Introduccio´n a Teor´ıa Cua´ntca de Campos Patricio Cordero S. Departamento de F´ısica Facultad de Ciencias F´ısicas y Matema´ticas Universidad de Chile . . . . versio´n1988 2 Patricio CorderoS. versio´nde1988 FacultaddeCienciasF´ısicasyMatema´ticas ´ Indice general 1. Cuantizacio´ndecamposlibres 5 1.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Spin0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Cuantizacio´ndelcampoescalar real. . . . . . . . . . 7 1.2.2. Cuantizacio´ndelcampoescalar complejo . . . . . . . 10 1.2.3. Relacionesdeconmutacio´ny otrosinvariantes. . . . . 12 1.2.4. Lassimetr´ıasdiscretasP,C yT enelcasodecam- posescalares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Spin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 1.3.1. Ecuacio´nde Dirac.Notacio´nba´sica. . . . . . . . . . . 16 1.3.2. Cuantizacio´ndelcampode Dirac . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3. Funcionesinvariantesasociadasalcampode Dirac. . 23 1.3.4. Lassimetr´ıasdiscretasP C yT enelcasodecam- posfermio´nicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.5. PCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4. Spin1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.1. Cuantizacio´ndelcampovectorial realmasivo. . . . . 29 1.4.2. Cuantizacio´ndelcampoelectromagne´ticoenelgauge deradiacio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.3. Cuantizacio´ncovariantedelcampoelectromagne´tico. 35 2. Interacciones 41 2.1. Acoplamientoelectromagne´ticominimal . . . . . . . . . . . . 41 2.2. Algunosacoplamientosno-electromagne´ticossencillos . . . 45 3 4 Patricio CorderoS. versio´nde1988 2.3. Definicionesy notacio´nalrededordelconcepto deisospin . . 46 2.4. LagrangianosinvariantesbajoSU(2). . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5. Acoplamientouniversal(Yang-Mills) delmeso´nr . . . . . . . 53 2.6. Camposde medida,de gaugeo deYang-Mills. . . . . . . . . 56 3. Teor´ıade Perturbaciones 61 3.1. Enelcuadrode interaccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2. EloperadordedesplazamientotemporalU(t,t ). . . . . . . . 63 ′ 3.3. TeoremadeWick. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4. Lamatriz S enelectrodina´mica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5. Scattering Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.6. ReglasdeFeynmany elscattering Moller. . . . . . . . . . . . 73 3.6.1. Seccio´neficaz y razo´nde decaimiento. . . . . . . . . 75 3.6.2. Seccio´neficaz diferencialenelscattering Compton. . 77 3.6.3. Seccio´n eficaz diferencial en el caso del scattering Moller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.6.4. Sobreelproblemadelas autoenerg´ıas. . . . . . . . . 82 3.6.5. Transicionesvac´ıo-vac´ıo: <0S 0> . . . . . . . . . . . 85 | | 3.6.6. Interaccio´n conun campoelectromagne´ticoexterno . 86 3.6.7. Electrodina´micaescalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4. Renormalizacio´n 89 4.1. Sobreelsignificado de la renormalizacio´n. . . . . . . . . . . 89 4.2. Lamasa desnudayla masa f´ısica delmeso´n.. . . . . . . . . 92 4.3. Lamasa desnudayf´ısica delfermio´n. . . . . . . . . . . . . . 96 4.4. Renormalizacio´ndelve´rtice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5. Renormalizacio´ndelasl´ıneasexternas,deloscamposyde la constantedeacoplamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.6. Amplitudesrenormalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.7. Laidentidadde Warden QED. