A. Definicion 3. Un anillo de conjuntos que contiene a la unidad como uno de sus elementos se denomina algebra de conjuntos* Definicion 4. Una familia de conjuntos S C P{J) se denomina semianillo si contiene al conjunto vacio y V4 G S y VAi C A existen conjuntos A , .., A G S tales 2 n que A = At U A \J . (cid:129). U 4 2 donde el simbolo U designa la union de conjuntos disjuntos. 1* Demostrar la validez de las afirmaciones l)-8) del p. 1.3. Solucion. 1) Conforme a la definicion 3 del p. 1.2 se tiene AUB ^{xe J :x € AV x € B}, y, por consiguiente, de la inclusion x G A U B se deduce que x G J , es decir, A U B C J . Analogamente, segun la definicion 4 del p, 1.2 Af)B = {x € J :x e AAx £ B}, por lo cual de la inclusion x G A fl B resulta la inclusion A fl B C 3. 2) Dado que la afirmacion x Q Av x € B e s estrictamente equivalente a la afirma- cion x £ B\f x G A, resulta A\jB = {xeJ:xeAVx£B} = {xeJ:x€BVx€A}=BuA. La seeunda imialdad se demupstra de modn analnpn. fi i. ElomcntiK) tie l.i teorfn de mnjuiKnu 3) En virhid de las propiedades del sfmbolo fftgicti v, se lieru* A l J {B U D) = fit G J : x G A V x G {B U D)} .|g £ J : m fc A V (a 6 BV xGD)} - {.r £ J : (x € 4 V at G If) V x £ D) = 6 J : a; 6 (4 U fl) V ar £ D> = (.A U B) U O. I a sejjunda igualdad de 3) se dcmuestra de modo ana logo. 4) Tenemos que A U {B D D) = {x € J : x £ A V X £ (B n D)} = {.r £ J : x £ A V (a; 6 B A x £ £>)> = {a; £ J : (as G A V a; G B) A {a £ A V x £ £>)} ~ = {« € J : (x € U B) A (a: 6 >1 U D)} = {A U B) fl [A U D). I ,a segunda igualdad se dcmuestra de modo analogo. 5) Sea x £ A U A, entonces ai G A A x G A, es decir, x € A y, por tanto, se verifica la inclusion A U A C A. La inclusion invcrsa A C A U A se deduce inmediatamente de In definition dc union. De las dos ultimas inclusiones se obticne la igualdad A U A = A. La igualdad A n A = A se dcmuestra dc modo analogo. 6) Supongamns Ucita la igualdad A n B = A. Entonces (A n B = A) m (A C A n fl) s> (A C fl). IJtilizando la inclusion obtenida hallamos que A U B ^ {X e J : x £ AV x € B} C {x € J : x <E B V x £ B} = B, y, como A U fl J B, vemos que A U B = B, Dc este modo, (A n B - A) => (AU B = B). (I) Sea ahora A U B = B. Oil este caso son v,ilidas las implicaciones {A U fl = fl) => (A U B C B) ^ (A C B). limpleando la inclusion A c fl obtenemos A n B = € J : x e A Ax e 3 {« G 3 : X G A A x = A. Dado que tambien es v<5Iida la inclusion inversa A D fl C A, entonces A fl B = A y, por consiguiente, (A U B — B) (A n B = A). (2) De (1) y (2) se deduce que (A n B - A) (A U B = B). 7) Si x £ A IJ 0, se tiene que a.1 € A V x £ 0. Dcbido a que el conjunto 0 no contiene ningun elemento, dc x € A U 0 sc deduce que a; G A, es decir, A U 0 C A, li> cual conjuntamente con la inclusion A u 0 J A es equivalence a la igualdad A u 0 ~ A. De0CAD0C0se deduce directamente la igualdad Afl0 = 0. Dado que A C 3, Lencmos A n J =-- {x € J : x £ A A x £ J ) D (at £ J : x G A A x C A) = A, lo cual junto con la inclusion A n J C A conduce a la igualdad AC\ J — A. Finalmente, a partir de las inclusiones J C A U J C J se deduce directamente la igualdad A U J = J. 8) De acuerdo con la propicdad 1) A 11CA f .1 M 10 CiipiLulo I. Iti(ruducti6n a I iinalisis Sea x G J ; entonces, si x G A tendremos que x E A U CA; por otra parte, si x A, resulta que x £ CA y do nuevo, x G A U CA. De este modo, de x & J se deduce que f x G A u CA, es decir, J C A U CA. (4) De (3) y (4) se obtiene la igualdad A U CA = J . (5) Para demostrar la igualdad A fl CA = 0 probemos que el conjunto A fl CA no contiene ningiin eleme.nto, En e fee to, de acuerdo con la igualdad (5) cualquier elemento del conjunto J pertenece bien a A bien a CA, Si x G A entonces x CA y por tanto, t r x g A D CA. Por otro lado, si x G CA, se tiene que x A (pues si fuera x G A resultarfa t que x £ CA), y, de nuevo, x g? A Pi CA. Dado que el conjunto A n CA no contiene ningun elemento, este conjunto es vacio, o sea, A