INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Y DE MATRICES. APLICACIONES CON EXCEL Araceli Rendón Trejo, Jesús Rodríguez Franco, Andrés Morales Alquicira O UNIVERSIDAD AUT NOMA METROPOLITANA Casa abierta al tiempo UNIDAD XOCHIMILCO DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected] Casa abierta al tiempo DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected] INTRODUCCIÓN AL Casa abierta al tiempo ÁLGEBRA LINEAL Y DE MATRICES. APLICACIONES CON EXCEL Araceli Rendón Trejo, Jesús Rodríguez Franco, Andrés Morales Alquicira UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA UNIDAD XOCHIMILCO DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected] Casa abierta al tiempo UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA Rector general, Dr. José Luis Gázquez Mateos Secretaría general, Lie. Edmundo Jacobo Molina UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA-Xochimilco Rectora, Dra. Patricia Elena Aceves Pastrana Secretario, Dr. Ernesto Soto Reyes Garmedia DIVISIÓN DE CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES Director, Dr. Guillermo Villaseñor García Secretario académico, Lie. Gerardo Zamora Fernández de Lara DEPARTAMENTO DE POLÍTICA Y CULTURA Jefe, Mtro. Mario Alejandro Carrillo Luvianos Jefe del Área de Investigación, Dra. Ana Elena Narro Ramírez Proyecto editorial de los productos académicos de las áreas de Investigación Departamental COORDINACIÓN DE EXTENSIÓN UNIVERSITARIA Coordinador, Lie. Rene Aviles Favila Colección Investigaciones ISBN: 970-654-297-3 ® Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Xochimilco Primera edición: 1998 Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Xochimilco Calzada del Hueso núm. 1100, colonia Villa Quietud, 04960, México, D. F. Sección de Producción Editorial Impreso y hecho en México DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected] Casa abierta al tiempo índice Presentación 11 Capítulo 1. El modelo lineal 15 1.1 Introducción 15 1.2 Ecuaciones 16 Ecuación lineal 17 Ecuación de primer grado con una incógnita 17 Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 18 Solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 21 1.3 Sistema de m ecuaciones con n incógnitas 24 Método de eliminación gaussiana 25 Método de matriz aumentada, (Gauss-Jordán) 29 1.4 Consistencia e inconsistencia de sistemas de ecuaciones lineales 36 1.5 Sistemas homogéneos de ecuaciones 39 Capítulo 2. Vectores 43 2.1 Introducción 43 2.2 Conceptos básicos 43 Vectores 43 Representación geométrica 44 Magnitud de un vector 45 Igualdad de vectores 46 Propiedades de la igualdad 47 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected] Casa abierta al tiempo 2.3 Tipos de vectores 48 Vector renglón 48 Vector columna 48 Vector nulo 48 Vector unidad 49 2.4 Operaciones básicas 50 Suma de vectores 50 Representación geométrica 52 Producto de escalar y vector 52 Representación geométrica 54 Producto de vector fila y vector columna 55 2.5 Propiedades 58 Identidad aditiva 59 Conmutativa de suma de vectores 60 Asociativa de suma de vectores 61 Cancelación multiplicativa (vectores) 63 Distributiva (escalar suma de vectores) 63 Distributiva (suma de escalares - vector) 65 Asociativa (escalares - vector) 66 Identidad multiplicativa 67 Inverso aditivo 68 Capítulo 3. Operaciones con escalares y vectores utilizando Excel 71 3.1 Introducción 71 3.2 Suma de vectores 72 3.3 Producto de escalar por vector 74 3.4 Producto de vector columna por vector fila 76 3.5 Producto de vector fila por vector columna 81 Capítulo 4. Vectores en Rn 85 4.1 Introducción 85 4.2 Producto interno y proyecciones 86 Ángulo entre dos vectores 88 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected] Casa