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.8. Renormalizacio´ndelcampoexterno. . . . . . . . . . . . . . . 109 FacultaddeCienciasF´ısicasyMatema´ticas ´INDICEGENERAL Cap´ıtulo 1 Cuantizacio´ n de campos libres 1.1. Introduccio´n Lateor´ıacua´nticanacio´ porlanecesidaddecuantizarelcampoelectro- magne´tico para poder describir en forma adecuada los feno´menos cua´n- ticos de radiacio´n. La teor´ıa resultante es la electrodina´mica cua´ntica y la part´ıcula asociada al campo electromagne´tico es el foto´n. Se dice que el foto´neselcuantoderadiacio´nelectromagne´tica.Hoyd´ıatodaslaspart´ıcu- las elementales son descritas en principio como cuantos de un campo ad hoc. Los campos que se utilizan para describir part´ıculas de spin entero se cuantizanaplicandolasmismasreglasdeconmutacio´ndeHeisenbergque para un sistema con un nu´mero finito de grados de libertad. No se trata de un nuevo tipo de cuantizacio´n, o segunda cuantizacio´n como a veces se la llama, sino que es la misma cuantizacio´n ya estudiada en meca´nica cua´ntica so´lo que aplicada a campos . En esta misma seccio´n se cuanti- zara´ unsistemmuysimpledeosciladoresparamostrarco´moestesistema cua´ntico con infinitos grados de libertad posee estados estables que se interpretancomo part´ıculaslibres. El intento de hacer una meca´nica cua´ntica relativista se frustra debido alproblemadelaexistenciadeestadosconenerg´ıanegativaimplicadopor laexigenciadequelasecuacionesdemovimientoseancovariantes.Apos- teriori es posible comprenderque esta dificultad se debe a que relatividad implica que cada part´ıcula tiene asociada una antipart´ıcula. Este gran de- 5 6 Patricio CorderoS. versio´nde1988 scubrimiento de Dirac llevo´ a concebir a las part´ıculas elementales como estados compuestos por ellas mismas y los pares part´ıcula antipart´ıcula respectivos e = e+eee¯+eee¯ee¯... en un sentido que so´lo se podra´ entender mucho ma´s adelante.Dice Heinsenberg:Creo que el descubrimiento ma´s decisivo enconexio´ncon laspropiedadeso la naturalezade laspart´ıculas elemenales fue el descubrimiento de la antimateria por Dirac. Aquel fue un hechoqueaparentementeten´ıa quevercon elreemplazodelgrupode Galileo por el grupo de Lorentz. Creo que este descubrimiento de part´ıcu- las y antipart´ıculas por Dirac ha cambiado completamente toda nuestra visio´ndelaf´ısica ato´mica.(...)Tanprontocomounosabequepuedecrear pares de acuerdo con la teor´ıa de Dirac, entonces uno tiene que consid- erar a una part´ıcula elemental como un sistema compuesto; porque vir- tualmente podr´ıa ser esta part´ıcula ma´s un par o esta part´ıcula ma´s dos paresetc.,yas´ı repentinamentetodalaideadeunapart´ıculaelementalha cambiado. Hasta ese momento pienso que cada f´ısico hab´ıa pensado so- bre laspart´ıculas elementalesenla l´ınea filoso´fica deDemo´crito, esdecir, considerandoquesonsiemprelamismacosa(...).Despue´sdeldescubrim- iento de Dirac todo se vio´ diferente porque ahora uno se pod´ıa preguntar porque´ unproto´ntendr´ıaquesersiempreunproto´n,porque´ unproto´nno pod´ıa a veces ser un proto´n ma´s un par electro´n positro´n etc. Este nuevo concepto de las part´ıculas elementales de ser un sistema compuesto me ha parecidodesdeelcomienzocomo ungran reto. ´Intimamenteligadoalaideadeunateor´ıacua´nticadecamposesta´ tam- bie´n el hecho que el nu´mero de part´ıculas elementales no se conserva. As´ı porejemplo,se tieneprocesoscomo p 0 g +g → n e +p+n¯ − e → e+ + e g +g − → e+ + e e++e +g +g − − W → X 0+p − − → Tratando un sistema de N part´ıculas con la ecuacio´n de Schro¨dinger este nu´mero es conservado. So´lo en forma artificial es posible introducir mecanismosquepermitanqueelnu´merodepart´ıculasnose conserveen meca´nicacua´ntica no relativista. 