García_de la probabilidad_ForroRust_T2 26/09/2008 12:25 Page 1 El volumen que el lector tiene en sus manos integra Z Introducción a la teoría E todo el material que forma parte del programa R de la probabilidad de un segundo curso de probabilidad que se ofrece A en varias universidades. Al igual que en el Primer curso V L de esta obra, se pretende aquí presentar una introducción Á M I G U E L Á N G E L G A R C Í A Á LVA R E Z M I G U E L Á N G E L a la formulación moderna de la teoría de la probabilidad. A G A R C Í A Á LVA R E Z Este Segundo curso está dividido en tres grandes partes: Í cursó la licenciatura en matemáticas C en la primera se realiza el estudio de las distribuciones R SEGUNDO CURSO en la Facultad de Ciencias de la UNAM. de vectores aleatorios; en la segunda se tratan A Realizó sus estudios de posgrado,en teoría de los teoremas límite, y en la tercera se exponen G los procesos estocásticos,en la Universidad temas sobre la historia de la teoría de probabilidades. de Estrasburgo,bajo la dirección del doctor Paul André Meyer.Actualmente es profesor Precisamente sobre este tema, en ambos volúmenes d a titular del Departamento de Matemáticas se incluye gran parte de la investigación que el autor d li de la UNAM. ha realizado sobre la historia de la teoría i b a de la probabilidad, incorporada en la presentación de b o los diferentes temas. De esta forma, la exposición se hace r p de tal manera que la teoría no sea asimilada como a l algo estático, sino en permanente evolución, e d como corresponde a la realidad. a í r o e t a l a n ó i c c u d o r t C I E N C I A Y n m I o c T E C N O L O G Í A a. c mi o on FONDO c e DE CULTURA a r tu ECONÓMICA cul 1934-2009 e d o d n o f w. w w Reimpresión / Rústica con solapas/ Refine 16.5 cm x 23 cm / 432 pp / Papel Cultural 75 grs./ lomo 2.1 cm/ Tamaño final del documento +rebases= 63.1 cm x 27 cm /CUO A-01 / GUARDAS PANTONE 327 U M I G U E L Á N G E L G A R C Í A Á LVA R E Z cursó la licenciatura en matemáticas en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Realizó sus estudios de posgrado,en teoría de los procesos estocásticos,en la Universidad de Estrasburgo,bajo la dirección del doctor Paul André Meyer.Actualmente es profesor titular del Departamento de Matemáticas de la UNAM. Sección de Obras de Ciencia y Tecnología INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Segundo curso Comité de Selección Dr. Antonio Alonso Dr. Francisco Bolívar Zapata Dr. Javier Bracho Dr. Juan Luis Cifuentes Dra. Rosalinda Contreras Dr. Jorge Flores Valdés Dr. Juan Ramón de la Fuente Dr. Leopoldo García-Colín Scherer Dr. Adolfo Guzmán Arenas Dr. Gonzalo Halffter Dr. Jaime Martuscelli Dra. Isaura Meza Dr. José Luis Morán López Dr. Héctor Nava Jaimes Dr. Manuel Peimbert Dr. José Antonio de la Peña Dr. Ruy Pérez Tamayo Dr. Julio Rubio Oca Dr. José Sarukhán Dr. Guillermo Soberón Dr. Elías Trabulse Coordinadora María del Carmen Farías R. MIGUEL ÁNGEL GARCÍA ÁLVAREZ INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD •• Segundo curso FONDO DE CULTURA ECONÓMICA GGaarrccííaa__PPrroobbaabbiilliiddaadd IIII__pprreelliimmiinnaarreess..iinndddd 55 99//2266//0088 33::5500::5599 PPMM Primera edición, 2005 Primera reimpresión, 2008 García Álvarez, Miguel Ángel Introducción a la teoría de la probabilidad. Segundo curso / Miguel Ángel García Álvarez. — México : FCE, 2005 426 p. : il. ; 23 × 17 cm — (Colec. Obras de Ciencia y Tecnología) ISBN 978-968-16-7515-8 (segundo curso) 978-968-16-7578-3 (obra completa) 1. Probabilidad, teoría de 2. Matemáticas I. Ser. II. t. LC QA273.2 Dewey 519.2 G 532i Comentarios y sugerencias: [email protected] www.fondodeculturaeconomica.com Tel. (55)5227-4672 Fax (55)5227-4694 Empresa certifi cada ISO 9001: 2000 D. R. © 2005, Fondo de Cultura Económica Carretera Picacho-Ajusco, 227, 14738 México, D. F. Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra —incluido el diseño tipográfi co y de portada—, sea cual fuere el medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor. ISBN 978-968-16-7515-8 (Segundo curso) ISBN 978-968-16-7578-3 (obra completa) ISBN 978-607-16-3303-3 (PDF) Impreso en México • Printed in Mexico ÍNDICE GENERAL Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Primera Parte Vectores aleatorios [] I. Distribuciones conjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 I.1 Funciones de distribución conjuntas . . . . . . . . . . . 21 I.2 Funciones de densidad conjuntas . . . . . . . . . . . . . 29 I.3 Funciones de densidad marginales . . . . . . . . . . . . 39 I.4 Distribuciones conjuntas de variables aleatorias indepen- dientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 I.