abierta al tiempo Desigualdad de Cauchy - Schwarz 91 Vectores paralelos 92 Vectores perpendiculares 93 Proyección de vectores 94 4.3 Combinación lineal de vectores 95 4.4 Dependencia e independencia lineal de vectores 100 Capítulo 5. Álgebra de matrices 105 5.1 Introducción 105 5.2 Matrices 105 Notación de matrices 107 Dimensión de una matriz 108 Matriz rectangular 109 Matriz cuadrada de dimensión n 110 Escalar (X) 111 5.3 Tipos de matrices 112 Matriz triangular superior 112 Matriz triangular inferior 113 Matriz diagonal (D) 114 Matriz unitaria o idéntica (I) 1 \6 Matriz escalar (A,) 117 Matriz simétrica 117 Matriz asimétrica 118 Matriz nula o cero (0) 118 Matrices iguales 119 Propiedades de las matrices iguales 120 Problemas 120 Capítulo 6. Operaciones con matrices 125 6.1 Introducción 125 6.2 Adición y sustracción de matrices 125 Adición de matrices 125 Producto de un escalar por una matriz 127 Sustracción de matrices 129 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected] Casa abierta al tiempo 6.3 Producto de matrices 131 Producto interno de matrices 131 Producto de matrices 132 Conformación para la multiplicación de matrices 133 6.4 Producto de matrices especiales 136 Producto de una matriz por una matriz unitaria 136 Producto de una matriz por una matriz escalar 136 Producto de una matriz por una matriz nula 137 6.5 Matriz inversa 138 Determinación de la matriz inversa 141 Inversa de la matriz por reducción gaussiana 142 6.6 Solución de ecuaciones lineales con la matriz inversa 145 Ejercicios 149 Capítulo 7. Operaciones con vectores y matrices usando Excel 153 7.1 Introducción 153 7.2 Operaciones entre matrices y vectores con Excel 153 Matriz por vector columna 153 Vector fila por matriz 158 7.3 Multiplicación de matrices utilizando Excel 160 Matriz de orden (m, n) por matriz (n, p) 160 7.4 Obtención de la inversa de una matriz mediante Excel 162 La matriz identidad 165 Capítulo 8. Determinantes 169 8.1 Introducción 169 8.2 Determinantes 170 Determinantes de una matriz (2x2) 170 Determinantes de una matriz (3x3) 171 Determinantes de una matriz (nxn) 172 Propiedades de los determinantes 179 8.3 Cálculo de la matriz inversa 183 Método de cofactores 183 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected] Casa abierta al tiempo Matriz inversa por el método de cofactores 189 Solución de sistemas de ecuaciones utilizando matriz inversa 194 Método de expansión por cofactores 199 8.4 Regla de Cramer 203 Capítulo 9. Determinantes y transpuestas con Excel 209 9.1 Introducción 209 9.2 Determinantes 209 9.3 Transpuesta 212 Capítulo 10. Álgebra del espacio Rn 215 10.1 Introducción 215 10.2 Ejes de coordenadas usando vectores 215 10.3 Base en Rn 220 10.4 Independencia lineal 224 10.5 Subespacios en Rn y dimensión 232 10.6 Rango de una matriz 240 10.7 Bases ortonormales 242 Matriz ortogonal 245 10.8 Mínimos cuadrados 247 10.9 Espacios vectoriales 255 Capítulo 11. Transformaciones lineales 259 11.1 Introducción 259 11.2 Representación matricial de una transformación lineal 261 Capítulo 12. Valores y vectores propios 269 12.1 Introducción 269 12.2 Valores propios 270 12.3 Vectores propios 275 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected] Casa abierta al tiempo Capítulo 13. Aplicaciones 285 13.1 El análisis de insumo-producto 285 13.2 El ingreso nacional 294 13.3 Modelo de mercado con dos bienes 301 Capítulo 14. Cálculo de la matriz insumo-producto con Excel 309 14.1 Cálculo de las matrices de transacciones interin- dustriales y coeficientes técnicos 309 14.2 Cálculo de la matriz de Leontief y su inversa 312 14.3 Cálculo del incremento de la producción bruta 316 Bibliografía 321 10 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]