1.1. INTRODUCCIO´N FacultaddeCienciasF´ısicasyMatema´ticas Teor´ıaCua´nticade Campos 7 1.2. Spin 0 1.2.1. Cuantizacio´n del campo escalar real. En meca´nica cua´ntica ordinaria se cuantiza sistemas con un nu´mero finito, o al menos discreto, de grado de libertad. Aqu´ı se vera´ el caso de un sistema con un continuo de grados de libertad y tambie´n se vera´ que el postulado de cuantizacio´n, o sea, las relaciones de conmutacio´n entre las coordenadas generalizadas y los respectivos momentos conjugados cano´nicos, se mantienen ide´nticos, al menos en este caso del campo es- calar. Sea F (x) un campo escalar real libre cuya dina´mica se determina a partirdela densidadlagrangeana 1 L = :(F ,m (x)F ′m (x) m 2F 2(x)): (1.2.1) 2 − Lacorrespondienteecuacio´nde campoesla ecuacio´ndeKlein-Gordon, ((cid:3)+m 2)F =0 alquese imponecondicionesdecuantizacio´n [F (~x,t),p (~x;t)] = id (3)(~x ~x ) − ′ (1.2.2) [F (~x,t),F (~x;t)] = [p (~x,t),p (~x;t)]=0 dondeelmomentoconjugadocano´nicodeF se defineenla forma usual, ¶ L(x) p (x)= =F˙. ¶ F˙(x) Puestoquelosoperadoresdecampoobedecenciertasrelacionesdecon- mutacio´n, no siempre es claro co´mo se generaliza expresiones de teor´ıa cla´sica a cua´ntica. Parte de esta ambigu¨edad es removida definiendo un cierto ordennormal. Bajotransformacioneshomoge´neasdeLorentzuncampoescalartrans- forma deacuerdoa F (x) F (x)=F (L 1x). ′ − → Adema´scualquiercamposatisfacelaleydetransformacio´n,bajotraslacio´n, eiPaF (x)e iPa=F (x+a) (1.2.3) − UniversidaddeChile PostgradodeF´ısica 8 Patricio CorderoS. versio´nde1988 donde P es el generadorde traslaciones del grupo de Poincare´, de donde se deducequeparacualquiercampose cumple, F (x),Pm =i¶ m F (x) (1.2.4) ecuacio´nquetiene comoca(cid:2)so partic(cid:3)ularla ecuacio´n[F (x),P ]=iF˙(x). 0 La densidadHamiltonianase defineenla forma usual, H (x) = :p (x)F˙(x): L(x) − (1.2.5) = 1 : F˙2+(~F(cid:209) )2+m 2F 2 : 2 (cid:16) (cid:17) y la densidaddemomentoes P~(x)= :p ~(cid:209)F : − Se reitera que la ordenacio´nde los factores no importa mientraseste´ indi- cado quese trata deproductosenordennormal,:AB:=:BA: Puesto que F es una solucio´n de la ecuacio´n de Klein-Gordon puede ser escrito como una superposicio´n del conjunto completo de soluciones de ondaplanadefinidospor 1 1 fn= e in(w pt ~p~r) = e inpx, n= 1 (1.2.6) ~p (2p )32w − − · (2p )32w − ± p p p p En el espacio de funciones de ~x expandido por estas ondas planas se defineelproductoescalarentre dosfunciones,(f,g) por (f,g) i f g˙ f˙ g d3x (1.2.7) ∗ ∗ ≡ − Z (cid:0) (cid:1) Se puededemostrarque f~pn,f~pn′′ =nd nn′d 3(~p−~p′) (1.2.8) (cid:16) (cid:17) La condicio´n de que F sea real determina una relacio´n entre los coefi- cientes, F (x)= d3p a(~p)f+(x)+a†(~p)f (1.2.9) ~p ~p− Z n o Loscoeficientesdela expansio´nsonoperadorescuyas relacionesdecon- mutacio´n esta´n determinadas por las relaciones de cuantizacio´n de los 1.2. SPIN0 FacultaddeCienciasF´ısicasyMatema´ticas Teor´ıaCua´nticade Campos 9 campos. Para deducirlas se usa una notacio´n