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 II. Distribuciones de funciones de vectores aleatorios 57 II.1 Distribuciones de funciones de vectores aleatorios dis- cretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 II.2 Distribuciones de funciones de vectores aleatorios con- tinuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 II.3 Distribuciones conjuntas de funciones de vectores alea- torios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 II.4 Estadísticos de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 II.5 Esperanza de funciones de vectores aleatorios . . . . . . 88 II.5.1 Coeficiente de correlación y matriz de cova- rianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 II.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 III. Distribución normal multivariada . . . . . . . . . . . . 111 III.1 Distribución normal bivariada . . . . . . . . . . . . . . . 111 7 8 INTRODUCCIÓNALATEORÍADELAPROBABILIDAD III.2 Un poco de cálculo matricial . . . . . . . . . . . . . . . 120 III.2.1 Valores y vectores propios de matrices simé- tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 III.3 Distribución normal multivariada . . . . . . . . . . . . . 151 III.4 Distribuciones muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 III.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 IV. Esperanzas condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 IV.1 Generalización de la definición de probabilidad condi- cional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 IV.2 Esperanzas condicionales en el caso discreto . . . . . . . 179 IV.3 Definición general de la esperanza condicional . . . . . . 184 IV.4 Esperanzas condicionales en el caso absolutamente con- tinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 IV.5 Distribuciones condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . 200 IV.6 Regla general de la probabilidad total . . . . . . . . . . 212 IV.7 Distribuciones condicionales en el caso mixto . . . . . . 223 IV.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Segunda Parte Convergencia [] V. Teoremas límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 V.1 Diferentes tipos de convergencia . . . . . . . . . . . . . 254 V.2 Relación entre modos de convergencia . . . . . . . . . . 261 V.3 Lema de Borel-Cantelli y convergencia casi segura . . . 264 V.4 Funciones generadoras y convergencia en distribución . 266 V.5 Ley débil de los grandes números . . . . . . . . . . . . . 269 V.5.1 Interpretación de la esperanza . . . . . . . . . . 275 V.6 Ley fuerte de los grandes números . . . . . . . . . . . . 282 V.7 Teorema de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 V.8 Teorema del límite central . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 V.9 Convergencia de series aleatorias . . . . . . . . . . . . . 299 V.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 ÍNDICEGENERAL 9 Tercera Parte Historia [] VI. Surgimiento del cálculo de probabilidades . . . . . . 307 VI.1 Algunos resultados particulares . . . . . . . . . . . . . . 309 VI.2 El Trabajo de Girolamo Cardano . . . . . . . . . . . . . 311 VI.3 El trabajo de Pascal-Fermat-Huygens . . . . . . . . . . 314 VI.3.1 Problema de la división de apuestas . . . . . . . 315 VI.3.2 Problemas con dados . . . . . . . . . . . . . . . 325 VI.3.3 UbicacióndeltrabajodePascal-Fermat-Huygens 333 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 VII. Surgimiento de la teoría de la probabilidad moderna 337 VII.1 El cálculo de probabilidades clásico . . . . . . . . . . . . 341 VII.2 Las probabilidades numerables de Émile Borel . . . . . 348 VII.2.1 Teorema de Borel sobre los números normales . 359 VII.3 Surgimiento de la teoría de la medida . . . . . . . . . . 360 VII.3.1 La integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 361 VII.3.2 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . 363 VII.3.3 Delateoríadeintegraciónalateoríadelcontenido 365 VII.3.4 Teoría de la medida de Borel . . . . . . . . . . 368 VII.3.5 Teoría de la medida de Lebesgue . . . . . . . . 371 VII.4 Identificación de funciones de probabilidad con medidas 374 VII.5 Construcción de medidas en espacios de dimensión in- finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 VII.5.1 El modelo de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . 382 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 Respuestas a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 Capítulo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 Capítulo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 Capítulo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 Capítulo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Capítulo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 Tabla de la distribución normal estándar . . . . . . . . . . 421 Índice de términos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423