fl CA = 0. (cid:129) (cid:129) (cid:129) (cid:129) (cid:129) (cid:129) (cid:129) (cid:129) 2* Demostrar el principio de dualidad: CflU^B) - CA n CB, (1) C (A n B) = CA U CB (2) (veanse las igualdades (1) del p. 1.4), M Solution. Demostremos la igualdad (1) (la (2) se demuestra analogamente). Sea x G C (A U B), entonces de acuerdo con la igualdad (5) del problema anterior, x S? A U B, es decir, x g A Ax $ B, de donde x G CA Ax G CB, y, por tanto, x G CA (1CJ3. De este modo> C (A U B) C CA n CB. (3) Supongamos ahora que x G C4 fl CB. Entonces x £CAAx G CB, es decir, x $ A Ax $ B f y, consecuentemente, xgAUB yx EC (A 1) B). Por lo tanto, C(iU J3)cCAnCJB. (4) De las inclusiones (3) y (4) se deduce la igualdad (1). (cid:129) (cid:129) (cid:129)(cid:129) (cid:129) (cid:129)(cid:129) (cid:129) (cid:129)(cid:129) (cid:129)_U 3. Demostrar las igualdades: AU(AnB) = An{A\jB) = A. (1) ^ Solution. Utilizando las propiedades 4) y 5) del problema 1 obtenemos la primera de las igualdades (1): n A U (A H B) = (A U A) {A U B) = A n (A U B). Queda por demostrar que An (A I) B) — A. Si & G A fl (A U B), resulta x £ A Ax £ A U B y, por consiguiente, An(AUB)C A. (2) Pero si x G A, tendremos x G A U B, y, por tanto, a ; G i O ( i U B), es decir, AcAn(AU B). (3) De las inclusiones (2) y (3) se deduce la segunda de las igualdades (1). 4. Demostrar las igualdades: a) CCj I = A; b) CJ = 0; c) C 0 = J . S I. llomcnlo* ili' Id ti'fllf<i ih< ruiffimliM Solut ion. a) Si x t' C.'OI, rcMilhi ijiir it) / I'A, pin' lit ciiitl ;r < A y es Bdta la inclusion (('/) ( A. Vioeversa, si a! ( A, I'titttfuvu J' </ (VI, y, pur l.mlo, x { CCji y <a> v;1lida la inclu skill A C CCjI. I3e law iiulusio 10* ik-inoHlnntii.H sc deduce la igualdad a). L>) El conjunto CJ es vado, pneslu qui: la negation <? CJ es licitn V® € J. c) Si x G J, se ticnc x 0, y, por ;t; € C 0, por lo cual J C C 0. Dado que jhi-mpro ticnc lugar C 0 C 3, de las ultimas dos inclusiones se deduce la igualdad e). (cid:129) 5. Demostrar la validez de la inclusion (A\B)C(A\D)n(D\B). Solution. Sea x £ (A \ B), entonces x £ A A x g B. Si, ademas, x £ D, resulta quo .»(cid:129) < (,'1 \ D) y, por consiguiente, x € (A \ D) U (D \ B). Si, por lo contrario, x G D, iiilunces, Co mo x g B, vemos que x £ (D \ B), y, por eso, x £ (A \ D) U (D \ B). De este inoili), tanto para x £ D como para X G D de la con die ion x Q (A \ B) se deduce que .<(cid:129) i {/I \ D) U (D \ B), lo que es equivalents a la inclusion que se demuestra. (cid:129) Definir los conjuntos A U B, A 0 B, A \ B, B \ A, A A B si; a) = b) A ^ {x : x2 - 3x < 0}, B = {x : x2 - 4x + 3 > 0}; c) A = {x : |x - lj < 2}, B = {x : jx - 1| + [a: - 2| < 3}. Nohieidn. Haciendo uso de las definiciones de union, interseccion, diferenria y diferencia uinietrica de conjuntos hailamos a) A U B = {x : (0 < x < 2) V (1 ^ x < 3}} = {x : 0 < x ^ 3} ; ln5 = {i:(0<a;<2}A(Ha;q)) = { s : U i < 2 } ; J A \ B = {a;: (0 < X < 2) A x [1,3]} = {x : 0 < a: < 1}; B \ A = {x : (1 < x ^ 3) A x <£ JO, 2[} s= {x : 2 < x < 3>; A A B = {x : (A \ B) U (B \ 4)} = {a;: (0 < x < 1) V (2 < x < 3)}. b) Dado que x2 -- 3x < 0 para 0 < x < 3, lendremos A — (i ; 0 < a; < 3}. f,a desiguddad x2 — 4x + 3 p 0 se verifica para —00 < a; S 1 y 3 < i < +oo, Designemos I) ~ {a; : -oo < x < 1}, E = fx : 3 < x < -foe}, entonces B = D U fl. Empleando las j)iopiedades de las operaciones con conjuntos obtenemos AUB = AU(DUE)=AUDUE — {x: (Q<x< 3) V V (-00 <a?<l)V(3<»< +oo)} = {x : -oo < x < -too}; A n & = A n (d u iE) - (A n jD) u {A n - {»: (0 < x 4X) v'w e 0} => = {x:0<x^ 1}; A = A\(P U^ = {x ! jE ^ A A (» % D Vx £&)} = = {x : {a; € A A X € D) V (x G A A X £ ft1)) = (4 \D) U U \ = = {x:l<x<3}; B\A = (DuE)\A = {x:(x£ DVx£E)Ax<?' A} = = {x : (x G D A x g A) V [x € E A x £ J)} = {D \ A) U (E \ A) = = {x : (-oo <x<0)v(3^x< foo)}; AAB = AA{DUE)~(A\(D tj E)) U ((D UE)\A) = = [x : (1 < x < 3) V (-co <x<0)V(3^x< +oo)} = = (x : (—oo < x sZ. 0W(1 < x < +ooH.