abreviada (con a+ = a y a =a†) − F (x)= (cid:229) d3pan(~p)fn(x) (1.2.10) ~p n 1Z ± ypuededemostrarse que a(n)=n f(n),F (1.2.11) ~p ~p (cid:16) (cid:17) Delo anteriorsigue que an(~p),an′(~p′) =nd nnd (3)(~p ~p′) (1.2.12) ′ − h i o equivalentemente [a(~p),a(~p )] = a†(~p),a†(~p ) =0 ′ ′ (1.2.13) a(~p),a†(~p ) = d (3)(~p ~p ) ′ (cid:2) − ′ (cid:3) que son las relacio(cid:2)nes de conm(cid:3) utacio´n que satisfacen los operadores de creacio´n y destruccio´n de part´ıculas libres. Esto viene a mostrar la exis- tencia de cuantos asociados a los campos, los que se comportan como part´ıculas. Correspondena los fononesde una red cristalina tridimension- aldeosciladoresarmo´nicosconladiferenciaquelavelocidaddelsonidoes reemplazadaporlavelocidaddelaluzyadema´snoexisteunareddiscreta sino un continuo—el campo—que ha sido cuantizado. No´tese la estrecha relacio´n que existe entre la ecuacio´n de Klein-Gordon y la ecuacio´n de un osciladorarmo´nico. Demuestreque 1 H = d3xH (x)= d3pw : a(~p)a†(~p)+a†(~p)a(~p) : (1.2.14) ~p 2 Z Z (cid:0) (cid:1) El producto normal se define como el reordenamiento de operadores de creacio´n y destruccio´n colocando a los operadores de creacio´n a la izquierdadelos operadoresdedestruccio´n. Conesta definicio´nse puedeescribir H en la forma H = d3pw a†(~p)a(~p) ~p Z El sentido de la ordenacio´n normal es la siguiente. Si se considera el Hamiltonianode unosciladorarmo´nico unidimensional,eloperadoraes w x+ip a= √2w UniversidaddeChile PostgradodeF´ısica 10 Patricio CorderoS. versio´nde1988 ysemejantementesedefinea†.Ellossatisfacen a,a† =1vie´ndosequeH puedeescribirse, (cid:2) (cid:3) 1 w H = w (a†a+aa†)==w a†a+ 2 2 w w Biensesabequelaenerg´ıadelestadobasees ,estoesH 0 = 0 . 2 | i 2 | i Y en tres dimensiones es 3w /2 y generalizando a n grados de libertad, el estadobasetieneunaenerg´ıanw /2quedivergeparanuestrosistemacon uncontinuodegradosdelibertad.Estohacenecesarioredefinirelcerode la energ´ıa, de modo que H 0 =0 y es precisamente e´sto lo que hace la | i definicio´n delproductonormal.Es importantenotarquela diferencia entre un producto y el correspondiente producto normal es un nu´mero cla´sico, de modoqueelcara´cter deloperadorconsideradonose modifica. 1.2.2. Cuantizacio´n del campo escalar complejo La cuantizacio´n del campo escalar complejo es muy similar a la del camporeal.Existen dosformasequivalentesdehaceresta cuantizacio´na partirde la densidadlagrangeana L(x)=: F †,m (x)F ,m (x)−m 2F †(x)F (x) : (1.2.15) La primera manera consis(cid:0)te en definir un momento c(cid:1)onjugado para F y otro para F † que se denota p F y p F† y se procede a postular relaciones de conmutacio´n a tiempos iguales como para el caso escalar teniendo en cuenta adema´s que las variables relacionadasa F y F † conmutan a tiem- posiguales,e.g., F ,p F† = F ,F † = F †,p F =0. La otra manerha de ciuan(cid:2)tizar c(cid:3)onsi(cid:2)ste prim(cid:3)ero en separar al campo en doscamposreales, 1 1 F = (F iF ), F †= (F +iF ) (1.2.16) 1 2 1 2 √2 − √2 lo que permite escribir la densidad lagrangianaen la forma de la suma de dosdensidadeslagrangianasparalos camposrealesF , i=1,2, i L(x)= 12 (cid:229) :(F i,m F i,m −m 2F 2i): i=1,2 Luegose procedea cuantizartalcomo se hizo enla Sec. 1.2.1, § [F (~x,t),p (~x,t)] = d d (3)(~x ~x) i j ij ′ − [F (~x,t),F (~x,t)] = [p (~x,t),p (~x,t)]=0. i j ′ i j ′ 1.2. SPIN0 FacultaddeCienciasF´ısicasyMatema´ticas